第6讲：整除—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第6讲:整除 概念回顾 定义 如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a。 性质 1.个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。 2.个位上是0或5的数，都能被5整除。 3.一个数各位上的数字和能被3整除，这个数就能被3整除。 4.一个数各位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除。 5.能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 6.一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。 7.一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。 典型例题 1.在456、1880、6525、12、66、850中，能被2整除的数有哪些？能被4整除的数有哪些？能被8整除的数有哪些？ 【解析】 一个数的个位数字若是是0、2、4、6、8中的一个，那么这个数就能被2整除；一个数的末两位数若是能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除；一个数的末三位数若是能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 答案：能被2整除的数分别有456、1880、12、66、850；能被4整除分别有456、1880、12；能被8整除的数分别有456、1880。 2.判断1839693能否被3整除？能否被9整除？ 【解析】 一个数各位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。1+8+3+9+6+9+3=39，可以被3整除，但不能被9整除。 答案：1839673可以被3整除，但不能被9整除。 同类练习 1.四位数178▢能被2整除，▢中能有哪几个数可以填？ 2.为了五位数6▢221能被9整除，▢中可以填几？ 拓展练习 1.四位数6ab2能被4整除，要使这个数尽可能大，a和b是什么数字？ 2.四位数2A2B能同时被2、5、9整除，这个数是多少？ 方法总结 熟记常见数的整除特征 末位系 2，5：看末一位 4，25：看末两位 8，125：看末三位 数字和系 3，9：看各位数字和 数字差系 11：看奇位和与偶位和的差 若一个整数的奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。 例如，在1839673中，奇数位1+3+6+3=13，偶数位8+9+7=24，24-13=11能被11整除，故1839673可以被11整除。 常见整除性质 1.如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 2.如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 3.如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。 专项练习 1.一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,适合这些条件的最小数是（ ）。 2.个位上是0的数，既是（ ）的倍数，又是（ ）的倍数。 3.判断：所有自然数(0除外)都是1的倍数。（ ） 4.一个两位数，既是8的倍数，又小于50,这个两位数最大是（ ）。 5.从0、3、9、7这四张数字卡片中取出三张，组成同时是2,5,3的倍数的三位数。这样的三位数有几个?分别是多少? 6. 173（ ）是个四位数字。数学老师说：“我在这个（ ）中先后填入2个数字，所得到的2个四位数，依次可被9、6整除。”问：数学老师先后填入的2个数字的和是多少? 7.在37（ ）0的方框内填入数字，使它能被125整除，那么方框内可以填入的数字是多少? 8.在52后面添上一个一位数，使得组成的三位数是3的倍数，请问：添上的这个一位数可能是多少? 9. 4、5、0组成的三位数中，能被2整除的数有哪些?能被5整除的数有哪些?能同时被2、5整除的数有哪些? 10.某个七位数1993▢▢▢能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么它的最后三位数字依次是多少? 参考答案 同类练习 1.解析：一个数的个位数字若是是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。 答案：▢中能填0，2，4，6，8这五个数。 2.解析：6+2+2+1=11，若该五位数各位上的数字和为1×9=9，小于11，不成立；若为2×9=18，则18-11=7，成立；若为3×9=27，则27-11=16，方框中为一位数，不成立。故答案为7。 答案：▢中可以填7。 拓展练习 1.解析：四位数6ab2能被4整除，故其末两位数能被4整除，有12，32，52，72，92五种可能性。为了使得数尽可能大，故b=9。由于a可以为任何数字，故a取最大为a=9。 答案：a=9，b=9 2.解析：2A2B能被2整除，故末位数可以为0，2，4，6，8。能被5整除，故末位数可以为0或5，所以末位数为0，即B=0。又2A2B能被9整除，故2+A+2+0=4+A能被9整除，若4+A=1×9=9，则A=5，成立；若4+A=2×9=18，则A=14，不成立。 答案：A=5，B=0，这个数是2520。 专项练习 1.答案：23 解析：由题意可知，所求这个数分别除以3和7时，余数相同。3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23。经检验，23除以5商4余3,所以答案是23。 2.答案：2,5 解析：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，个位数上是0或5的数，都能被5整除。 3.答案：正确 解析：1可以被所有自然数整除(0除外)。 4.答案：48 解析：小于50的8的倍数有8、16、24、32、48,其中最大的是48。 5.答案：2个，分别是390和930。 解析：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，个位数上是0或5的数，都能被5整除。所以这个三位数的个位应该是0,这样能被2和5整除。同时，这个数的各位上的数字和能被3整除，这个数就能被3整除，所以这个三位数可能是390或930。 6.答案：所填2个数字之和是11。 解析：因为能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，1+7+3+( )=11+( ),所以( )内只能填7;因为能被6整除的自然数是偶数，并且数字和能被3整除，而1+7+3+( )=11+( ),所以( )内只能填4。因此：7+4=11。 7.答案：方框内可以填入的数字是5。 解析：能被125整除的数的特性是末三位能被125整除，所以填入的数字是5。 8.答案：添上的这个一位数可能是2或5或8。 解析：能被3整除的数的特性是各位上的数字的和能被3整除，所以后面添上的数可能是2或5或8。 9.答案：能被2整除的数有：450、540、504;能被5整除的数有：450、540、405;能同时被2、5整除的数有：450和540。 解析：①首先看能为2整除的数：个位数是0或者4的数能被2整除。 如果个位是0,那么三位数是450和540;如果个位是4,那么三位数是504。 ②再看能被5整除的数：个位是0或者5的数能被5整除。 如果个位是0,那么三位数是450和540;如果个位是5,那么三位数是405。 ③最后能同时被2和5整除的数，个位是0,这个三位数是450和540。 10.答案：它的最后三位数字依次是：3、2、0。 解析：能被2和5整除个位为0,能被9整除所有数字之和可以被9整除，故十位，百位上的数字之和为5或14,故后三位可能形式为：050、140、230、320、410、500、590、680、770、860、950,能被4整除的后三位数也能被4整除，能被8整除的，后三位必能被8整除，可排除其它，只剩下320、680,在考虑能被7整除，验证只有320满足条件。 学科网（北京）股份有限公司 $