寒假作业05 与圆有关的7大模型专练（巩固培优）九年级数学苏科版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 与圆有关的模型专练 1． 隐圆（★★★★★） （一）定点定长模型 1.模型解读： 1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合． 2）寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 2.模型证明：若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径。 3.模型应用：通过构造以定点为圆心、定长为半径的圆，可以方便地解决与距离、角度等相关的问题。 （二）定弦对定角模型 1.模型解读 1）若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，则点C的轨迹是以AB为弦的圆的一部分。 2）在圆中，直径所对的圆周角为直角；反之，若一个角为直角，则其顶点在以这个角的两边为直径的圆上。 2.模型证明 1）固定线段AB所对动角∠C恒定值，则动点C的轨迹为经过A、B、C三点的圆。 2）特别地，若∠C为直角，则动点C的轨迹为以AB为直径的圆。 3.模型应用 （1）通过构造定弦定角模型，可以将问题转化为圆的问题，从而利用圆的性质进行求解。 （2）当题目中出现直角条件时，可以考虑构造以直角两边为直径的圆，从而利用圆的性质解决问题。 （三）定边对等角模型 1.模型解读：固定线段AB所对同侧动角∠D=∠C（为定值），则A、B、C、D四点共圆 2.模型证明： 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 证明：根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相，逆向推导即可。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴， ∴A、B、C、D四点共圆。 3.模型应用 AB为定值，∠D=∠C，且定角，则C、D点轨迹是同一个圆． （四）对角互补模型 1.模型解读 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 1） 四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角也可推出对角互补． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角也可推出对角互补． 图1 图2 2.模型证明 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∵，∴ ∴A、B、C、D四点共圆。 3.模型应用 应用：当题目中出现四边形对角互补的条件时，可以考虑构造四点共圆模型，从而利用圆周角定理等性质进行求解。 二．米勒最大张角（视角）模型 1.模型解读 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 2.模型证明 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 3.模型应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 三.定角定高模型（探照灯模型） 1.模型解读 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 2.模型证明 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 三．圆幂定理模型（了解） （一）相交弦模型 1.模型解读：相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 2.模型证明 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 （二）双割线模型 1.模型解读：割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 2.模型证明 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ （三）切割线模型 1.模型解读：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 2.模型证明 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 （四）弦切角模型 1.模型解读： 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 2.模型证明 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 （五）托勒密定理模型 1.模型解读： 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 2.模型证明 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 题型一 定点定长 1．（2024•梅州校级一模）如图，四边形中，，，，则　　． 2．（2023•黑龙江）如图，在中，，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值是 　　． 3．（2024•雁塔区校级模拟）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形． （1）已知：如图1，，请利用圆规画出过、．三点的圆．若，则　 　． 如图，中，，，． （2）已知，如图2．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点、、的对应点分别为点、、，求四边形的面积和的大小． （3）如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由． 题型二 定角定弦 4．（2025•福山区一模）如图，点，、是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和，于点，半径为2，，点从到运动中，线段扫过面积是（　　） A． B． C． D． 5．（2025•宣城一模）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 　　． 6．（2025•碧江区 校级模拟）如图，等边△中，，点、点分别在和上，且，连接、交于点，则的最小值为 　 　． 7．（2025·广东深圳·二模）如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 8．（2024秋•青秀区校级期中）阅读理解： （1）【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”：如图1，在△中，，，是△外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 　 　． ②类型二，“定角定弦”：如图，△中，，，，是△内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 　　 （2）【问题解决】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 　　． （3）【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长． 9．（24-25九年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点是外接圆的圆心，则面积的最大值是______________； 【问题解决】 （2）如图②所示，道路的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园，根据设计要求：，，为公园内的两条步行直道，为的中点．设计师还需在上选取一点，经过点修建一条步行直道，在四边形面积最大的前提下，平分五边形的面积．请问：是否存在满足设计要求的点和点？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．（点在同一平面内，直道的宽度均忽略不计，结果保留根号） 10．（2025秋•碑林区校级期中）问题提出： （1）如图①，已知△中，，，，点为边上任意一点，连接．若△与△面积相等，则线段　　 ． 问题探究： （2）如图②，，点和分别是射线和上的动点，且．点在内，△为等边三角形．连接．求线段的最大值． 问题解决： （3）如图③，矩形为一块试验田示意图，，．点是边的中点，点在边上，点在矩形内，且，△的面积为．现计划修两条小路和（小路的宽度不计），预计在△和△中分别种植甲，乙两种经济作物．请问小路是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时△的面积；若不存在，请说明理由． 11．（2025秋•江北区校级月考）在△中，，、为线段、上一点（均不与端点重合），连接、，且线段、交于点，连接，． （1）如图1，当时，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，若，当时，证明：； （3）若，当取得最大值时，直接写出的值． 12．（2025•江北区校级二模）在△中，，点为延长线上一点，连接，使，点在线段各上，连接交于点． （1）如图1，若，，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点在的下方，连接，．若，，．求证：； （3）如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．若，，当取最小值时，直接写出△的面积． 13．（2025•渭城区一模）【问题提出】 （1）如图1，在△中，，点是边上一点，且，连接，若，则的长为　　 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是菱形内一动点，，，连接、、，若，求线段的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某游乐园有一块矩形空地，现要将其进行规划，沿对角线修建一条长廊，将△区域修建成水上乐园，在△区域内修建公共卫生间和凉亭（大小均忽略不计），再分别沿、，铺设三条小路，并沿铺设地下水管，为节省铺设地下水管的成本，要求水管的长度尽可能的小．已知，，，．求水管长度的最小值． 14．（2025•成都模拟）如图，在△中，，，点是的中点，过点作的垂线，与延长线交于点． （1）如图，若，求的长； （2）点在线段上，连接，将射线绕点逆时针旋转，与射线交于点． ①探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并说明理由； ②若，，为，的中点，延长，交于点，求△面积最大值． 题型三 定边对等角 15．（24-25九年级下·广东深圳·月考）如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 16．（2025•常熟市模拟）如图△中，，，，为平面内一点，且，过点作，与的延长线相交于点，则△面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 17．（2025秋•梁溪区校级期中）如图，在△中，，，，点为上的一个动点，以为直径作，交于点，连接交于点，为中点，连接，则的最小值为 ． 18．（2025•雁塔区校级模拟）问题提出： （1）如图1，是△的外接圆，，，则半径长等于 　　 ； 问题探究： （2）如图2，在矩形中，，若在边上存在一点，使得，求矩形面积的最大值； 问题解决： （3）如图3，是一个矩形广场，其中，足够长．为了方便居民生活，促进经济发展，街道计划在矩形内部修建一个面积尽量大的交易市场，其中，分别在边，上，且．在具体施工中安全联防小组要求在上找到一点，使得，以便安装摄像头对市场进行安全监管．请问满足上面要求的市场是否存在，若存在，请求出市场面积的最大值；若不存在，请说明理由． 19．（2023•郸城县一模）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接， 则（依据一）， 又（依据二）， ． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立； 如图3，若点在内， （请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆． （1）填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一：　 　； 依据二：　　． （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （3）填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　　． 题型四 四点共圆 20．（2024•会东县二模）如图，矩形的对角线相交于，过点作，交点，连接，若，则的大小是　　 A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 23．（2025•广东校级模拟）如图1，点在直线上，过点构建等腰直角三角形，使，且，过点作直线于点，连接． （1）小亮在研究这个图形时发现，，点，应该在以为直径的圆上，则的度数为 　　 ，将射线顺时针旋转交直线于点，可求出线段，，的数量关系为 　　 ； （2）小亮将等腰直角三角形绕点在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段，，的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若长为1，当△面积取得最大值时，请直接写的长． 24．（2025秋•赣榆区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②； Ⅱ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③； Ⅲ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④． （1）在图①、②中，取的中点，根据　 　 得，即，，，共圆， （2）在图③中，画经过点，，（图⑤．假设点落在外，交于点，连接，可得，得出矛盾；同理点也不会落在内（图⑥，即，，，共圆．结论同理可证． 请你利用“反证法”证明结论Ⅲ，在图⑦和图⑧中选择一个证明点在圆上； （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点． 求证：是△的高．（连接，补全以下证明框图） （4）如图⑩，点是△外部一点，过作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且点，，在同一条直线上，求证：点在△的外接圆上． 题型五 米勒最大张角 25．如图，甲、乙、丙三位球员分别站在足球门前的点，，处射门，点，，都在同一个以为弦的圆上，若球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大，则下列说法正确的是（　　） A．甲踢进足球的可能性最大 B．乙踢进足球的可能性最大 C．丙踢进足球的可能性最大 D．三位球员踢进足球的可能性一样大 26．（2024•扬州）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 　　． 27．（2025•连云港模拟）数学的思考 如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，试在轴正半轴上确定点的位置，使得最大，并求出此时点的坐标． 数学的眼光 （1）如图①，请说明； 数学的表达 （2）如图②，根据“垂径定理”，可知圆心在线段的垂直平分线上，借助直线的表达式及，可以求出圆心的坐标，从而得到点的坐标，请写出具体的过程； （3）如图③，延长线段交轴于点，连接、，当与相切时，通过求的长可得到点的坐标，请写出具体的过程； （4）如图④，已知线段，用尺规在射线上作出点，使得最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 28．（2025•苏州二模）自主式探究学习是学习数学学科的重要能力之一． 情境一：爱思考的小苏利用 “”探究一些数学模型，以下是他和之间的部分聊天记录： 我正在整理数学笔记，你能给我讲讲米勒圆模型的概念和例子吗？ 已思考（用时10秒） 好的，很高兴能为你讲解米勒圆模型．这是一个在几何和数学问题中非常经典的模型，尤其在处理“最大张角”问题时非常有用． 一、米勒圆模型的概念 1．核心问题（生活场景） 假设你在一条笔直的海岸线上观察海上的两座灯塔（点和点，你站在海岸线的哪个位置，才能使得看这两座灯塔的视角（即最大？ 这就是著名的“米勒问题”或“最大张角问题”． 2．数学模型与结论： 米勒圆模型给出了这个问题的几何解答： 已知条件：给定一条定直线和直线外的两个定点、． 问题：在直线上找一点，使得最大． 结论： 1．作圆：过点、作一个与直线相切的圆． 2．切点即为所求：这个圆与直线的切点，就是使得最大的点． 3．理论依据：在直线上，点位于由、形成的某个“米勒圆”（或称“等角圆” 上，根据“同弧所对的圆周角相等”以及“圆外角小于圆周角”的定理，可以证明这个切点处的视角是最大的． 3．米勒圆的方程（拓展理解） 在平面直角坐标系中，对于两个定点，和，，到这两点张角为定值（例如的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹圆就被称为点、的米勒圆或等角圆． 二、经典例子与应用 我们来看一个最经典、最常考的直角米勒圆模型． 例题： 在平面直角坐标系中，点，点，点是轴上的一个动点， （1）当时，求点的坐标． （2）在轴上找一点，使得最大． 求使得最大的点． 根据米勒圆模型的结论，我们需要找到过、两点且与轴相切的圆，其切点即为所求． 1．设圆心坐标： 由于圆过和两点，根据圆的对称性，圆心必在线段的垂直平分线上． 的垂直平分线为：． 设圆心的坐标为，半径为． 2．建立方程： 因为圆与轴相切，所以圆心到轴的距离等于半径，即． 又因为圆经过点，所以． （2） 因此有方程：． 这个方程无解不成立），说明在轴上方或下方找不到这样的圆． 情境二：如图1，在正方形中，为线段上一点，作交与点，细心的小苏发现的轨迹并不是一直朝一个方向运动；他随后根据，，的相等关系展开了研究． 请根据以上情境，完成下列问题清单： （1）接着情境二的图1，若，试求的最大值； （2）接着情境一，如图2，在正方形中，是上一点，连接，，当取得最大值时，直接写出的值． （3）数学的模型往往服务于生活之中．如图三是一个摄影棚，在四边形中，，，且，，．是支架，．是在轨道上的移动点，点光源在线段的中间，且射出的光与垂直，打在支架的点处．随着点的运动，试求解或证明： Ⅰ．Ⅰ点是三角形的外心． Ⅱ．Ⅰ点经过的路径长． 29．（2023•宜宾）如图，抛物线与轴交于点、，且经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）在轴上方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线的对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积； （3）点是轴上一动点，当最大时，求的坐标． 题型六 定角定高模型（探照灯模型） 30．（2022秋•姑苏区校级月考）已知：如图，点是直线外一点，点到直线的距离是4，点、点是直线上的两个动点，且，则线段的长的最小值为　　 A． B． C．3 D．4 31．（2025•连云港校级二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域△的面积最小值是多少？ （1）小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造△的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为 　8　，通过计算可得△的面积最小值为 　　． （2）当，时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：解：作出△的外接圆，作于，设． （3）请你写出原题中的结论：光照区域△的面积最小值是 　　．（用含，的式子表示） （4）如图3，探照灯到地平线距离米，到垂直于地面的墙壁的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点、分别在射线、上，设△的面积为，△的面积为，求的最大值． 题型七 圆幂定理 32．（2024•陈仓区三模）如图，是圆的弦，过点作圆的切线，点是上一点，连接交圆于点，延长交圆于点，连接、，与互余，． （1）求证：、是圆的直径； （2）若圆的半径为，，求的长． 33．阅读下面材料，并完成相应的任务 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 下面是不完整的证明过程，请补充完整． 已知：为外一点，与交于，两点，与相切于点． 求证：． 证明：如图，连接，，连接并延长交于点，连接． 为的切线，　　，，为的直径，　　，，　　，，．，　　．，． 学习任务： 如图，若线段与相交于，两点，且，射线，为的两条切线，切点分别为，，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 与圆有关的模型专练 1． 隐圆（★★★★★） （一）定点定长模型 1.模型解读： 1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点构成的集合． 2）寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 2.模型证明：若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径。 3.模型应用：通过构造以定点为圆心、定长为半径的圆，可以方便地解决与距离、角度等相关的问题。 （二）定弦对定角模型 1.模型解读 1）若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，则点C的轨迹是以AB为弦的圆的一部分。 2）在圆中，直径所对的圆周角为直角；反之，若一个角为直角，则其顶点在以这个角的两边为直径的圆上。 2.模型证明 1）固定线段AB所对动角∠C恒定值，则动点C的轨迹为经过A、B、C三点的圆。 2）特别地，若∠C为直角，则动点C的轨迹为以AB为直径的圆。 3.模型应用 （1）通过构造定弦定角模型，可以将问题转化为圆的问题，从而利用圆的性质进行求解。 （2）当题目中出现直角条件时，可以考虑构造以直角两边为直径的圆，从而利用圆的性质解决问题。 （三）定边对等角模型 1.模型解读：固定线段AB所对同侧动角∠D=∠C（为定值），则A、B、C、D四点共圆 2.模型证明： 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 证明：根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相，逆向推导即可。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴， ∴A、B、C、D四点共圆。 3.模型应用 AB为定值，∠D=∠C，且定角，则C、D点轨迹是同一个圆． （四）对角互补模型 1.模型解读 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 1） 四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角也可推出对角互补． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角也可推出对角互补． 图1 图2 2.模型证明 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∵，∴ ∴A、B、C、D四点共圆。 3.模型应用 应用：当题目中出现四边形对角互补的条件时，可以考虑构造四点共圆模型，从而利用圆周角定理等性质进行求解。 二．米勒最大张角（视角）模型 1.模型解读 已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 2.模型证明 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 3.模型应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 三.定角定高模型（探照灯模型） 1.模型解读 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。 2.模型证明 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=； ∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。 ∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立）， ∴r+rcos≥h，即，当取等号时r有最小值； ∴，当取等号时BC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值； ∴，当取等号时△ABC有最小值。 三．圆幂定理模型（了解） （一）相交弦模型 1.模型解读：相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 2.模型证明 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 （二）双割线模型 1.模型解读：割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 2.模型证明 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ （三）切割线模型 1.模型解读：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 2.模型证明 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 （四）弦切角模型 1.模型解读： 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 2.模型证明 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 （五）托勒密定理模型 1.模型解读： 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 2.模型证明 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 题型一 定点定长 1．（2024•梅州校级一模）如图，四边形中，，，，则　　． 【分析】过点作于．分别求出，，可得结论． 【解答】解：过点作于． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（2023•黑龙江）如图，在中，，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值是 　　． 【答案】． 【分析】线段为定值，点到距离最大时，的面积最大，画出图形，即可求出答案． 【解答】解：线段为定值， 点到的距离最大时，的面积有最大值． 在中，，是的中点， ，，， ， 过点作交的延长线于点， ， 点在以为圆心，长为半径的圆上， ， 点到的距离最大值为， ， 故答案为：． 3．（2024•雁塔区校级模拟）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形． （1）已知：如图1，，请利用圆规画出过、．三点的圆．若，则　 　． 如图，中，，，． （2）已知，如图2．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点、、的对应点分别为点、、，求四边形的面积和的大小． （3）如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2），面积为， （3）平移个单位，最大面积， 【分析】（1）利用圆的定义知，，三点共圆，再利用圆周角定理求解． （2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解． （3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积． 【解答】（1）以为圆心，为半径作辅助圆，如图， ， ， ， 故答案为． （2）连接，，如图， ， 中，，，． ，，． 为斜边中点， ， 线段平移到之后，，， 四边形为菱形， ， ， ，且， 四边形为直角梯形， ， （3）如图所示，以为斜边在的右侧作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作， 当边沿方向平移个单位至时， 满足且此时四边形的面积最大， 直线与相切于点， 连接交于，过点作于， 则，，， ，，， ，， ，，， ，， ， ， 此时直角梯形的最大面积为： ． 题型二 定角定弦 4．（2025•福山区一模）如图，点，、是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和，于点，半径为2，，点从到运动中，线段扫过面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由度可知在以为直径的圆上运动，当在上运动时，点在上运动，从而可得扫过的面积为△的面积与弓形面积的差，为此只要先求出弓形的面积即可，要求弓形的面积可用半圆的面积减去△的面积除以2即可，从而解决问题． 【解答】解：如图，， ， 在以为直径的圆上运动， ，， ， ， 当在上运动时，点在上运动， 扫过的面积为：． 故选：． 5．（2025•宣城一模）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 　　． 【分析】先找出点的运动路线为以为直径的圆，设圆心为，作点关于直线的对称点，连接交于点，可推出的长即为的最小值，再求出的长即可． 【解答】解：四边形是矩形， ， ， ， 点的运动路线为以为直径的圆， 作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，， 则，， ， 的最小值为； 连接， 四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ，，， 四边形是矩形， ， 点关于直线的对称点， ， 在△中， 由勾股定理，得， 的最小值为， 故答案为：7． 6．（2025•碧江区 校级模拟）如图，等边△中，，点、点分别在和上，且，连接、交于点，则的最小值为 　 　． 【分析】首先证明，推出点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动，连接交于，当点与重合时，的值最小． 【解答】解：如图，△是等边三角形， ，， ， △△ ， 又， ， ， ， 点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动， 连接交于，当点与重合时，的值最小，最小值． 故答案为． 7．（2025·广东深圳·二模）如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，难度大，通过作辅助线，构造相似三角形，确定点的位置是解题关键．过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接，先利用勾股定理可得，再求出，则，证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得点在以点为圆心、长为半径的圆上，则，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角形面积始终为2，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴如图，点在以点为圆心、长为半径的圆上（定弦定角）， ∴， 又∵（当且仅当等号成立）， ∴的最大值为， 故选：D． 8．（2024秋•青秀区校级期中）阅读理解： （1）【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”：如图1，在△中，，，是△外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 　 　． ②类型二，“定角定弦”：如图，△中，，，，是△内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 　　 （2）【问题解决】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为 　　． （3）【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，请求出点的运动路径长． 【答案】（1）①22；②2； （2）2； （3）． 【分析】（1）①根据圆周角定理可直接得解；②先推导出，再根据圆周角所对的弦是直径得到点的运动轨迹是圆，然后利用点圆最值求解即可； （2）由轴对称可得，进而得出点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上运动，然后利用点圆最值求解即可； （3）证△△，进而推出，所以点的运动轨迹是以为直径的圆上运动，再根据的运动轨迹找出的运动路径求解即可． 【解答】解：（1）①如图，根据圆周角定理可直接得出； 故答案为：22． ②， ， ， ， 根据圆周角所对的弦是直径可知，点在以中点为圆心，为直径的圆上运动， 连接，当、、三点共线时，最小，此时， ， ， 在△中，， ； 故答案为：2； （2）点关于直线的对称点为点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， 当、、三点共线时，最小，此时， ，， ， ， ； 故答案为：2； （3）四边形是正方形， ，， ， △△， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为直径的圆上运动， 如图，连接和交于点，取中点为，连接， 当点在点时，点在点的位置，当点运动到点时，点运动到点，此时点运动到点， 点的运动轨迹为劣弧这一段， ， 半径， ， ， 故点的运动路径长为． 9．（24-25九年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点是外接圆的圆心，则面积的最大值是______________； 【问题解决】 （2）如图②所示，道路的一侧有一块闲置地，当地政府为提高辖区生态环境水平，改善居民生活质量，现规划建设一个五边形的公园，根据设计要求：，，为公园内的两条步行直道，为的中点．设计师还需在上选取一点，经过点修建一条步行直道，在四边形面积最大的前提下，平分五边形的面积．请问：是否存在满足设计要求的点和点？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．（点在同一平面内，直道的宽度均忽略不计，结果保留根号） 【答案】；存在， 【分析】（1）过点C作于点D，过点O作于点E，连接，则，根据三角形面积公式即可得解． （2）作的外接圆，外接圆，连接，，由于M为的中点，则，；连接，，过点Ａ作于点Ｐ，过点C作于点Q，则在中，，在中，，可得到；取的中点为S，连接，当E、S、M三点共线时，直线平分五边形的面积，直线交于点F，且，过点D作交的延长线于点H，先证，得到，，再由，得，再根据，得到，即可得解． 【详解】解：（1）如图，过点C作于点D，过点O作于点E，连接， 则，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ． （2）存在，如图，作的外接圆，外接圆，连接，， 由于M为的中点，则，， 连接，，过点Ａ作于点Ｐ，过点C作于点Q， 则在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 此时与均为正三角形，四边形为菱形，则过点M的直线必定平分菱形的面积．如图，取的中点为S，连接，当E、S、M三点共线时，直线平分五边形的面积，直线交于点F，且，过点D作交的延长线于点H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即的长度为． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形外接圆、等边三角形的性质以及三角形的面积计算公式的运用，解决问题的关键是掌握三角形外接圆的性质． 10．（2025秋•碑林区校级期中）问题提出： （1）如图①，已知△中，，，，点为边上任意一点，连接．若△与△面积相等，则线段　　 ． 问题探究： （2）如图②，，点和分别是射线和上的动点，且．点在内，△为等边三角形．连接．求线段的最大值． 问题解决： （3）如图③，矩形为一块试验田示意图，，．点是边的中点，点在边上，点在矩形内，且，△的面积为．现计划修两条小路和（小路的宽度不计），预计在△和△中分别种植甲，乙两种经济作物．请问小路是否存在最小值？若存在，请求出的最小值，并求出此时△的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2.5． （2）， （3）存在最小值，的最小值为，此时△的面积为． 【分析】（1）根据三角形中线的性质和直角三角形的面积公式解答即可． （2）通过构造即可求出的最大值． （3）根据得出，从而得出点的轨迹为以为直径的半圆，然后由求出的最小值，最后通过即可求出此时△的面积． 【解答】解：（1）， ， 是△的斜边中线，， ． 故答案为：2.5． （2）如图，点为的中点，连接，． 根据斜边中线等于斜边的一半，， 根据等边三角形的性质，． ， 的最大值为， （3）如图，过点作的平行线交于点，点为中点，． 根据题意可知为△的中位线，，． ． ． ． ． 点在以为直径的半圆上． 如图，点为的中点，是的圆心． ，，． ． ，即． 的最小值为． ，． ． 故存在最小值，的最小值为，此时△的面积为． 11．（2025秋•江北区校级月考）在△中，，、为线段、上一点（均不与端点重合），连接、，且线段、交于点，连接，． （1）如图1，当时，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，若，当时，证明：； （3）若，当取得最大值时，直接写出的值． 【答案】（1）． （2）当时，△为等腰直角三角形，， 由（1）可得， △△， ，即． 又，， △△． ，即． ． （3） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理推出，即可有邻补角的性质求出的度数． （2）分别证明△△和△△，然后由相似三角形对应边成比例推出结论． （3）通过定弦定角构造辅助圆，然后证明△△得到，判定当为直径时取最大值，再根据等腰直角三角形的性质得出为△底边上的垂直平分线，分别求出和与的比例关系，即可得出答案． 【解答】（1）解：如图，延长交于点． 根据等腰三角形的性质，． 在△和△中，，， ， ． （2）证明：当时，△为等腰直角三角形，， 由（1）可得， △△， ，即． 又，， △△． ，即． ． （3）解：如图，当时，△为等边三角形，与直线和相切，延长交于点， 由，，则为垂直平分线，也是的平分线，所以． ， ， ． 故点在上． 由于，则， △△， ． ． ，此时为的直径，且， △为等腰直角三角形，点为的中点，△也是等腰直角三角形． ，结合，则为线段的垂直平分线． 同理由等腰直角三角形的性质， ，． ． 12．（2025•江北区校级二模）在△中，，点为延长线上一点，连接，使，点在线段各上，连接交于点． （1）如图1，若，，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，点在的下方，连接，．若，，．求证：； （3）如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、．若，，当取最小值时，直接写出△的面积． 【答案】（1）． （2）证明见解答． （3）． 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到，再由求出结论． （2）先证明四边形为平行四边形得到．然后等腰三角形“三线合一”的性质得出，只须证明．在△中求出，再通过倒角法证明，进而由等腰三角形的性质求出．从而证得结论． （3）通过延长至，使，构造△△，然后推出，再由定弦定角模型得出点的轨迹，然后根据圆的性质得出、、三点共线时取最小值，接着求出和的长度，由求出答案． 【解答】解：（1）， ， ，， ． （2）证明：如图，过点作的垂线，为垂足，连接，，过点作的垂线，为垂足． 由（1）知． ，则， ， ， ，， ， 又， ，△为等边三角形． ， 四边形为平行四边形． ， ， 在等腰△中，， ． ，， ． 在△中，，则△是等腰三角形． ，． ， ． 根据等腰三角形的性质，是又是△的中线， ． （3）如图，延长至，使，则． 根据以及，可得△△， ， ， ， 根据定弦定角模型可知点在以为圆心，为半径的圆弧上． 作，为垂足，作，为垂足．延长交于点， 点对应的点为，． ， ，即点和重合时，取最小值． 由垂径定理得． 根据圆周角定理得出，平分， 则，． ， ， 又，， 四边形是矩形， ，． ． 13．（2025•渭城区一模）【问题提出】 （1）如图1，在△中，，点是边上一点，且，连接，若，则的长为　　 ； 【问题探究】 （2）如图2，点是菱形内一动点，，，连接、、，若，求线段的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某游乐园有一块矩形空地，现要将其进行规划，沿对角线修建一条长廊，将△区域修建成水上乐园，在△区域内修建公共卫生间和凉亭（大小均忽略不计），再分别沿、，铺设三条小路，并沿铺设地下水管，为节省铺设地下水管的成本，要求水管的长度尽可能的小．已知，，，．求水管长度的最小值． 【答案】（1）6； （2）的最小值为； （3）． 【分析】（1）证△△即可得解； （2）由可得点在以为直径的圆上，且在菱形内部．进而利用圆外一点到圆上最短距离求解即可； （3）先证，进而可知作△的外接圆，则点在矩形内部的上，据此求解即可． 【解答】解：（1），， ， ， △△， ， ； 故答案为：6； （2）， 点在以为直径的圆上，且在菱形内部． 以为直径作，连接、、，交于点， 四边形是菱形，，， ，，△是等边三角形． 点是的中点， ，， ． ，即， 当点与点重合时，最小，此时， 的最小值为； （3）四边形是矩形，， ，，，， ． ，， ，则， 作△的外接圆，则点在矩形内部的上，连接，、， ， ， 则． 过点作于点， 则，． 延长至点，使得，连接、，交于点． ，，， △△， ， 即， 当最小时，取得最小值． ，， 当点与点重合时，最小，的最小值， 在△中，，， ， 最小， 水管长度的最小值是． 14．（2025•成都模拟）如图，在△中，，，点是的中点，过点作的垂线，与延长线交于点． （1）如图，若，求的长； （2）点在线段上，连接，将射线绕点逆时针旋转，与射线交于点． ①探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并说明理由； ②若，，为，的中点，延长，交于点，求△面积最大值． 【答案】（1）； （2）；证明见解析； （3）△面积最大值为． 【分析】（1）易得，所以，，进而求解即可； （2）在延长线上构造等腰三角形，即可得到，再证△△，得到，即可得解； （3）证△△△，从而利用8字导角可得，再根据中位线可得，进而根据定弦对定角隐圆模型求解即可． 【解答】解：（1）是中点，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2），证明如下： 延长，在延长线上取一点，使， 则， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ，， △△， ， ， 即； （3）如图，连接、， 、为、中点， 是△中位线， ， △△， 由（2）可知、、、四点共圆， ， ， △△， △△， ， 又， △△， ， ， ， ， ， ， 根据定弦定角模型可知点、、三点共圆，作△的外接圆， 则， △为等边三角形， ， 过作于点，并延长交，过作于点， 则， 当点与重合时，此时△的高最大，即△的面积最大， ， ， 此时， △面积最大值为． 题型三 定边对等角 15．（24-25九年级下·广东深圳·月考）如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、四点共圆，由可知、、、四点共圆，进而可得，过作于点，易得再利用 ，可设，则，易证，最后解即可得解． 【详解】解：， ∴点、、、四点共圆， ， ∴为直径， ， 过作 于点， 则 ， 在 中，， ， ， ，即 ， 设，则 ， ， ， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得或(舍去)， ； 故答案为：． 16．（2025•常熟市模拟）如图△中，，，，为平面内一点，且，过点作，与的延长线相交于点，则△面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据定弦定角模型求出点的轨迹，再由题意得出△△，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，结合最大值为的长度即可求出的最大值． 【解答】解：根据题意点的运动轨迹在以中点为圆心为直径的的优弧上． ，， △△， ． ，的最大值为的直径的长度，， 的最大值为． 故选：． 17．（2025秋•梁溪区校级期中）如图，在△中，，，，点为上的一个动点，以为直径作，交于点，连接交于点，为中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】． 【分析】由动、动可知是动点，而是定点，所以先找点的轨迹，连接、，易得，则，根据定长，则点的轨迹是以为弦的圆弧，再利用点圆最值求解即可． 【解答】解：在△中，，， ， 连接， 是直径， ， ， ， 连接，则， ， 为定长， 点的轨迹是以为弦的圆弧，如图， ，即△为等边三角形， ， 是中点， 根据点圆最值可知当、、三点共线时，； 故答案为：． 18．（2025•雁塔区校级模拟）问题提出： （1）如图1，是△的外接圆，，，则半径长等于 　　 ； 问题探究： （2）如图2，在矩形中，，若在边上存在一点，使得，求矩形面积的最大值； 问题解决： （3）如图3，是一个矩形广场，其中，足够长．为了方便居民生活，促进经济发展，街道计划在矩形内部修建一个面积尽量大的交易市场，其中，分别在边，上，且．在具体施工中安全联防小组要求在上找到一点，使得，以便安装摄像头对市场进行安全监管．请问满足上面要求的市场是否存在，若存在，请求出市场面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）半径为：． （2）矩形面积的最大值为：8． （3）满足上面要求的市场存在，市场面积为． 【分析】（1）利用圆周角定理转化为直角三角形后解出． （2），点只能出现在以为圆心的半圆上． （3）同样需构造圆，解决能使面积最大的的位置，求出最大面积． 【解答】解：（1）连接并延长交于，如图 为直径， ； 又 ； ． 半径为：． （2）以为直径作半圆，如图 ； 只能在以为直径的半圆上； ，即． （3）过作交于，过作于，过三点作圆，如图 矩形中， 为直径． ， ， 在上，且，． ． ． 即：满足上面要求的市场存在，市场面积为． 19．（2023•郸城县一模）请阅读以下材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图1，点，是线段同侧两点，且． 求证：点，，，四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图2，若点在外．设与交于点，连接， 则（依据一）， 又（依据二）， ． ．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立； 如图3，若点在内， （请同学们补充完整省略的部分证明过程） 综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆． （1）填空：将材料中依据一、依据二补充完整； 依据一：　 　； 依据二：　　． （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （3）填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　　． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）见解析； （3）． 【分析】（1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论； （2）作的外接圆，假设点在外或在内．由反证法、圆周角定理以及三角形的外角性质即可得出结论； （3）证点，，，四点共圆，再由相交弦定理得，然后由为中点，得，即可解决问题． 【解答】解：（1）依据一：同弧所对的圆周角相等； 依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接， 则， 又， ． ． 这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立； （3）， 点，，，四点共圆， ， 为中点， ， ，， ， ， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 题型四 四点共圆 20．（2024•会东县二模）如图，矩形的对角线相交于，过点作，交点，连接，若，则的大小是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图取的中点．连接、．只要证明，推出、、、四点共圆，可得． 【解答】解：如图取的中点．连接、． 四边形是矩形， ， ， ， 四边形对角互补， 、、、四点共圆， ， ， ， 故选：． 21．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明在以为圆心，为半径的同圆上，把求转化为求． 【详解】以为圆心，为半径作，连接． 在格点上． 在上 又的直径是 点在上 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、四点共圆及三角函数的应用，解题的关键在于连接，证明点在以为圆心，为半径的同圆上． 22．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据对角互补四点共圆可得四点共圆，连接，，求证，而后推导出，可得，连接，由三角形的三边关系以及、为定值，则当三点共线时，取得最小值为，最后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：，， 根据对角互补四点共圆可得四点共圆， 连接，， ，，， ， ， 四点共圆， ， ，， ， ， 连接，则， ∴当三点共线时，取得最小值为， 在中，， ∴， 取最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用辅助圆解决最值问题，涉及全等三角形的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、勾股定理等，根据条件作出合适的辅助线，得出是解题的关键． 23．（2025•广东校级模拟）如图1，点在直线上，过点构建等腰直角三角形，使，且，过点作直线于点，连接． （1）小亮在研究这个图形时发现，，点，应该在以为直径的圆上，则的度数为 　　 ，将射线顺时针旋转交直线于点，可求出线段，，的数量关系为 　　 ； （2）小亮将等腰直角三角形绕点在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段，，的数量关系是否变化，请说明理由； （3）在旋转过程中，若长为1，当△面积取得最大值时，请直接写的长． 【分析】（1）由，且，可得，由，推出、、、四点共圆，所以；由题意知△△，所以，由，，可知△是等腰直角三角形，推出； （2）如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．易证△△，则，由，，所以△是等腰直角三角形，则，由，推出； （3）当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，△的面积最大． 【解答】解：（1）①如图，在图1中． ，且， ， ， 、、、四点共圆， ； ②由题意可知，， ， 又，， △△， ， ，， △是等腰直角三角形， ， ， ； 故答案为，； （2）线段，，的数量关系会变化，数量关系为． 理由如下： 如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点． 则， ， 又，， △△， ， ，， △是等腰直角三角形， ， ， ； （3）由（2）知，△△， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆， 于是作、、、外接圆，如图， 当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，经过圆心，此时最长，因此△的面积最大． 作，则平分，，在上截取一点，使得， ， ，， ， ， ， ， ． 24．（2025秋•赣榆区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②； Ⅱ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③； Ⅲ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④． （1）在图①、②中，取的中点，根据　 　 得，即，，，共圆， （2）在图③中，画经过点，，（图⑤．假设点落在外，交于点，连接，可得，得出矛盾；同理点也不会落在内（图⑥，即，，，共圆．结论同理可证． 请你利用“反证法”证明结论Ⅲ，在图⑦和图⑧中选择一个证明点在圆上； （3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点． 求证：是△的高．（连接，补全以下证明框图） （4）如图⑩，点是△外部一点，过作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且点，，在同一条直线上，求证：点在△的外接圆上． 【答案】（1）直角三角形斜边中线等于斜边的一半； （2）证明：假设点落在外，交于点，连接，如图， ， ， ， 是△的一个外角， ，这与相互矛盾， 假设不成立， 故点在圆上； ，，，共圆． 假设点落在内，作的延长线交于点，连接，如图， ， ， ， 是△的一个外角， ，这与相互矛盾， 假设不成立， 故点在圆上； ，，，共圆． （3）证明：以、、、四点作圆，以、、四点作圆，连接，如图， 、、、四点共圆， ． 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， 即是△的高； （4）证明：连接，，如图， ，， ， 由结论可得：点、、、四点共圆， ，， ， 点、、、四点共圆， 点，，在同一条直线上， ，， ． 由结论Ⅲ可得：点、、、四点共圆， 即点在△的外接圆上． 【分析】利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可； （2）假设点落在外，交于点，连接，利用圆的内接四边形的性质得到，利用三角形的外角的性质得到，从而得出矛盾； （3）以、、、四点作圆，以、、四点作圆，连接，利用圆的内接四边形的性质得到，结论可得； （4）连接，，利用结论可得：点、、、四点共圆，点、、、四点共圆，利用圆的内接四边形的性质得到，，则，利用结论Ⅱ即可得出结论． 【解答】（1）解：在图①、②中，取的中点，连接，，如图， 则， ，为的中点， （直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ， 即，，，共圆． 故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； （2）证明：假设点落在外，交于点，连接，如图， ， ， ， 是△的一个外角， ，这与相互矛盾， 假设不成立， 故点在圆上； ，，，共圆． 假设点落在内，作的延长线交于点，连接，如图， ， ， ， 是△的一个外角， ，这与相互矛盾， 假设不成立， 故点在圆上； ，，，共圆． （3）证明：以、、、四点作圆，以、、四点作圆，连接，如图， 、、、四点共圆， ． 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， 即是△的高； （4）证明：连接，，如图， ，， ， 由结论可得：点、、、四点共圆， ，， ， 点、、、四点共圆， 点，，在同一条直线上， ，， ． 由结论Ⅲ可得：点、、、四点共圆， 即点在△的外接圆上． 题型五 米勒最大张角 25．如图，甲、乙、丙三位球员分别站在足球门前的点，，处射门，点，，都在同一个以为弦的圆上，若球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大，则下列说法正确的是（　　） A．甲踢进足球的可能性最大 B．乙踢进足球的可能性最大 C．丙踢进足球的可能性最大 D．三位球员踢进足球的可能性一样大 【答案】 【分析】分别连接，，三点与、两点的线段，得到三个圆周角，同弧所对的圆周角相等即可判断． 【解答】解：如图，分别连接，，三点与、两点的线段， ， ； 球员面对足球门的视角越大踢进足球的可能性越大， 三位球员踢进足球的可能性一样大， 故选：． 26．（2024•扬州）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 　　． 【答案】． 【分析】由题易得四边形是平行四边形，从而得到是定长，又由，得出直角对直角的隐圆模型，再根据最大张角问题（相切时）求解即可． 【解答】解：， 四边形是平行四边形， ， 为定点，且， 为定值， ， ， 点在以为直径的圆上运动（如图，为圆心）， 此时， 当与相切时最大， ． 故答案为：． 27．（2025•连云港模拟）数学的思考 如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，试在轴正半轴上确定点的位置，使得最大，并求出此时点的坐标． 数学的眼光 （1）如图①，请说明； 数学的表达 （2）如图②，根据“垂径定理”，可知圆心在线段的垂直平分线上，借助直线的表达式及，可以求出圆心的坐标，从而得到点的坐标，请写出具体的过程； （3）如图③，延长线段交轴于点，连接、，当与相切时，通过求的长可得到点的坐标，请写出具体的过程； （4）如图④，已知线段，用尺规在射线上作出点，使得最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】（1）说明见解答； （2）； （3）； （4）图见解答． 【分析】（1）连接，根据外角的性质，得到，即可解答． （2）设点，求出，根据，列出等式，即可解答． （3）连接并延长，交于点，连接，证明，求出，即可解答． （4）有三种作法，方法一：根据第（3）问，可知，则在图中构造；方法二：思路如上，构造位似图形；方法三：． 【解答】解：（1）如图，连接， 是的外角， ， ， ； （2）直线的表达式为， 点在直线上， 设点， ，． ， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， 点坐标为； （3）连接并延长，交于点，连接，如图， 是直径， ， ， 与轴相切于点， 轴， ， ， 又， ， ， ， ， 、， ，， ，即， ， 点的坐标为； （4）提供三种作法如下： 方法一： 根据第（3）问，可知，则在图中构造； 方法二： 思路如上，构造位似图形； 方法三： ． 28．（2025•苏州二模）自主式探究学习是学习数学学科的重要能力之一． 情境一：爱思考的小苏利用 “”探究一些数学模型，以下是他和之间的部分聊天记录： 我正在整理数学笔记，你能给我讲讲米勒圆模型的概念和例子吗？ 已思考（用时10秒） 好的，很高兴能为你讲解米勒圆模型．这是一个在几何和数学问题中非常经典的模型，尤其在处理“最大张角”问题时非常有用． 一、米勒圆模型的概念 1．核心问题（生活场景） 假设你在一条笔直的海岸线上观察海上的两座灯塔（点和点，你站在海岸线的哪个位置，才能使得看这两座灯塔的视角（即最大？ 这就是著名的“米勒问题”或“最大张角问题”． 2．数学模型与结论： 米勒圆模型给出了这个问题的几何解答： 已知条件：给定一条定直线和直线外的两个定点、． 问题：在直线上找一点，使得最大． 结论： 1．作圆：过点、作一个与直线相切的圆． 2．切点即为所求：这个圆与直线的切点，就是使得最大的点． 3．理论依据：在直线上，点位于由、形成的某个“米勒圆”（或称“等角圆” 上，根据“同弧所对的圆周角相等”以及“圆外角小于圆周角”的定理，可以证明这个切点处的视角是最大的． 3．米勒圆的方程（拓展理解） 在平面直角坐标系中，对于两个定点，和，，到这两点张角为定值（例如的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹圆就被称为点、的米勒圆或等角圆． 二、经典例子与应用 我们来看一个最经典、最常考的直角米勒圆模型． 例题： 在平面直角坐标系中，点，点，点是轴上的一个动点， （1）当时，求点的坐标． （2）在轴上找一点，使得最大． 求使得最大的点． 根据米勒圆模型的结论，我们需要找到过、两点且与轴相切的圆，其切点即为所求． 1．设圆心坐标： 由于圆过和两点，根据圆的对称性，圆心必在线段的垂直平分线上． 的垂直平分线为：． 设圆心的坐标为，半径为． 2．建立方程： 因为圆与轴相切，所以圆心到轴的距离等于半径，即． 又因为圆经过点，所以． （2） 因此有方程：． 这个方程无解不成立），说明在轴上方或下方找不到这样的圆． 情境二：如图1，在正方形中，为线段上一点，作交与点，细心的小苏发现的轨迹并不是一直朝一个方向运动；他随后根据，，的相等关系展开了研究． 请根据以上情境，完成下列问题清单： （1）接着情境二的图1，若，试求的最大值； （2）接着情境一，如图2，在正方形中，是上一点，连接，，当取得最大值时，直接写出的值． （3）数学的模型往往服务于生活之中．如图三是一个摄影棚，在四边形中，，，且，，．是支架，．是在轨道上的移动点，点光源在线段的中间，且射出的光与垂直，打在支架的点处．随着点的运动，试求解或证明： Ⅰ．Ⅰ点是三角形的外心． Ⅱ．Ⅰ点经过的路径长． 【答案】（1）1． （2） （3）Ⅰ．证明：如图，连接． 在△中，． ， 是的垂直平分线， 又为的垂直平分线， ， 点为△的外心． Ⅱ， 【分析】（1）根据题意先判定求的最小值，即取最大值，然后由米勒圆模型求出长度即可根据中位线性质通过求出的最小值． （2）根据米勒圆模型求出米勒圆半径和正方形边长的数量关系，然后通过求出答案． （3）Ⅰ．由垂直平分线的性质得出即可判定点为△的外心； Ⅱ先判定点的运动轨迹为，然后通过米勒圆模型求出最大时米勒圆的半径大小，然后由平行线分线段成比例求出的大小．再根据△△求出和的长度，即可得到点的经过的路径长． 【解答】解：（1）由于，故求出的最小值即可得出的最大值． ， 当取最大值时，取最小值，取最大值． 如图，连接，由，可知四点共圆，则． 根据米勒圆模型，当△的外接圆与相切时，即，取最大值． 由垂径定理可知． 此时， 由勾股定理建立方程：，解得． ． 是△的中位线， ． ． 故的最大值为1． （2）如图，过、两点的与相切，连接，， 的延长线交于点，的延长线交于点． 设正方形边长为，半径为． ，，． 同理（1），在△中，，即，解得． ． 易知为△的中位线，则， ． （3）Ⅰ，证明：如图，连接． 在△中，． ， 是的垂直平分线， 又为的垂直平分线， ， 点为△的外心． Ⅱ．如图，连接，过点作交于点，交于点，根据题意易知四边形为矩形． 根据题意当点在上运动时，点在上运动，当运动到点时，为其在上的投射点． 从图中可以看出，在点从点向点运动时，点在从上先是从点向点运动，然后到达点后开始反向运动至点． 则点为点向方向到达的最远点． 点运动的路程为：． 根据米勒圆模型，当△外接圆半径时，取最大值． 由于且，则，即此时取最大值， ，即取最小值，取最大值． 设△外接圆半径为． 在△中，，，则，． 在△中，． ，， ， ， 由于，， ，， ， 解得． ． 由可得，解得， ，， △△， ， ，， ． ． ． 故点经过的路径长为， 29．（2023•宜宾）如图，抛物线与轴交于点、，且经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）在轴上方的抛物线上任取一点，射线、分别与抛物线的对称轴交于点、，点关于轴的对称点为，求的面积； （3）点是轴上一动点，当最大时，求的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）的面积为； （3）． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为；（2）设抛物线的对称轴交轴于，求出抛物线的对称轴为直线，知，，设，可得的函数表达式为，即得，同理可得，可得坐标为，，从而可求出的面积为； （3）当以为弦的与轴相切时，切点即为使最大的点，设，由，，，得，有，故，又，得，即可解得或（不符合题意，舍去），从而． 【解答】解：（1）把、，代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）设抛物线的对称轴交轴于，如图： 抛物线与轴交于点、， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 设， 设的函数表达式为，把，代入得： ， 解得， 的函数表达式为， 在中，令得， ， 同理可得， 关于轴的对称点坐标为， ， ； 的面积为； （3）当的外接圆与轴相切时，切点即为使最大的点，如图： 轴， 设，则， ，，， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ． 题型六 定角定高模型（探照灯模型） 30．（2022秋•姑苏区校级月考）已知：如图，点是直线外一点，点到直线的距离是4，点、点是直线上的两个动点，且，则线段的长的最小值为　　 A． B． C．3 D．4 【答案】 【分析】如图，过点作直线直线，则直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点，连接，过点作于，过点作于．首先证明当，，共线时，的值最小，此时的值最小，解直角三角形求出此时的值，可得结论． 【解答】解：如图，过点作直线直线，则直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点，连接，过点作于，过点作于． 在中，， 的值最小时，的值最小， ， 当，，共线时，的值最小，此时的值最小， 直线垂直平分线段， ， ， ，， ， ， ， ， 可以假设，， ， ， ， ， ， 解得， 的最小值， 故选：． 31．（2025•连云港校级二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域△的面积最小值是多少？ （1）小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造△的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为 　8　，通过计算可得△的面积最小值为 　　． （2）当，时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整：解：作出△的外接圆，作于，设． （3）请你写出原题中的结论：光照区域△的面积最小值是 　　．（用含，的式子表示） （4）如图3，探照灯到地平线距离米，到垂直于地面的墙壁的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点、分别在射线、上，设△的面积为，△的面积为，求的最大值． 【答案】（1）8，16； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）当和点重合时，，此时最小为4，从而得出； （2）作△的外接圆，作于，设，依次表示出，，，，根据列出，从而得出的最小值，进一步得出结果； （3）同（2）步骤相同：作△的外接圆，作于，设圆的半径为，依次表示出，，，根据列出方程，从而得出的最小值，进一步得出结果； （4）作，交于，可证得△△，从而得出，可证得，从而得出由（3）结论知：△的最小值，进而变形得出的最小值，可得出，进一步得出结果． 【解答】解：（1）， ， 当和点重合时，，此时最小为4， ， 最小， 故答案为：8，16； （2）如图，作△的外接圆，作于，设， ， ， ，， ， ， ， 当点在上时，，此时最小， ； （3）如图，作△的外接圆，作于， 设， ， ，， ， ，， ， ， ， 当点在上时，，此时最小， ， 故答案为：； （4）如图，作，交于， ， △△， ， ，， ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ． 题型七 圆幂定理 32．（2024•陈仓区三模）如图，是圆的弦，过点作圆的切线，点是上一点，连接交圆于点，延长交圆于点，连接、，与互余，． （1）求证：、是圆的直径； （2）若圆的半径为，，求的长． 【答案】（1）证明过程请看解答； （2）． 【分析】（1）连接，根据等量代换得，则，可得是圆的直径，再根据圆周角定理证明，则，即，即可得到结论； （2）根据同角的余角相等得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明：连接， 与互余， ， ， ， ， 是圆的直径． ， ， ， 是圆的直径． （2）解：是圆的切线， ，即， 、是圆的直径， 点为圆心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 33．阅读下面材料，并完成相应的任务 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 下面是不完整的证明过程，请补充完整． 已知：为外一点，与交于，两点，与相切于点． 求证：． 证明：如图，连接，，连接并延长交于点，连接． 为的切线，　　，，为的直径，　　，，　　，，．，　　．，． 学习任务： 如图，若线段与相交于，两点，且，射线，为的两条切线，切点分别为，，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解答过程； （2）27． 【分析】（1）由切割线定理得出，，由，得出，进而得出，即可证明； （2）过点作于点，由解直角三角形求出，设，则，，由切割线定理得出，即，解方程求出，进而求出，代入三角形面积公式进行计算即可求出的面积． 【解答】（1）证明：如图1， ，为的两条切线， ，， ， ，即， ， ； （2）解：如图2，过点作于点， 在中，，， ， ，设，则，， 由切割线定理得：，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $