2.4 圆周角 同步练习 2025-2026学年苏科版九年级上册数学

2.4 圆周角 一、单选题 1．在中，是外心，且，则的度数是（） A． B． C．或 D．或 2．如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 4．如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（ ）． A．10° B．20° C．40° D．80° 5．如图，ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=45°，则∠BAE等于（　　　） A．90° B．30° C．135° D．45° 6．如图，已知是的直径，C 是圆上一点，点D 是 弧中 点，若．则为 （   ） A． B． C． D． 7．如图，A，B，C是上的点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，是的外接圆的直径，若，则 °． 9．如图，，，是上的三点，，在圆心的两侧，若，，则的度数为 ．    10．如图，在圆O中，弧所对的圆心角为，且，则 ． 11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABD=55°，则∠BCD的度数 ． 12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD= ． 三、解答题 13．如图，在以为直径的半圆中，M是的中点，C是上的点，的延长线相交于点D，连接．    (1)求证：平分； (2)若平分，则的大小为________度． 14．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求： （1）BC、AD的长； （2）图中两阴影部分面积的和． 15．已知：如图，内接于，是的弦，，垂足为，点为弧上一点，且． （1）求证：是的直径； （2）若，，求的长． 16．如图，为的直径，交于点D，交于点E，． (1)求的度数； (2)求证：． 17．如图，是的两条弦，与相交于点，． (1)求证：； (2)连接，作直线，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】该题主要考查了三角形的外心以及圆周角定理； 由于三角形的外心的位置的不同，应分为两种情况考虑：外心在三角形的内部或外心在三角形的外部．然后根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，结合一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半进行分析求解． 【详解】解：如图1，当三角形的外心在三角形的内部时，则； 如图2，当三角形的外心在三角形的外部时，则． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了直径所对圆周角为直角，同弧或等弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． 如图所示，连接，得到，由是直径，得到，在根据直角三角形两锐角互余，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， 故选：B ． 3．A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，先根据正方形的性质和勾股定理求出的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴的半径为， 故选：A． 4．B 【详解】根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半, 所以∠ACB的度数等于∠AOB的一半, 即 故选B 考点：同一弧所对的圆周角与它所对圆心角的关系. 5．D 【分析】根据圆内接四边形的性质可直接进行求解． 【详解】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠BAE=∠C=45°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 6．C 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先由直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理得到，再由同弧或等弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∵点 D 是弧中点， ∴， ∴， ∴， 故选： C． 7．D 【分析】在优弧上取一点D，连接、，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补即可求出． 【详解】解：如图，在优弧上取一点D，连接、， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形对角互补是解题的关键． 8．50 【分析】根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】∵是的外接圆的直径， ∴点，，，在上， ∵， ∴， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 9．/100度 【分析】过A、O作的直径，首先根据等边对等角得到，，进而得到，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：过A作的直径，交于D    ∵ ∴， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边对等角，圆周角定理，解答本题的关键是正确作出辅助线． 10．10゜ 【分析】连接AB，由OA=OB及∠AOB=80゜可得∠OAB=∠OBA=50゜，由已知可得∠ABC的度数，从而在△ABC中可求得∠CAB的度数，因此可求得∠OAC的度数. 【详解】如图，连接AB ∵OA=OB，∠AOB=80゜ ∴∠OAB=∠OBA=50゜ ∵∠OBC=50゜ ∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=100゜ ∵∠ACB=∠AOB=40゜ ∴∠CAB=180゜−∠ACB−∠ABC=40゜ ∴∠OAC=∠OAB−∠CAB=50゜−40゜=10゜ 故答案为：10゜ 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，这是圆中一类基础题，关键是掌握圆的有关性质． 11．35° 【分析】连接AD，根据圆周角的性质得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠DAB=35°，最后根据同弧多对圆周角相等即可求解． 【详解】连接AD ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ADB=90° ∵∠ABD=55° ∵∠DAB=90°-55°=35° ∴∠BCD=∠DAB=35° 故答案为35°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正确的做出辅助线是本题的关键，并且要熟练应用圆周角的性质． 12．40° 【详解】连接CD， 则∠ADC=∠ABC=50°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°， 故答案为： 40°. 13．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握“直径所对的圆周角为直角”，“同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等”． （1）连接，根据点M半圆的中点，易得，再计算得出即可求解； （2）由（1）可知，利用直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】（1）解：连接，    ∵为直径， ∴， ∴， ∵点M半圆的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴故答案为：． 14．(1)2；（2）. 【分析】（1）根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理求出AD=BD，求出AD即可； （2）根据三角形的面积公式，求出△AOC和△AOD的面积，再求出S扇形COD，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵AB是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）， 在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2， ∴AB=4， ∴BC=， ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠DCA=∠BCD ∴， ∴AD=BD， ∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=2； （2）连接OC，OD， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=∠2∠ABC=60°， ∵OA=OB， ∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=， 由（1）得∠AOD=90°， ∴∠COD=150°， S△AOD=×AO×OD=×22=2， ∴S阴影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2． 【点睛】考查了勾股定理、圆周角定理、三角形的面积等知识点的应用，关键是求出∠ACB=∠ADB=90°． 15．（1）见解析；（2） 【分析】（1）先根据圆周角定理得出，，再根据垂直的定义、等量代换得出，然后根据圆周角定理即可得证； （2）先根据圆周角定理得出，从而可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，从而可得是等腰直角三角形，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的直径； （2）如图，连接 ∴ ∵ ∴，即 ∵ ∴ 由三角形的内角和定理得： 解得 ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟记圆周角定理是解题关键． 16．(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用，关键是根据的度数等于进行解答． （1）的度数等于，因而求的度数就可以转化为求和，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出； （2）在等腰三角形中，根据三线合一定理即可证得． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）证明：连接， ∵是的直径， ∴． ∴． 又∵， ∴． 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）利用弧、弦、圆心角的关系得出，即得，即可求证； （）由得，即得，即得到，得到，进而由得到都在的垂直平分线上，即可求证； 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，垂直平分线的判定等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴都在的垂直平分线上， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $