第13讲：长方体与正方体（一）—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第13讲:长方体与正方体（一） 概念回顾 长方体的认识 1.长方体一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2.长方体特点 ①有6个面，8个顶点，12条棱； ②相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等； ③一个长方体（不含正方体）中最多有2个面是正方形； ④一个长方体（不含正方体）中最多有4个面完全相同； ⑤长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高； ⑥长方体的棱长和公式：（长+宽+高）×4。 正方体的认识 1.正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。 2.正方体特点 ①正方体有6个面，12条棱，8个顶点，且每条棱的长度都相等； ②正方体的6个面是6个完全相同的正方形； ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 立体图形的表面积 1.立体图形外表各面积之和叫做这个立体图形的表面积。 2.表面积计算公式 长方体的表面积：（长×宽+长×高+宽×高）×2，即S=（ab+ah+bh）×2 正方体的表面积：（棱长×棱长）×6，即S=6a2 底面积 长方体或正方体的底面的面积叫做底面积。 体积 1.指物质或物体所占空间的大小，占据一特定容积的物质的量。 2.体积计算公式 长方体的体积：长×宽×高=底面积×高，即V=abh； 正方体的体积：棱长×棱长×棱长=底面积×棱长，即V=a3 生活实际 油箱、罐头盒等都是6个面； 游泳池、鱼缸等都只有5个面； 水管、烟囱等都只有4个面。 典型例题 1.长方体的棱长和为64厘米，长、宽分别为8厘米、5厘米，那么这个长方体的高是多少厘米？ 【解析】 已知长方体的棱长和是64厘米，长、宽分别为8厘米、5厘米，依据长方体的棱长和公式：棱长和=（长+宽+高）×4可知，64=（8+5+高）×4，所以高=64÷4-8-5=16-8-5=3（厘米） 答案：这个长方体的高是3厘米。 2.有一个长方体木块，它的长是5cm，宽是4cm，高是3cm，如果将这个木块截成一个体积最大的正方体，这个正方体的体积是多少？ 【解析】 根据正方体的体积计算公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长。可知正方体的体积大小仅与棱长有关，所以若想把长方体截成一个最大的正方体，那么正方体的棱长应与长方体最短的棱长相等。在本题中，应等于长方体的高3cm，那么截出的正方体的体积为3×3×3=27（立方厘米） 答案：这个正方体的体积是27立方厘米。 同类练习 1.花园里有一个正方体水池，它侧面的边长是10厘米，这个水池的表面积是多少平方厘米？ 2.一个长方体的表面积是108厘米，长6厘米，高是3厘米，它的宽是多少厘米？ 拓展练习 1.一个长方体纸盒的长是20厘米，宽是5厘米，高是4厘米，如果里面铺上一层1厘米高的泡沫垫，组装纸盒所用纸张厚度可忽略不计，那么这个纸盒实际能盛放的体积是多少立方厘米？ 2.下图是由三个大小不一的正方体拼成的。它们的棱长分别是1cm、2cm、4cm。请求出它的表面积？ 方法总结 1.长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，所以这时的两个物体的表面积大于原来物体的表面积。把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加，体积不变。 2.长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍 （1）表面积会扩大倍数的平方倍，如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍； （2）体积会扩大倍数的立方倍，如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍。 3.常用的表面积单位有：平方米（m2）、平方分米（dm2）、平方厘米（cm2）相邻两个面积单位之间的进率是100，1m2=100dm2，1dm2=100cm2。 4.常用的体积单位有：立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3） 相邻两个体积单位之间的进率是1000，1m3=1000dm3，1dm3=1000cm3。 5.长方体和正方体的体积统一公式=底面积×高，即V=Sh。 6.计算不规则物体的体积可以使用——排水法。利用有刻度的量杯记录下放入不规则物体前、后水位的刻度，上升的部分水的体积就是不规则物体的体积。 专项练习 1.长、宽、高分别为30厘米、30厘米、20厘米的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带? 2.要做一个长2.2米、宽40厘米、高80厘米的玻璃柜台，现在要在柜台各边都安上角铁，至少需要多少米的角铁? 3.一个正方体的棱长为7厘米，它的棱长总和是多少厘米?表面积是多少平方厘米? 4.一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是5厘米。那么这个长方体的表面积是多少平方厘米? 5.有一间教室长10米，宽6米，高3.3米，现在需要粉刷这个教室，需要粉刷的面积是多少平方米? 6.用一根144厘米长的铁丝围成一个正方体的框架。在框架的外边用包装纸糊成一个正方体，需要准备多少平方厘米的包装纸? 7.一个长方体，如果高增加3厘米，就变成棱长为8厘米的正方体。原长方体的体积是多少? 8.一个长18厘米，宽15厘米，高40厘米的长方体的空心管，掏空部分的长方体的长为10厘米，宽为7厘米。求这根空心管的体积是多少?如果每立方分米重7.8千克，这根管子重多少千克? 9.一个长20厘米，宽/0厘米，高8厘米的长方体容器，里面的水深5厘米，把这个容器盖紧后，让宽10厘米，高8厘米的面朝下，这时里面的水深多少厘米? 10.王叔叔用160米长的铁丝围成一个长方体模型框架，这个框架长是18米，宽是12米，高是多少米? 参考答案 同类练习 1.解析：本题中由于是水池，所以正方体是无盖的，在计算正方体表面积时，要少算一个面的面积。则正方体水池一共有的面的数量：6-1=5。 正方体水池表面积=5×10×10=500（平方厘米） 答案：这个水池的表面积是500平方厘米。 2.解析：根据长方体的表面积计算公式：长方体表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2，代入计算，108=（6×宽+3×宽+6×3）×2，则6×宽+3×宽+6×3=108÷2=54（厘米），则6×宽+3×宽=54-18=36（厘米），则9×宽=36（厘米），故宽=4（厘米）。 答案：它的宽是4厘米。 拓展练习 1.解析：由于纸盒里面垫了一层1厘米厚的泡沫垫，所以在计算实际盛放的体积时需要用纸盒的总体积减去泡沫垫占据的体积，最后得到实际盛放体积。 因为纸盒所用纸张厚度可忽略不计，所以泡沫垫的长和宽同纸盒一样，但纸盒实际盛放的空间高度变为：4-1=3（厘米），所以纸盒实际盛放的体积为：20×5×3=300（立方厘米）。 答案：这个纸盒实际能盛放的体积是300立方厘米。 2.解析：因为三个立方体之间有重叠、遮挡部分，所以当我们计算出三个独立正方体的表面积之和后，需要减去被遮挡的重叠部分。 重叠部分为图中白色部分。 这里需要注意：每个重叠的面都要算2次，1次是上面正方体的底面，1次是下面正方体的顶面被遮挡面积。 三个正方体的表面积之和为： 4×4×6+2×2×6+1×1×6=（4×4+2×2+1×1）×6=126（平方厘米）。 重叠部分面积为：（2×2+1×1）×2=10（平方厘米）。 所以该图形的表面积是：126-10=116（平方厘米）。 答案：它的表面积是116平方厘米。 专项练习 1.答案：至少需要320厘米胶带。 解析：胶带长度等于小纸箱的棱长总和时最短。根据长方体棱长公式可得：需要胶带长度=(30+30+20)×4=320(厘米) 2.答案：至少需要13.6米角铁。 解析：至少需要的角铁长度等于玻璃柜台的棱长总和时最短。先换算单位：40厘米=0.4米，80厘米=0.8米。由长方体的棱长总和公式可得：长度=(2.2+0.4+0.8)×4=13.6(米) 3.答案：棱长总和84厘米，表面积294平方厘米。 解析：正方体有12条棱，所以总棱长为12×7=84(厘米)。由正方体的表面积公式可得：表面积=6×7²=294(平方厘米)。 4.答案：长方体的表面积为340平方厘米。 解析：由长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2可得：S=(10×8+10×5+8×5)×2=340(平方厘米)。 5.答案：需要粉刷的面积为165.6平方米。 解析：粉刷教室时不用粉刷地板，因此需要粉刷的面积=教室的表面积-一个底面积，即：2×(10×6+6×3.3+10×3.3)-10×6=165.6(平方米)。 6.答案：需要准备864平方厘米的包装纸。 解析：正方体有12条棱，已知棱长和为144厘米，因此棱长=144÷12=12(厘米),由此可求出表面积，即S=122×6=864(平方厘米)。 7.答案：原长方体的体积是320立方厘米。 解析：由题意可知，长方体原来的高为：8-3=5(厘米),原来的长和宽=正方体的棱长=8(厘米),因此长方体的体积=8×8×5=320(立方厘米)。 8.答案：这根空心管的体积是8000立方厘米；这根管子重62.4千克。 解析：空心管子的体积=实心管子的体积一掏空部分的长方体体积=18×15×40-10×7×40=8000(立方厘米)。换算单位：8000立方厘米=8立方分米。这根管子重量为：8×7.8=62.4(千克) 9.答案：这时里面的水深为12.5厘米。 解析：首先根据长方体的容积(体积)公式：v=abh,求出容器中水的体积，然后用水的体积除以现在容器的底面积(10×8),即可求出水深。即：20×10×5÷(10×8)=12.5(厘米)。 10.答案：高是10米。 解析：根据公式“长方体的周长=(长+宽+高)×4”可推导出：高=长方体的周长÷4-(长+宽),即160÷4-(18+12)=10(米)。 学科网（北京）股份有限公司 $