专题02 有理数及其运算（期末复习讲义，知识必备+9大重难题型+过关验收）七年级数学上学期新教材北师大版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理有理数及其运算的核心考点、复习目标与考情规律，以“知识点模块+题型分类”框架呈现知识脉络，将正负数、数轴、运算等内容按“概念-法则-应用”递进组织，明确绝对值化简、运算顺序等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与实际问题结合，题型涵盖有理数分类、数轴表示等基础题及幻圆游戏、外卖送餐计费等创新题，培养运算能力与应用意识。通过易错点标注和“基础-重难”双通关练习，基础生可夯实法则应用，优秀生能突破综合运算，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习提升。

专题02 有理数及其运算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数、数轴、相反数与绝对值 能准确区分正负数，掌握数轴三要素并表示有理数，判断任意数的相反数，进行绝对值计算及有理数大小比较 基础必考点，常以选择、填空题形式考查；易错点是绝对值化简（含负数、字母）、数轴上数的位置判断错误 有理数的加减运算 能熟练运用有理数加减法则及运算律进行计算，解决实际情境中的加减应用问题 高频基础考点，小题、大题均有涉及；命题趋势是融入实际问题考查运算能力 有理数的乘除运算 能灵活运用乘除法则及运算律计算，准确求非零整数、分数、小数、带分数的倒数，正确处理含0的乘除运算 高频考点，多在小题和混合运算中出现；命题趋势是结合乘法分配律考查简便运算 有理数的乘方运算 能正确理解乘方的意义，掌握乘方符号法则，准确进行乘方计算 基础必考点，以选择、填空题为主；易错点是混淆与的符号、0的正整数次幂理解错误 有理数混合运算 能规范按照“先乘方、再乘除、最后加减”及“括号优先”的顺序计算，熟练处理含多重括号的运算 重点大题考点，分值占比较高；易错点是运算顺序颠倒、乘方符号错误、括号内运算遗漏；命题趋势是综合多种运算（含加减乘除乘方） 科学记数法与近似数 能熟练将大于10的数表示为（1≤a＜10，n为正整数）的形式，还原科学记数法表示的数，用四舍五入法取近似数并判断有效数字 基础必考点，常出选择、填空题；易错点是a的取值范围错误、n的数值计算错误、近似数精确位数判断偏差； 知识点01 有理数 1．正数：大于0的数，示例：4，2%，等； 2．负数：在正数前面加“－”(负)的数，(即小于0的数)，示例：-4，-2%，-等； 3．正整数、0、负整数统称整数； 正分数和负分数统称分数； 整数和分数统称有理数。 4．数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求： (1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； (2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向； (3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法表示－1，－2，－3，… 5．相反数：像－7和7，4和－4这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 (1)通常a与－a互为相反数； (2)a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； (3)特别注意，0的相反数是0。 6．绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作：|a|． (1)如果，那么，示例：：|4|＝4，|π－3|＝π－3； (2)如果，那么； (3)如果，那么，示例：： 7．实数的大小比较：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小(示例：因，所以)． 知识点02 有理数的运算 1．有理数加法法则：同号两数相加：取相同符号，再将绝对值相加。 异号两数相加（绝对值不相等）：取绝对值较大加数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值。 互为相反数相加：和为0。 一个数与0相加：仍得这个数。 示例：①(+3)+(+5)=+(3+5)=8（同号相加）；②(-4)+(+7)=+(7-4)=3（异号相加，正数绝对值大）；③(-6)+6=0（互为相反数相加）。 2．加法运算律：①交换律：a+b=b+a；②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；③有理数减法法则 核心：减去一个数，等于加上这个数的相反数（a-b=a+(-b)）。 步骤：①减号变加号；②减数变相反数；③按加法法则计算。 示例：(-8)-(+5)=(-8)+(-5)=-13；7-(-3)=7+3=10。 3．有理数乘法法则：两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数与0相乘：积为0。 示例：①(+4)×(+6)=24（同号得正）；②(-3)×(-5)=15（同号得正）；③(-2)×7=-14（异号得负）；④0×(-9)=0。 4．倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。 求法：①整数a（a≠0）的倒数为；②分数（m≠0，n≠0）的倒数为；③小数先化分数再求倒数；④带分数先化假分数再求倒数。 示例：①5的倒数是；②0.25（即）的倒数是4；③（即）的倒数是。 5．乘法运算律：①交换律：ab=ba；②结合律：(ab)c=a(bc)；③分配律：a(b+c)=ab+ac（重点考点） 示例：(-2)×(3+5)=(-2)×3+(-2)×5=-6-10=-16。 6．有理数除法法则 法则一（变除为乘）：a÷b=a×（b≠0）。 法则二（直接除）：同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以非0数得0。 示例：①12÷(-3)=-4（异号得负，绝对值相除）；②(-18)÷(-)=(-18)×(-2)=36（变除为乘）；③0÷5=0。 6．乘方的意义与相关概念 定义：求n个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂。 记法：n个a相乘记作，其中a是底数，n是指数。 读法：读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂为负，偶次幂为正；②正数的任何次幂为正；③0的任何正整数次幂为0。 示例：①（负数奇次幂为负）；②（负数偶次幂为正）；③（正数次幂为正）；④。 7．有理数混合运算顺序 （1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算从左到右进行；（3）有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）。 示例：（先乘方，再乘除，最后加减）。 知识点03 科学记数法与近似数 1．科学记数法 定义：把大于10的数表示成的形式（其中1≤a＜10，n是正整数）。 a和n的确定：①a是将原数小数点移到左起第1个非0数字后得到的数；②n是原数整数位数减1（或小数点移动的位数）。 示例：①567000=5.67×（原数整数位数6，n=6-1=5）；②3.8万=38000=3.8×（先化原数再表示）。 科学记数法的还原 方法：将a的小数点向右移动n位，去掉；若a的小数位数不足，补0补齐。 示例：①4.05×=4050000（小数点右移6位）；②2.3×=2300（小数点右移3位）。 2．近似数 定义：与实际数值接近但有差异的数，常用于测量、估算场景。 取近似值的常用方法：四舍五入法（看要精确到的位数的下一位，满5进1，不满5舍去）。 有效数字：从左边第一个非0数字起，到精确到的位数止，所有数字都是有效数字。 示例：①将3.14159精确到百分位（小数点后第二位）：3.14（千分位1＜5，舍去）；②将29560精确到千位：3.0×（有效数字为3、0）。 题型一 有理数的分类 1．在，，，0，中，既是负数又是整数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 3．在0，，5，，0.161161116…，，2024中，正整数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．6个 D．7个 4．在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．把下列各数填入相应的大括号内： ，0，，，，， 正数集合{                  }； 整数集合{                  }； 分数集合{                  }； 非负有理数集合{            }． 题型二 用数轴上的点表示有理数 6．如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 7．已知都不为0，用数轴上的点表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，数轴上表示的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．用数轴表示大于而小于的整数个数共有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 10．如图，数轴上有，两点，表示的数分别为，，则下列各数在数轴上对应的点，落在线段上的是（　　） A． B． C． D． 题型三 绝对值、相反数化简 11．若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 12．若 与 互为相反数，则（ ）． A． B． C． D． 13．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 14．下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 15．已知，则 ， ． 题型四 有理数比较大小 16．数轴上表示数，的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．比较大小： ， （填“>”“=”或“<”） 18．比较大小： （填“＜”、“＞”或“＝”） 19．四个数、、、，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 20．若，则a、b、c中最大的是 ，最小的是 ． 题型五 有理数加减混合运算 21．小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第 个运算符号写错了． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则 ． 24．计算： (1) (2) 25．某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小明：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A＋B ＝C 任务： (1)小亮的解题过程中，处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小亮的方法计算． 题型六 有理数乘除混合运算 26．下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 27．计算：．阅读下面的解答过程并完成相应任务： 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)上面解题过程中，第___________步开始就出现了错误，错误的原因是___________； (2)把正确的解题过程写出来． 28．计算： (1)； (2) 29．计算： (1)； (2)． 30．阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） =3．（第三步） (1)上面解题过程从第 步开始错误； (2)请你写出正确的解答过程． 题型七 有理数的乘方运算 31．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为 ，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 32．两位同学玩猜数游戏，规则如下：（1）第一位同学默想一个的整数并记住；（2）第二位同学对第一位同学默想的数提出一个猜想，第一位同学比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明第二位同学猜中；（3）若第二位同学没有猜中，则根据第一位同学的回答，调整猜想；（4）重复步骤（2）（3），直到猜中．自由活动课上，小刚和小明玩这个游戏，其中小明按要求选好一个数后，小刚至多猜（    ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 33．定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 34．在一次综合实践活动课上，同学们将一个边长为1的正方形纸片进行分割，如图所示，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，依次类推，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 35．规定三角形框“”表示，方框“”表示． 例如：，． (1)计算：_________，_________． (2)现有一个算式： ①若■表示3，求这个算式的值； ②如果原算式的值为，直接写出表示的正整数． 题型八 有理数的实际应用 36．我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 37．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况：规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单）                                    (1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪100元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴3元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴6元；超过60单的部分，每单补贴9元，求该外卖小哥这周四工资收入多少元？ 38．岳阳楼区某中学积极倡导阳光体育运动，为提高中学生身体素质，举行了排球垫球比赛．如表为七年级某班50人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球30个． 垫球个数与标准数量的差值 0 8 10 15 人数 5 16 11 5 9 4 (1)求这个班50人平均每人垫球多少个？ (2)规定垫球达到标准数量记0分，规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；规定垫球未达到标准数量，每少垫1个，扣1分，求这个班垫球总共获得多少分？ 39．近五年来，我国新能源自行车的普及率大幅提升，小李家新换了一辆新能源电动自行车，他连续5天记录了每天骑行的路程（如下表），以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 路程（） (1)这5天里路程最多的一天比最少的一天多__________； (2)请求出小李家的新能源电动自行车这五天平均每天骑行了多少千米？ (3)已知普通自行车每骑行需消耗体力成本（含维护等）约15元，而新能源电动自行车每骑行耗电量为8度，每度电为0.5元，请估计小李家换成新能源电动自行车后这5天的骑行成本比原来节省多少元？ 40．为倡导节约用电，某地区实行阶梯式居民电费收费标准，具体收费规则如下：每月用电量不超过千瓦时（含千瓦时），按元千瓦时收费； 超过千瓦时但不超过千瓦时（含千瓦时）的部分，按元千瓦时收费； 超过千瓦时的部分，按元千瓦时收费. （注：电费计算时，不足千瓦时按千瓦时计，例如用电量千瓦时，按千瓦时收费） 请根据以上规则，解决下列问题： (1)若居民甲月份用电量为千瓦时，计算甲该月应缴的电费； (2)若居民乙月份缴电费元，通过计算确定乙该月的实际用电量范围（结果取整数）． 题型九 科学记数法与近似数 41．年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 42．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 43．数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是 ． 45．已知， ， ． (1)猜想：________，________（m，n均为正整数）． (2)运用上述猜想计算下列式子： ①； ②． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在下列各数中：．其中负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若a的相反数是2026，则a的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 3．如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为（    ） A．0 B． C． D．3 4．如图，是某种卷筒纸（图1所示）的截面示意图，其外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度为（   ）． A． B． C． D． 5．若（a、b、c都大于0），下面关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．比较大小： （填“”“ ”或“”）； （填“”“ ”或“”）． 7．对于任意的有理数a、b，定义一种新运算：，例如，则的值为 ． 8．在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是 ． 三、解答题 9．把下列各数填入相应的括号内：、、、0、、、1、、π，，． 整数集合{                 }； 负分数集合{               }； 非正整数集合{              } 10．已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 11．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送___________单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单但不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元．求该外卖小哥星期四当天的工资收入是多少元？ 12．如图，把四个数按顺序依次填入四个圆圈中．第一次运算：将相邻两个圆圈中的数分别求乘积，将得到的积分别填入三个正方形中；第二次运算：将相邻的两个正方形中的数分别求和，将得到的和分别填入两个三角形中；第三次运算：求两个三角形中的数的平均数，将最终平均数填入长方形中． (1)若填入的四个数分别为，，，，求最终的平均数； (2)若填入的四个数分别为、、、，若输出的最终平均数为，求的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．题目：“在数轴上，把原点记作，表示数的点记作，对于数轴上任意一点（不与点重合），将线段与线段的长度之比定义为点的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点，，，求线段的长．”甲答：，乙答：，丙答：，下列判断正确的是（   ） A．甲、乙合在一起才正确 B．乙、丙合在一起才正确 C．甲、丙合在一起才正确 D．三人合在一起才正确 2．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，第四次将点向右移动12个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到达点．如果点与原点的距离不小于20，那么n的最小值是（    ） A．12 B．13 C．26 D．27 3．某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：（）一次购买金额不超过万元，不予优惠；（）一次购买金额超过万元，但不超过万元，九折优惠；（）一次购买超过万元，其中万元的部分享受九折优惠，超过万元的部分八折优惠．某公司分两次在该供应商处购买原料，分别付款元和元．如果该公司把两次购买的原料改为一次购买的话，那么该公司一共可少付款 ． 4．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则m为 5．小明有下列5张写着不同数的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是 ． (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，对卡片上的数用学过的“，，，”进行运算（每张卡片上的数必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为．请你任选4张卡片，写出1个满足条件的运算式． 6．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 3 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数及其运算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正负数、数轴、相反数与绝对值 能准确区分正负数，掌握数轴三要素并表示有理数，判断任意数的相反数，进行绝对值计算及有理数大小比较 基础必考点，常以选择、填空题形式考查；易错点是绝对值化简（含负数、字母）、数轴上数的位置判断错误 有理数的加减运算 能熟练运用有理数加减法则及运算律进行计算，解决实际情境中的加减应用问题 高频基础考点，小题、大题均有涉及；命题趋势是融入实际问题考查运算能力 有理数的乘除运算 能灵活运用乘除法则及运算律计算，准确求非零整数、分数、小数、带分数的倒数，正确处理含0的乘除运算 高频考点，多在小题和混合运算中出现；命题趋势是结合乘法分配律考查简便运算 有理数的乘方运算 能正确理解乘方的意义，掌握乘方符号法则，准确进行乘方计算 基础必考点，以选择、填空题为主；易错点是混淆与的符号、0的正整数次幂理解错误 有理数混合运算 能规范按照“先乘方、再乘除、最后加减”及“括号优先”的顺序计算，熟练处理含多重括号的运算 重点大题考点，分值占比较高；易错点是运算顺序颠倒、乘方符号错误、括号内运算遗漏；命题趋势是综合多种运算（含加减乘除乘方） 科学记数法与近似数 能熟练将大于10的数表示为（1≤a＜10，n为正整数）的形式，还原科学记数法表示的数，用四舍五入法取近似数并判断有效数字 基础必考点，常出选择、填空题；易错点是a的取值范围错误、n的数值计算错误、近似数精确位数判断偏差； 知识点01 有理数 1．正数：大于0的数，示例：4，2%，等； 2．负数：在正数前面加“－”(负)的数，(即小于0的数)，示例：-4，-2%，-等； 3．正整数、0、负整数统称整数； 正分数和负分数统称分数； 整数和分数统称有理数。 4．数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求： (1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； (2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向； (3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法表示－1，－2，－3，… 5．相反数：像－7和7，4和－4这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 (1)通常a与－a互为相反数； (2)a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； (3)特别注意，0的相反数是0。 6．绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作：|a|． (1)如果，那么，示例：：|4|＝4，|π－3|＝π－3； (2)如果，那么； (3)如果，那么，示例：： 7．实数的大小比较：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小(示例：因，所以)． 知识点02 有理数的运算 1．有理数加法法则：同号两数相加：取相同符号，再将绝对值相加。 异号两数相加（绝对值不相等）：取绝对值较大加数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值。 互为相反数相加：和为0。 一个数与0相加：仍得这个数。 示例：①(+3)+(+5)=+(3+5)=8（同号相加）；②(-4)+(+7)=+(7-4)=3（异号相加，正数绝对值大）；③(-6)+6=0（互为相反数相加）。 2．加法运算律：①交换律：a+b=b+a；②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；③有理数减法法则 核心：减去一个数，等于加上这个数的相反数（a-b=a+(-b)）。 步骤：①减号变加号；②减数变相反数；③按加法法则计算。 示例：(-8)-(+5)=(-8)+(-5)=-13；7-(-3)=7+3=10。 3．有理数乘法法则：两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数与0相乘：积为0。 示例：①(+4)×(+6)=24（同号得正）；②(-3)×(-5)=15（同号得正）；③(-2)×7=-14（异号得负）；④0×(-9)=0。 4．倒数 定义：乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。 求法：①整数a（a≠0）的倒数为；②分数（m≠0，n≠0）的倒数为；③小数先化分数再求倒数；④带分数先化假分数再求倒数。 示例：①5的倒数是；②0.25（即）的倒数是4；③（即）的倒数是。 5．乘法运算律：①交换律：ab=ba；②结合律：(ab)c=a(bc)；③分配律：a(b+c)=ab+ac（重点考点） 示例：(-2)×(3+5)=(-2)×3+(-2)×5=-6-10=-16。 6．有理数除法法则 法则一（变除为乘）：a÷b=a×（b≠0）。 法则二（直接除）：同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以非0数得0。 示例：①12÷(-3)=-4（异号得负，绝对值相除）；②(-18)÷(-)=(-18)×(-2)=36（变除为乘）；③0÷5=0。 6．乘方的意义与相关概念 定义：求n个相同因数的积的运算叫乘方，结果叫幂。 记法：n个a相乘记作，其中a是底数，n是指数。 读法：读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂为负，偶次幂为正；②正数的任何次幂为正；③0的任何正整数次幂为0。 示例：①（负数奇次幂为负）；②（负数偶次幂为正）；③（正数次幂为正）；④。 7．有理数混合运算顺序 （1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算从左到右进行；（3）有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）。 示例：（先乘方，再乘除，最后加减）。 知识点03 科学记数法与近似数 1．科学记数法 定义：把大于10的数表示成的形式（其中1≤a＜10，n是正整数）。 a和n的确定：①a是将原数小数点移到左起第1个非0数字后得到的数；②n是原数整数位数减1（或小数点移动的位数）。 示例：①567000=5.67×（原数整数位数6，n=6-1=5）；②3.8万=38000=3.8×（先化原数再表示）。 科学记数法的还原 方法：将a的小数点向右移动n位，去掉；若a的小数位数不足，补0补齐。 示例：①4.05×=4050000（小数点右移6位）；②2.3×=2300（小数点右移3位）。 2．近似数 定义：与实际数值接近但有差异的数，常用于测量、估算场景。 取近似值的常用方法：四舍五入法（看要精确到的位数的下一位，满5进1，不满5舍去）。 有效数字：从左边第一个非0数字起，到精确到的位数止，所有数字都是有效数字。 示例：①将3.14159精确到百分位（小数点后第二位）：3.14（千分位1＜5，舍去）；②将29560精确到千位：3.0×（有效数字为3、0）。 题型一 有理数的分类 1．在，，，0，中，既是负数又是整数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：依题意，， 则既是负数又是整数，既是负数又是整数；不是整数，0不是负数，不是负数， ∴既是负数又是整数的有2个． 故选：B 2．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合： 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 【答案】正数集合：，，，，；负数集合：，，，，；整数集合：，，，，，；分数集合：，，，，；自然数集合：6，0，， 【详解】解：正数集合： ，，，，，； 负数集合： ，，，，，； 整数集合： ，，，，，，； 分数集合： ，，，，，； 自然数集合：6，0，，，． 3．在0，，5，，0.161161116…，，2024中，正整数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．6个 D．7个 【答案】A 【详解】解：∵0不是正数，∴不是正整数； ∵是负数，∴不是正整数； ∵5是正数且是整数，∴是正整数； ∵是分数，不是整数，∴不是正整数； ∵0.161161116…是正数，但不是整数，∴不是正整数； ∵是正数但不是整数，∴不是正整数； ∵2024是正数且整数，∴是正整数； ∴正整数有5和2024，共2个； 故选A． 4．在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】解：∵ ， ， ， ， （2025为奇数）， 而，，既非正也非负， ∴ 负数有5个， 故选：C． 5．把下列各数填入相应的大括号内： ，0，，，，， 正数集合{                  }； 整数集合{                  }； 分数集合{                  }； 非负有理数集合{            }． 【答案】；；； 【详解】解：正数集合 整数集合 分数集合 非负有理数集合 题型二 用数轴上的点表示有理数 6．如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是 ， ∴原点对应 的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：B． 7．已知都不为0，用数轴上的点表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵都不为0， ∴，且到原点的距离大于到原点的距离， ∴符合题意的只有选项C； 故选：C． 8．如图，数轴上表示的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】 【详解】解：的相反数是2． 故选：D． 9．用数轴表示大于而小于的整数个数共有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】 【详解】解：如图， 观察数轴可得：大于而小于的整数有：，共6个， 故选：C． 10．如图，数轴上有，两点，表示的数分别为，，则下列各数在数轴上对应的点，落在线段上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴线段上的点表示的数范围在之间，只有合理， 故选：． 题型三 绝对值、相反数化简 11．若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 12．若 与 互为相反数，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 13．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】 【详解】解：因为， ，， 所以． 故答案为：． 14．下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 15．已知，则 ， ． 【答案】 【详解】解： ， ，且 ， 且． ，， 解得，． 故答案为：，． 题型四 有理数比较大小 16．数轴上表示数，的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，， 即， 可知只有B正确． 故选：B． 17．比较大小： ， （填“>”“=”或“<”） 【答案】 < > 【详解】解：对于第一组： 比较 和 ， ， ； 由于 ， 所以， ； 对于第二组： 比较 和 ， ，， 由于 ， 所以 ． 故答案为：，． 18．比较大小： （填“＜”、“＞”或“＝”） 【答案】 【详解】解：，， ∵ ∴ 故答案为： 19．四个数、、、，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， 又， ∴， ∴最小的是， 故选：A． 20．若，则a、b、c中最大的是 ，最小的是 ． 【答案】 c a 【详解】解：∵ ∴，，， ∵， ∴， 即， ∴最大的是，最小的是， 故答案为：c，． 题型五 有理数加减混合运算 21．小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左往右数，第 个运算符号写错了． 【答案】22 【分析】 【详解】解： ， 结果算成了比小， 是奇数前面的“”错写成了“”， ， 写错的是23前面的符号，把“”错写成了“”， 原式从左往右数，第22个运算符号写错了， 故答案为：22． 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23．如图，小义设计了一个“幻圆”游戏，现在将，，，，，，，分别填入图中圆圈内，使横、竖以及内外两个圆上的个数字之和都相等，则 ． 【答案】 【详解】解：∵ 所有数的和为，横、竖及内外两个圆的和相等，且横、竖的和包含了所有数（内外圆的和也包含所有数），设内外两个圆的和为，则， ∴ ． ∵ 横线上的数为、、、，其和为， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 24．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】 【详解】（1）解： . （2）解： . 25．某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小明：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A＋B ＝C 任务： (1)小亮的解题过程中，处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小亮的方法计算． 【答案】(1)，， (2)4046 【分析】 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：，，． （2）解： ． 题型六 有理数乘除混合运算 26．下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 27．计算：．阅读下面的解答过程并完成相应任务： 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)上面解题过程中，第___________步开始就出现了错误，错误的原因是___________； (2)把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)二，运算顺序错误 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解： ， 解题过程中，第二步出错，没有按运算顺序进行运算，乘除是同级运算，应从左到右依次进行； 故答案为：二；运算顺序错误． （2）原式 28．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)21 【分析】 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 30．阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） =3．（第三步） (1)上面解题过程从第 步开始错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，上面解题过程从第二步开始错误，错误原因是没有按同级运算从左至右运算； 故答案为：二； （2）解：原式 ． 题型七 有理数的乘方运算 31．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为 ，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 【答案】C 【详解】解：图2表示的天数是， 故选：C． 32．两位同学玩猜数游戏，规则如下：（1）第一位同学默想一个的整数并记住；（2）第二位同学对第一位同学默想的数提出一个猜想，第一位同学比较这个数和自己心中所想数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则说明第二位同学猜中；（3）若第二位同学没有猜中，则根据第一位同学的回答，调整猜想；（4）重复步骤（2）（3），直到猜中．自由活动课上，小刚和小明玩这个游戏，其中小明按要求选好一个数后，小刚至多猜（    ）次可以一定猜出此数． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的应用，根据题意，每次猜测后范围可减半，设小刚猜次，只需使得即可，再根据有理数乘方的运算法则计算比较即可． 【详解】解：设小刚猜次， ∵总数为2025，每次猜测后范围可减半， ∴只需使得， ∵， ∴小刚至多猜11次可以一定猜出此数． 故选：C． 33．定义一种新运算符号“”，满足：，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 故选：D． 34．在一次综合实践活动课上，同学们将一个边长为1的正方形纸片进行分割，如图所示，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，依次类推，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：部分①的面积是原正方形纸片面积的一半，即为； 部分②的面积是部分①面积的一半，即为； 部分③的面积是部分②面积的一半，即为； …… 依次类推，阴影部分的面积为． 故选：B． 35．规定三角形框“”表示，方框“”表示． 例如：，． (1)计算：_________，_________． (2)现有一个算式： ①若■表示3，求这个算式的值； ②如果原算式的值为，直接写出表示的正整数． 【答案】(1)；1 (2)①；②2 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得： ，， 故答案为：；1； （2） 解：①， ， ∴； ②根据题意得， ∴， ∴， ∴， ∴■表示2． 题型八 有理数的实际应用 36．我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正在一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定：初始位置为0，向北为正，向南为负．机器人从初始位置到巡逻结束所走的路程（单位：）如下：，，，，，． (1)在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为多少？ (2)已知巡逻机器人的平均速度为，求这次治安巡逻的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：第1次；， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第6次：． 答：在这次巡逻中，该巡逻机器人离出发点的最远距离为． （2）解：． 答：这次治安巡逻的时间为． 37．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况：规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单）                                    (1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送 单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪100元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴3元；超过50单但不超过60单的部分，每单补贴6元；超过60单的部分，每单补贴9元，求该外卖小哥这周四工资收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)该外卖小哥这一周平均每天送餐53单 (3)该外卖小哥这周四工资收入346元 【分析】 【详解】（1）解：（单）， ∴该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送22单； 故答案为：22； （2）解：， （单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单； （3）解：（单）， （元）， 答：该外卖小哥这周四工资收入346元． 38．岳阳楼区某中学积极倡导阳光体育运动，为提高中学生身体素质，举行了排球垫球比赛．如表为七年级某班50人参加排球垫球比赛的情况，若标准数量为每人垫球30个． 垫球个数与标准数量的差值 0 8 10 15 人数 5 16 11 5 9 4 (1)求这个班50人平均每人垫球多少个？ (2)规定垫球达到标准数量记0分，规定垫球超过标准数量，每多垫1个加2分；规定垫球未达到标准数量，每少垫1个，扣1分，求这个班垫球总共获得多少分？ 【答案】(1)这个班50人平均每人垫球31个 (2)这个班垫球总共获得240分 【分析】 【详解】（1）解： （个）． 答：这个班50人平均每人垫球31个． （2）解： （分）． 答：这个班垫球总共获得240分． 39．近五年来，我国新能源自行车的普及率大幅提升，小李家新换了一辆新能源电动自行车，他连续5天记录了每天骑行的路程（如下表），以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 路程（） (1)这5天里路程最多的一天比最少的一天多__________； (2)请求出小李家的新能源电动自行车这五天平均每天骑行了多少千米？ (3)已知普通自行车每骑行需消耗体力成本（含维护等）约15元，而新能源电动自行车每骑行耗电量为8度，每度电为0.5元，请估计小李家换成新能源电动自行车后这5天的骑行成本比原来节省多少元？ 【答案】(1)28 (2)这五天平均每天骑行了36.8千米 (3)小李家换成新能源电动自行车后这5天的骑行成本比原来节省20.24元 【分析】 【详解】（1）解：这5天里路程最多的一天比最少的一天多：， 故答案为：28； （2）解：（千米）， 答：这五天平均每天骑行了36.8千米； （3）解：（元） （元） （元） 答：小李家换成新能源电动自行车后这5天的骑行成本比原来节省20.24元． 40．为倡导节约用电，某地区实行阶梯式居民电费收费标准，具体收费规则如下：每月用电量不超过千瓦时（含千瓦时），按元千瓦时收费； 超过千瓦时但不超过千瓦时（含千瓦时）的部分，按元千瓦时收费； 超过千瓦时的部分，按元千瓦时收费. （注：电费计算时，不足千瓦时按千瓦时计，例如用电量千瓦时，按千瓦时收费） 请根据以上规则，解决下列问题： (1)若居民甲月份用电量为千瓦时，计算甲该月应缴的电费； (2)若居民乙月份缴电费元，通过计算确定乙该月的实际用电量范围（结果取整数）． 【答案】(1)甲该月应缴总电费是元； (2)实际用电量范围是千瓦时 用电量 千瓦时． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由于 ，则电费分两段计算，然后通过有理数乘法和加减运算列出算式即可求解； （）根据用电量千瓦时电费为元，用电量千瓦时电费元，由于，说明用电量超过千瓦时，然后通过计算即可求解． 【详解】（1）解：因为 ，电费分两段计算： 千瓦时以内的费用：（元）， 超过千瓦时的部分：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电量千瓦时：（元）， 用电量千瓦时：（元）， 由于，说明用电量超过千瓦时， 超过千瓦时的电量：（千瓦时，不足千瓦时按千瓦时计算）， 因此，实际用电量范围：实际用电量范围是千瓦时 用电量 千瓦时． 题型九 科学记数法与近似数 41．年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，其中的指数与小数点移动的位数有关．首先把展开可得，用科学记数法表示需要把小数点向左移动位，所以的指数为． 【详解】解：， ． 故选：A． 42．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：设原数为三位小数（a、b、c分别为十分位、百分位、千分位数字）．精确到百分位时，若千分位，则舍去，近似数为，要求等于， 故，最大值为；若千分位，则向百分位进1，近似数为，要求等于，且进位后百分位为0、十分位为8，故，最小值为． 故答案为；． 43．数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵数x四舍五入后的近似值为 2.0，精确到十分位， ∴需看百分位数字：若百分位数字，则十分位进1；若百分位数字，则十分位不变． 但近似值为2.0，因此x的最小值为1.95（百分位为5，进1后得2.0），最大值为2.05（百分位为5时进1得2.1，故不包括2.05）， ∴x的取值范围是． 故选：A． 44．一个四位小数用四舍五入法取近似值是8.30，这个数原来最大是 ． 【答案】8.3049 【分析】本题考查了近似数，设原数为x，根据近似数的精确度得到，然后写出有四位小数的最大数即可． 【详解】解∶ 设原数为x， 根据题意得， 所以这个数原来最大是8.3049， 故答案为∶8.3049． 45．已知， ， ． (1)猜想：________，________（m，n均为正整数）． (2)运用上述猜想计算下列式子： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】 【详解】（1）， （2）①原式. ②原式． 【点睛】本题考查了科学记数法与找规律问题． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在下列各数中：．其中负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是负数； ，是负数； ，是负数； ，既不是正数也不是负数． 负数有5个：． 故选：D． 2．若a的相反数是2026，则a的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵a的相反数是2026， ∴， ∴a的倒数是． 故选：D． 3．如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】B 【分析】 【详解】解：当输入时，结果为，不能输出； 进入循环，结果得，输出结果； 故选：B． 4．如图，是某种卷筒纸（图1所示）的截面示意图，其外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：， ∴这筒纸的总长度为. 故选：A． 5．若（a、b、c都大于0），下面关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：根据等式的性质，等价于， ∴， 等价于， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题 6．比较大小： （填“”“ ”或“”）； （填“”“ ”或“”）． 【答案】 【详解】解：因为， 所以； 因为， 所以． 故答案为：； 7．对于任意的有理数a、b，定义一种新运算：，例如，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵新运算： ∴， ∴ ． 故答案为：． 8．在一条可以折叠的数轴上，点A和点B表示的数分别是和5，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A落在点B的右侧，且，则C点表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：由条件可得，折叠前， ∵折叠后， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 三、解答题 9．把下列各数填入相应的括号内：、、、0、、、1、、π，，． 整数集合{                 }； 负分数集合{               }； 非正整数集合{              } 【答案】，0，，1；，，；，0， 【分析】 【详解】解：整数集合{，0，，1}； 负分数集合{，，}； 非正整数集合{，0，}， 故答案为：，0，，1；，，；，0，． 10．已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)14 (2)14或 【分析】 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）∵，，且， ∴或， ∴或． 11．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送___________单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单但不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元．求该外卖小哥星期四当天的工资收入是多少元？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：（单）； 故答案为：； （2）（单）； 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐52单； （3）（元）； 答：该外卖小哥星期四当天的工资收入是元． 12．如图，把四个数按顺序依次填入四个圆圈中．第一次运算：将相邻两个圆圈中的数分别求乘积，将得到的积分别填入三个正方形中；第二次运算：将相邻的两个正方形中的数分别求和，将得到的和分别填入两个三角形中；第三次运算：求两个三角形中的数的平均数，将最终平均数填入长方形中． (1)若填入的四个数分别为，，，，求最终的平均数； (2)若填入的四个数分别为、、、，若输出的最终平均数为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：第一次运算：，，； 第二次运算：，； 第三次运算：， 所以最终的平均数为．． （2）解：第一次运算：，，； 第二次运算：，； 第三次运算：， 所以， 解得． 所以的值为． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．题目：“在数轴上，把原点记作，表示数的点记作，对于数轴上任意一点（不与点重合），将线段与线段的长度之比定义为点的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点，，，求线段的长．”甲答：，乙答：，丙答：，下列判断正确的是（   ） A．甲、乙合在一起才正确 B．乙、丙合在一起才正确 C．甲、丙合在一起才正确 D．三人合在一起才正确 【答案】A 【详解】解：∵点O为原点（坐标0），点A坐标为2，点M的坐标为1． 设点N的坐标为n，则特征值． 解方程： 当时，，解得． 当时，，解得． 当时，方程为，解得，不符合的条件，应舍去， ∴点N的坐标为或． 点M坐标为1， 若，则． 若，则． ∴的长度为或，甲和乙的答案合在一起才正确． 故选A． 2．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，第四次将点向右移动12个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到达点．如果点与原点的距离不小于20，那么n的最小值是（    ） A．12 B．13 C．26 D．27 【答案】B 【分析】 【详解】解：根据题目已知条件，表示的数，； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 所以点与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13． 故选：B． 3．某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：（）一次购买金额不超过万元，不予优惠；（）一次购买金额超过万元，但不超过万元，九折优惠；（）一次购买超过万元，其中万元的部分享受九折优惠，超过万元的部分八折优惠．某公司分两次在该供应商处购买原料，分别付款元和元．如果该公司把两次购买的原料改为一次购买的话，那么该公司一共可少付款 ． 【答案】 元 【详解】解：∵一次购买超过万元，其中万元的部分享受九折优惠， ∴实际付款是： 元元， ∴购买金额不超过万， 又∵一次购买金额超过万元，但不超过万元，九折优惠， ∴应享受折优惠：， ∴购买金额和是：元， ∴一次性购买则应付钱数是：元， ∴两次购买的原料改为一次购买可少付款(元)． 故答案为：元． 4．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则m为 【答案】9 【详解】解：∵将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，， 设，，分别是3，4，5，，，分别是8，7，6 ， ∴． 由上可知，不论怎么分组，原式的值都为恒值9，故． 故答案为：9． 5．小明有下列5张写着不同数的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是 ． (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，对卡片上的数用学过的“，，，”进行运算（每张卡片上的数必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为．请你任选4张卡片，写出1个满足条件的运算式． 【答案】(1)15 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】 【详解】（1）解：从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：， 故答案为：15； （2）解：从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得，． 6．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【答案】（1）0，；（2）；（3）；（4）或， 【分析】 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． （4）整数、满足， 当与同号时， ，， ，， ，． 当与异号时， ，， ， ，， ，． 综上，或，． 3 3 学科网（北京）股份有限公司 $