专题01 特殊平行四边形（知识必备+17大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）九年级数学上学期北师大版

该初中数学复习讲义通过表格系统梳理特殊平行四边形的核心考点、复习目标与考情规律，以菱形、矩形、正方形为主体构建知识框架，清晰呈现“平行四边形→特殊平行四边形”的演变逻辑，用定义、性质、判定的分层罗列突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础判定添加条件到综合折叠旋转问题，如折叠矩形求线段长、旋转正方形证全等，培养推理能力与空间观念，基础通关、重难突破、综合拓展练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学与学生自主复习提升。

专题01 特殊平行四边形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 基础性质与判定的直接应用 精准掌握矩形、菱形、正方形的定义，明确三者与平行四边形的从属关系，能清晰梳理“平行四边形→矩形/菱形→正方形”的演变逻辑。能结合性质与判定定理，完成相关证明题 基础考点，重点考查矩形的对角线性质、菱形的边长与对角线关系、正方形的边角特征，以及三类图形的判定条件辨析。 与计算相关的综合问题 能运用特殊平行四边形的性质，求解边长、角度、周长、面积等基础问题。 高频考点，涵盖边长、角度、周长、面积的计算，以及坐标系中坐标的求解。常结合勾股定理、全等三角形、三角形中位线定理等知识。 折叠与旋转相关问题 能解决含特殊平行四边形的综合题，熟练运用数形结合、转化、方程等数学思想，处理与折叠、旋转、动点相关的复杂问题 高频考点，折叠问题侧重折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合特殊平行四边形的性质求解线段或角度；旋转问题常以正方形为背景，利用旋转全等解决线段关系问题。 中点四边形问题 掌握三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等相关性质，能将其与特殊平行四边形的知识融合运用。 考查顺次连接特殊平行四边形各边中点得到的四边形形状判断，核心是利用三角形中位线定理，结合原图形对角线的关系推导中点四边形的性质。 多结论综合判断题 能根据边、角、对角线的特征，准确选择判定定理，并理解判定定理的推导依据。 通过图形分析，快速捕捉关键信息，建立图形与性质、判定之间的关联。 难点，通常作为选择题或填空题的压轴题，给出多个关于特殊平行四边形的结论，要求判断正确结论的个数。这类题目综合性强，需要逐一分析每个结论，结合性质、判定及辅助线方法进行推理。 知识点01菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质： （1）具有平行四边形的所有性质； （2）四条边都相等； （3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 3.菱形的判定： （1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.A （2）一组邻边相等的平行四边形是菱形. （3）四条边相等的四边形是菱形. 4.菱形的面积公式：S=对角线乘积的一半. 知识点02矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质： （1）矩形具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； 【推论】 （1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半. 矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点03 正方形 1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2.正方形的性质： （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等. （3）正方形对边平行且相等. （4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； （5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 3.正方形的判定： 1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角； 2）矩形+一组邻边相等； 3）矩形+对角线互相垂直； 4）菱形+一个角是直角； 5）菱形+对角线相等. 题型一 添一个条件使四边形是菱形 【典例1-1】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 【变式1-1】（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）如图，要使成为菱形，则需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 题型二 利用菱形的性质与判定计算 【典例2-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形中，于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在菱形中，若对角线，，则菱形的面积为（   ） A．10 B．24 C．40 D．48 【变式2-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【变式2-3】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ． 题型三 利用菱形的性质证明 【典例3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在菱形中，E、F分别是和的中点，连接、．求证：． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且．求证：． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：． 题型四 证明四边形是菱形 【典例4】（24-25九年级上·四川成都·期末）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点O，过点B作交于点E，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，D是边的中点，M，N分别在及其延长线上，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？判断并说明理由． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）已知四边形中，．连接，过点C作的垂线交于点E，连接DE． (1)如图1，若，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，设，相交于点F，垂直平分线段．求的大小． 题型五 添一个条件使四边形是矩形 【典例5】（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件 ，使为矩形． 题型六 利用矩形的性质与判定计算 【典例6】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图所示，在矩形中，对角线、相交于点O，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在梯形中，，，，，，为中点，交于点，求的长． 题型七 利用矩形的性质证明 【典例7】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，矩形中，将绕点A顺时针旋转到位置，点F落在边上，过D作于E．求证：． 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 【变式7-2】（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图所示，四边形是矩形，点是边上的中点．求证：； 题型八 证明四边形是矩形 【典例8】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，为边的中点，以，为邻边作，连接，，求证：四边形是矩形． 【变式8-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是矩形； (2)当，，时，求四边形的周长． 【变式8-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形为平行四边形，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，是上一点，且，求的长． 题型九 添一个条件使四边形是正方形 【典例9】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（22-23九年级上·福建漳州·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 题型十 利用正方形的性质与判定计算 【典例10】（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，是正方形的对角线，E，F，O，G分别是，，，的中点．若，则的长为 ． 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 题型十一 利用正方形的性质证明 【典例11】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在正方形中，点M，N分别是边，上的点，且，线段，相交于点E． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中所作图形，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式11-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形是正方形，是边上任意一点，于点，且交于点． (1)求证：； (2)连接，，探究线段与的关系并证明． 题型十二 证明四边形是正方形 【典例12】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长．（用含的代数式表示） 【变式12】（22-23九年级上·全国·期末）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)求的值； (3)若F恰为的中点，求正方形的面积． 题型十三 中点四边形 【典例13】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 【变式13-1】（22-23九年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知点分别是四边形的边的中点，顺次连接得到四边形，我们把四边形叫做四边形的“中点四边形”．若四边形是菱形，则它的“中点四边形”一定是（    ）    A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式13-2】（22-23九年级上·山西太原·期末）如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形． 题型十四 折叠问题 【典例14-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处．设，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【典例14-2】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在矩形纸片中，，，把纸片沿对角线向上折叠，顶点落在处，交于点，连接分别交于点，交于点，则 ． 【变式14-2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为 ． 【变式14-3】（24-25九年级上·广东珠海·期末）综合探究 操作一：折叠正方形纸片，使顶点落在边上点处，得到折痕，把纸片展平（如图1）； 操作二：折叠正方形纸片，使顶点也落在边上的点处，得到折痕，与交于点，连接（如图2）． (1)根据以上操作，直接写出图2中与线段相等的两条线段：______； (2)探究发现：把上题图中的纸片展平，得到图，通过观察发现无论点在线段上任何位置，线段与线段始终相等，请你直接用第一问发现的结论写出完整的证明过程； (3)拓展应用：已知正方形纸片的边长为，在以上探究过程中当点到的距离是时，求线段的长． 题型十五 旋转问题 【典例15-1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 【典例15-2】（22-23九年级上·湖北襄阳·期末）如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为 ． 【变式15-1】（24-25九年级上·重庆忠县·期末）如图，已知点的坐标为，，点在轴的正半轴上，边长为的正方形绕点旋转，当、、三点共线时，（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式15-2】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，把菱形绕点O逆时针旋转，使点A落到y轴上，则旋转后点B的对应点的坐标为（   ）    A． B． C．或 D．或 【变式15-3】（23-24九年级上·广东揭阳·期末）【综合与探究】 问题情境：综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点在x轴上，点在y轴上．操作发现：以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）如图①，当点D落在边上时，求D点的坐标； 【继续探究】 （2）如图②，当点D落在线段上时，与交于点H， ①求证：； ②求点H的坐标． 【拓展探究】 （3）如图①，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N，使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十六 最值问题 【典例16-1】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为 ．    【典例16-2】（22-23九年级上·陕西西安·期末）如图，，是菱形的边，的中点，是菱形的对角线上的动点，若，，则的最小值是 ． 【变式16-1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为4，点是边上的动点，连结，作的中垂线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【变式16-2】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 【变式16-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 题型十七 多结论综合判断题 【典例17-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且满足．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例17-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），，是旋转得到的．下列四个结论：①当时，则；②；③若如图位置测得，，则的面积为40；④的周长不变，其中正确结论的序号是 ． 【变式17-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，已知四边形为正方形．为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（   ） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式17-2】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，正方形的边长为2，点为边上一点，连接，交于点，且，平分，交于点，交于点，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的有 （填写正确结论的序号）． 【变式17-3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是边长为的正方形，点E在边上，，作，分别交，于点G、F，M，N分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F、N、C共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 3．（22-23九年级上·山西晋中·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 4．（23-24九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东清远·期末）矩形各边中点构成的四边形是 ． 6.（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为 ．    7.（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为的菱形的位置如图所示，若，求点的坐标． 8．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，判断的形状并说明理由． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（  ）    A． B． C．7 D． 2.（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为 ． 3.（24-25九年级上·新疆哈密·期末）如图，在正方形中，，将线段绕点E顺时针旋转至线段，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为 ． 4．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 5．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在矩形中，点F是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠使点C落到点处，连接，在上任取一点G，连接，，若，，则周长的最小值为 ． 6.（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 7．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，在菱形中，，． (1)实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高：（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（22-23九年级上·广东清远·期末）如图，四边形与四边形均是正方形，连接、，相交与点M．下列结论：①；②；③；④连接，平分，正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（22-23九年级上·陕西西安·期末）在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和，连接和与的延长线交于点M，下列结论：①；②；③；④是的中线，其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转（），点，的对应点分别为点，，直线与交于点，当与的一边平行时，的长为______． 4.（25-26九年级上·全国·期末）在矩形中，，，为矩形一边的中点，的平分线交边于点，则的长为 ． 5．（25-26九年级上·全国·期末）【操作】如图①．矩形纸片中，．点P在上，点Q在上，，将纸片沿翻折，使顶点C落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A落在直线上，对应点为．折痕为．猜想、之间的位置关系为 ； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为（P在上，Q在上），使顶点C落在矩形内，点C的对应点为，的延长线交边于点M，再将纸片的另一部分翻折，使点A的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当时，直接写出的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01特殊平行四边形（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 基础性质与判定 精准掌握矩形、菱形、正方形的定义， 基础考点，重点考查矩形的对角线性质、菱形 的直接应用 明确三者与平行四边形的从属关系，能 的边长与对角线关系、正方形的边角特征，以 清晰梳理“平行四边形→矩形菱形→ 及三类图形的判定条件辨析。 正方形”的演变逻辑。能结合性质与判 定定理，完成相关证明题 与计算相关的综 能运用特殊平行四边形的性质，求解边 高频考点，涵盖边长、角度、周长、面积的计 合问题 长、角度、周长、面积等基础问题。 算，以及坐标系中坐标的求解。常结合勾股定 理、全等三角形、三角形中位线定理等知识。 折叠与旋转相关 能解决含特殊平行四边形的综合题，熟 高频考点，折叠问题侧重折叠前后对应边、对 问题 练运用数形结合、转化、方程等数学思 应角相等的性质，结合特殊平行四边形的性质 想，处理与折叠、旋转、动点相关的复 求解线段或角度；旋转问题常以正方形为背景， 杂问题 利用旋转全等解决线段关系问题。 中点四边形问题 掌握三角形中位线定理、直角三角形斜 考查顺次连接特殊平行四边形各边中点得到的 边上的中线等于斜边的一半等相关性 四边形形状判断，核心是利用三角形中位线定 质，能将其与特殊平行四边形的知识融 理，结合原图形对角线的关系推导中点四边形 合运用。 的性质。 多结论综合判断 能根据边、角、对角线的特征，准确选 难点，通常作为选择题或填空题的压轴题，给 题 择判定定理，并理解判定定理的推导依 出多个关于特殊平行四边形的结论，要求判断 据。 正确结论的个数。这类题目综合性强，需要逐 通过图形分析，快速捕捉关键信息，建 一分析每个结论，结合性质、判定及辅助线方 立图形与性质、判定之间的关联。 法进行推理。 记·必备知识 局知识点01菱形 1/88 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质： (1)具有平行四边形的所有性质； (2)四条边都相等； (3)两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角. 3.菱形的判定： (1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (2)一组邻边相等的平行四边形是菱形. (3)四条边相等的四边形是菱形 4.菱形的面积公式：S=对角线乘积的一半. 局知识点2矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2.矩形的性质： (1)矩形具有平行四边形的所有性质； (2)矩形的四个角都是直角： (3)对角线互相平分且相等； 【推论】 (1)在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。 (2)直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。 矩形的判定： (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形： (2)对角线相等的平行四边形是矩形： (3)有三个角是直角的四边形是矩形. ®知识点03正方形 1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2.正方形的性质： (1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。 (2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 2/88 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)正方形对边平行且相等 (4)正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角： (5)正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形： (6)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 3.正方形的判定： 1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角： 2)矩形+一组邻边相等： 3)矩形+对角线互相垂直； 4)菱形+一个角是直角： 5)菱形+对角线相等。 破·重难题型 立题型一 添一个条件使四边形是菱形 【典例1-1】(24-25九年级上宁夏中卫，期末)如图，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是 () A.AD=AB B.AC平分∠BAD C.0A=0C,0B=0D D.AC⊥BD 【答案】C 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， :.A、当AD=AB时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得口ABCD是菱形，故本选项不符合题 意； B、当AC平分∠BAD时，LDAC=LBAC, :AD∥BC, ·∠DAC=∠BCA, ∴.∠BAC=∠BCA, ∴：AB=BC,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得口ABCD是菱形，故本选项不符合题意； 3/88 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C、当OA=OC,OB=OD时，不能证明。ABCD是菱形，故本选项符合题意； D、当AC⊥BD时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得口ABCD是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C. 【变式1-1】(23-24九年级上贵州六盘水·期末)如图，要使。ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是() A.AC=AD B.∠ABC=90 C.AC⊥BD D.AC=BD 【答案】c 【详解】解：对角线垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形， 要使。ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是AC⊥BD,其余选项的条件均不能使。ABCD为菱形，不符 合题意： 故选：C 【变式1-2】(24-25九年级上·四川达州·期末)如图，在。ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，再添加 一个条件，可推出口ABCD是菱形，则这个条件可以是() A D A.AC⊥BD B.AC=BD C.AB=CD D.AB⊥BD 【答案】A 【详解】解：：口ABCD, :当AC⊥BD时，口ABCD是菱形；故选项A符合题意； B,C,D三个选项都不能推出口ABCD是菱形： 故选A. 题型二利用菱形的性质与判定计算 【典例2-1】(24-25九年级上陕西宝鸡·期末)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F ,若∠B=40°，则∠EAF的度数为() 4/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.30° B.40° C.50° D.60 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD是菱形，∠B=40°， AD∥BC,∠D=∠B=40°， :∠BAD=180°-∠B=140°， AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F, ·LBAE=∠DAF=90°-40°=50°， ·∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=140°-50°-50°=40°， 故选：B. 【典例2-2】(24-25九年级上·海南省直辖县级单位期末)如图，在。ABCD中，以点D为圆心，CD的长 为半径作弧交AD于点G,分别以点C,G为圆心，大于】CG的长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线 DE交BC于点F,交CG于点0，若AB=13,GC=24,则DF的长为· G 【答案】10 【详解】解：连接GF, D 由作图知：CD=GD,CF=GF,DE平分∠CDG, B .ZADE ZCDE, :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,CD=AB=13, ∠ADE=∠CFD, 5/88 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠CDF=∠CFD, .CD=CF=13, CD=DG, CF =DG, .四边形CDGF是平行四边形， 四边形CDGF是菱形， .DF=20D,C0=CG=×24=12,DF1CG, 0D=VCD2-0C2=V132-122=5, DF=20D=10, 故答案为：10. 【变式2-1】(24-25九年级上贵州毕节期末)如图，在菱形ABCD中，若对角线AC=8,BD=6,则菱 形ABCD的面积为() D B A.10 B.24 C.40 D.48 【答案】B 【详解】解：菱形48CD的面积=4C-8D-×8x6=24。 、) 故选：B 【变式2-2】(23-24九年级上·四川成都期末)如图，在ABC中，AB=AC,分别以C、B为圆心，AB的 长为半径画弧，两弧交于点D,连接BD、AD、CD.若∠ABD=I30°，则∠CDA=. B 【答案】25 【详解】解：根据作图，得到AB=AC=BD=CD, 6/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故四边形ABCD是菱形， BD W AC ZCDA-7ZBDC= ∠BAC, 2 .∠ABD+∠BAC=180°， :∠ABD=130°， ∠BAC=50, ∠CDA=∠BAC=25 故答案为：25. 【变式2-3】（24-25九年级上山东青岛期末)如图，四边形ABCD是矩形，分别以点A和点C为圆心， 大于4C长为半径作弧，两弧交于点M,N作直线MN分别交4D,8C于点E,,连接4C,CE,若 CE=4,∠ACB=30°，则四边形AECF的面积为 B 【答案】83 【详解】解：设EF与AC交于点O, 由作图过程可知，直线EF为线段AC的垂直平分线， ∠COF=90°，0A=0C,AE=CE,AF=CF. :四边形ABCD为矩形， :AD∥BC, ∠0CF=∠OAE,∠OFC=∠OEA, 7/88 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :△AOE≌△COF(AAS), AE=CF :AE CE AF =CF, :四边形AECF为菱形， :CF=CE=4,OE=OF, 在Rt△C0F中，∠OCF=30°，CF=4, oF-cF20cF5 AC=20C=45,EF=20F=4, 因边形4BCF的面积为4C-BF-分45x4=85. 故答案为：8√3. 它题型三 利用菱形的性质证明 【典例3】(24-25九年级上江苏南通期末)如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD和AB的中点，连接 BE、DF.求证：BE=DF. 【详解】证明：：四边形ABCD是菱形， :AB=AD, :E、F分别是AD和AB的中点， 六F=AB,AE=)AD, 2 :AF AE, 又：∠FAD=∠EAB, △AFD≌△AEB(SAS), :BE DF 【变式3-1】(24-25九年级上陕西西安期末)如图，四边形ABCD是菱形，点E,F分别在边BC,AD上， 且CE=AF,求证：∠BAE=∠DCF. 8/88 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】证明：四边形ABCD是菱形， .∠BAD=∠BCD,AD∥BC, 又CE=AF, :四边形AECF是平行四边形， ∠EAF=∠ECF, LBAD-∠EAF=LBCD-∠ECF,即LBAE=LDCF. 【变式3-2】(24-25九年级上陕西榆林期末)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边CD,BC上的点， 且DE=BF,连接BE,DF交于点G.求证：BE=DF. 【详解】证明：：四边形ABCD是菱形， .BC DC, DE BF, DC-DE=BC-BF,即CE=CF, 在△BCE和aDCF中， BC=DC ∠C=∠C, CE=CF .BCE≌DCF(SAS), .BE DF. 题型四证明四边形是菱形 【典例4】(24-25九年级上四川成都期末)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，现将ABC沿AC翻折得到 △ADC,连接BD交AC于点O,过点B作BEI‖CD交AC于点E,连接DE· 9/88 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D (1)求证：四边形BEDC为菱形： (2)若CE=2,AE=3,求四边形BEDC的周长. 【详解】(1)证明：：将ABC沿AC翻折得到△ADC,连接BD交C于点O, BC=DC,线段AC垂直平分BD,即BD⊥CE,OB=OD, BE CD, ∴∠BEO=∠DC0, :∠B0E=∠DOC, ∴△BOE2ADOC(AAS), ∴0E=0C, .四边形BEDC是平行四边形， :BD⊥CE, :.四边形BEDC是菱形： (2)解：：CE=2,AE=3, AC=5, :四边形BEDC是菱形， :E0=C0=CE=L∠B0A=90°， 六A0=AE+0E=3+1=4, :∠ABC=90°， :由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 在Rt△AB0中，由勾股定理可得：AB2=BO2+AO2, 在RtACB0中，由勾股定理可得：BC2=BO2+CO2, .BO2+C02+B02+AO2=AC2, B02+12+B02+42=52, 解得B0=2, 10/88