第21讲：同余问题—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练

第21讲:同余问题

概念回顾

 定义

如果两个不同的数除以同一个数所得的余数相同，我们称这两个数除以这个数同余。例如，15除以4余3，31除以4也余3，我们就说“15和31除以4同余”。

 方法

解题的关键是将同余问题转化成整除问题。

 同余定理：余数相同的两数之差，能被除数整除，即：

如果a÷c=q……r，那么a=c×q+r；

如果b÷c=p……r，那么b=c×p+r（a>b）。

我们会发现：a-b=（q-p）c，即c一定是（a-b）的因数。

例如：20÷3=6……2，那么20=3×6+2；

14÷3=4……2，那么14=3×4+2；

我们会发现：20-14=（6-4）×3，即3是（20-14）的因数。

 差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数与除数的差相同，此时反求的这个数，可以先求出除数的最小公倍数，再减去这个相同的差值，称为：“差同减差”。

例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，这个数是多少？

因为4-1=5-2=6-3=3，所以这个数加上3得到的新数是4、5、6的最小公倍数。4=2×2；5=5；6=2×3；所以4、5、6的最小公倍数是2×2×5×3=60。这个数原本是60-3=57。

典型例题

1. 107除以一个两位数，余数为9，那么这个两位数有几种情况？

解析：这是把带有余数的问题转化成整除性的问题，也就是要找出能整除（107-9）的所有两位数。进一步，要找出能整除98的两位数，把98分解质因数，从所得到的质因子中去凑两数：107-9=98=2×7×7。因此这样的两位数是：14、49、98，共有3种可能。

答案：共有3种情况：14、49、98。

2.把165个小挂件、133个贴纸平

均分给小朋友，分完后小挂件剩下5个，贴纸也剩下5个。问最多有多少个小朋友？

解析：分完后小挂件剩下5个，贴纸也剩下5个，那么已经分了小挂件：165-5=160（个），已经分了贴纸：133-5=128（个），就相当于是求160和128的最大公因数。（160，128）=32（个）

答案：最多有32个小朋友。

同类练习

1.一个数除以5余3，除以4余2，除以3余1，这个数最小是多少？

 

 

 

2.韩信带1500名士兵去打仗，战死400多人，剩下的每3人站一排，多出2人，每5人站一排，多出4人，每7人站一排，多出6人，问还剩多少名士兵？

 

拓展练习

1.有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33，求这个数是多少？

 

 

 

2.老师带来24颗牛奶糖，35颗水果糖和46颗巧克力糖。如果将这三种糖平分给每个同学，最后这三种糖剩下的数量相同。请问共有多少个同学？

 

 

 

方法总结

同余的性质

1.对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

例如：201×95的乘积对于除数7，与201÷7的余数5和95÷7的余数4的乘积20对于7同余。

2.对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。

例如：519和399对于一个除数同余，那么这个除数一定是519与399的差的因数，即519与399的差一定能被这个数整除。

3.对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

例如：20和29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和29的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次方变化。