专题03 全等三角形（期末专项训练，24大题型）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题03 全等三角形 题型1 判断命题的真假 题型13 全等三角形辅助线之连接两点构全等（提高题） 题型2 根据全等图形的概念判断 题型14 全等三角形辅助线之旋转模型（提高题） 题型3 利用全等三角形的性质求解 题型15 全等三角形中动点问题（压轴题） 题型4 尺规作图作三角形 题型16 全等三角形解答题探究问题（压轴题） 题型5 选择正确的判断依据 题型17 利用“等边对等角”进行求解 题型6 玻璃修复问题（常考题） 题型18 利用“三线合一”进行求解 题型7 利用全等三角形的判定简单求证（常考题） 题型19 方格中画等腰三角形 题型8 全等三角形性质与判定求线段 题型20 全等三角形中的实际应用 题型9 利用全等三角形性质与判定求角度 题型21 等腰三角形中需要分类讨论问题 题型10 添加一个条件使三角形全等 题型22 全等三角形中折叠问题 题型11 全等三角形辅助线之倍长中线法（提高题） 题型23 全等三角形中最值问题（压轴题） 题型12 全等三角形辅助线之一线三垂直（提高题） 题型24全等三角形中多结论问题（压轴题） 题型一 判断命题的真假（共4小题） 1．（25-26八年级上·河南周口·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角都是对顶角 B．若一个数的相反数是，则这个数是 C．若，则 D．同旁内角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假， 根据对顶角，相反数，平方根及平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角相等），∴ A是假命题， 设这个数为x，则其相反数为，由题意，，∴ B是真命题， ∵，∴，∴ C是假命题， ∵ 同旁内角互补时两直线平行，相等时不一定平行（如同旁内角均为60°时，两直线不平行），∴ D是假命题， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广西贺州·期中）下列命题中，属于真命题的是（） A．对顶角相等 B．若，则 C．如果，则， D．同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查真命题的判定，绝对值，对顶角，同位角，有理数的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：∵对顶角相等是几何基本定理，∴A是真命题； ∵时a与b可能互为相反数，∴B是假命题； ∵时a与b可能同负，∴C是假命题； ∵同位角相等需两直线平行，∴D是假命题． 故选：A． 3．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查定义的概念；定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述．选项D明确给出了直角三角形的定义，符合要求． 【详解】解：∵定义是明确概念含义的陈述，选项D中“有一个角是直角的三角形叫作直角三角形”符合定义的特征；   ∴选项D是定义． 其他选项A、C为操作指令，选项B为疑问句，均不是定义． 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列命题中，为真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理等知识点，掌握相关定义和性质是解题的关键． 根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理逐项判断即可． 【详解】解：A．点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故该选项正确，符合题意； B．相等的两个角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故该选项错误，不符合题意； C．同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，故该选项错误，不符合题意； D．平行公理指出过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，但该选项未指定点是否在直线外，若点在直线上，则不存在与已知直线平行的直线（除自身），故该选项错误，不符合题意． 故选A． 题型二 根据全等图形的概念判断（共4小题） 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】D 【详解】本题考查全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形要求形状和大小完全相同是解题的关键． 根据全等三角形的定义和性质逐项判断即可． 【分析】解：A．形状相同的三角形大小可能不相等，不不一定全等，该选项错误，不符合题意； B．面积相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； C．周长相等的三角形不一定全等，故该选项错误，不符合题意； D．全等三角形的对应边相等，故该选项正确，符合题意． 故选D． 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义，形状和大小都相同的图形才是全等图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、全等图形必须形状和大小都相同，故 A正确； B、两个圆只有半径相同时才全等，故 B错误； C、形状相同但大小不同的图形不全等，故C错误； D、面积相等但形状不同的三角形不全等，故D错误． 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ， 而不一定成立， 观察四个选项，C选项符合题意， 故选：C． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的对应角是， 故选：B． 题型三 利用全等三角形的性质求解（共4小题） 1．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理；全等三角形的对应角相等，得，在中即可求出. 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中. 故选：C. 2．（25-26八年级上·云南怒江·月考）如图，已知，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质；根据全等三角形的性质可得，进而可得，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，的延长线交于，交于，若，，，则 度． 【答案】/度 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中，， 即， 解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，已知，点，，，在同一条直线上，交于点．若四边形的面积为，则四边形（即阴影部分）的面积为 【答案】9 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，即全等三角形的面积相等，以及图形面积的转化．解题的关键在于理解全等三角形面积相等这一性质，并能发现四边形与四边形的面积都可以通过全等三角形面积与面积的差来表示，从而建立起它们之间的等量关系．因为三角形全等，所以这两个三角形的面积相等．观察图形可知，的面积减去的面积就是四边形的面积，的面积减去的面积就是四边形（阴影部分）的面积，由此可通过面积的等量关系求出阴影部分面积． 【详解】∵ ∴ ∴ 即 故答案为：9． 题型四 尺规作图作三角形（共4小题） 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，已知线段a，求作．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)，； (2)，． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题考查了尺规作图及直角三角形的相关性质． （1）作的垂直平分线交于点D，以D为圆心，为半径作圆弧于的垂直平分线的交点即为点C，顺次连接即可，此时； （2）作，在点C处作，上任取一点F，作，连接，作的垂直平分线，交于点B，此时，连接，则为所求． 【详解】（1）解：如图所示，为所求： 作的垂直平分线交于点D，以D为圆心，为半径作圆弧于的垂直平分线的交点即为点C，顺次连接即可，此时． （2）解：如图所示，为所求： 作，在点C处作，上任取一点F，作，连接，作的垂直平分线，交于点B，此时，连接，则为所求． ∵平分， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，已知线段a及，求作，使，，，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了用尺规作三角形，熟练掌握用尺规作三角形是解题的关键．先作，，则，然后在射线和上分别截取和，再连接即可． 【详解】解：如图，就是所求作的三角形． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期中）(1)如图，已知线段a，用尺规作出，使． (2)李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了作图-作三角形，作线段的垂直平分线，作角平分线，解题的关键是： （1）先作射线，在上截取，然后分别以C 、B为圆心，和为半径画弧，两弧相交于点A，连接、即可； （2）先画两公路所成角的平分线，再画出线段的垂直平分线，两线的交点就是P． 【详解】解：（1）如图，即为所求， ； （2）如图，点P即为所求， ． 4．（25-26八年级上·山东威海·月考）尺规作图：已知线段a，b和 求作：，使，，（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图——作三角形．先作，再在角的两边作，，连接即可． 【详解】解：如图，即为所求． 题型五 选择正确的判断依据（共4小题） 1．（25-26八年级上·上海·月考）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定 的依据是（    ）． A．SAS B．AAS C．SSS D．直角三角形全等的判定定理 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握利用证明两个直角三角形全等，是解题的关键．由作图可知，，利用证明两个直角三角形全等，即可． 【详解】解：由作图可知：， 在和中， ∵， ∴ （）； 故选D． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国传统工艺中，油纸伞的制作工艺非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图，这是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据全等三角形的判定定理可直接进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故选：A． 3．（25-26八年级上·河南周口·月考）用直尺和圆规作一个角的平分线，其作图依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定；由作图过程得角平分线的作图通过构造两个全等三角形来实现，其中三边对应相等，故依据SSS全等判定，即可求解． 【详解】解：设，以O为圆心画弧交于C，于D；再以C、D为圆心画弧交于E，连接． ，，， ， ， 即平分． 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用证明三角形全等，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用求解． 【详解】解：如图， 聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分， 、及它们所夹的边都可用， 他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形， 那么聪聪画图的依据是， 故选：A． 题型六 玻璃修复问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）假如航天员在维护中国空间站核心舱时，发现一块三角形硅晶体太阳能电池板因微陨石撞击碎裂成三块（如图所示）．为确保电池板结构完整与输出效率，需在地面紧急制造一块完全相同的备用件．依据全等三角形的判定条件，利用哪块碎片能最高效准确地复现原电池板？（   ） A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据全等三角形的判定，逐项分析判断即可． 【详解】解：由图，可知， 第①块碎片只知道一个角，第②块碎片所有的角与边都不知道，无法复现电池板； 第③块碎片包括两个角与一条夹边，根据，得利用碎片③能最高效准确地复现原电池板． 故选C． 2．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）小颖同学不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），她只拎第2块去玻璃店就能买到与原来形状、大小一模一样的玻璃．这里用到的数学原理是（    ） A．第2块的面积最大 B．三角形具有稳定性 C．三角形的内角和等于 D．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理即可得解． 【详解】解：由图得：第块含有三角形的两个角和它们的夹边， 则根据全等三角形的判定原理可知，通过“角边角”可找到一块一模一样的三角形． ∴这里用到的数学原理是：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 故选：D． 3．（24-25八年级上·青海西宁·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形，应该带第（     ）块． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法有、、、、是解题的关键． 根据三角形全等判定的条件进行解答即可． 【详解】解：、、块玻璃不同时具备包括一个完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：A． 4．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 题型七 利用全等三角形的判定进行简单求证（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）解： 由（1)可知：， ， ， ， ． 4．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）如图，点、、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握判定方法及性质是关键． （1）运用角边角证明即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 题型八 利用全等三角形性质与判定求线段长度（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在中，，．若，，则（） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意可证，进而可证明，可得，，则题目可解． 【详解】解：∵，， 且， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，C，D是上的两点，，，，，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据垂线的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，从而求出的长． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：2． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，直线l经过点M，，，垂足分别为B，C，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据已知条件找出多组等量关系是解题的关键． 由多个垂直关系，找出，结合直角以及，可证明，由此得出线段等量关系，解出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：6． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明，从而得出． 根据直角三角形的两锐角互余的性质求出，然后利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据，代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴（等角的余角相等），且， ， ， ，，， 故答案为：3． 题型九 利用全等三角形性质与判定求角度（共4小题） 1．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图， 在 和 中，，，，与交于点， 若，则 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理和全等三角形对应角相等的性质．依据判定；再根据全等三角形对应角相等的性质，得到． 【详解】解：在和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等，再结合三角形内角和推导的度数； 先证得对应角相等，再利用的度数推出的度数． 【详解】解：在和中， ，，， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（25-26八年级上·云南怒江·月考）如图，在中，，，分别以，为边作与，且，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据证明，可得，再根据三角形的内角和定理求出，进而可得结果． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则 ．（用表示）． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△△是解题的关键．由，得，而，，即可根据“”证明△△，得，，再推导出，则． 【详解】解：， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， 故答案为：． 题型十 添加一个条件使三角形全等（共4小题） 1．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在四边形中，，请补充一个条件： （写一个即可），使四边形成为一个轴对称图形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：添加的条件是， 理由是：在和中， ， ， 和沿折叠能完全重合， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，若要证明，则还要添加条件 就可以了． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 添加条件，根据等式的性质可得，再利用判定即可． 【详解】解：依题意，还要添加条件， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知，若要使，不允许标注其他字母则添加的一个条件为 ． 【答案】（或或（答案不唯一）） 【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：，， 当添加，； 当添加或时，； 当添加时，； 故答案为：（或或（答案不唯一）） 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图．和中．．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定方法填写即可． 【详解】解：∵，， ∴添加或，根据“”可以证明； 添加或，根据“”可以证明； 故答案为：（答案不唯一）． 题型十一 全等三角形辅助线之倍长中线法（共4小题） 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定及性质；延长至，使，由判定，由三角形的三边关系得，即可求解． 【详解】解：延长至，使， 是边上的中线， ， ， （）， ， ， ， ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川自贡·月考）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． (1)如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． (2)如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等）是解题的关键． （1）要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． （2）通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【详解】（1）解： 是中线， ． 在和中， ， ． （2）解：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 3．（25-26八年级上·广东汕头·月考）【方法呈现】 （1）如图1：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为___________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长； 【构建联系】 （3）如图3，在中，，，点是线段上的一点，点在延长线上的一点， 且，连接，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 【答案】（1）；（2）6；（3）见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线． （1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）过点D作，根据全等三角形的判定和性质得出，，求解即可； （3）证明，得出；延长，截取，连接，证明，得出，，证明，根据等腰三角形的性质得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 延长，截取，连接，如图所示： ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． A． B． C． D． 【变式与应用】如图2，是的中线，若，则的取值范围是___________． A． B． C． D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】如图3，，连接是的中点，试说明：； 【答案】[探究与发现] B ；[变式与应用] C； [问题拓展]见详解 【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键． [探究与发现]延长至点E，使，利用“边角边”可证； [变式与应用]延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解； [问题拓展] 延长到M，使，即，连接，依次证明，，即可证明结论． 【详解】[探究与发现]解：延长至点，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ， 在和中， ， ∴， 故选：B； [变式与应用] 解：延长到，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵，， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； [问题拓展] 证明：延长到M，使，即，连接，如图3所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 题型十二 全等三角形辅助线之一线三垂直（共4小题） 1．（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 3．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·月考）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 题型十三 全等三角形辅助线之连接两点构全等（共2小题） 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）连接，证明，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 连接，证出得出，设，得出，，即可解得． 【详解】解：连接， 设， ，， ， ， ， ， 的周长为12， ， 的周长为6， ， ， 解得：， ∴． 故选：A． 题型十四 全等三角形辅助线之旋转模型（共4小题） 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·江苏南通·月考）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 4．（23-24八年级上·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 题型十五 全等三角形中动点问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为 秒； （2）当t的值为 秒时，与全等． 【答案】 7 或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，注意进行分类讨论，是解题的关键． （1）根据长方形的性质得出，，根据得出，，说明此时点P在点C处，即可得出点P移动的距离为，最后求出结果即可； （2）分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：（1）∵四边形为长方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴此时点P在点C处， ∴此时点P移动的距离为， ∴； 故答案为：7； （2）在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为或秒时，和全等． 故答案为：或． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在中，平分，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)当时，求的值． (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 【答案】(1) (2)当时， (3)见解析 【分析】本题主要综合考查了全等三角形的判定与性质，动点问题的分类讨论思想，三角形面积公式的应用． ()通过角平分线性质得，根据证明 ，得到线段相等，再结合已知线段长度计算目标线段； ()分两种情况讨论，根据动点运动的不同阶段(点在上)分类列方程，由全等三角形的性质可求解，舍去不合题意的解后确定值； ()利用三角形面积公式，结合全等得到的高相等的条件，将面积比转化为底的比，再根据动点速度表示出底的长度，推导出面积的固定比例关系． 【详解】（1）解：平分， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ，， ． （2）， ． ①当时，点G在线段上运动，点E在线段上运动， ，， ， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上运动，点在线段上运动， ，， ， ． 综上所述，当时，． （3），，， ． 点以的速度从点向点F运动，动点以的速度从点向点运动， ，， ，即， 即， 在运动过程中，不管取何值，都有． 3．（25-26八年级上·吉林松原·月考）如图，在中．直线l经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿B－C－A路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，求t的值； (3)要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值． 【答案】(1)当，，当，； (2)或或或 (3)4或或16． 【分析】本题考查动点问题，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论，以免漏解. （1）根据题意分在上和在上求解即可； （2）由题意分当在上、在上、在上、在上四种情况求解即可； （3）分、、、四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， 当在上时，即，，则； 当在上时，即，； 所以当，，当，； （2）解：当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，解得； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，此时运动了， 即，解得； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以； 当在上时，直线平分面积， 即，又， 所以，此时运动了， 即，解得； 综上，当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，或或或 ； （3）解：当时，点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得； 当 时，即点M在上，点N在上，如图， 若、两点重合，则与全等， 此时， 即， 解得； 当时，即点M在上，点N在上，如图， ，， ， ， ， 要使与全等，则， ， 解得（舍去）； 当时，点M停在点A处，点N在上，如图， 当点与重合时，若，则与全等， 此时， 解得， 综上，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为4或或16， 故答案为：4或或16． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，过点C作射线．点M从点 B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接， 设移动时间为． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当与全等时，①若点M、N的移动速度相同， 求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值； (3)如图2，当点M、N开始移动时，点P 同时从点A 出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿返回．当点 M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)4 (2)①秒；②6． (3)2或 【分析】本题主要考查了行程问题、全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，理解题意、灵活运用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）根据时间、速度、路程的关系列式计算即可． （2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当时，两个三角形全等，求出运动实际t和a的值即可． （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：点M的运动时间（秒）， 故答案为：4． （2）解：①∵点M、N的移动速度相同， ， ∵ ， 当时，与全等， ∴，解得：秒 ②∵点M、N的移动速度不同， ， ∴时，两个三角形全等， ∴，解得：， ∴a的值为6． （3）解：若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等， ∴，解得： 若点M、N的移动速度相同，则，， ∴或，解得（舍弃）或， 综上所述，满足条件的t的值为2或． 题型十六 全等三角形解答题探究问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·重庆·月考）（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3） 【分析】本题考查“全等三角形的判定与性质”，灵活运用中点构造出全等三角形进行线段转换和计算是解题关键． （1）延长，构造全等三角形，将，，放在同一个三角形的三边中，利用三角形三边关系即可找出的范围； （2）先延长，构造全等三角形，再借助这个全等三角形，得到与全等的三角形，从而得到与的关系； （3）延长到，使，同（1）可证，得出，，利用角的和差关系及外角性质得出，利用证明，即可得． 【详解】（1）解：如图，延长至点E，使得， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， 根据三角形三边关系可知，， ∴，即， ∵， ∴； （2）证明：如图，延长至点E，使得， 同（1）理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长到，使， ∵，， ∴， ∴， 同（1）可证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、三角形面积公式、平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）过作交于，利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证； （3）参考（2）的方法构造全等，设，则，，由的面积是30，即可求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：过作于， ． ，， ． ． （2）解：， 理由：如图，过作交于， ，，． ∵点恰为线段中点， ． ． ． ，， ． ． ． （3）解：如图，延长交于点，过作， 是角平分线， ． ， ． ， ． ，． ， ，． 是中线， ． ． ， ． ． 设，则，， ． ， 整理得：， ． ， ． ． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）2或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握一线三等角和一线三直角模型是解题的关键． （1）运用一线三等角的模型直接证明即可； （2）先证明，再用证明得到，，结合即可得到； （3）分①当点在边上，点在边上，即时，②当点在边上，点在边上即时，③当点在边上，点在边上时，即时三种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴． ∵，，， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． （3）2或．理由如下： 根据题意，得． ∵，， ∴． ∵， ∴当时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等． ①如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ②如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ③如图，当点在边上，点在边上时，即时，，， ∴， 解得(舍去)． 综上所述，的值为2或． 3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称为“三线合一”），如图1，在中，已知，平分，则，． 【问题提出】在探索等腰三角形的判定方法时，老师提出：能否利用“三线合一”来探索其判定方法？ 【初步尝试】（1）若三角形的一条边上的中线也是这条边上的高时，这个三角形是等腰三角形吗？如图1，在中，点D是的中点，且，垂足为点D．求证：． 【深入探索】（2）小明发现，若三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形还是等腰三角形．验证如下： 已知，在中，平分，且点D是的中点．求证：． 小明提出了以下两种解题思路： 思路一：如图2，延长到点E，使，连接． 思路二：如图3，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． 请你选其中一种思路，完成命题的证明． 【拓展延伸】（3）如图4，在中，，，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设，的面积分别为，．若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）思路一：根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 思路二：作，，根据三角形的角平分线性质，可得，根据定理，易证，即可证得； （3）延长，交于点G，由可证，可得，，由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）思路一：证明：延长到点E，使，连接，如图， ∵平分， ∴， ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 思路二：证明：过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． ∵平分，，， ∴，， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图2，延长，交于点G， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 4．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）【发现问题】 （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一条直线上时，连接． 填空： ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为__________________； 【拓展研究】 （2）如图2，和均为等腰三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （3）如图3，点，分别在边，上，和均为等边三角形，绕点顺时针旋转（），当点，，不在同一条直线上时，设直线与相交于点，探索的度数，请直接写出结果，不必说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知这些性质定理是解题的关键． （1）根据和均为等边三角形，得，，，进而证得即可得结果； （2）根据（1）的做题思想同理证得，再根据等腰三角形三线合一的性质证得，最后可证得； （3）根据点E在的内部和外部，分类讨论求得的度数． 【详解】解： （1）①∵与均为等边三角形， ∴，，． ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴，． 如图1，设与交于点O， ∴． ∴． ②∵， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下， ∵与均为等腰三角形，， ∴，， ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵与均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，且， ∴． 即． （3）如图2，点E在的内部，由（1）知，同理可得． 如图3，点E在的外部， ∵与均为等边三角形， ∴，，． ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵． ∴． ∴． 故答案为：的度数为或． 题型十七 利用“等边对等角”进行求解（共4小题） 1．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，过点作直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题关键．根据等腰三角形的性质和可求得，再根据平行线的性质可求得． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 故选：． 2．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）如图， 在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据旋转的性质得到，，再根据等腰三角形的性质得到，然后根据邻补角的定义计算出的度数． 【详解】解：绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上， ，， ， ， ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质可以求出，由折叠的性质可得，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，将沿折叠，使点落在边上点处，且．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角、折叠的性质、三角形内角和定理、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．由等边对等角可得，，则；由折叠的性质可得，，再结合三角形内角和定理可得，根据平角的定义可得以及三角形内角和可得，最后解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∴， ∵将沿折叠，使点落在边上点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即①， ∵， ∴②， 把①代入②可得：， 解得：． 故选：C． 题型十八 利用“三线合一”进行求解（共5小题） 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，折叠的性质，先证明得出，根据三角形内角和定理得出，再导角得出，则是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵在中，，为中点， ∴，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图设交于点， 由折叠的性质可得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，为的角平分线，E为中点，连接，若，那么 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可证，所以，因为E为中点，由等腰三角形三线合一可知，根据直角三角形两锐角互余即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为的中线，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接，若，则 【答案】20 【分析】本题考查了三线合一，等边对等角． 根据三线合一得到为的角平分线，即，根据等边对等角得到，根据三线合一得到，根据计算即可． 【详解】∵，为的中线， ∴为的角平分线， ， ， ， ， ，为的中线， ， ， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，平分，点是的中点，连接，若的面积为4，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线有关的面积问题，先根据三角形面积公式，由点E是的中点得到，再根据等腰三角形的性质得到，则利用，所以． 【详解】解：∵点是的中点，的面积为4， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 5．（25-26九年级上·广西柳州·期中）如图，，于点，、、三点在同一直线上，连结，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据等腰三角形三线合一的性质作垂线．过点作交于点，过点作交于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判断和性质得出，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故的面积为． 故答案为：． 题型十九 方格中画等腰三角形（共4小题） 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质．结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形的底边；②为等腰直角三角形的一条腰； 接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点的个数，然后相加即可得到答案． 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰直角三角形的底边时，符合条件的P点有2个； ②为等腰直角三角形的一条腰时，符合条件的P点有4个． 所以使得为等腰直角三角形的点P有6个． 2．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 4．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 【答案】5 【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别为腰找等腰三角形和为底找等腰三角形，即可． 【详解】解：如图，分别为腰画出等腰三角形和为底画出等腰三角形， 符合条件的点C有5个， 故答案为：5． 题型二十 全等三角形中的实际应用（共4小题） 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高度．已知于点，于点．小明在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角．已知，，三点在同一条直线上，，，m，求办公楼的高度． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等、直角三角形的性质，掌握三角形全等的证明条件是解题关键． 通过证明得，结合，算出即可． 【详解】解： ，， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， 故办公楼高度为． 答：办公楼的高度为 2．（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）某八年级数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角，然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点，最后测得，求攀岩墙的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可证明，再证明，即可得到． 【详解】解：，， ， 在和中， ． ， 答：攀岩墙的高度为． 3.（24-25八年级·陕西咸阳·期末）数学活动实践课上，小辰所在的小组要测量出一栋教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼与旗杆之间选定一点E，测得旗杆顶C的视线与地面夹角，测得楼顶A的视线与地面夹角．已知，，B，E，D在同一条水平线上，且，均与地面垂直，求教学楼的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题的关键． 根据题意易得出，进而可求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴教学楼的高度为． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游船，他想知道凉亭与这艘游船之间的距离，就制定了如下方案． 课题：测凉亭与游船之间的距离 测量工具：皮尺等 测量方案示意图： 测量步骤： ①小明沿堤岸走到电线杆C处 ②再往前走相同的距离，到达D点 ③他到达D点后向左转90度直行，当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处... 测量数据：米，米，米 (1)凉亭与游船之间的距离是 米； (2)请你说明小明做法的正确性． 【答案】(1) (2)小明的做法正确，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形． （1）根据题意可直接得出凉亭与游船之间的距离等于的长度，即可得解； （2）利用证明即可得出答案． 【详解】（1）解：凉亭与游船之间的距离等于的长度，即为米， 故答案为：； （2）解：小明的做法正确，理由如下： 由题意可知，，，， 在和中， ， ． 米， 即测得的长就是凉亭与游船之间的距离． 因此，小明的做法是正确的． 5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，且左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等． (1)这两个滑梯的倾斜角与的大小关系如何？请说明理由． (2)求右边滑梯的高度． 【答案】(1)与互余，理由见解析 (2)3米 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）已知和中，，，利用可判断两三角形全等，则，又可知，则可知与的大小关系 （2）由全等三角形对应边相等可知，则题目可求． 【详解】（1）解：与互余； 理由：在和中， ， ∴ ， ， 又， ， 即两滑梯的倾斜角与互余； （2）解：∵ ， ∴米， 答：右边滑梯的高度为3米． 题型二十一 等腰三角形中需要分类讨论问题（共5小题） 1．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握这些知识并分类讨论是关键；分两种情况讨论：当是底角的外角时，底角为；当是顶角的外角时，底角为． 【详解】解：当底角的外角为时，底角； 当顶角的外角为时，底角． 故答案为或． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在等边中，是边上的中线，点是边上一点，若为等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质，可得垂直于，且．分类讨论为等腰三角形的三种情况：、、，其中不可能，故只考虑前两种情况，分别计算的度数． 【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，，， 当时， 则， ∴； 当时， 计算得， ∴； 当时，点不在边上，舍去； 综上，或． 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则 ，的长为 ． 【答案】 9或1 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形，点D是的中点， ，，， ，， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交AC于点M， 由知为等边三角形， ，， 为等边的边的中点， ，， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或 故答案为：，9或 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ∵，是等腰三角形， ∴分以下三种情况讨论： ①当时，， ，此时点与点重合，不符合题意； ②当时，， ； ③当时，， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， ． 【答案】或90或45 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与翻折变换，找出特殊点与，分别重合时的两点是解决问题的关键． 根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有，，，然后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， 点可能的位置共有：①当点与点点）重合时， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ，此时是等腰三角形，且； ②当点与点点）重合时，点与点重合， ，，， ，，是等腰三角形， ∴； ③如图当时，是等腰三角形． ∵． ∴， ∴； 故答案为：或90或45． 题型二十二 全等三角形中折叠问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·北京·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）在中，，若将，按如图方式折叠后，点，的对称点交于点，折痕分别是，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，熟练掌握折叠图形中对应角相等是解题的关键． 根据图形对折的性质，找到相等的角，利用等边三角形的性质，得到，然后利用周角的定义计算即可． 【详解】解：由折叠得：，，，， ， ． 是等边三角形． ． ， ． ． ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是 ．    【答案】50 【分析】由等腰三角形的性质可得，垂直平分,由角平分线的定义和垂直平分线的性质可得，由翻折可得垂直平分线段，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接，    设， 等腰中，， ， 是的平分线， ，的延长线垂直平分, 又是的中垂线， ， ， 由折叠可知：垂直平分线段， ， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一、中垂线的性质、折叠的性质、三角形内角和，角平分线等知识点；解题的关键是能正确作出辅助线，利用性质正确计算． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，求的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质等面积法求高，解题的关键是作出常用辅助线及熟练掌握折叠的性质． 由折叠的性质可得：，，，进而证得，得到，由面积法可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，， 如图，过点D作于点M，作于点N，则， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二十三 全等三角形中最值问题（共3小题） 1．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，在边长为的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】连接，由都是等边三角形，是的中点， 得，，，证明 ， 所以，从而得在过并且垂直的线上运动，当在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 然后通过等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，   ∵都是等边三角形，是的中点， ∴，，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在过并且垂直的线上运动， 如图，作点关于的对称点，连接，， ∴， ∴如图，当在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形外角性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，点P为内一点，点M，N分别是射线上一点，当的周长最小时，，则的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，两点之间线段最短；添加辅助线，构造轴对称，得到相等线段，相等的角是解题的关键． 作关于，的对称点，，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，由轴对称知，是等腰三角形， ，，得出结论． 【详解】作关于，的对称点，连接，，、， 则， ∴， ∴，是与，的交点时，的周长最短， 关于对称， ，，， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，点O为内一点，过点O分别作的垂线，垂足分别为点M、N．点P、Q分别为上的动点，分别连接，当的周长最小时，的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称解最短路线问题，等边对等角,三角形内角和，三角形外角性质，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键， 作点O关于的对称点，作点O关于的对称点，连结，根据轴对称——最短路线问题，当共线时，的周长最小，作出相应的图形，再结合三角形内角和、三角形一个外角等于不相邻两个内角和定理等知识解题即可． 【详解】解∶作点O关于的对称点，作点O关于的对称点，连接， ∴ ， ， ∴， 当四点共线时， 的周长最小，即 此时 ， ， ． 故选：C． 题型二十四 全等三角形中多结论问题（共4小题） 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，平分，平分，且交于点，延长至点，使，连接；延长交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等，由“”可证，即可判定①；由全等三角形的性质得，进而可得，即得，即可证，得到，假设，则，连接，可证，得到，即得，可得四边形是正方形，得，与矛盾，即可判定②；利用全等三角形的性质可判定③和⑤；由为的垂直平分线，得，再根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，与矛盾， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ， 即，故⑤正确； ，， 为的垂直平分线， ， ∴， ， ， 又平分，平分， ， ， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上，①③④⑤正确， 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为．其中正确的结论为（    ） A．①③④ B．①② C．①②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键． 首先证明，得到，得到是等边三角形，②正确；根据与都是等腰直角三角形，得到得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，得出的度数为，故④不正确． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形 ∴ 故②正确， ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ， ∴ ∵，， 垂直平分， 故①正确， ∴ ， 平分， 故③正确， 为等腰三角形，顶角， ， 同理， ∴的度数为 故④不正确． 故选：D． 3．（25-26八年级上·天津·期中）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 证明≌，可得①正确；即可求得，可得③正确；再证明≌，可得②④正确和，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判断与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故②④正确，符合题意； ∵， ∴是等边三角形， 故⑤正确，符合题意； 作于，于，如图所示： 则， 在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵于，于， ∴是的平分线， 故⑥正确，符合题意； 正确的有6个． 故选：D． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． ①连接，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；③证明且，即可证得是等边三角形；④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上正确的结论有：①③④， 故选：A． 1 / 107 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形 题型1 判断命题的真假 题型13 全等三角形辅助线之连接两点构全等（提高题） 题型2 根据全等图形的概念判断 题型14 全等三角形辅助线之旋转模型（提高题） 题型3 利用全等三角形的性质求解 题型15 全等三角形中动点问题（压轴题） 题型4 尺规作图作三角形 题型16 全等三角形解答题探究问题（压轴题） 题型5 选择正确的判断依据 题型17 利用“等边对等角”进行求解 题型6 玻璃修复问题（常考题） 题型18 利用“三线合一”进行求解 题型7 利用全等三角形的判定简单求证（常考题） 题型19 方格中画等腰三角形 题型8 全等三角形性质与判定求线段 题型20 全等三角形中的实际应用 题型9 利用全等三角形性质与判定求角度 题型21 等腰三角形中需要分类讨论问题 题型10 添加一个条件使三角形全等 题型22 全等三角形中折叠问题 题型11 全等三角形辅助线之倍长中线法（提高题） 题型23 全等三角形中最值问题（压轴题） 题型12 全等三角形辅助线之一线三垂直（提高题） 题型24全等三角形中多结论问题（压轴题） 题型一 判断命题的真假（共4小题） 1．（25-26八年级上·河南周口·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角都是对顶角 B．若一个数的相反数是，则这个数是 C．若，则 D．同旁内角相等，两直线平行 2．（25-26八年级上·广西贺州·期中）下列命题中，属于真命题的是（） A．对顶角相等 B．若，则 C．如果，则， D．同位角相等 3．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）在下列句子中，是定义的是（   ） A．过一点画已知直线的垂线 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）下列命题中，为真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 题型二 根据全等图形的概念判断（共4小题） 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．周长相等的两个三角形全等 D．全等三角形的对应边相等 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下列说法正确的是（   ） A．全等图形的形状、大小都相同 B．两个圆是全等图形 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．面积相等的两个三角形是全等图形 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 题型三 利用全等三角形的性质求解（共4小题） 1．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南怒江·月考）如图，已知，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，，的延长线交于，交于，若，，，则 度． 4．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，已知，点，，，在同一条直线上，交于点．若四边形的面积为，则四边形（即阴影部分）的面积为 题型四 尺规作图作三角形（共4小题） 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，已知线段a，求作．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)，； (2)，． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，已知线段a及，求作，使，，，不写作法，保留作图痕迹． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期中）(1)如图，已知线段a，用尺规作出，使． (2)李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 4．（25-26八年级上·山东威海·月考）尺规作图：已知线段a，b和 求作：，使，，（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 题型五 选择正确的判断依据（共4小题） 1．（25-26八年级上·上海·月考）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定 的依据是（    ）． A．SAS B．AAS C．SSS D．直角三角形全等的判定定理 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）我国传统工艺中，油纸伞的制作工艺非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图，这是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南周口·月考）用直尺和圆规作一个角的平分线，其作图依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（   ） A． B． C． D． 题型六 玻璃修复问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）假如航天员在维护中国空间站核心舱时，发现一块三角形硅晶体太阳能电池板因微陨石撞击碎裂成三块（如图所示）．为确保电池板结构完整与输出效率，需在地面紧急制造一块完全相同的备用件．依据全等三角形的判定条件，利用哪块碎片能最高效准确地复现原电池板？（   ） A．① B．② C．③ D．①③ 2．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）小颖同学不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），她只拎第2块去玻璃店就能买到与原来形状、大小一模一样的玻璃．这里用到的数学原理是（    ） A．第2块的面积最大 B．三角形具有稳定性 C．三角形的内角和等于 D．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 3．（24-25八年级上·青海西宁·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形，应该带第（     ）块． A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 题型七 利用全等三角形的判定进行简单求证（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，已知，，，求证：． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 3．（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 4．（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）如图，点、、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型八 利用全等三角形性质与判定求线段长度（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在中，，．若，，则（） A．6 B．7 C．8 D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，C，D是上的两点，，，，，若，，则的长为 ． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，，，直线l经过点M，，，垂足分别为B，C，若，，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在中，，，，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若，则 ． 题型九 利用全等三角形性质与判定求角度（共4小题） 1．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图， 在 和 中，，，，与交于点， 若，则 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·云南怒江·月考）如图，在中，，，分别以，为边作与，且，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．则 ．（用表示）． 题型十 添加一个条件使三角形全等（共4小题） 1．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在四边形中，，请补充一个条件： （写一个即可），使四边形成为一个轴对称图形． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，，若要证明，则还要添加条件 就可以了． 3．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知，若要使，不允许标注其他字母则添加的一个条件为 ． 4．（25-26八年级上·北京·期中）如图．和中．．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 题型十一 全等三角形辅助线之倍长中线法（共4小题） 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川自贡·月考）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． (1)如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． (2)如图，，，，，为中点，求证：． 3．（25-26八年级上·广东汕头·月考）【方法呈现】 （1）如图1：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为___________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 （2）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长； 【构建联系】 （3）如图3，在中，，，点是线段上的一点，点在延长线上的一点， 且，连接，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． A． B． C． D． 【变式与应用】如图2，是的中线，若，则的取值范围是___________． A． B． C． D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】如图3，，连接是的中点，试说明：； 题型十二 全等三角形辅助线之一线三垂直（共4小题） 1．（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 2．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 3．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·月考）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 题型十三 全等三角形辅助线之连接两点构全等（共2小题） 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则的长为（  ） A． B． C． D． 题型十四 全等三角形辅助线之旋转模型（共4小题） 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25八年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 3．（24-25八年级上·江苏南通·月考）（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 4．（23-24八年级上·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 题型十五 全等三角形中动点问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为 秒； （2）当t的值为 秒时，与全等． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）如图，在中，平分，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)当时，求的值． (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 3．（25-26八年级上·吉林松原·月考）如图，在中．直线l经过点C，点M以每秒的速度从B点出发，沿B－C－A路径向终点A运动，同时，点N以每秒的速度从A点出发，沿路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过M、N作于点D，于点E，设点N运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当M或N与三角形某个顶点所连直线平分面积时，求t的值； (3)要使以点M、D、C为顶点的三角形与以点N、E、C为顶点的三角形全等，直接写出的值． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，过点C作射线．点M从点 B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接， 设移动时间为． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为 s； (2)当与全等时，①若点M、N的移动速度相同， 求t的值； ②若点M、N的移动速度不同，求a的值； (3)如图2，当点M、N开始移动时，点P 同时从点A 出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿返回．当点 M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 题型十六 全等三角形解答题探究问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·重庆·月考）（1）如图1，是的中线，已知，，则的取值范围为_____． （2）如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 3．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称为“三线合一”），如图1，在中，已知，平分，则，． 【问题提出】在探索等腰三角形的判定方法时，老师提出：能否利用“三线合一”来探索其判定方法？ 【初步尝试】（1）若三角形的一条边上的中线也是这条边上的高时，这个三角形是等腰三角形吗？如图1，在中，点D是的中点，且，垂足为点D．求证：． 【深入探索】（2）小明发现，若三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形还是等腰三角形．验证如下： 已知，在中，平分，且点D是的中点．求证：． 小明提出了以下两种解题思路： 思路一：如图2，延长到点E，使，连接． 思路二：如图3，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F． 请你选其中一种思路，完成命题的证明． 【拓展延伸】（3）如图4，在中，，，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设，的面积分别为，．若，求的值． 4．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）【发现问题】 （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一条直线上时，连接． 填空： ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为__________________； 【拓展研究】 （2）如图2，和均为等腰三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （3）如图3，点，分别在边，上，和均为等边三角形，绕点顺时针旋转（），当点，，不在同一条直线上时，设直线与相交于点，探索的度数，请直接写出结果，不必说明理由． 题型十七 利用“等边对等角”进行求解（共4小题） 1．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，过点作直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）如图， 在中，，将绕着点A顺时针旋转后，得到，且点在上， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西南宁·月考）如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，将沿折叠，使点落在边上点处，且．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型十八 利用“三线合一”进行求解（共5小题） 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D为中点，，，点E为上一动点，将沿折叠得到，与交于点G，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，为的角平分线，E为中点，连接，若，那么 ． 3．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为的中线，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接，若，则 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，平分，点是的中点，连接，若的面积为4，则的面积等于 ． 5．（25-26九年级上·广西柳州·期中）如图，，于点，、、三点在同一直线上，连结，，则的面积为 ． 题型十九 方格中画等腰三角形（共4小题） 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 2．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 4．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 题型二十 全等三角形中的实际应用（共4小题） 1．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高度．已知于点，于点．小明在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台点处测得办公楼顶部点的视线与水平线的夹角．已知，，三点在同一条直线上，，，m，求办公楼的高度． 2．（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）某八年级数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角，然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端点，最后测得，求攀岩墙的高度． 3.（24-25八年级·陕西咸阳·期末）数学活动实践课上，小辰所在的小组要测量出一栋教学楼的高度．测量方法如下：如图，在教学楼与旗杆之间选定一点E，测得旗杆顶C的视线与地面夹角，测得楼顶A的视线与地面夹角．已知，，B，E，D在同一条水平线上，且，均与地面垂直，求教学楼的高度． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（与堤岸垂直）停有一艘游船，他想知道凉亭与这艘游船之间的距离，就制定了如下方案． 课题：测凉亭与游船之间的距离 测量工具：皮尺等 测量方案示意图： 测量步骤： ①小明沿堤岸走到电线杆C处 ②再往前走相同的距离，到达D点 ③他到达D点后向左转90度直行，当看到电线杆与游船在一条直线上时停下来，此时小明位于点E处... 测量数据：米，米，米 (1)凉亭与游船之间的距离是 米； (2)请你说明小明做法的正确性． 5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，且左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等． (1)这两个滑梯的倾斜角与的大小关系如何？请说明理由． (2)求右边滑梯的高度． 题型二十一 等腰三角形中需要分类讨论问题（共5小题） 1．（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为 ． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在等边中，是边上的中线，点是边上一点，若为等腰三角形，则 ． 3．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则 ，的长为 ． 4．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作，交线段于点．当是等腰三角形时，的度数为 ． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， ． 题型二十二 全等三角形中折叠问题（共4小题） 1．（25-26八年级上·北京·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）在中，，若将，按如图方式折叠后，点，的对称点交于点，折痕分别是，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是 ．    4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，求的长为 ． 题型二十三 全等三角形中最值问题（共3小题） 1．（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，在边长为的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 ． 2．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，点P为内一点，点M，N分别是射线上一点，当的周长最小时，，则的度数是 ． 3．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，，点O为内一点，过点O分别作的垂线，垂足分别为点M、N．点P、Q分别为上的动点，分别连接，当的周长最小时，的度数为（） A． B． C． D． 题型二十四 全等三角形中多结论问题（共4小题） 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，平分，平分，且交于点，延长至点，使，连接；延长交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为．其中正确的结论为（    ） A．①③④ B．①② C．①②③④ D．①②③ 3．（25-26八年级上·天津·期中）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 1 / 107 学科网（北京）股份有限公司 $