专题03 整式及其加减（期末复习讲义，知识必备+12大重难题型+过关验收）七年级数学上学期新教材北师大版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理整式及其加减的核心考点，明确整式基础概念、同类项、去括号等五大考点的复习目标与考情规律，知识点按代数式、单项式、多项式等逻辑递进，结合易错点解析构建完整知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖12类典型题型如“整式加减无关型问题”“规律探究”，通过“先化简再求值”等例题培养运算能力与推理意识，配套基础通关与重难突破练习，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题03 整式及其加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 整式基础概念 能准确判断代数式、整式，熟练识别单项式的系数与次数，明确多项式的项、常数项及次数 基础必考点，多以选择、填空题考查；易错点是忽略单项式系数符号、混淆多项式项数与次数 同类项判断与合并同类项 能依据“两相同、两无关”判断同类项，熟练运用法则合并同类项 高频核心考点，覆盖选择、填空、解答题；易错点是误判同类项、合并时改变字母或指数 去括号法则的应用 能根据括号外因数符号，准确去括号 重点必考点，常融入整式加减运算；命题趋势是整式加减化简的核心前置步骤，必考且易失分 整式的加减运算 能按“去括号→合并同类项”步骤完成整式加减，准确进行化简求值 重点大题考点，分值占比高（8-10分）；命题趋势是先化简再求值为主，偶尔结合实际情境考查应用 规律探索 能观察数字/图形变化特例，归纳共性规律，并用整式准确表示规律 中档压轴考点，多为填空题；命题趋势是结合图形拼接或数字序列考查，侧重归纳推理能力 知识点01 用含字母的数字表示数——代数式 1．字母的作用：可以表示任何数，常用于表示运算律、公式等。 2．书写规范：数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可记作“·”或省略，数字需写在字母前面；“1”与字母相乘时“1”可省略（如1·a=a）。 3．字母表示运算律（a、b、c表示三个数） ①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；③乘法交换律：ab＝ba ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；⑤乘法对加法的分配律：a(b＋c)＝ab＋ac 4．代数式定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子。 5．注意事项： ①单独一个数（如2、0）或一个字母（如a）也是代数式； ②代数式中不含“＝”“＞”“＜”“≤”“≥”等符号。 示例：①3x＋5（含乘法和加法的代数式）；②（含除法的代数式）；③m²-2n（含乘方和减法的代数式）。 知识点02 单项式 1．定义：由数或字母的积组成的式子，单独一个数或一个字母也是单项式（如-5、x）。 2．核心概念 系数：单项式中的数字因数（包含前面的符号），如-3xy的系数是-3，πr²的系数是π（π为常数）。 次数：一个单项式中所有字母的指数的和，如2³xyz²的次数是1+1+2=4，常数项（如-5）的次数是0。 3．关键注意事项 系数为“1”或“-1”时，“1”通常省略（如a²的系数是1，-m²的系数是-1）； 字母的次数为“1”时省略不写（如x的次数是1）； 单项式的次数仅与字母指数有关，与数字因数（含10ⁿ形式的数）无关（如9×10³a²b³c的次数是6）； 非数与字母的积的式子不是单项式（如、a+b）。 示例：①-a²b：系数为-，次数为2+1=3（分数系数示例）；②5πx³：系数为5π，次数为3（含常数π示例）；③m：系数为1，次数为1（省略“1”和次数“1”示例）。 知识点03 多项式 1．定义：几个单项式的和叫做多项式。 2．核心概念 项：组成多项式的每个单项式（包含前面的符号），如多项式a³b－7ab－6ab⁴＋π的项为a³b、-7ab、-6ab⁴、π； 常数项：不含字母的项（如上述多项式中的π）； 次数：多项式中次数最高项的次数（如上述多项式最高项是-6ab⁴，次数为5，故该多项式是五次四项式）。 3．注意事项 多项式没有“系数”概念，但每一项都有系数（含符号）； 多项式的次数由最高次项的次数决定，需先判断每一项的次数再确定。 示例：①2x²-3x+1：二次三项式，项为2x²、-3x、1（常数项），最高次项系数为2；②x³y-2xy²+5y-3：四次四项式，最高次项为x³y（次数4），常数项为-3。 知识点04 整式 1．定义：单项式和多项式统称为整式。 2．范围：所有单项式、所有多项式都属于整式，非数与字母积的式子（如分式）不属于整式。 知识点05 同类项 1．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；几个常数项也是同类项（如xy²与3y²x、5与-8）。 判断标准（“两相同”“两无关”）： ①两相同：所含字母完全相同；相同字母的指数分别相同（二者缺一不可）； ②两无关：与系数大小无关；与字母排列顺序无关。 2．合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项； 法则：合并后所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数不变； 3．注意事项： 系数互为相反数的同类项合并后结果为0（如3a与-3a合并得0）； 无同类项的项需保留，不可遗漏； 常数项合并遵循有理数运算规则。 示例：①同类项判断：3a²b³与-7a²b³（所含字母a、b相同，指数分别为2、3，是同类项）；5与（常数项，是同类项）；2xy与3x²y（x的指数不同，不是同类项）；②合并同类项：3x²+2x²-5x²=(3+2-5)x²=0；2ab-5ab+7ab=(2-5+7)ab=4ab。 知识点06 去括号及整式的加减 1．去括号法则 括号外是正数：去括号后，括号内各项符号与原符号相同（如+(2m+3n)=2m+3n）； 括号外是负数：去括号后，括号内各项符号与原符号相反（简记“-变+不变，要变全都变”，如-(-2m+3n)=2m-3n）。 2．去括号注意事项 括号外有数字因数：先将数字与括号内每一项相乘，再去括号（如2(a-b)=2a-2b）； 多重括号：通常从内向外（小括号→中括号→大括号）去，也可灵活调整顺序。 3．整式加减的一般步骤 去括号：根据法则去掉所有括号； 合并同类项：将同类项合并，得到最简整式。 示例：计算3(x²-2xy)-2(2x²-xy) 第一步去括号：3x²-6xy-4x²+2xy（括号外是正数3，各项不变号；括号外是负数-2，各项变号）； 第二步合并同类项：(3x²-4x²)+(-6xy+2xy)=-x²-4xy（最终最简整式）。 知识点07探索规律的步骤 特例引路：观察具体数量的特点及变化规律； 对比分析：类比不同事物的相似点； 归纳小结：猜测并总结规律； 反思验证：用特例验证规律的正确性。 题型一 单项式、多项式、整式的判断 【例1】在代数式，，，，，，，中，单项式共有（　　）个． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 是数字与字母的积，是单项式； 是数字与字母的积，是单项式； 分母含字母，不是单项式； 含加减运算，不是单项式； 含加减运算，不是单项式； 含加减运算，不是单项式； 是数字，是单项式； 含加减运算，不是单项式； ∴单项式有 、、，共个， 故选：． 【例2】下列代数式中，属于多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵几个单项式的和叫做多项式， 故选项C中是单项式a和的和，符合定义， 故选：C． 【变式1-1】下列式子中，是二次单项式的是（   ） A．xy B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．∵是数与字母的积，是单项式；且的指数是1，的指数是1，指数和为， ∴是二次单项式，故此选项符合题意． B．∵中的指数是2，的指数是1，指数和为， ∴是三次单项式，故此选项不符合题意． C．∵分母中含有字母，不是整式， ∴不是单项式，故此选项不符合题意． D．是两个单项式的和，是多项式，不是单项式，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．是整式 B．的系数是，次数是4 C．的次数为5 D．是三次二项式 【答案】A 【详解】∵ 整式是分母中不含字母的代数式， 选项A: 的分母为数字3，不含字母， ∴ 它是整式，A正确，符合题意； 选项B: 的系数应为，次数为x和y的指数之和， ∴ B错误，不符合题意； 选项C: 即，次数为， ∴ C错误，不符合题意； 选项D: 中π为常数，r为变量，最高次数为2，是二次二项式． ∴ D错误，不符合题意. 故选：A． 【变式1-3】已知，0，，，，中多项式有 个． 【答案】2 【详解】解：是两个单项式的和，是多项式； 0是单项式，不是多项式； 是单项式，不是多项式； 是单项式，不是多项式； 可化为，是两个单项式的和，是多项式； 是单项式，不是多项式． 故多项式有2个． 故答案为：． 题型二 同类项的判断及含参数问题 【例3】下列说法中正确的是（   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 【答案】D 【分析】 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母y的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 【例4】若单项式与单项式的和仍然是单项式，则的值为 ． 【答案】7 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍然是单项式， ∴它们为同类项， ∴，， ∴． 故答案为：7． 【变式2-1】下列各组两项属于同类项的是（    ） A．与 B．和 C．和 D．2和 【答案】D 【分析】 【详解】A：与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项； B：和字母不同，不是同类项； C：和字母不同，不是同类项． D：2和都是常数项，是同类项， 故选：D． 【变式2-2】若单项式与能合并成一项，则，的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵单项式与能合并， ∴， 解得：， 故选：． 【变式2-3】（重庆市凤中教共体学校2025-2026学年七年级上学期12月阶段性消化作业数学试题）若单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】0 【分析】 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：0． 题型三 单项式的系数、次数 【例5】单项式的系数和次数分别是（   ） A．， 3 B．，3 C．，2 D．，2 【答案】B 【详解】解：∵单项式的数字因数为，字母x和y的指数分别为1和2， ∴系数为，次数为， 故选：B． 【例6】已知，则单项式的次数是 ． 【答案】4 【详解】解：由，得且， 解得． ∴， ∴次数为． 故答案为：4． 【变式3-1】单项式的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵单项式中，的指数为1，的指数为2，的指数为3， ∴次数． 故选：D． 【变式3-2】关于单项式，下列说法正确的是（    ） A．它的次数是5 B．它的系数是 C．它的次数是4 D．它的系数是 【答案】C 【详解】解：∵ 单项式 可表示为 ； ∴ 系数为 ，次数为 ； 选项 A 次数错误， 选项 B 系数漏掉， 选项 D 系数符号错误且漏掉负号， 只有选项C正确； 故选：C. 【变式3-3】若单项式与单项式的次数相同，则的值为 ． 【答案】38或66 【详解】解：由题意得：， ∴， 解得：或， ∴当时，， 当时，， ∴的值为或． 故答案为：或． 题型四 多项式的项、项数或次数 【例7】关于多项式的说法错误的是（    ） A．次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵多项式为 ∴项包括 、、， 最高次数为4（来自 ），故选项A正确； 常数项为9，故选项B正确； 且无次数为1的项，故选项C正确； 各项分别为 、、， D中第二项应为 ，而非 ，故选项D错误, 故选：D． 【例8】若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴四次项系数，即， 且为二次项，即， 此时多项式为， 常数项为． 故选： C． 【变式4-1】关于x的多项式的值与x无关，则 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：， ∵关于x的多项式的值与x无关， ∴，， 解得，， 故． 故答案为：． 【变式4-2】若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】D 【详解】解：∵多项式不含三次项， ∴， ∴． ∵多项式不含一次项， ∴， ∴． ∴． 故选：D． 【变式4-3】关于x的多项式是二次三项式，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项， 根据二次三项式的定义，多项式的最高次项次数为2，且项数为3，可得，且，再解答即可． 【详解】解：由题意，多项式为二次三项式， ∴，且， 解得． 故答案为：4． 题型五 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例9】把多项式按x进行降幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】原多项式为 ∵各项按的指数从大到小排序为，，，，， ∴把多项式按x进行降幂排列为． 故选：A． 【例10】将整式按字母y降幂排列得到 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：在整式中，各项含y的指数分别为：中y的指数为3， 中y的指数为2，中y的指数为1，中y的指数为0．按y的指数降幂排列为． 故答案为：． 【变式5-1】多项式是 次 项式，按的降幂排列为 ． 【答案】 五 四 【分析】 【详解】解：多项式是五次四项式， 按的降幂排列为：． 故答案为：①五；②四；③． 【变式5-2】已知多项式，按照y的降幂排列为 ． 【答案】 【详解】解：把多项式按y的降幂排列为， ． 故答案为：． 【变式5-3】已知多项式是关于的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 【答案】(1)3 (2) 【分析】 【详解】（1）解：因为多项式是关于x，y的五次四项式， 所以． 所以． （2）解：由（1）得， 所以这个多项式为． 所以把这个多项式按x的降幂排列为． 题型六 整式的加减运算 【例11】若多项式与多项式的和不含二次项，则a等于（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵两多项式之和为：， 且和不含二次项， ∴二次项系数， 解得：， 故选：C． 【例12】某同学做一道数学题：“两个多项式A，B，其中，试求A＋2B”，这位同学把“A＋2B”看成了“A－2B”，结果求出答案是，那么A＋2B的正确答案是 ． 【答案】 【分析】 【详解】∵，， ∴ ∴ ． 故答案为:． 【变式6-1】已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】 【详解】解：， 代入，， ， 故答案为：． 【变式6-2】已知多项式合并后的结果是，则下列关于a，b的叙述一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，且合并后结果为， ∴， ∴． 故选：B． 【变式6-3】已知． (1)化简； (2)当，时，求的值； 【答案】(1) (2)9 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：当，时， ． 题型七 整式加减运算中先化简再求值 【例13】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 【例14】先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】 ， 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中：，． 【答案】，2016 【分析】 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 【变式7-2】已知，，求的值 【答案】 【分析】 【详解】解： ∵，， ∴原式. 【变式7-3】已知，求 (1) (2)当时，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： （2）解：∵     ∴当时，原式． 题型八 整式的加减运算中错解复原问题 【例15】淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【详解】解：， 而算错结果为89，看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错， 则看错的情况可能共有：①看成，看成； ②看成，看成； ③看成，看成． 所以，看错的情况可能共有3种． 故选：C． 【例16】已知两个多项式A和B，其中，当某同学计算时，把误看成，结果求出答案． (1)求出的正确答案． (2)若的值与m的取值无关，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： 由题意可得：，且， ∵ ， ∴ ． ∴ ． （2）解： ． ∵ 的值与m的取值无关， ∴ ，解得：． 【变式8-1】已知A、B、C都是多项式，其中，． (1)求的值； (2)莉莉在计算时，误算成了，结果得到，请你帮莉莉求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意得，， ∴ ， ∴ ， ∴正确的结果为． 【变式8-2】某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出A的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可知， ， ； （2）解： ， ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴． 【变式8-3】嘉嘉做一道数学题： 已知两个多项式□，，试求． 其中多项式中最高次项的系数印刷不清楚，嘉嘉看答案以后知道． (1)请你帮嘉嘉求出多项式中最高次项的系数“□”． (2)老师又给出了一个多项式，要求计算．嘉嘉在求解时，误把看成，结果求出的答案为．请你帮嘉嘉先求出多项式，再计算． (3)对于第（2）小题，琪琪说：“不用求出多项式，也能计算的结果．”你同意琪琪的说法吗？如果同意，请写出解题过程；如果不同意，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)同意，解题过程见解析 【分析】 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以 ， 所以多项式中最高次项的系数“□”为． （2）解：因为，， 所以 ； 所以 （3）解：同意琪琪的说法． 设，则． 因为，， 所以 ． 题型九 整式加减中的无关型问题 【例17】若代数式（a，b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式的值为（　　） A．0 B． C． D．6 【答案】C 【分析】 【详解】解： ， ∵代数式(为常数)的值与字母的取值无关， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【例18】当 时，多项式中不含项． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵ ， 由题意得， 解得 ． 故答案为：． 【变式9-1】若关于的多项式减去多项式的若干倍，其结果为常数项，则其运算结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：设倍数为， ， ∵关于的多项式与多项式的几倍的差结果为常数项， 即其运算结果中项和项的系数均为零，常数项是， ，且， 解得， ∴ 常数项为， 故选：D． 【变式9-2】整式减去整式后，若不含项与项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 结果不含和项， ，， ，， . 故选：B． 【变式9-3】已知代数式：，； (1)若，求代数式； (2)在（）的条件下，若，，求代数式的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当，时， 原式 ； （3）解： ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 题型十 整式加减的应用 【例19】中国古代窗花图案设计的简约又美观，图（1）是由一个小正方形和四个形状相同的小长方形拼成的1个正方形窗花．如果窗花内小正方形的边长为，小长方形的长为，那么在图（2）中，由4个这样的窗花做成的正方形窗户的周长为 ． 【答案】 【详解】解：小正方形的边长为，小长方形的长为， ∴小长方形的宽为， ∴由4个这样的窗花做成的正方形窗户的边长为， ∴由4个这样的窗花做成的正方形窗户的周长为． 故答案为： 【例20】第六届山西文化产业博览交易会以下简称文博会于月日在山西潇河国际会展中心开幕，据悉，本届文博会门票种类及价格如图所示七年级某研学小组的名同学利用周末到文博会参观已知他们中有名同学抢到了早鸟门票，其余同学购买了常规门票． 常规门票元张； 早鸟门票元张； 岁以上人员，现役军人， 残疾人可凭有效证件免票． (1)求该研学小组此次购买文博会门票的总费用；用含的代数式表示 (2)若有人抢到早鸟门票，求该研学小组购买文博会门票的总费用． 【答案】(1)该研学小组购买文博会门票的总费用是元 (2)该研学小组购买文博会门票共花费元 【分析】 【详解】（1）解：元； 答：该研学小组购买文博会门票的总费用是元； （2）解：当时，（元）； 答：该研学小组购买文博会门票共花费299元． 【变式10-1】某轮船先顺水航行，再逆水航行．若该轮船在静水中速度为，水流速度为，则轮船航行的总路程为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：顺水速度为 ，航行 的路程为 ； 逆水速度为，航行的路程为； 总路程为 ． 故答案为： ． 【变式10-2】（重庆市凤中教共体学校2025-2026学年七年级上学期12月阶段性消化作业数学试题）某中学劳动课王老师带领七（1）班学生开展“观察白菜成长”的项目式学习活动，准备在学校旁边的一块长方形空地上种植白菜，这块空地长为米，宽为米．如图，空地上有一个直径为米的圆形井盖和一个长为米，宽为米长方形水池． (1)井盖的面积为__________平方米；水池的面积为__________平方米．（用含，的代数式表示，结果保留） (2)计算这块空地的可种植白菜的面积．（用含，的代数式表示，结果保留） (3)如果每平方米种植白菜7棵，当，时，那么这块长方形空地上可种植多少棵白菜？（取，结果精确到个位） 【答案】(1)； (2)平方米 (3)1760棵 【分析】 【详解】（1）解：井盖的面积为（平方米）， 水池的面积为（平方米）． 故答案为：；； （2）解：这块空地可种白菜的面积为：（平方米）， 答：这块空地可种白菜的面积为平方米； （3）解：当，时， （平方米）， （棵）． 答：这块长方形空地上可种植白菜约1760棵． 【变式10-3】某超市在国庆假期期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 全部九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)小林一次性购物520元，他实际付款______元； (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500但不小于200时，他实际付款______元；当x大于或等于500时，他实际付款______元；（用含x的代数式表示并化简） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（），则两次购物王老师实际付款多少元？（用含a的代数式表示并化简） 【答案】(1)466 (2)； (3)（元） 【分析】 【详解】（1）由题意得，小林一次性购物520元，他实际付款（元）， 故答案为：466． （2）由题意得，当x小于500但不小于200时，他实际付款元， 当x大于或等于500时，他实际付款（元）； 故答案为：；． （3）因为王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（）， 所以王老师第二次购物的货款大于500元， 则两次购物王老师实际付款金额为 （元）． 题型十一 整式加减中的新定义型问题 【例21】数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，1，2进行“运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对，0，2025进行“运算”结果是0； ②对进行“运算”的结果是10，则或3； ③在这一列数中插入一个数，然后进行“运算”，当其结果最小时，对应的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 【详解】解：①，故①错误； ②∵， ∴ ，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； ∴ 或 3，故②正确； ③该数列共有项，插入q后共2023项， ∵在数轴上表示数对应的点之间的距离， ∴插入q后，要使Q运算总和最小，则q应位于原数列的中间两个数之间， 其中间两项为第1011项和第1012项，第1011项为，第1012项为， ∴对应的取值范围是，故③正确； 综上，正确个数为2个， 故选：C． 【例22】定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数853是否为“极差数”？_____．（填“是”或“不是”） 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为______； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）能，理由见解析 【分析】 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为8， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 理由：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴ ， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【变式11-1】给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“相伴有理数对”记为．如，所以数对是“相伴有理数对”． (1)通过计算判断数对是否是“相伴有理数对”； (2)若数对是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) 不是 (2) 2 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴数对不是“相伴有理数对”； （2）解：∵是“相伴有理数对”， ∴ ∴． ∴ 【变式11-2】定义：若一个四位数的千位数字加上十位数字的和恰好等于百位数字加上个位数字的和，则称这个四位数为“团结数”． 【理解定义】 四位数2651是否为“团结数”？_________（填“是”或“否”） 【建模推理】 （1）设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d，请用含a、b、c的代数式来表示d：_________； （2）任意一个“团结数”能被11整除吗？为什么？ 【答案】 【理解定义】是 【建模推理】（1）；（2）能；理由见解析 【分析】 【详解】解：【理解定义】 四位数2651的千位数字为2，十位数字为5，和为； 百位数字为6，个位数字为1，和为； ∵， ∴四位数2651是“团结数”． 故答案为：是． 【建模推理】 （1）根据定义得，， ∴； 故答案为：； （2）能，理由如下： 设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d， 则这个“团结数”为， 由（1）可知，， 代入，得 ， ∴ 该数能被11整除， 即任意“团结数”能被11整除． 【变式11-3】定义：若，则称a与b是关于的平衡数． (1)7与________是关于的平衡数，与________是关于的平衡数（用含x的多项式表示）； (2)若，，则a与b是否关于的平衡数吗？并说明理由． 【答案】(1)，； (2)是，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：设7的关于的平衡数为， 则， 解得， 与是关于的平衡数， 设的关于的平衡数为，则，解得， 与是关于的平衡数， 故答案为：，； （2）与是关于的平衡数，理由如下： ， ， ， 与是关于的平衡数． 题型十二 整式加减中的规律探究问题 【例23】体艺节期间，某班同学用火柴棒在课桌上依次搭成下列图案，摆1个五边形用了5根火柴（如图1），摆2个五边形用了9根火柴（如图2），摆3个五边形用了13根火柴（如图3），按照这种方式摆下去，摆第10个图案用火柴棒的根数为（    ） A．50 B．45 C．41 D．40 【答案】C 【详解】摆1个五边形用了5根火柴（如图1），， 摆2个五边形用了9根火柴（如图2），， 摆3个五边形用了13根火柴（如图3），， 按照这种方式摆下去， 摆n个五边形用了根火柴， ∴摆第10个图案用火柴棒的根数为． 故选：C． 【例24】如下列图表所示，数字2在第1行第2列，2020在m行第n列， ． 【答案】 【详解】解：把1叫做第一条对角线上的数，2，3叫做第二条对角线上的数，4,5,6叫做第三条对角线上的数，依次类推，则第63条对角线上的最大数为， ∴是第64条对角线上的数，由图可知，2020在第61行第4列，即， 故答案为： 【变式12-1】已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解∶∵， ， ， ， ， ， ， … ∴规律为：n为奇数时，； n为偶数时，． ∵2025为奇数， ∴． 故选：A． 【变式12-2】如图所示的几何体都是由棱长为1的正方体叠放而成．图（1）几何体为1个正方体，其表面积为6；图（2）几何体由4个正方体组成，其表面积为18；图（3）几何体由10个正方体组成，其表面积为36；……，按照这样的规律，第15个几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：结合图形，发现：（1）中个平方单位， （2）中个平方单位， （3）中个平方单位， （4）中个平方单位， 以此类推，可得第15个图形的表面积是个平方单位． 故答案为：． 【变式12-3】如图，平面内有公共端点的六条射线，，，，，，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． (1)直接写出“18”，“2025”在哪条射线上； (2)用含n（n为正整数）的式子表示射线和上数字的排列规律： (3)取每条射线上的第12个数，计算这六个数的和． 【答案】(1)18在射线上，2025在射线上 (2)射线上的数字规律为，射线上的数字规律为 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵平面内有公共端点的六条射线，，，，，，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，… 18是6的倍数，6的倍数在上， ∴18在射线上； 余数为3， ∴2025在射线上； （2）解：每条射线上后一个数字比前一个数字多6， 射线上的数字规律为； 射线上的数字规律为； （3）解：射线上第12个数字为：， 则剩下5条射线上的第12个数字依次为：68，69，70，71，72， 所以． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式运算错误，不符合题意； B、，原式运算错误，不符合题意； C、，原式运算错误，不符合题意； D、，原式运算正确，符合题意； 故选：D． 2．已知，则的值等于（　　） A．1 B． C．4049 D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 3．近几年智能手表具备健康监测，运动追踪和长续航等功能，它逐渐成为中学生日常必备．智能手表价格也不断地降低．某品牌智能手表原售价为元，“双12”促销期间将要打七折，再优惠n元，那么该手表“双12”期间的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】∵ 原售价为m元，打七折后，再优惠n元， ∴ 最终售价为元， 故选：． 4．关于、的多项式中，若不含项，则的值为（） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵多项式中，项为和， 合并后项的系数为， 又∵不含项， ∴， 解得． 故选：C． 5．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2022个图形中字母“H”的个数是（　　） A．4047 B．4046 C．4045 D．4044 【答案】B 【详解】解：第1个图中“H”的个数为； 第2个图中“H”的个数为； 第3个图中“H”的个数为， ∴第n个图中“H”的个数为， ∴第2022个图中“H”的个数为． 故选：B． 二、填空题 6．若，，长方形M，N的尺寸如图，则长方形M与N的面积差为 ． 【答案】16 【分析】 【详解】解： ， 将，代入式子得： 故答案为： 7．若的值是9，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵， ． 故答案为：． 8．若是三个连续整数的中间一个，用含的代数式表示三个连续整数的和： ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵中间一个整数用表示， ∴另外两个数为，， ∴这三个数的和为， 故答案为：． 9．两个多项式相加的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式互为“关联多项式”．若多项式、、互为“关联多项式”，且，则的值为 ． 【答案】或或 【详解】解：由题意，A、B、C互为关联多项式，因此可能的情况如下： 若，， 所以，， 所以； 若，则， 所以，， 解得，， 所以； 若，则， 所以，， 解得，， 所以； 故答案为：或或． 三、解答题 10．已知：． (1)计算：； (2)当时，求的值； (3)若的值与 y无关，求 x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， ； （3）解：由（1）知， 因为的值与y无关， 所以中，， 所以． 11．在中国传统文化中，安居是乐业之本．为改善市民居住条件，某市规划了名为“幸福家”的长方形标准户型，并为每户卧室统一铺设环保木地板，旨在提升居住幸福感．已知该户型平面图如下： (1)该户型的卧室铺木地板需要多少平方米？（用含、的代数式表示） (2)若，，木地板的价格为每平方米200元，求该户型的卧室铺木地板所需的费用为多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)6900元 【分析】 【详解】（1）解：木地板面积为： 平方米； （2）当，时， （元）， 12．“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴ ∴ ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知，则的值是 ． 【答案】 364 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴两式相减得， ∴. 故答案为：364. 2．若将二进制数转化成十进制数为，则转化成十进制数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】 【详解】解：∵个1组成的二进制数其十进制值为， ∴二进制数，即， ∴，即， ∴， ∴ 故答案为：． 3．某数学课外兴趣小组在一次实践活动中，准备了三张正方形硬纸片，分别编号为，它们的边长分别为．在探究图形拼接与周长变化的关系时，小明无意中将这三张纸片按两种不同方式放置于同一个长方形内，如图1、图2，则图1与图2中的阴影部分周长的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：设长方形的长为x，宽为y，图1中阴影部分周长为，图2中阴影部分周长为， 由图1知，， 如图2 ， 由图2知， ． 故选：D． 4．如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：A． 5．【阅读理解】 关于x的整式，当x分别取一组相反数a和时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子 的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如，， 所 以是“偶代数式”， ， 所 以是“奇代数式”．如果式子为“偶代数式”，那么x 取任意一组相反数，式子的值相等；反之，如果式子为“奇代数式”，那么式子的值互为相反数． 【初步探究】 （1）以下算式中，是“偶代数式”的有 ，是 “奇代数式”的有 ； （将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ （2）对于整式，当x分别取2与时，求整式的值分别是多少； 【深入思考】 （3）根据（2）的探究结果思考，对于整式，当x 分别取，，，，0，1，2，3，4时，求这九个整式的值之和． 【答案】（1）①③，②（2）时，整式值为；时，整式值为6（3）60 【分析】 【详解】解：（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③；“奇代数式”有②， 故答案为：①③；②； （2） 解：当时，原式， ∴整式值为； 当时，原式， ∴整式值为6； （3）解：∵、、、是“奇代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时，它们的和为， 而是“偶代数式”， ∴分别取，，，，，，，，时 九个整式的值之和是： ， ∴这九个整式的值之和是60． 6．小敏和小华对一些四位数（、、、均为不超过9的正整数）进行了观察、猜想，请你帮助他们一起完成探究． (1)这个四位数可用含、、、的代数式表示为______； (2)小敏尝试将一些四位数倒序排列后，再与原数相加，发现和都为11的倍数． 如：，． 你认为上述结论对于一般的也成立吗？请说明理由； (3)小华猜想：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除． 例如：判断491678能不能被11整除． 奇位数字的和，偶位数字的和，，因此，491678能被11整除．这种方法叫奇偶位差法． 请你帮小华证明猜想：对于一个四位数（、、、均为不超过9的正整数），若满足，则四位数能被11整除． 【答案】(1) (2)能被11整除，理由见解析 (3)能被11整除，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：这个四位数可表示为． 故答案为：． （2）能被11整除，理由如下： 设四位数为， ． ． 它们的和能被整除． （3）能被11整除，理由如下： ， ， ． 四位数能被11整除． 3 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式及其加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 整式基础概念 能准确判断代数式、整式，熟练识别单项式的系数与次数，明确多项式的项、常数项及次数 基础必考点，多以选择、填空题考查；易错点是忽略单项式系数符号、混淆多项式项数与次数 同类项判断与合并同类项 能依据“两相同、两无关”判断同类项，熟练运用法则合并同类项 高频核心考点，覆盖选择、填空、解答题；易错点是误判同类项、合并时改变字母或指数 去括号法则的应用 能根据括号外因数符号，准确去括号 重点必考点，常融入整式加减运算；命题趋势是整式加减化简的核心前置步骤，必考且易失分 整式的加减运算 能按“去括号→合并同类项”步骤完成整式加减，准确进行化简求值 重点大题考点，分值占比高（8-10分）；命题趋势是先化简再求值为主，偶尔结合实际情境考查应用 规律探索 能观察数字/图形变化特例，归纳共性规律，并用整式准确表示规律 中档压轴考点，多为填空题；命题趋势是结合图形拼接或数字序列考查，侧重归纳推理能力 知识点01 用含字母的数字表示数——代数式 1．字母的作用：可以表示任何数，常用于表示运算律、公式等。 2．书写规范：数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可记作“·”或省略，数字需写在字母前面；“1”与字母相乘时“1”可省略（如1·a=a）。 3．字母表示运算律（a、b、c表示三个数） ①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；③乘法交换律：ab＝ba ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；⑤乘法对加法的分配律：a(b＋c)＝ab＋ac 4．代数式定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子。 5．注意事项： ①单独一个数（如2、0）或一个字母（如a）也是代数式； ②代数式中不含“＝”“＞”“＜”“≤”“≥”等符号。 示例：①3x＋5（含乘法和加法的代数式）；②（含除法的代数式）；③m²-2n（含乘方和减法的代数式）。 知识点02 单项式 1．定义：由数或字母的积组成的式子，单独一个数或一个字母也是单项式（如-5、x）。 2．核心概念 系数：单项式中的数字因数（包含前面的符号），如-3xy的系数是-3，πr²的系数是π（π为常数）。 次数：一个单项式中所有字母的指数的和，如2³xyz²的次数是1+1+2=4，常数项（如-5）的次数是0。 3．关键注意事项 系数为“1”或“-1”时，“1”通常省略（如a²的系数是1，-m²的系数是-1）； 字母的次数为“1”时省略不写（如x的次数是1）； 单项式的次数仅与字母指数有关，与数字因数（含10ⁿ形式的数）无关（如9×10³a²b³c的次数是6）； 非数与字母的积的式子不是单项式（如、a+b）。 示例：①-a²b：系数为-，次数为2+1=3（分数系数示例）；②5πx³：系数为5π，次数为3（含常数π示例）；③m：系数为1，次数为1（省略“1”和次数“1”示例）。 知识点03 多项式 1．定义：几个单项式的和叫做多项式。 2．核心概念 项：组成多项式的每个单项式（包含前面的符号），如多项式a³b－7ab－6ab⁴＋π的项为a³b、-7ab、-6ab⁴、π； 常数项：不含字母的项（如上述多项式中的π）； 次数：多项式中次数最高项的次数（如上述多项式最高项是-6ab⁴，次数为5，故该多项式是五次四项式）。 3．注意事项 多项式没有“系数”概念，但每一项都有系数（含符号）； 多项式的次数由最高次项的次数决定，需先判断每一项的次数再确定。 示例：①2x²-3x+1：二次三项式，项为2x²、-3x、1（常数项），最高次项系数为2；②x³y-2xy²+5y-3：四次四项式，最高次项为x³y（次数4），常数项为-3。 知识点04 整式 1．定义：单项式和多项式统称为整式。 2．范围：所有单项式、所有多项式都属于整式，非数与字母积的式子（如分式）不属于整式。 知识点05 同类项 1．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；几个常数项也是同类项（如xy²与3y²x、5与-8）。 判断标准（“两相同”“两无关”）： ①两相同：所含字母完全相同；相同字母的指数分别相同（二者缺一不可）； ②两无关：与系数大小无关；与字母排列顺序无关。 2．合并同类项 定义：把多项式中的同类项合并成一项； 法则：合并后所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数不变； 3．注意事项： 系数互为相反数的同类项合并后结果为0（如3a与-3a合并得0）； 无同类项的项需保留，不可遗漏； 常数项合并遵循有理数运算规则。 示例：①同类项判断：3a²b³与-7a²b³（所含字母a、b相同，指数分别为2、3，是同类项）；5与（常数项，是同类项）；2xy与3x²y（x的指数不同，不是同类项）；②合并同类项：3x²+2x²-5x²=(3+2-5)x²=0；2ab-5ab+7ab=(2-5+7)ab=4ab。 知识点06 去括号及整式的加减 1．去括号法则 括号外是正数：去括号后，括号内各项符号与原符号相同（如+(2m+3n)=2m+3n）； 括号外是负数：去括号后，括号内各项符号与原符号相反（简记“-变+不变，要变全都变”，如-(-2m+3n)=2m-3n）。 2．去括号注意事项 括号外有数字因数：先将数字与括号内每一项相乘，再去括号（如2(a-b)=2a-2b）； 多重括号：通常从内向外（小括号→中括号→大括号）去，也可灵活调整顺序。 3．整式加减的一般步骤 去括号：根据法则去掉所有括号； 合并同类项：将同类项合并，得到最简整式。 示例：计算3(x²-2xy)-2(2x²-xy) 第一步去括号：3x²-6xy-4x²+2xy（括号外是正数3，各项不变号；括号外是负数-2，各项变号）； 第二步合并同类项：(3x²-4x²)+(-6xy+2xy)=-x²-4xy（最终最简整式）。 知识点07探索规律的步骤 特例引路：观察具体数量的特点及变化规律； 对比分析：类比不同事物的相似点； 归纳小结：猜测并总结规律； 反思验证：用特例验证规律的正确性。 题型一 单项式、多项式、整式的判断 【例1】在代数式，，，，，，，中，单项式共有（　　）个． A． B． C． D． 【例2】下列代数式中，属于多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子中，是二次单项式的是（   ） A．xy B． C． D． 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．是整式 B．的系数是，次数是4 C．的次数为5 D．是三次二项式 【变式1-3】已知，0，，，，中多项式有 个． 题型二 同类项的判断及含参数问题 【例3】下列说法中正确的是（   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 【例4】若单项式与单项式的和仍然是单项式，则的值为 ． 【变式2-1】下列各组两项属于同类项的是（    ） A．与 B．和 C．和 D．2和 【变式2-2】若单项式与能合并成一项，则，的值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若单项式与是同类项，则的值为 ． 题型三 单项式的系数、次数 【例5】单项式的系数和次数分别是（   ） A．， 3 B．，3 C．，2 D．，2 【例6】已知，则单项式的次数是 ． 【变式3-1】单项式的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】关于单项式，下列说法正确的是（    ） A．它的次数是5 B．它的系数是 C．它的次数是4 D．它的系数是 【变式3-3】若单项式与单项式的次数相同，则的值为 ． 题型四 多项式的项、项数或次数 【例7】关于多项式的说法错误的是（    ） A．次数是4 B．常数项为9 C．不含一次项 D．各项分别是，，9 【例8】若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 【变式4-1】关于x的多项式的值与x无关，则 ． 【变式4-2】若关于x的多项式中不含三次项和一次项，则（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【变式4-3】关于x的多项式是二次三项式，则m的值为 ． 题型五 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例9】把多项式按x进行降幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例10】将整式按字母y降幂排列得到 ． 【变式5-1】多项式是 次 项式，按的降幂排列为 ． 【变式5-2】已知多项式，按照y的降幂排列为 ． 【变式5-3】已知多项式是关于的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 题型六 整式的加减运算 【例11】若多项式与多项式的和不含二次项，则a等于（    ） A． B． C．5 D． 【例12】某同学做一道数学题：“两个多项式A，B，其中，试求A＋2B”，这位同学把“A＋2B”看成了“A－2B”，结果求出答案是，那么A＋2B的正确答案是 ． 【变式6-1】已知，，则 ． 【变式6-2】已知多项式合并后的结果是，则下列关于a，b的叙述一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知． (1)化简； (2)当，时，求的值； 题型七 整式加减运算中先化简再求值 【例13】先化简，再求值：，其中，． 【例14】先化简，再求值：，其中a，b满足． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中：，． 【变式7-2】已知，，求的值 【变式7-3】已知，求 (1) (2)当时，求的值 题型八 整式的加减运算中错解复原问题 【例15】淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例16】已知两个多项式A和B，其中，当某同学计算时，把误看成，结果求出答案． (1)求出的正确答案． (2)若的值与m的取值无关，求n的值． 【变式8-1】已知A、B、C都是多项式，其中，． (1)求的值； (2)莉莉在计算时，误算成了，结果得到，请你帮莉莉求出正确的结果． 【变式8-2】某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出A的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【变式8-3】嘉嘉做一道数学题： 已知两个多项式□，，试求． 其中多项式中最高次项的系数印刷不清楚，嘉嘉看答案以后知道． (1)请你帮嘉嘉求出多项式中最高次项的系数“□”． (2)老师又给出了一个多项式，要求计算．嘉嘉在求解时，误把看成，结果求出的答案为．请你帮嘉嘉先求出多项式，再计算． (3)对于第（2）小题，琪琪说：“不用求出多项式，也能计算的结果．”你同意琪琪的说法吗？如果同意，请写出解题过程；如果不同意，请说明理由． 题型九 整式加减中的无关型问题 【例17】若代数式（a，b为常数）的值与字母x的取值无关，则代数式的值为（　　） A．0 B． C． D．6 【例18】当 时，多项式中不含项． 【变式9-1】若关于的多项式减去多项式的若干倍，其结果为常数项，则其运算结果是（   ） A．1 B． C． D． 【变式9-2】整式减去整式后，若不含项与项，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知代数式：，； (1)若，求代数式； (2)在（）的条件下，若，，求代数式的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 题型十 整式加减的应用 【例19】中国古代窗花图案设计的简约又美观，图（1）是由一个小正方形和四个形状相同的小长方形拼成的1个正方形窗花．如果窗花内小正方形的边长为，小长方形的长为，那么在图（2）中，由4个这样的窗花做成的正方形窗户的周长为 ． 【例20】第六届山西文化产业博览交易会以下简称文博会于月日在山西潇河国际会展中心开幕，据悉，本届文博会门票种类及价格如图所示七年级某研学小组的名同学利用周末到文博会参观已知他们中有名同学抢到了早鸟门票，其余同学购买了常规门票． 常规门票元张； 早鸟门票元张； 岁以上人员，现役军人， 残疾人可凭有效证件免票． (1)求该研学小组此次购买文博会门票的总费用；用含的代数式表示 (2)若有人抢到早鸟门票，求该研学小组购买文博会门票的总费用． 【变式10-1】某轮船先顺水航行，再逆水航行．若该轮船在静水中速度为，水流速度为，则轮船航行的总路程为 ． 【变式10-2】某中学劳动课王老师带领七（1）班学生开展“观察白菜成长”的项目式学习活动，准备在学校旁边的一块长方形空地上种植白菜，这块空地长为米，宽为米．如图，空地上有一个直径为米的圆形井盖和一个长为米，宽为米长方形水池． (1)井盖的面积为__________平方米；水池的面积为__________平方米．（用含，的代数式表示，结果保留） (2)计算这块空地的可种植白菜的面积．（用含，的代数式表示，结果保留） (3)如果每平方米种植白菜7棵，当，时，那么这块长方形空地上可种植多少棵白菜？（取，结果精确到个位） 【变式10-3】某超市在国庆假期期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 全部九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)小林一次性购物520元，他实际付款______元； (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500但不小于200时，他实际付款______元；当x大于或等于500时，他实际付款______元；（用含x的代数式表示并化简） (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（），则两次购物王老师实际付款多少元？（用含a的代数式表示并化简） 题型十一 整式加减中的新定义型问题 【例21】数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，1，2进行“运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对，0，2025进行“运算”结果是0； ②对进行“运算”的结果是10，则或3； ③在这一列数中插入一个数，然后进行“运算”，当其结果最小时，对应的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【例22】定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数853是否为“极差数”？_____．（填“是”或“不是”） 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为______； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【变式11-1】给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“相伴有理数对”记为．如，所以数对是“相伴有理数对”． (1)通过计算判断数对是否是“相伴有理数对”； (2)若数对是“相伴有理数对”，求的值． 【变式11-2】定义：若一个四位数的千位数字加上十位数字的和恰好等于百位数字加上个位数字的和，则称这个四位数为“团结数”． 【理解定义】 四位数2651是否为“团结数”？_________（填“是”或“否”） 【建模推理】 （1）设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d，请用含a、b、c的代数式来表示d：_________； （2）任意一个“团结数”能被11整除吗？为什么？ 【变式11-3】定义：若，则称a与b是关于的平衡数． (1)7与________是关于的平衡数，与________是关于的平衡数（用含x的多项式表示）； (2)若，，则a与b是否关于的平衡数吗？并说明理由． 题型十二 整式加减中的规律探究问题 【例23】体艺节期间，某班同学用火柴棒在课桌上依次搭成下列图案，摆1个五边形用了5根火柴（如图1），摆2个五边形用了9根火柴（如图2），摆3个五边形用了13根火柴（如图3），按照这种方式摆下去，摆第10个图案用火柴棒的根数为（    ） A．50 B．45 C．41 D．40 【例24】如下列图表所示，数字2在第1行第2列，2020在m行第n列， ． 【变式12-1】已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图所示的几何体都是由棱长为1的正方体叠放而成．图（1）几何体为1个正方体，其表面积为6；图（2）几何体由4个正方体组成，其表面积为18；图（3）几何体由10个正方体组成，其表面积为36；……，按照这样的规律，第15个几何体的表面积为 ． 【变式12-3】如图，平面内有公共端点的六条射线，，，，，，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． (1)直接写出“18”，“2025”在哪条射线上； (2)用含n（n为正整数）的式子表示射线和上数字的排列规律： (3)取每条射线上的第12个数，计算这六个数的和． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 2．已知，则的值等于（　　） A．1 B． C．4049 D． 3．近几年智能手表具备健康监测，运动追踪和长续航等功能，它逐渐成为中学生日常必备．智能手表价格也不断地降低．某品牌智能手表原售价为元，“双12”促销期间将要打七折，再优惠n元，那么该手表“双12”期间的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．关于、的多项式中，若不含项，则的值为（） A．0 B．2 C．3 D．4 5．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2022个图形中字母“H”的个数是（　　） A．4047 B．4046 C．4045 D．4044 二、填空题 6．若，，长方形M，N的尺寸如图，则长方形M与N的面积差为 ． 7．若的值是9，那么代数式的值是 ． 8．若是三个连续整数的中间一个，用含的代数式表示三个连续整数的和： ． 9．两个多项式相加的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式互为“关联多项式”．若多项式、、互为“关联多项式”，且，则的值为 ． 三、解答题 10．已知：． (1)计算：； (2)当时，求的值； (3)若的值与 y无关，求 x的值． 11．在中国传统文化中，安居是乐业之本．为改善市民居住条件，某市规划了名为“幸福家”的长方形标准户型，并为每户卧室统一铺设环保木地板，旨在提升居住幸福感．已知该户型平面图如下： (1)该户型的卧室铺木地板需要多少平方米？（用含、的代数式表示） (2)若，，木地板的价格为每平方米200元，求该户型的卧室铺木地板所需的费用为多少元？ 12．“数学规律探究”是解决实际问题的重要工具，某班级在开展“数字等式的奥秘”实践活动时，发现了一组有趣的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请根据以上实践素材，完成下列探究任务： (1)【独立思考】请根据你发现的规律直接写出第5个等式__________； (2)【实践探究】请根据你发现的规律计算：； (3)【问题拓展】求的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知，则的值是 ． 2．若将二进制数转化成十进制数为，则转化成十进制数为 ．（用含的代数式表示） 3．某数学课外兴趣小组在一次实践活动中，准备了三张正方形硬纸片，分别编号为，它们的边长分别为．在探究图形拼接与周长变化的关系时，小明无意中将这三张纸片按两种不同方式放置于同一个长方形内，如图1、图2，则图1与图2中的阴影部分周长的差为（    ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 5．【阅读理解】 关于x的整式，当x分别取一组相反数a和时，若式子的值相等，则称之为“偶代数式”；若式子 的值互为相反数，则称之为“奇代数式”．例如，， 所 以是“偶代数式”， ， 所 以是“奇代数式”．如果式子为“偶代数式”，那么x 取任意一组相反数，式子的值相等；反之，如果式子为“奇代数式”，那么式子的值互为相反数． 【初步探究】 （1）以下算式中，是“偶代数式”的有 ，是 “奇代数式”的有 ； （将正确选项的序号填写在横线上） ①；②；③ （2）对于整式，当x分别取2与时，求整式的值分别是多少； 【深入思考】 （3）根据（2）的探究结果思考，对于整式，当x 分别取，，，，0，1，2，3，4时，求这九个整式的值之和． 6．小敏和小华对一些四位数（、、、均为不超过9的正整数）进行了观察、猜想，请你帮助他们一起完成探究． (1)这个四位数可用含、、、的代数式表示为______； (2)小敏尝试将一些四位数倒序排列后，再与原数相加，发现和都为11的倍数． 如：，． 你认为上述结论对于一般的也成立吗？请说明理由； (3)小华猜想：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除． 例如：判断491678能不能被11整除． 奇位数字的和，偶位数字的和，，因此，491678能被11整除．这种方法叫奇偶位差法． 请你帮小华证明猜想：对于一个四位数（、、、均为不超过9的正整数），若满足，则四位数能被11整除． 3 3 学科网（北京）股份有限公司 $