专题03 全等三角形（期末复习讲义，6知识点+17题型）八年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学全等三角形复习讲义通过表格系统梳理核心考点，涵盖全等三角形概念、性质、判定及与等腰三角形、角平分线等综合应用，用思维导图呈现"性质-判定-应用"递进关系，明确考情规律和易错点，构建完整知识网络。 讲义亮点在于分层题型设计，如"破碎玻璃修复"实际问题培养几何直观，"动点问题分类讨论"强化推理意识，结合易错提示和规范步骤指导。基础通关、重难突破、综合拓展练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生逻辑推理与应用能力。

专题03 全等三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 全等三角形的概念与对应关系 1.能准确说出全等三角形的定义，理解 “完全重合”的含义 2.熟练掌握找对应边、对应角的方法： 1.考查形式：选择题、填空题为主，分值2~3分 2.命题特点：结合简单图形（含公共边、公共角、折叠/旋转背景）考查对应关系，难度低 3.易错点：忽略全等表示式的顶点顺序，错判对应边/角 全等三角形的性质 1.牢记性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等；对应中线、对应高、对应角平分线相等；周长相等、面积相等 2.能利用性质进行简单计算：已知一组全等三角形的边长/角度，求另一组对应边/角的大小 1.考查形式：选择题、填空题、解答题核心考点，分值 3~8 分 2.命题特点： 基础题：辨析判定定理的正误（如“SSA 能否判定全等”） 中档题：补充条件使三角形全等（条件开放题） 3.高频易错点：误用 SSA 判定全等；混淆 SAS 的“夹角”与“邻角” 全等三角形的判定定理 1.熟练掌握5种判定方法的适用条件： SSS：三边对应相等（任意三角形） SAS：两边及其夹角对应相等（夹角是关键，排除 SSA） ASA：两角及其夹边对应相等 AAS：两角及其中一角的对边对应相等 HL：斜边+一条直角边对应相等（仅直角三角形） 2.能根据题目条件选择合适的判定定理，区分“能判定”和“不能判定”的情况 1.考查形式：选择题、填空题、解答题核心考点，分值 3~8 分 2.命题特点： - 基础题：辨析判定定理的正误（如“SSA 能否判定全等”） - 中档题：补充条件使三角形全等（条件开放题） 3.高频易错点：误用 SSA 判定全等；混淆 SAS 的“夹角”与“邻角” 全等三角形的判定与性质综合应用 1.掌握核心解题思路：证全等→得对应边/角相等→推导目标结论 2.能解决两类核心问题： 证明线段相等、角相等 证明线段平行、垂直（通过角相等推导） 3.能规范书写证明步骤：“找条件→证全等→得结论”，标注判定定理 1.考查形式：解答题为主，分值 6~8 分，是期末几何必考大题 2.命题特点： 背景图形：含公共边 / 角、平行线、角平分线的简单几何图形 综合考点：常与平行线的性质与判定、垂直的定义结合 命题趋势：证明题逐步增加 “多步全等” 的难度，需要连续证明两次全等才能得出结论 等腰三角形的判定 涵盖定义、等边对等角、三线合一、等角对等边、等边三角形的性质与判定及分类讨论问题；复习目标是掌握概念、定理及应用方法，能进行角度边长计算、证明线段角关系、解决分类讨论和综合问题，提升逻辑推理与几何直观素养 以选择、填空、解答题形式考查，分值占比适中，基础题侧重概念和定理直接应用，中档题常与全等、平行线、折叠旋转结合，分类讨论和动点探究题是拔高重点，也是期末和中考的高频考点。 角平分线和垂直平分线 掌握两者的性质与判定定理，能运用定理证明线段相等、角相等、垂直关系，结合全等三角形解决几何证明与计算问题，提升几何直观与逻辑推理能力； 以选择、填空、解答题形式考查，分值占比 3~6 分，基础题侧重定理直接应用，中档题常与等腰三角形、全等三角形、折叠问题结合，性质与判定的综合应用及实际建模题是期末和中考的高频考点 知识点01 命题、定义、定理与证明 概念 定义 关键细节 示例 命题 能判断真假的陈述句，一般形式为“如果p，那么q” p=题设(条件)，q=结论；分真命题、假命题 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”(真命题) 定义 对概念的明确界定，用于区分其他概念 必须准确、无歧义 “能够完全重合的两个三角形是全等三角形” 定理 经逻辑证明为真的命题，可作为推理依据 是证明的基础，具有普适性 “SSS判定定理”“等腰三角形三线合一” 证明 确认命题为真的逻辑推理过程 步骤：①写已知、求证；②画图；③写证明(每步有依据) 证明“三角形内角和为180°” 反例 满足命题条件但不满足结论的例子 用于证明假命题 “三个角对应相等的三角形全等”(反例：大小不同的等边三角形) 知识点02 全等三角形的概念、对应关系和性质 1.定义：能够完全重合的两个三角形，用符号“≌”表示，对应顶点字母必须写在对应位置(如△ABC≌△DEF)。 2.对应关系判定方法 ①对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角； ②公共边、公共角、对顶角优先作为对应边、对应角； ③最长边对最长边，最大角对最大角，最短边对最短边，最小角对最小角。 3.性质(符号语言：△ABC≌△DEF) ①对应边相等：AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②对应角相等：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F； ③衍生性质：周长相等、面积相等，对应高、中线、角平分线相等； ④全等变换：平移、翻折、旋转前后的三角形全等（状、大小不变）。 知识点03 全等三角形的判定 1.全等三角形的五大判定方法 判定方法 条件 符号语言（△ABC≌△DEF） SSS（边边边） 三边对应相等 AB=DE，BC=EF，AC=DF SAS（边角边） 两边及其夹角对应相等 AB=DE，∠B=∠E，BC=EF ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等 ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等 ∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF HL（斜边直角边） 直角三角形中，斜边和一直角边对应相等 ∠C=∠F=90°，AB=DE，BC=EF 2.全等判定的通用思路 已知条件 优先选择的判定方法 辅助线策略 三边 SSS 直接用三边相等判定 两边 找夹角（SAS）或第三边（SSS） 作辅助线构造夹角或第三边 一边一角 边为角的对边→AAS；边为角的邻边→SAS 或 ASA 作高、中线构造直角或相等线段 两角 ASA（夹边）或AAS（对边） 利用内角和推导第三角 直角三角形 HL（优先）或SSS/SAS/ASA/AAS 标注直角，明确斜边和直角边 知识点04 等腰三角形的性质与判定 1.等腰三角形的定义 ①基本定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；相等的两条边叫做腰；第三条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角；腰与底边的夹角叫做底角。 ②特殊情况：三条边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2、等腰三角形的性质 性质1：等边对等角 ①内容：等腰三角形的两个底角相等。 ②符号语言：在△ABC中，若AB=AC,则∠B=∠C。 性质2：三线合一(核心性质) ①内容：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ②符号语言：如图2所示，在△ABC中，AB=AC, 若AD平分∠BAC,则AD⊥BC,BD=CD； 若AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，∠BAD=∠CAD； 若AD⊥BC，则BD=CD，∠BAD=∠CAD。 关键注意：三线合一仅适用于底边上的三线，腰上的中线、高与顶角平分线不重合。 3.对称性 等腰三角形是轴对称图形，只有1条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在的直线）。 4.特殊等腰三角形——等边三角形 性质：①三边都相等，三个内角都相等，且每个内角都等于60°；②具备等腰三角形的所有性质，且“三线合一”的性质适用于三条边上的中线、高、角平分线；③是轴对称图形，有3条对称轴。 判定：①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 知识点05 互逆命题和互逆定理 1.互逆命题定义：对于两个命题，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 命题的基本形式为“如果p，那么q”（p是题设，q是结论）。 原命题：如果p，那么q 逆命题：如果q，那么p。 2.互逆定理定义 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么这个逆命题就叫做原定理的逆定理，此时原定理和逆定理叫做互逆定理。 关键条件：一个定理有逆定理，必须同时满足两个条件： ①能写出该定理的逆命题； ②这个逆命题是真命题（需经过严格的逻辑证明）。 知识点06 垂直平分线和角平分线 1.角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.角平分线的性质定理 内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 符号语言： 如图3，若OC平分∠AOB,点P在OC上，且PD⊥OA,PE⊥OB,则PD=PE。 关键条件：①点在角平分线上；②点到角两边的距离(即垂线段的长度),两个条件缺一不可。 3.角平分线的判定定理 内容：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 符号语言： 如图3，若点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）。 关键条件：①点在角的内部；②点到角两边的垂线段相等，两个条件缺一不可。 4.线段垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(简称“中垂线”)。 ①垂直平分线与线段的交点是线段的中点； ②垂直平分线与线段的夹角为90。 5.线段垂直平分线的性质定理 内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 符号语言：如图4，若直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为O,点P在MN上，则PA=PB。 关键条件：点在线段的垂直平分线上，即可得点到线段两端点的距离相等。 题型一 判断命题的真假 易｜错｜提｜示 易错表现 1.把疑问句、祈使句、感叹句当作命题判断真假 例：“作线段AB的垂直平分线”（祈使句，无判断）、“全等三角形好看吗？”（疑问句，无判断），这些语句本身不是命题，无法谈真假。 2.把未明确条件和结论的模糊语句当作命题。 例：“三角形的高”（只有名词，无判断），不是命题。 规避方法 牢记命题的定义：能判断真假的陈述句，必须同时满足“陈述句”和“有明确判断（对或错）”两个条件。 【典例1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．算术平方根等于它本身的数是0 C．对顶角相等 D．在数轴上没有表示这个数的点 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判断，根据等式的性质，算术平方根的性质，对顶角的性质和实数与数轴的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原命题是假命题，不符合题意； B、算术平方根等于它本身的数是0和1，原命题是假命题，不符合题意； C、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意； D、实数和数轴上的点一一对应，故在数轴上有表示这个数的点，原命题是假命题，不符合题意； 故选C． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列命题中，是真命题的是（ ） A．同位角相等 B．若，则 C．三角形的一个外角等于两个内角之和 D．平行于同一直线的两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假． A选项缺少两直线平行的条件；B选项忽略a与b可能互为相反数；C选项错误表述为任意两个内角之和，实际应为不相邻的两个内角之和；D选项是平行公理的推论，正确． 【详解】解：A：同位角相等需两直线平行，否则不一定成立，A是假命题； B：由可知，不一定，B是假命题； C：三角形外角等于与之不相邻的两个内角之和，不是任意两个内角之和，C是假命题； D：平行于同一直线的两直线平行，这是平行公理的基本推论，D是真命题； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）下列命题中，是假命题的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．多边形的内角和等于 C．四边形的外角和等于 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理、多边形的内角和公式、多边形的外角和性质以及平行线的传递性；根据平行线的判定定理、多边形的内角和公式、多边形的外角和以及平行线的传递性进行判断，即可求解． 【详解】解： A选项：同位角相等，两直线平行，是平行线的判定定理，是真命题； B选项：多边形的内角和等于（n为边数），只有当时内角和为，其他情况下均不为，故命题错误，是假命题； C选项：所有多边形的外角和都等于，是真命题； D选项：平行于同一条直线的两条直线互相平行，是平行线的传递性，是真命题； 故选：B． 题型二 利用全等三角形的性质求角度 【典例2】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，若，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键． 根据两个三角形全等可得，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】，， ， ， ； 故选． 【变式1】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，首先求出，然后得出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，若，，则的度数为 度 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的性质得到，因此，即可求出的度数． 【详解】解：≌， ， ， ， ． 故答案为：． 题型三 利用全等三角形的判定简单求证 易｜错｜提｜示 易错类型 核心错误原因 规避策略 误用伪定理 混淆 SAS与SSA、AAA与全等判定 牢记4+1判定定理，排除SSA、AAA 对应关系混乱 忽略对应顶点，边、角张冠李戴 先确定对应顶点，按对应关系梳理条件 遗漏隐含条件 不会利用公共边、角平分线等条件 标记图形隐含条件，建立条件转化思维 步骤不规范 跳步、定理标注错误 遵循 “列条件→写全等→标定理” 三步法 逻辑顺序颠倒 先用法则后判定 先证明全等，再用全等性质推导结论 【典例3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理和外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）根据全等和三角形内角和定理，得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，；求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，平行线的性质定理． 根据平行得到，然后可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 题型四 要使三角形全等需要添加的条件 【典例4】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，已知，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由平行线的性质得，，再由证明即可． 本题考查了全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加，理由如下： ， ，， 又， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在与中，若，，且 （添加一个条件即可），就可以证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定，即可判断． 【详解】解：∵，， ∴添加（答案不唯一）即可得到． 故答案为：（答案不唯一）． 题型五 破碎玻璃修复问题 解｜题｜技｜巧 全等三角形的“破碎玻璃修复”问题，本质是利用全等判定定理，确定能还原原三角形形状和大小的碎片，核心逻辑是：保留的碎片需包含足够的边、角条件，能唯一确定原三角形的形状。 一、题型背景 一块三角形玻璃破碎成多片，需要带其中一块碎片去玻璃店配一块与原玻璃完全一样的新玻璃，问带哪一块最合适? 这类问题的关键是：判断哪块碎片包含的条件能满足全等三角形的判定定理，因为满足判定定理的碎片，能唯一确定原三角形的形状和大小。 二、核心解题思路 1.分析每块碎片包含的边、角条件 破碎后的玻璃碎片，常见的三种情况： 碎片类型 包含的条件 能否还原原三角形 碎片 1：保留了原三角形的两个角和它们的夹边 两角及夹边（ ASA ） 能 碎片 2：保留了原三角形的两个角和其中一角的对边 两角及一角对边（ AAS ） 能 碎片 3：保留了原三角形的两条边和它们的夹角 两边及夹角（ SAS ） 能 碎片 4：只保留了一个角或一条边 单个角 / 单个边 不能 碎片 5：保留了两条边和其中一边的对角（ SSA ） 两边及非夹角 不能 【典例5】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，你认为应带去的一块是 ． 【答案】第2块 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，要求学生能对常用的判定方法熟练掌握并能进行灵活运用．解决本题主要看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块． 根据已知图形及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：只有第2块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合． ∴应带去的一块是第2块， 故答案为：第2块． 【变式1】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　）    A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用． 【详解】解：想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是①④或③④， 满足的为①④， 故选D． 【变式2】（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（    ）去配． A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法解答． 【详解】解：带①去可以根据“角边角”配出全等的三角形． 故选：A． 题型六 利用全等三角形的性质和判定求角度 【典例6】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）如图，已知，、、三点在一条直线上．若 ，则的度数为 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，解决本题的关键是证明与全等． 由边角边的证明方法可证明与全等，即可得，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， 且，， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即． 故答案为： ． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，，平分，E为上一点，且，连接并延长，交于点F，若，则的度数为 ． 【答案】/32度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．由平分可得，根据可证得，由此可得，再由对顶角相等可得，即可求解． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在等腰中,，E是三角形内一点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用旋转性质证明三角形全等，推导角的数量关系． 由旋转得、，结合等腰的、，证得；再由等腰的，计算 【详解】解：∵ 线段OE绕点逆时针旋转得到OF， ∴ ，． ∵ 是等腰直角三角形，， ∴ ，， ∴ ，即 在和中， ∴ ， ∴ ． ∵ 是等腰直角三角形，， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 题型七 利用全等三角形的性质和判定求线段长度 【典例1】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 首先以为边作等边，连接，利用全等三角形的判定得出，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵是等边三角形， ∴ ，， ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴． 在中，，， 于是， ∴． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点．若，，则的长为（   ）．    A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，连接，证明，则，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，则∴，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，是过A的一条直线，且在异侧，于D，于E．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后证明，得到，最后利用得出答案． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识． 由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 题型八 全等三角形中的实际应用 【典例8】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意易得，，根据余角的性质得到，进而证得，根据全等三角形的性质得到和，从而得到的长． 【详解】解：每块砖的厚度， ，， 由题意可知，，， ， ， 在和中， ， ，， ， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·湖南·期末）如图所示，小刚站在河边的点处，在河的对面(小刚的正北方向)的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了步．如果小刚一步大约，估计小刚在点处时他与电线塔的距离为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意先求得，证明)，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得，步， 步， ∵一步大约， ， 在与中， ，，， )， ，即小刚在点处时他与电线塔的距离为． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级·陕西西安·期末）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离 ． 【答案】/5米 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，先过点作于点F，再证明，可得，再由可得答案． 【详解】解：过点作于点F， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 题型九 全等三角形的性质与判定综合 【典例9】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， （1）用直接证明全等即可； （2）根据全等得出，再根据线段和差计算得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，平行的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为为中点，则，可证明，再根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据 得，在中，由三角形内角和定理得，再根据得，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ， ，， ， 在中， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定定理证明三角形全等． （1）通过证明，得出对应边相等，从而证明； （2）先证明，结合三角形内角和等知识求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， 在与中，， ∴ ； （2）解：在与中， ∴， ，， ， ． 题型十 全等三角形中尺规作图问题 易｜错｜提｜醒 1.作图痕迹遗漏：忘记保留画弧的痕迹，或用直尺直接量取长度，违背尺规作图要求； 2.定理选择错误：误用SSA作图，导致所作三角形不唯一； 3.角度/线段截取错误：作角等于已知角时，圆规半径不一致；截取线段时，长度不准确； 4.辅助线多余：作图时画不必要的辅助线，干扰图形的简洁性。 【典例10】（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，与交于点，，点在线段上，点在线段上． (1)根据上述信息，利用尺规作． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质． （1）以点C为圆心，以为半径画弧交于点F，以点C为圆心，以为半径画弧交于点E，连接即可； （2）由全等三角形的对应边相等得，进而可求出的长． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∵， ∴． 由作法可知，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，，用尺规求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，熟练掌握作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段的方法是解答本题的关键．作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，根据作一个角等于已知角的方法作，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． 【详解】解：如图，即为所求． 作法：作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； 根据作一个角等于已知角的方法作； 以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； 再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． 【变式2】（23-24八年级·辽宁锦州·期末）如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查了基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，即可得出图形； （2）根据作图方法得出，，，即可证明全等． 【详解】（1）解：如图所示即为所求． ； （2）证明：根据作图得：，，， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·浙江·月考）如图，在网格中，每个小正三角形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中，画一个（点D为格点），使它与关于直线成轴对称； (2)在图2中，画一个（点E为格点，且不与点C重合），使； (3)在图3中，用直尺和圆规作一条过点C的直线m，使得点A关于m的对称点落在直线上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)图见详解 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、轴对称的性质、角平分线的尺规作图及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、轴对称的性质、角平分线的尺规作图及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据轴对称的性质可进行求解； （2）结合等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，在点B的右侧取格点E，使个单位长度，则即为所求． （3）延长至G，然后作的角平分线，则问题可求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示： 在点B的右侧取格点E，使个单位长度，设与的交点为点F， 此时，，， ∴， ∴， 则即为所求． （3）解：所作直线m如图所示： 题型十一 全等三角形的性质与判定综合（培优题） 【典例11】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知，是的边上的高，平分，且交于点E． (1)如图1，若．求证：． (2)如图2，点F是的中点，过A作交的延长线于点G．求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）根据角平分线的定义进一步得出，证明，再利用即可证明； （2）由平行线的性质得出，根据点F是的中点，则，证明，由全等三角形的性质得出，结合（1）可知，最后根据线段的和差进而求出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵ ∴， 又∵是的边上的高， ∴， ∴在和中： ∴ （2）证明：∵，F是的中点， ∴，， ∴在和中： ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，是的高，为上一点，交于点，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质； （1）先根据三角形的高的定义可得，进而证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，再根据平角的定义计算出，然后根据三角形内角和定理可证明； （3）先计算出，再根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】（1）证明：为的高， ． 在与中，， ． （2）证明：， ． ， ， ． （3）解：， ． ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由得，进而由即可求证； （）根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明平分； （3）由已知可得，由全等三角形的性质得，，又由三角形的周长公式可得与的周长之和，代入计算即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）证明：， ， ， ， 平分； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴与的周长之和 ． 题型十二 全等三角形综合之动点问题 解｜题｜技｜巧 步骤1：设定变量，用t表示线段长度 1.设动点运动时间为t秒； 2.根据“路程=速度×时间”，计算动点运动的路程； 3.结合图形中线段的初始长度，表示出全等三角形的候选对应边。 示例：点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，AB=10cm，则运动t秒后，AP=2t， PB=10-2t。 步骤2：分析全等的对应情况，分类讨论 由于动点运动后，三角形的对应边可能有多种匹配方式，必须分类讨论，避免漏解。 核心原则：先确定相等的角（如公共角、直角、已知相等角），再讨论对应边的匹配。 示例：已知∠B=∠C=90°，探究△PBD≌△QCE，则相等角为∠B与∠C，对应边需分两种情况： ① PB = QC，BD = CE； ② PB=CE，BD=QC。 步骤3：根据全等条件列方程，求解t 1.针对每一种对应情况，将用t表示的线段代入“对应边相等”，列出方程； 2.解方程求出t的值； 3.验证解的合理性：t必须大于0，且动点运动的路程不能超过线段总长度（若为往返运动，需结合运动阶段验证）。 步骤4：总结结论 梳理所有符合条件的t值，明确“当t=··时，两个三角形全等”。 【典例12】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A 运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段上有一点C，使与全等，则x的值为（   ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，分和两种情况，根据全等三角形对应边相等，分别列式计算即可． 【详解】解：当时，，即， 解得：； 当时，米， 此时所用时间x为10秒， 米， ，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，在线段上有一点C，使与全等． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，当 时，与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质是关键．根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， 当时，， 即 解得， 当时，， 即， 解得， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；或，； 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了全等三角形的性质，找准对应边是解题关键； （1）根据动点的运动速度、方向即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）由得一定有一组对应边为；分类讨论若，，若，，两种情况即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； （3）解：∵， ∴一定有一组对应边为； 若，，由（2）得：，； 若，，则，解得：，； 题型十三 利用等腰三角形的性质和判定求角度 【典例13】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·北京·月考）如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据旋转的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：在等腰中，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点D落在上， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，通过分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：设该等腰三角形为，且， ①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1所示，    由题意得，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 题型十四 利用等腰三角形的性质和判定求线段长度 【典例14】（25-26八年级上·四川内江·期中）若等腰三角形的一边长是12，另一边长是5，则此等腰三角形的周长是（      ） A．22 B．29 C．22或29 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．需要分类讨论哪一边为腰，并验证是否能构成三角形，再求出周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形两边分别为12和5， ∴ 需分情况讨论： ①若12为腰，则三边为12、12、5， ，能构成三角形，此时周长为； ②若5为腰，则三边为5、5、12， ，不能构成三角形 即只有第一种情况成立，周长为29， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．把沿着折叠得到，根据折叠的性质得到，，，，再证明进而可得出答案． 【详解】解：把沿着折叠得到， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在等边中，，点在边上，；点是边上一点，连接．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的定义以及性质．连接，证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出，，利用外角的定义以及性质得出，证明，由全等三角形的性质可得出，进而根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 题型十五 垂直平分线的性质与判定相关求解 【典例15】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在 中，边 的垂直平分线分别交， 于点，，， 的周长为，则 的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键；根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是 的垂直平分线， ∴，， ∵ 的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍长中线法证明得出，，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，在中，．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线性质、等边对等角等知识．利用三角形内角和定理求出，再求出，，可得结论． 【详解】解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：D． 题型十六 角平分线的性质与判定相关求解 【典例16】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，过点作交的延长线于点，由角平分线的性质定理可得，再由计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ， ∵平分，，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 【答案】 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质．过点作于点，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为求出，进而利用代数求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型十七 垂直平分线和角平分线综合 【典例18】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作，交的延长线于点F，交于点H． (1)求的度数； (2)与全等吗？请说明理由； (3)若，，则______． 【答案】(1) (2)全等，理由见详解 (3)7 【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线的定义，三角形内角和定理及全等三角形的判定与性质． （1）利用直角三角形两锐角和为与角平分线定义，推导的度数，再用三角形内角和求； （2）通过角的等量关系找到全等条件，用“”判定全等； （3）通过构造全等三角形，将、转化为上的线段，利用“线段和”求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． （2）解：， 理由：∵， ∴， ∵，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． （3）解：如图，延长交于点N， ∵平分， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 【变式1】（25-26八年级上·福建南平·期中）在学习完角平分线的性质与判定后，老师布置了如下作业： 如图，点E是的中点，平分． ①如图1，若，求证：平分； ②如图2，若，求的长． (1)小明发现第①小题只需要作辅助线，用全等的知识即可完成证明．老师看了小明的做法，说道：用你的辅助线，如果要求不能利用全等，你能完成这一问题吗？请你帮小明按老师的要求完成证明． (2)请完成第②小题． 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，推得，根据角平分线的判定定理即可证明； （2）在上截取，连接，判定△△，即可得出，，再判定△△，可得，进而得出． 【详解】（1）证明：过点作， ，， ，， ，，平分， ． 为的中点， ， ． 又，， 是的平分线； （2）解：如图2，在上截取，连接， 平分， ， 又， △△， ，， 又是的中点， ， ， ， ，， ， 又， △△， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的综合运用，角平分线的性质；解题的关键是作辅助线，灵活运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、解决． 【变式2】（25-26八年级上·江西南昌·月考）（1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． （2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． ①如图1，若，求的面积； ②如图2，求证：平分； ③如图3，过点作于，若，求的长． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；③ 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）①根据折叠得出，，，根据求出结果即可； ②过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可； ③过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）①根据折叠可知：，，， ； ②证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分； ③如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接， 由题可知，，， ， 由（2）可知， ， ， ， ∵，， ∴， 解得：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，在中，为的平分线，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，利用相等的线段是解答本题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得，从而求得的长． 【详解】解：，为的平分线，， ， 又， ． 故选：． 2．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，掌握边边边、边角边，角边角，角角边，斜边直角边判定三角形全等是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴添加时，运用“边角边”可证，故A选项不符合题意； 添加时，运用“斜边直角边”可证，故B选项不符合题意； 添加时，不能证明，故C选项符合题意； 添加时，运用“边边边”可证，故D选项不符合题意； 故选：C ． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，点D，E 分别在线段， 上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，添加时，利用“”判定即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ，， ∴添加时，可由“”判定， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角和等知识点，利用三角形的外角和为得出，根据全等三角形的性质得出，，然后结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：三角形的外角和是， ， 三个三角形全等， ，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先说明，再运用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故选：A 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质的运用，掌握等腰三角形的判定及性质，是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，，由是中线可得，，，则是的垂直平分线，由此可得，，由，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴，， ∵是上的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，过作的平行线交于点，所以，又是等边三角形，得，，，然后证明，故有，因为，是等边三角形，所以，，设，则，，最后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作的平行线交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，点在边上，连接，且，，直线是边的垂直平分线，若点在直线上运动，连接、，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，最短线段问题，将求周长的最小值转化为求线段的最小值是解题关键．连接，由垂直平分线的性质可知，则的周长，当点、、三点共线时，有最小值为的长，即周长的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 直线是边的垂直平分线，点在直线上运动， ， 的周长， 当点、、三点共线时，有最小值为的长， 周长的最小值为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）【探究】（1）如图①，用三角尺可按下面方法画角平分线：在的两边上分别取，再分别过点M、N作、的垂线，交点为，画射线，则得到平分．请用你所学的知识说明其中的道理． 【应用】（2）已知：如图②，平分，，于E，于F，，且满足．求的度数． 【拓展】（3）如图③，在四边形中，是的角平分线，若，过D点作，求证：． 【答案】（1）见详解（2）（3）见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质，解题的关键是掌握相应的判定定理； （1）利用证明，再利用全等的性质即可证明； （2）易证，，，即可证明；则，，再结合平行线的性质以及，进行列式计算，即可作答． （3）先证明，得，证明 ，得，结合，，得，，即． 【详解】解：由题意知：， 都为直角三角形， ， ， ， 平分； 证明：平分，于，于， ，，， 在和中， ， ； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， （3）过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵在四边形中，是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出和的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数，最后通过求出的度数． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图， 和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【详解】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 全等三角形的概念与对应关系 1.能准确说出全等三角形的定义，理解 “完全重合”的含义 2.熟练掌握找对应边、对应角的方法： 1.考查形式：选择题、填空题为主，分值2~3分 2.命题特点：结合简单图形（含公共边、公共角、折叠/旋转背景）考查对应关系，难度低 3.易错点：忽略全等表示式的顶点顺序，错判对应边/角 全等三角形的性质 1.牢记性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等；对应中线、对应高、对应角平分线相等；周长相等、面积相等 2.能利用性质进行简单计算：已知一组全等三角形的边长/角度，求另一组对应边/角的大小 1.考查形式：选择题、填空题、解答题核心考点，分值 3~8 分 2.命题特点： 基础题：辨析判定定理的正误（如“SSA 能否判定全等”） 中档题：补充条件使三角形全等（条件开放题） 3.高频易错点：误用 SSA 判定全等；混淆 SAS 的“夹角”与“邻角” 全等三角形的判定定理 1.熟练掌握5种判定方法的适用条件： SSS：三边对应相等（任意三角形） SAS：两边及其夹角对应相等（夹角是关键，排除 SSA） ASA：两角及其夹边对应相等 AAS：两角及其中一角的对边对应相等 HL：斜边+一条直角边对应相等（仅直角三角形） 2.能根据题目条件选择合适的判定定理，区分“能判定”和“不能判定”的情况 1.考查形式：选择题、填空题、解答题核心考点，分值 3~8 分 2.命题特点： - 基础题：辨析判定定理的正误（如“SSA 能否判定全等”） - 中档题：补充条件使三角形全等（条件开放题） 3.高频易错点：误用 SSA 判定全等；混淆 SAS 的“夹角”与“邻角” 全等三角形的判定与性质综合应用 1.掌握核心解题思路：证全等→得对应边/角相等→推导目标结论 2.能解决两类核心问题： 证明线段相等、角相等 证明线段平行、垂直（通过角相等推导） 3.能规范书写证明步骤：“找条件→证全等→得结论”，标注判定定理 1.考查形式：解答题为主，分值 6~8 分，是期末几何必考大题 2.命题特点： 背景图形：含公共边 / 角、平行线、角平分线的简单几何图形 综合考点：常与平行线的性质与判定、垂直的定义结合 命题趋势：证明题逐步增加 “多步全等” 的难度，需要连续证明两次全等才能得出结论 等腰三角形的判定 涵盖定义、等边对等角、三线合一、等角对等边、等边三角形的性质与判定及分类讨论问题；复习目标是掌握概念、定理及应用方法，能进行角度边长计算、证明线段角关系、解决分类讨论和综合问题，提升逻辑推理与几何直观素养 以选择、填空、解答题形式考查，分值占比适中，基础题侧重概念和定理直接应用，中档题常与全等、平行线、折叠旋转结合，分类讨论和动点探究题是拔高重点，也是期末和中考的高频考点。 角平分线和垂直平分线 掌握两者的性质与判定定理，能运用定理证明线段相等、角相等、垂直关系，结合全等三角形解决几何证明与计算问题，提升几何直观与逻辑推理能力； 以选择、填空、解答题形式考查，分值占比 3~6 分，基础题侧重定理直接应用，中档题常与等腰三角形、全等三角形、折叠问题结合，性质与判定的综合应用及实际建模题是期末和中考的高频考点 知识点01 命题、定义、定理与证明 概念 定义 关键细节 示例 命题 能判断 陈述句，一般形式为“如果p，那么q” p=题设(条件)，q=结论；分真命题、假命题 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”(真命题) 定义 对概念的明确界定，用于区分其他概念 必须准确、无歧义 “能够完全重合的两个三角形是全等三角形” 定理 经逻辑证明为 的命题，可作为推理依据 是证明的基础，具有普适性 “SSS判定定理”“等腰三角形三线合一” 证明 确认命题为真的逻辑推理过程 步骤：①写已知、求证；②画图；③写证明(每步有依据) 证明“三角形内角和为180°” 反例 满足命题条件但不满足结论的例子 用于证明假命题 “三个角对应相等的三角形全等”(反例：大小不同的等边三角形) 知识点02 全等三角形的概念、对应关系和性质 1.定义：能够 的两个三角形，用符号“ ”表示，对应顶点字母必须写在对应位置(如△ABC≌△DEF)。 2.对应关系判定方法 ①对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角； ②公共边、公共角、对顶角优先作为对应边、对应角； ③最长边对最长边，最大角对最大角，最短边对最短边，最小角对最小角。 3.性质(符号语言：△ABC≌△DEF) ①对应边相等：AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②对应角相等：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F； ③衍生性质：周长相等、面积相等，对应高、中线、角平分线相等； ④全等变换：平移、翻折、旋转前后的三角形全等（状、大小不变）。 知识点03 全等三角形的判定 1.全等三角形的五大判定方法 判定方法 条件 符号语言（△ABC≌△DEF） （边边边） 三边对应相等 AB=DE，BC=EF，AC=DF （边角边） 两边及其夹角对应相等 AB=DE，∠B=∠E，BC=EF （角边角） 两角及其夹边对应相等 ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E （角角边） 两角及其中一角的对边对应相等 ∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF （斜边直角边） 直角三角形中，斜边和一直角边对应相等 ∠C=∠F=90°，AB=DE，BC=EF 2.全等判定的通用思路 已知条件 优先选择的判定方法 辅助线策略 三边 SSS 直接用三边相等判定 两边 找夹角（SAS）或第三边（SSS） 作辅助线构造夹角或第三边 一边一角 边为角的对边→AAS；边为角的邻边→SAS 或 ASA 作高、中线构造直角或相等线段 两角 ASA（夹边）或AAS（对边） 利用内角和推导第三角 直角三角形 HL（优先）或SSS/SAS/ASA/AAS 标注直角，明确斜边和直角边 知识点04 等腰三角形的性质与判定 1.等腰三角形的定义 ①基本定义：有两条边 的三角形叫做等腰三角形；相等的两条边叫做 ；第三条边叫做 ；两腰的夹角叫做 ；腰与底边的夹角叫做 。 ②特殊情况：三条边都相等的三角形是 ，也叫 ，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2、等腰三角形的性质 性质1：等边对等角 ①内容：等腰三角形的两个底角相等。 ②符号语言：在△ABC中，若AB=AC,则∠B=∠C。 性质2：三线合一(核心性质) ①内容：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ②符号语言：如图2所示，在△ABC中，AB=AC, 若AD平分∠BAC,则AD⊥BC,BD=CD； 若AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，∠BAD=∠CAD； 若AD⊥BC，则BD=CD，∠BAD=∠CAD。 关键注意：三线合一仅适用于底边上的三线，腰上的中线、高与顶角平分线不重合。 3.对称性 等腰三角形是轴对称图形，只有1条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在的直线）。 4.特殊等腰三角形——等边三角形 性质：①三边都 ，三个内角都相等，且每个内角都等于60°；②具备等腰三角形的所有性质，且“三线合一”的性质适用于三条边上的中线、高、角平分线；③是轴对称图形，有 条对称轴。 判定：①三边都 的三角形是等边三角形；②三个角都 的三角形是等边三角形；③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 知识点05 互逆命题和互逆定理 1.互逆命题定义：对于两个命题，如果一个命题的 和 分别是另一个命题的 和 ，那么这两个命题叫做 。其中一个命题叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 命题的基本形式为“如果p，那么q”（p是题设，q是结论）。 原命题：如果p，那么q 逆命题：如果q，那么p。 2.互逆定理定义 如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么这个逆命题就叫做原定理的 ，此时原定理和逆定理叫做 。 关键条件：一个定理有逆定理，必须同时满足两个条件： ①能写出该定理的逆命题； ②这个逆命题是真命题（需经过严格的逻辑证明）。 知识点06 垂直平分线和角平分线 1.角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个 的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.角平分线的性质定理 内容：角平分线上的点到这个角的两边的 。 符号语言： 如图3，若OC平分∠AOB,点P在OC上，且PD⊥OA,PE⊥OB,则PD=PE。 关键条件：①点在角平分线上；②点到角两边的距离(即垂线段的长度),两个条件缺一不可。 3.角平分线的判定定理 内容：在一个角的内部，到角的 的点，在这个角的平分线上。 符号语言： 如图3，若点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）。 关键条件：①点在角的内部；②点到角两边的垂线段相等，两个条件缺一不可。 4.线段垂直平分线的定义： 且 一条线段的直线，叫做这条线段的 (简称“中垂线”)。 ①垂直平分线与线段的交点是线段的中点； ②垂直平分线与线段的夹角为90。 5.线段垂直平分线的性质定理 内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 。 符号语言：如图4，若直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为O,点P在MN上，则PA=PB。 关键条件：点在线段的垂直平分线上，即可得点到线段两端点的距离相等。 题型一 判断命题的真假 易｜错｜提｜示 易错表现 1.把疑问句、祈使句、感叹句当作命题判断真假 例：“作线段AB的垂直平分线”（祈使句，无判断）、“全等三角形好看吗？”（疑问句，无判断），这些语句本身不是命题，无法谈真假。 2.把未明确条件和结论的模糊语句当作命题。 例：“三角形的高”（只有名词，无判断），不是命题。 规避方法 牢记命题的定义：能判断真假的陈述句，必须同时满足“陈述句”和“有明确判断（对或错）”两个条件。 【典例1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．算术平方根等于它本身的数是0 C．对顶角相等 D．在数轴上没有表示这个数的点 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列命题中，是真命题的是（ ） A．同位角相等 B．若，则 C．三角形的一个外角等于两个内角之和 D．平行于同一直线的两直线平行 【变式2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）下列命题中，是假命题的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．多边形的内角和等于 C．四边形的外角和等于 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行 题型二 利用全等三角形的性质求角度 【典例2】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，若，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，若，，则的度数为 度 题型三 利用全等三角形的判定简单求证 易｜错｜提｜示 易错类型 核心错误原因 规避策略 误用伪定理 混淆 SAS与SSA、AAA与全等判定 牢记4+1判定定理，排除SSA、AAA 对应关系混乱 忽略对应顶点，边、角张冠李戴 先确定对应顶点，按对应关系梳理条件 遗漏隐含条件 不会利用公共边、角平分线等条件 标记图形隐含条件，建立条件转化思维 步骤不规范 跳步、定理标注错误 遵循 “列条件→写全等→标定理” 三步法 逻辑顺序颠倒 先用法则后判定 先证明全等，再用全等性质推导结论 【典例3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）如图，中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交、于点F、G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，；求证：． 题型四 要使三角形全等需要添加的条件 【典例4】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，已知，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使． 【变式1】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在与中，若，，且 （添加一个条件即可），就可以证明． 题型五 破碎玻璃修复问题 解｜题｜技｜巧 全等三角形的“破碎玻璃修复”问题，本质是利用全等判定定理，确定能还原原三角形形状和大小的碎片，核心逻辑是：保留的碎片需包含足够的边、角条件，能唯一确定原三角形的形状。 一、题型背景 一块三角形玻璃破碎成多片，需要带其中一块碎片去玻璃店配一块与原玻璃完全一样的新玻璃，问带哪一块最合适? 这类问题的关键是：判断哪块碎片包含的条件能满足全等三角形的判定定理，因为满足判定定理的碎片，能唯一确定原三角形的形状和大小。 二、核心解题思路 1.分析每块碎片包含的边、角条件 破碎后的玻璃碎片，常见的三种情况： 碎片类型 包含的条件 能否还原原三角形 碎片 1：保留了原三角形的两个角和它们的夹边 两角及夹边（ ASA ） 能 碎片 2：保留了原三角形的两个角和其中一角的对边 两角及一角对边（ AAS ） 能 碎片 3：保留了原三角形的两条边和它们的夹角 两边及夹角（ SAS ） 能 碎片 4：只保留了一个角或一条边 单个角 / 单个边 不能 碎片 5：保留了两条边和其中一边的对角（ SSA ） 两边及非夹角 不能 【典例5】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）丽丽同学不小心把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，你认为应带去的一块是 ． 【变式1】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　）    A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【变式2】（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（    ）去配． A．① B．② C．③ D．①和② 题型六 利用全等三角形的性质和判定求角度 【典例6】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）如图，已知，、、三点在一条直线上．若 ，则的度数为 ． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，，平分，E为上一点，且，连接并延长，交于点F，若，则的度数为 ． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在等腰中,，E是三角形内一点，连接，将线段绕点O逆时针旋转得到，连接．若，则的度数为 ． 题型七 利用全等三角形的性质和判定求线段长度 【典例1】（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【变式1】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点．若，，则的长为（   ）．    A．8 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，是过A的一条直线，且在异侧，于D，于E．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．8 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型八 全等三角形中的实际应用 【典例8】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖南·期末）如图所示，小刚站在河边的点处，在河的对面(小刚的正北方向)的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了步．如果小刚一步大约，估计小刚在点处时他与电线塔的距离为(   ) A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级·陕西西安·期末）小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴B到地面的距离，在来人坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，，此时测得点A到铅垂线的距离，当船头从A处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离 ． 题型九 全等三角形的性质与判定综合 【典例9】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式1】（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 题型十 全等三角形中尺规作图问题 易｜错｜提｜醒 1.作图痕迹遗漏：忘记保留画弧的痕迹，或用直尺直接量取长度，违背尺规作图要求； 2.定理选择错误：误用SSA作图，导致所作三角形不唯一； 3.角度/线段截取错误：作角等于已知角时，圆规半径不一致；截取线段时，长度不准确； 4.辅助线多余：作图时画不必要的辅助线，干扰图形的简洁性。 【典例10】（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，与交于点，，点在线段上，点在线段上． (1)根据上述信息，利用尺规作． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，，用尺规求作，使，，．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】（23-24八年级·辽宁锦州·期末）如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 【变式3】（25-26八年级上·浙江·月考）如图，在网格中，每个小正三角形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中，画一个（点D为格点），使它与关于直线成轴对称； (2)在图2中，画一个（点E为格点，且不与点C重合），使； (3)在图3中，用直尺和圆规作一条过点C的直线m，使得点A关于m的对称点落在直线上．（保留作图痕迹，不写作法） 题型十一 全等三角形的性质与判定综合（培优题） 【典例11】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知，是的边上的高，平分，且交于点E． (1)如图1，若．求证：． (2)如图2，点F是的中点，过A作交的延长线于点G．求证． 【变式1】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，是的高，为上一点，交于点，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的面积． 【变式2】（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，，点D在边上，与相交于点O． (1)求证：． (2)求证：平分． (3)若，求与的周长之和． 题型十二 全等三角形综合之动点问题 解｜题｜技｜巧 步骤1：设定变量，用t表示线段长度 1.设动点运动时间为t秒； 2.根据“路程=速度×时间”，计算动点运动的路程； 3.结合图形中线段的初始长度，表示出全等三角形的候选对应边。 示例：点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，AB=10cm，则运动t秒后，AP=2t， PB=10-2t。 步骤2：分析全等的对应情况，分类讨论 由于动点运动后，三角形的对应边可能有多种匹配方式，必须分类讨论，避免漏解。 核心原则：先确定相等的角（如公共角、直角、已知相等角），再讨论对应边的匹配。 示例：已知∠B=∠C=90°，探究△PBD≌△QCE，则相等角为∠B与∠C，对应边需分两种情况： ① PB = QC，BD = CE； ② PB=CE，BD=QC。 步骤3：根据全等条件列方程，求解t 1.针对每一种对应情况，将用t表示的线段代入“对应边相等”，列出方程； 2.解方程求出t的值； 3.验证解的合理性：t必须大于0，且动点运动的路程不能超过线段总长度（若为往返运动，需结合运动阶段验证）。 步骤4：总结结论 梳理所有符合条件的t值，明确“当t=··时，两个三角形全等”。 【典例12】（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A 运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段上有一点C，使与全等，则x的值为（   ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，当 时，与全等． 【变式2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 题型十三 利用等腰三角形的性质和判定求角度 【典例13】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·北京·月考）如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 题型十四 利用等腰三角形的性质和判定求线段长度 【典例14】（25-26八年级上·四川内江·期中）若等腰三角形的一边长是12，另一边长是5，则此等腰三角形的周长是（      ） A．22 B．29 C．22或29 D．无法确定 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，若，，则 ． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在等边中，，点在边上，；点是边上一点，连接．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，则的长是 ． 题型十五 垂直平分线的性质与判定相关求解 【典例15】（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在 中，边 的垂直平分线分别交， 于点，，， 的周长为，则 的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式2】（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，在中，．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，交于点，，作直线分别交，于点，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十六 角平分线的性质与判定相关求解 【典例16】（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为 ． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 题型十七 垂直平分线和角平分线综合 【典例18】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作，交的延长线于点F，交于点H． (1)求的度数； (2)与全等吗？请说明理由； (3)若，，则______． 【变式1】（25-26八年级上·福建南平·期中）在学习完角平分线的性质与判定后，老师布置了如下作业： 如图，点E是的中点，平分． ①如图1，若，求证：平分； ②如图2，若，求的长． (1)小明发现第①小题只需要作辅助线，用全等的知识即可完成证明．老师看了小明的做法，说道：用你的辅助线，如果要求不能利用全等，你能完成这一问题吗？请你帮小明按老师的要求完成证明． (2)请完成第②小题． 【变式2】（25-26八年级上·江西南昌·月考）（1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． （2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． ①如图1，若，求的面积； ②如图2，求证：平分； ③如图3，过点作于，若，求的长． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，在中，为的平分线，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，点D，E 分别在线段， 上，与相交于点O，，要使，需添加的一个条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（   ）． A．8或15 B．4 C．4或5 D．8 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，点在边上，连接，且，，直线是边的垂直平分线，若点在直线上运动，连接、，则周长的最小值为 ． 5．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）【探究】（1）如图①，用三角尺可按下面方法画角平分线：在的两边上分别取，再分别过点M、N作、的垂线，交点为，画射线，则得到平分．请用你所学的知识说明其中的道理． 【应用】（2）已知：如图②，平分，，于E，于F，，且满足．求的度数． 【拓展】（3）如图③，在四边形中，是的角平分线，若，过D点作，求证：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，在中，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，与交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 3．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 5．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $