专题03 整式及其加减（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材北师大版

该初中数学知识清单系统梳理了“整式及其加减”专题内容，涵盖代数式与整式概念、单项式、多项式、同类项、整式加减运算及化简求值等核心知识范畴，搭建了从基础定义到运算法则再到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型分类+易错警示”三维架构呈现，通过“两相同两无关”等口诀总结同类项判断培养抽象能力，14类题型含例题及变式训练提升运算能力，标注“去括号−变+不变”等记忆技巧，助力学生自主梳理知识，教师可据此设计分层教学，高效提升课堂实效。

专题03 整式及其加减（4知识&14题型&3易错） 【清单01】代数式与整式的基本概念 1．代数式定义：用（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式。 2．代数式书写规范：数字与字母相乘时，乘号可省略或记作，需写在字母前面；带分数需化为；除法运算写成分数形式。 3．整式定义：和统称为整式，分母中含字母的式子不是整式。 【清单02】单项式 1．定义：由组成的式子，单独一个数或一个字母也是单项式。 2．系数：单项式中的（包含前面的符号）。 3．次数：一个单项式中，。 4．注意事项：系数为或时，通常省略。 【清单03】多项式 1．定义：叫做多项式。 2．多项式的项：组成多项式的每个单项式（包含前面的符号）。 3．常数项：多项式中的项。 4．多项式的次数：多项式中。 【清单04】同类项的识别 1．定义：所含，并且的项叫做同类项；几个常数项也是同类项。 2．判断标准（“两相同，两无关”）： 两相同：字母相同、相同字母的指数相同； 两无关：与无关、与无关。 3．易错点：仅字母相同但指数不同、系数不同但字母和指数相同，前者同类项，后者同类项。 【清单05】合并同类项 1．定义：把多项式中的同类项合并成的运算。 2．法则：同类项的，所得结果作为新系数，。 3．注意事项： 不是同类项的项不能合并； 系数互为相反数的同类项合并后结果为； 常数项合并遵循。 【清单06】去括号法则 1．括号前是“+”号：去掉括号和前面的“+”，括号内各项。 2．括号前是“−”号：去掉括号和前面的“−”，括号内各项（简记“−变+不变”。 3．特殊情况：括号前有数字因数时，需先将数字与括号内，再去括号。 【清单07】整式的加减运算 1．核心实质：和的综合运用。 2．运算步骤： 去括号：根据去括号法则去掉所有括号（括号前有系数需先分配）； 合并同类项：将同类项合并，得到（无同类项剩余）。 【清单08】整式的化简求值nn 1．基本步骤：（去括号、合并同类项），求值（代入负数时需加括号）。 2．整体思想：当无法直接求出单个字母的值时，可将含字母的式子视为代入。 3．易错点：代入数值前未化简，导致计算复杂或出错；代入负数时未加括号，符号出错。 【题型一】列代数式 例1．一件商品的成本是a元，提高后标价，然后打9折销售，此时售价应为 元． 【答案】 【分析】 【详解】解：标价为元． 售价为元． 故答案为：． 变式1-1．如图，一个边长为4的正方形去掉长方形一角后，求剩余部分（阴影部分）的面积，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：阴影部分面积为或或 故选：A． 变式1-2．某段公路全长，原计划每天施工，实际每天比原计划多修了，实际比计划少用 天 【答案】 【详解】解：原计划每天施工，则计划工作天数为天； 实际每天施工，则实际工作天数为天； ∴实际比计划少用的天数为天， 故答案为：． 变式1-3．已知如图，半圆的直径长为D，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】 【详解】解：阴影部分面积． 故答案为． 【题型二】求代数式的值 例2．若，则 ． 【答案】4 【分析】 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ 故答案为：． 变式2-1．当时，代数式的值在数轴上所对应的点可能落在（    ） A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 【答案】B 【详解】解：当时，， 由图可知，所对应的点在②段． 故选：B． 变式2-2．若代数式的值为5，则的值为（    ） A．11 B．5 C．2 D．14 【答案】B 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 变式2-3．如图，用长为的篱笆靠墙（墙足够长）恰好围成一个长方形菜地，菜地的宽为． (1)用代数式表示围成的菜地的面积； (2)当，时，求围成的菜地的面积． 【答案】(1) (2)27 【分析】 【详解】（1）解：∵园子的长可表示为， ∴园子的面积是． （2）当，时， ． 围成的菜地的面积为27． 【题型三】单项式和多项式的判断 例3．下列各式中，既不是单项式也不是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是几个单项式的和，这是个多项式，故A不符合题意； B、是数字与字母的积，是一个单项式，故B不符合题意； C、是与的和，这是个多项式，故C不符合题意； D、是与的商，既不是单项式也不是多项式，故D符合题意； 故选：D． 变式3-1．下列各式：，，，，，中多项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：，是单项式，代数式分母中还有字母，不是整式，不是多项式， 多项式有：，，，共3个． 故选：B． 变式3-2．在代数式，，，，，，单项式的个数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵含有加法运算，是多项式，不是单项式； ∵是常数，是单项式； ∵可化为，是数字与字母的积，是单项式； ∵含有加法运算，是多项式，不是单项式； ∵含有减法运算，是多项式，不是单项式； ∵是数字与字母的积，是单项式． ∴单项式有、、，共3个． 故选：B． 变式3-3．下列代数式单项式有（    ）个 （1） （2）  （3）  （4）  （5）  （6） A．1个 B．2个 C．5个 D．4个 【答案】C 【详解】解：单项式有（1） （2） （4） （5） （6），共5个． 故选：C． 【题型四】单项式的系数和次数 例4．若单项式与单项式的次数相同，则的值为 ． 【答案】38或66 【详解】解：由题意得：， ∴， 解得：或， ∴当时，， 当时，， ∴的值为或． 故答案为：或． 变式4-1．若单项式的系数是，次数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵单项式的系数是， ∴． ∵次数是，且的指数为2，的指数为1， ∴． ∴． 故选：C． 变式4-2．是关于，的六次单项式，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：是关于的六次单项式， ， 解得， 当时，系数， ， 故答案为：． 变式4-3．观察下列一串单项式：，，，，…，则第10个单项式为 ． 【答案】 【详解】解：单项式：，，，，…， ∴系数依次为，字母的指数依次为（为正整数）， ∴第10个单项式的系数为，字母的指数为，即， 故答案为： ． 【题型五】多项式的项、项数或次数 例5．下列各式中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A∶ ，故本选项错误，不符合题意． 对于选项B∶ ，故本选项错误，不符合题意． 对于选项C∶ ，故本选项正确，符合题意． 对于选项D∶ ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C 变式5-1．已知，则的值是(   ) A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【详解】解：， ， 故选：D． 变式5-2．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】 【详解】解：， 当时， 原式． 故答案为：． 变式5-3．（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）；（2） ， 【分析】 【详解】解：原式 ； 解：原式 ， 当，时， 原式 【题型六】多项式系数、指数中字母求值 例6．下列说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】A 【详解】解：A、是二次三项式，故该选项符合题意； B、是多项式，故该选项不符合题意； C、的系数是，故该选项不符合题意； D、的次数是4，故该选项不符合题意； 故选：A． 变式6-1．下列关于整式的说法中，正确的是（   ） ①的系数是 ②的次数是3 ③是二次二项式 ④的各项分别为2a，b， A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵单项式的系数是数字因数， ∴的系数是，故①正确； ∵单项式的次数是所有字母的指数和， ∴的次数是，不是，故②错误； ∵多项式的次数是最高次项的次数，项数是项的个数， ∴的最高次项是，次数为，且有两项，是二次二项式，故③正确； ∵多项式的项包括符号， ∴的各项分别为、、，故④正确； 综上，正确的有①③④． 故选：D． 变式6-2．下列关于多项式的说法正确的是（   ） A．含有、、、1四项 B．是二次三项式 C．可看作、、、的和 D．次数是3 【答案】C 【分析】 【详解】解：选项A、多项式是由、、、组成，则A说法错误； 选项B、多项式中，最高次数为，由四项组成，是二次四项式，则B说法错误； 选项C、多项式可以看作、、、的和，则C说法正确； 选项D、多项式中，最高次数为，则D说法错误； 故选：C． 变式6-3．若代数式中不含项，则k的值为 ． 【答案】1 【详解】解：由题意，，解得； 故答案为：1． 【题型七】去括号和添括号 例7．已知多项式的次数是5，n是四次项的系数，求的值． 【答案】 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．     因为是四次项的系数， 所以，     所以． 变式7-1．已知多项式中不含项，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．6 【答案】C 【详解】解：∵多项式中不含项， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式，熟练掌握多项式中不含有的项的系数为0是解题关键． 变式7-2．多项式是关于的二次三项式，则取值为 ． 【答案】0 【分析】 【详解】解：由于多项式是关于的二次三项式，因此最高次项的次数必须为2，系数不为0， 即，， 解方程， 得或， 即或， 解得， ∴． 故答案为：． 变式7-3．已知关于的多项式不含三次项和一次项． (1)求，的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵多项式不含三次项和一次项， ∴，， ∴，； （2）解：当，时， ． ． 【题型八】合并同类项 例8．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 变式8-1．若单项式与的差仍是单项式，则 ． 【答案】5 【分析】 【详解】解：由于单项式与的差仍是单项式， ∴它们是同类项， ∴x的指数相等，即；y的指数相等，即， 代入得：． 故答案为：5． 变式8-2．单项式与的和是，则的值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题意得： ，解得 所以 ． 故答案为：． 变式8-3．化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型九】整式的加减运算 例9．整式减去整式后，若不含项与项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 结果不含和项， ，， ，， . 故选：B． 变式9-1．如图所示，现有一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式，现从这三张卡片中随机抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)请计算抽到甲、乙两张卡片的结果； (2)请计算抽到甲、丙两张卡片的结果； (3)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】 【详解】（1）解：由题意，得： ； （2）解：由题意，得： ； （3）解：根据题意，得， 故 故 故． 变式9-2．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】 【详解】解：由数轴得，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 变式9-3．阅读材料，并回答下列问题． 对称式：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． (1)下列四个代数式中，是对称式的是_____（填序号）； ①；②；③；④． (2)写出一个只含有字母，的二次对称式（要求代数式中至少包含加法、乘法运算）； (3)已知，求，并判断所得结果是否为对称式． 【答案】(1)①③； (2)（答案不唯一）； (3)，是对称式． 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∴对称式有①③； （2）解：∵， ∴是对称式； （3）解：，， 交换，的位置，得到， ， ∴结果是对称式． 【题型十】整式的加减中的化简求值 例10．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 变式10-1．若，则多项式的值是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵， ∴原式 故答案为：10． 变式10-2．化简求值：已知代数式，，若，求的值． 【答案】， 【详解】解：∵，， ∴， 由，得到，， 则原式． 变式10-3．小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式    第一步             第二步             第三步                         第四步 (1)老师说小辉同学的解法是错误的，则他从第______步开始出错，错误的原因是______； (2)请写出正确的化简过程并求值，其中，． 【答案】(1)二，括号外面是“-”号，去括号后，括号内第三项符号未改变 (2)， 【分析】 【详解】（1）解：他从第二步开始出错，错误的原因是括号外面是“”号，去括号后，括号内第三项符号未改变， 故答案为：二，括号外面是“”号，去括号后，括号内第三项符号未改变； （2）解：． ． 当，时， 原式． 【题型十一】整式加减的应用 例11．如图是魔术师在小颖面前表演的经过，小颖任意写了一个数字m，那么魔术师猜中的运算结果应为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 变式11-1．小亮参加骑游活动，骑自行车从A地去B地，他骑前一半路程的平均速度为，骑后一半路程的平均速度为，则小亮骑完全程的平均速度为 【答案】/ 【分析】 【详解】解：设总路程为，则前一半路程为，后一半路程为， 前一半路程的时间为， 后一半路程的时间为， 总时间为， 平均速度为， ∵， ∴平均速度为． 故答案为：． 变式11-2．如图，有一块长、宽的长方形地块，计划将阴影部分建成绿化带，正中间空白部分修建一座长方形喷泉，四周用护栏围起，护栏到地块长边的距离均为，护栏到地块短边的距离均为，（图中）． （1）护栏的周长是 （用含a、b的代数式表示，结果要化简）． （2）当时，每米护栏费用为16元，则建造护栏的费用为 元． 【答案】 1120 【分析】 【详解】解：（1）护栏的长为：； 护栏的宽为：， 所以，护栏的周长为， 故答案为：； （2）当时，， 则建造护栏的费用为（元）， 故答案为：1120． 变式11-3．某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：商品A每件标价90元，按标价的返还现金；商品B每件标价100元，返利按标价的； 方案二：所购商品一律按标价的返利． (1)某单位购买A商品30件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的2倍多1件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)选方案一，170元 (2)方案二更合算，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：方案一费用： （元） 方案二费用： （元） ∵， ∴选方案一划算，便宜元. 答：选方案一划算，能便宜170元. （2）解：由题意得：购买B商品件数为件， 方案一费用： . 方案二费用： ∵ 又∵x为正整数 ∴ 即 ∴方案一费用更高，方案二更合算 【题型十二】整式加减中的无关型问题 例12．已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 【答案】(1)27 (2) 【分析】 【详解】（1）解： ， ， 原式； （2）由（1）可得， 的值与a的取值无关， ， ， ． 变式12-1．若关于x的整式化简后的结果中不含项和项，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∵结果中不含项和项， ∴且 解得 ∴ 故选：B． 变式12-2．小明在做题时错将题目中的“”看成“”，算得结果，已知 (1)求多项式； (2)小强说正确结果的大小与的取值无关，对吗？请说明理由； (3)若，求正确结果的代数式的值． 【答案】(1) (2)小强的说法对 (3) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可知，， ∴， ∵，， ∴， （2）解：小强说法对，理由： ∵，， ∴， ∵不含， ∴正确结果的大小与的取值无关， 答：小强说法对． （3）解：∵，， ∴ 答：正确结果的代数式的值为． 变式12-3．小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为． （） (1)求多项式； (2)已知，若的结果中不含的一次项，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：∵， ∴， ∵的结果中不含的一次项， ∴， 解得：. 【题型十三】数字中的规律 例13．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是1时，根据程序，第一次计算输出的结果是8，第二次计算输出的结果是，，这样下去第次计算输出的结果是 【答案】 【分析】 【详解】解：第一次计算输出的结果是， 第二次计算输出的结果是， 第三次计算输出的结果是， 第四次计算输出的结果是， 第五次计算输出的结果是， 第六次计算输出的结果是， ， ∴从第次开始，每次输出的结果以“，，，”为一个周期循环出现， ∵， ∴第次计算输出的结果是． 故答案为：． 变式13-1．观察下列数字规律， 则第行第个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题可知，这列数依次为， ∴第个数可表示为， 又∵第行有个数，第行有个数，第行有个数，， ∴第行有个数， ∵， ∴第行第个数是这列数中的第个数， 当时，， ∴第行第个数是， 故选：． 变式13-2．数学老师根据中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由题知， 因为，，， 所以密码左起的两位数字为上面圆圈中的数与左面圆圈中的数之和当和为一位数时，高位由补充． 因为，，， 所以密码中间的两位数字为上面圆圈中的数与右面圆圈中的数之积当积为一位数时，高位由补充． 因为，，， 所以密码最右边的两位数字为左面圆圈中的数与上面圆圈中的数与右面圆圈中的数之和的积当积为一位数时，高位由补充． 又因为，，， 所以． 故答案为：． 变式13-3．有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意， ； ； ； ； …， 发现的值是循环出现，周期为3， ， 故． 故答案为：． 【题型十四】图形中的规律 例14．如图是由长度相同的小棒拼出的一组有规律的图案． 图案标号 ① ② ③ ④ ⑤ … 小棒根数 6 11 16 ________ ________ … (1)按照图中的规律将表格补充完整； (2)按照这种方式继续拼摆图案，用含的代数式表示第个图案所需的小棒根数． 【答案】(1)21，26 (2)根 【分析】 【详解】（1）解：第①个图形中，小棒的根数是6； 第②个图形中，小棒的根数是11； 第③个图形中，小棒的根数是16； 第④个图形中，小棒的根数是； 第⑤个图形中，小棒的根数是； 故答案为：21，26． （2）解：根据（1）中规律可得第个图案所需的小棒根数为根． 变式14-1．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列： 图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第23个数为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：第1个图形中黑色圆点个数为1； 第2个图形中黑色圆点个数为； 第3个图形中黑色圆点个数为； 第4个图形中黑色圆点个数为； …； 第个图形中黑色圆点个数为， 则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…， 其中每3个数中，都有2个能被3整除，且为第2、3个数， ， ∴新数据中的第23个数为原数据第12组第2个数， ∴新数据中的第23个数为原数列中的第个数，即． 故答案为：． 变式14-2．观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 【答案】10002 【详解】解：由题意得：，，，，…..；由此可知：第n个图形有， ∴； 故答案为10002． 变式14-3．海口近几年城市发展迅速，交通越来越便利．修建公路时，会用到一种叫“沥青”的主要材料，沥青里含有一类叫做“稠环芳香烃”的物质．图4中的一系列图形为同一类“稠环芳香烃”物质的分子结构图．第1个图表示的分子结构，其分子中含有10个原子；第2个图表示的分子结构，其分子中含有16个原子；第3个图表示的分子结构，其分子中含有22个原子．则根据规律，第个图表示的分子结构中，原子的个数为 【答案】 【分析】 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图表示的分子结构中，原子的个数为：； 第2个图表示的分子结构中，原子的个数为：； 第3个图表示的分子结构中，原子的个数为：； ， 所以第个图表示的分子结构中，原子的个数为个． 故答案为：． 【题型一】代数式书写规范判断 例1．下列式子书写正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤万元 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：①中的乘号要省略，不符合题意； ②的除号应用分数线，不符合题意； ③中的带分数应该化为假分数，不符合题意； ④正确，符合题意； ⑤万元中应加括号，不符合题意． 综上分析可知，正确个数为1个． 故选：A． 变式1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：（1）中分数不能为带分数，故原式书写错误； （2）数与字母相乘要数在前，字母在后并省略乘号，故原式书写错误； （3）书写正确； （4）除号应用分数线，故原式书写错误； （5）书写正确； （6）吨应加括号，故原式书写错误； 符合代数式书写要求的有2个． 故选：D． 变式2．下列式子中符合代数式的一般书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：A、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意； B、原代数式书写正确，此选项符合题意； C、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意； D、代数式为，原书写错误，此选项不符合题意． 故选：B． 【题型二】多项式系数、指数中字母求值 例2．已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 【答案】(1)，常数项为 (2)，最高次项为 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，， 所以， 常数项为； （2）解：由题意可知，， 所以， 最高次项为． 变式1．如果 是关于x，y的五次三项式，那么 ． 【答案】 【详解】解：多项式是关于，的五次三项式， ，， ． 故答案为：． 变式2．已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：多项式是关于，的四次三项式， ， 解得； （2）多项式与单项式的次数相同， ， 又， ， ． 【题型三】已知同类项求指数中字母的值 例3．若单项式与的和仍是单项式则 ． 【答案】3 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴它们为同类项， ∴且， 解得，， ∴． 故答案为：3． 变式1．已知与是同类项，则等于（　　） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【详解】∵与是同类项， ∴，， 解得，， ∴． 故选：． 变式2．已知多项式的次数是a，单项式与单项式是同类项，求代数式的值． 【答案】 【分析】 【详解】解：多项式的次数是6，即． 因为单项式与单项式是同类项， 所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式及其加减（4知识&14题型&3易错） 【清单01】代数式与整式的基本概念 1．代数式定义：用（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式。 2．代数式书写规范：数字与字母相乘时，乘号可省略或记作，需写在字母前面；带分数需化为；除法运算写成分数形式。 3．整式定义：和统称为整式，分母中含字母的式子不是整式。 【清单02】单项式 1．定义：由组成的式子，单独一个数或一个字母也是单项式。 2．系数：单项式中的（包含前面的符号）。 3．次数：一个单项式中，。 4．注意事项：系数为或时，通常省略。 【清单03】多项式 1．定义：叫做多项式。 2．多项式的项：组成多项式的每个单项式（包含前面的符号）。 3．常数项：多项式中的项。 4．多项式的次数：多项式中。 【清单04】同类项的识别 1．定义：所含，并且的项叫做同类项；几个常数项也是同类项。 2．判断标准（“两相同，两无关”）： 两相同：字母相同、相同字母的指数相同； 两无关：与无关、与无关。 3．易错点：仅字母相同但指数不同、系数不同但字母和指数相同，前者同类项，后者同类项。 【清单05】合并同类项 1．定义：把多项式中的同类项合并成的运算。 2．法则：同类项的，所得结果作为新系数，。 3．注意事项： 不是同类项的项不能合并； 系数互为相反数的同类项合并后结果为； 常数项合并遵循。 【清单06】去括号法则 1．括号前是“+”号：去掉括号和前面的“+”，括号内各项。 2．括号前是“−”号：去掉括号和前面的“−”，括号内各项（简记“−变+不变”。 3．特殊情况：括号前有数字因数时，需先将数字与括号内，再去括号。 【清单07】整式的加减运算 1．核心实质：和的综合运用。 2．运算步骤： 去括号：根据去括号法则去掉所有括号（括号前有系数需先分配）； 合并同类项：将同类项合并，得到（无同类项剩余）。 【清单08】整式的化简求值nn 1．基本步骤：（去括号、合并同类项），求值（代入负数时需加括号）。 2．整体思想：当无法直接求出单个字母的值时，可将含字母的式子视为代入。 3．易错点：代入数值前未化简，导致计算复杂或出错；代入负数时未加括号，符号出错。 【题型一】列代数式 例1．一件商品的成本是a元，提高后标价，然后打9折销售，此时售价应为 元． 变式1-1．如图，一个边长为4的正方形去掉长方形一角后，求剩余部分（阴影部分）的面积，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．某段公路全长，原计划每天施工，实际每天比原计划多修了，实际比计划少用 天 变式1-3．已知如图，半圆的直径长为D，则图中阴影部分面积为 ． 【题型二】求代数式的值 例2．若，则 ． 变式2-1．当时，代数式的值在数轴上所对应的点可能落在（    ） A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 变式2-2．若代数式的值为5，则的值为（    ） A．11 B．5 C．2 D．14 变式2-3．如图，用长为的篱笆靠墙（墙足够长）恰好围成一个长方形菜地，菜地的宽为． (1)用代数式表示围成的菜地的面积； (2)当，时，求围成的菜地的面积． 【题型三】单项式和多项式的判断 例3．下列各式中，既不是单项式也不是多项式的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．下列各式：，，，，，中多项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式3-2．在代数式，，，，，，单项式的个数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3-3．下列代数式单项式有（    ）个 （1） （2）  （3）  （4）  （5）  （6） A．1个 B．2个 C．5个 D．4个 【题型四】单项式的系数和次数 例4．若单项式与单项式的次数相同，则的值为 ． 变式4-1．若单项式的系数是，次数是，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式4-2．是关于，的六次单项式，则的值是 ． 变式4-3．观察下列一串单项式：，，，，…，则第10个单项式为 ． 【题型五】多项式的项、项数或次数 例5．下列各式中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，则的值是(   ) A．0 B．3 C．5 D．8 变式5-2．已知，，则 ． 变式5-3．（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中 【题型六】多项式系数、指数中字母求值 例6．下列说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．的系数是 D．的次数是6 变式6-1．下列关于整式的说法中，正确的是（   ） ①的系数是 ②的次数是3 ③是二次二项式 ④的各项分别为2a，b， A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 变式6-2．下列关于多项式的说法正确的是（   ） A．含有、、、1四项 B．是二次三项式 C．可看作、、、的和 D．次数是3 变式6-3．若代数式中不含项，则k的值为 ． 【题型七】去括号和添括号 例7．已知多项式的次数是5，n是四次项的系数，求的值． 变式7-1．已知多项式中不含项，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．6 变式7-2．多项式是关于的二次三项式，则取值为 ． 变式7-3．已知关于的多项式不含三次项和一次项． (1)求，的值． (2)求代数式的值． 【题型八】合并同类项 例8．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式8-1．若单项式与的差仍是单项式，则 ． 变式8-2．单项式与的和是，则的值为 ． 变式8-3．化简： (1)． (2)． 【题型九】整式的加减运算 例9．整式减去整式后，若不含项与项，则（   ） A． B． C． D． 变式9-1．如图所示，现有一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式，现从这三张卡片中随机抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)请计算抽到甲、乙两张卡片的结果； (2)请计算抽到甲、丙两张卡片的结果； (3)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求的值． 变式9-2．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 变式9-3．阅读材料，并回答下列问题． 对称式：一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． (1)下列四个代数式中，是对称式的是_____（填序号）； ①；②；③；④． (2)写出一个只含有字母，的二次对称式（要求代数式中至少包含加法、乘法运算）； (3)已知，求，并判断所得结果是否为对称式． 【题型十】整式的加减中的化简求值 例10．先化简，再求值：，其中． 变式10-1．若，则多项式的值是 ． 变式10-2．化简求值：已知代数式，，若，求的值． 变式10-3．小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算： 解：原式    第一步             第二步             第三步                         第四步 (1)老师说小辉同学的解法是错误的，则他从第______步开始出错，错误的原因是______； (2)请写出正确的化简过程并求值，其中，． 【题型十一】整式加减的应用 例11．如图是魔术师在小颖面前表演的经过，小颖任意写了一个数字m，那么魔术师猜中的运算结果应为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 变式11-1．小亮参加骑游活动，骑自行车从A地去B地，他骑前一半路程的平均速度为，骑后一半路程的平均速度为，则小亮骑完全程的平均速度为 变式11-2．如图，有一块长、宽的长方形地块，计划将阴影部分建成绿化带，正中间空白部分修建一座长方形喷泉，四周用护栏围起，护栏到地块长边的距离均为，护栏到地块短边的距离均为，（图中）． （1）护栏的周长是 （用含a、b的代数式表示，结果要化简）． （2）当时，每米护栏费用为16元，则建造护栏的费用为 元． 变式11-3．某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：商品A每件标价90元，按标价的返还现金；商品B每件标价100元，返利按标价的； 方案二：所购商品一律按标价的返利． (1)某单位购买A商品30件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的2倍多1件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【题型十二】整式加减中的无关型问题 例12．已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 变式12-1．若关于x的整式化简后的结果中不含项和项，则的值为(　　) A． B． C． D． 变式12-2．小明在做题时错将题目中的“”看成“”，算得结果，已知 (1)求多项式； (2)小强说正确结果的大小与的取值无关，对吗？请说明理由； (3)若，求正确结果的代数式的值． 变式12-3．小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为． （） (1)求多项式； (2)已知，若的结果中不含的一次项，求的值． 【题型十三】数字中的规律 例13．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入x的值是1时，根据程序，第一次计算输出的结果是8，第二次计算输出的结果是，，这样下去第次计算输出的结果是 变式13-1．观察下列数字规律， 则第行第个数是（　　） A． B． C． D． 变式13-2．数学老师根据中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是 ． 变式13-3．有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为 ． 【题型十四】图形中的规律 例14．如图是由长度相同的小棒拼出的一组有规律的图案． 图案标号 ① ② ③ ④ ⑤ … 小棒根数 6 11 16 ________ ________ … (1)按照图中的规律将表格补充完整； (2)按照这种方式继续拼摆图案，用含的代数式表示第个图案所需的小棒根数． 变式14-1．将黑色圆点按如图所示的规律进行排列： 图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第23个数为 ． 变式14-2．观察如图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ． 变式14-3．海口近几年城市发展迅速，交通越来越便利．修建公路时，会用到一种叫“沥青”的主要材料，沥青里含有一类叫做“稠环芳香烃”的物质．图4中的一系列图形为同一类“稠环芳香烃”物质的分子结构图．第1个图表示的分子结构，其分子中含有10个原子；第2个图表示的分子结构，其分子中含有16个原子；第3个图表示的分子结构，其分子中含有22个原子．则根据规律，第个图表示的分子结构中，原子的个数为 【题型一】代数式书写规范判断 例1．下列式子书写正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤万元 A．个 B．个 C．个 D．个 变式1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）吨，其中符合书写要求的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式2．下列式子中符合代数式的一般书写要求的是（　　） A． B． C． D． 【题型二】多项式系数、指数中字母求值 例2．已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 变式1．如果 是关于x，y的五次三项式，那么 ． 变式2．已知多项式是关于，的四次三项式． (1)求的值； (2)若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值． 【题型三】已知同类项求指数中字母的值 例3．若单项式与的和仍是单项式则 ． 变式1．已知与是同类项，则等于（　　） A． B．1 C．3 D．5 变式2．已知多项式的次数是a，单项式与单项式是同类项，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $