第14讲：长方体与正方体（二）—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第14讲:长方体与正方体（二） 概念回顾 立体图形的表面积 对于比较复杂的图形，在计算表面积时，可以通过三视图法方便计算。在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察，角度不同，看到的图形就会不同，如图： 水中浸物 物体浸没分两种情况 （1）完全浸没：即物体被液体完全淹没。 计算公式：液面上升部分的体积=被完全浸没物体的体积，所以液面上升的高度=被完全浸没物体的体积÷该容器的底面积。 反之，如果将一个被完全浸没的物体取出，液面会下降，液面下降部分的体积=被完全浸没物体的体积，所以液面下降的高度=被完全浸没物体的体积÷该容器的底面积。 （2）部分浸没：即物体没有完全被液面所淹没，仅有部分在液面以下，还有一部分在液面以上。 计算公式：液面上升部分的体积=被水浸没部分物体的体积，所以液面上升的高度=被水浸没部分物体的体积÷该容器的底面积。 反之，如果将一个未被完全浸没的物体取出，液面也会下降，液面下降部分的体积=被水浸没部分物体的体积，所以液面下降的高度=被水浸没部分物体的体积÷该容器的底面积。 典型例题 1.已知每个小正方体棱长为1厘米，如图所示，求图中的形状的表面积是多少平方厘米？ 【解析】 这个立体图形的表面是由若干个边长为1厘米的正方形组成的,可按上下、左右、前后的顺序数出共有多少个小正方形,即可求出表面积。 上面和下面有小正方形：4×2=8（个），如图①所示 左面和右面有小正方形：6×2=12（个），如图②所示 前面和后面有小正方形：4×2=8（个），如图③所示 故该形状的表面积为：1×1×（8+12+8）=28（平方厘米） 答案：图中形状的表面积是28平方厘米。 2.丽丽不小心将装满文具的文具盒掉进了一个长方体鱼缸里，鱼缸长60cm，宽30cm，水深20cm，文具盒完全浸没在水中后，水面高为21cm，求文具盒的体积。 【解析】 据题意可知：因为文具盒是完全浸没在水中，所以水上升部分的体积就是这个文具盒的体积，水面上升的高度为：21-20=1（厘米），根据长方体的体积公式：v=abh，把数据代入公式可得，文具盒的体积：60×30×1=1800×1=1800（立方厘米） 答案：文具盒的体积是1800立方厘米。 同类练习 1.有一个正方体，边长是5厘米，若它的左上方截去一个边分别是5厘米，3厘米，2厘米的长方体，那么，请问剩余部分的表面积是多少？ 2.一个长、宽、高分别是30分米、10分米、20分米的长方体鱼缸，鱼缸中水深15分米，在水中放入一个体积为300立方分米的石头，且完全浸入水中，那么此时水面的高度是多少分米？ 拓展练习 1.一根长方体木块，长15厘米，该木块最小的一面是正方形，如果把它锯成5段，整个图形表面积之和比原来增加了32平方厘米，这根木块原来的体积是多少立方厘米？ 2.在一个长10厘米，宽为8厘米，高为20厘米的长方体容器中，里面水深9厘米，将一个长6厘米，宽为5厘米，高为16厘米的铁块竖直放入水中，使底面与容器底面接触，这时水深为多少厘米？ 方法总结 在未给出浸水情况时，需要先判断浸水情况。 假没完全浸入： 若浸入后水面高度＜物体高度→假设不成立→物体为部分浸入； 若浸入后水面高度＞物体高度→假设成立→物体为完全浸入。 正方体表面涂色的规律 1.把一个棱长为ncm的涂色正方体截成棱长为1cm的小正方体（也就是把正方体的各棱长n等分）。由于一个正方体无论从哪个角度去看都只能看见三个面，所以在截开后的小正方体中涂色只有三个面、两个面、一个面、没有涂色四种情况。 2.一面涂色的小正方体有：[（n-2）×（n-2）×6]个 二面涂色的小正方体有：[（n-2）×12]个 三面涂色的小正方体有：8个（8个顶点处的正方体） 没有涂色的小正方体有：（n-2）3个 3.小正方体的总块数-三面涂色的小正方体的块数-二面涂色的小正方体的块数-一面涂色的小正方体的块数=没有涂色的小正方体的块数。 专项练习 1.一个正方体，先在它的每个面上都涂上红色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体，已知两面涂色的小正方体有96个，这个正方体的体积是多少立方厘米? 2.爸爸买了一个长30厘米，宽20厘米，高15厘米的长方体礼盒，里面装有妈妈爱吃的长方形状的花生酥，每块花生酥长5厘米，宽3厘米，高2厘米。 ①若礼盒用彩纸包装，至少需要多少平方厘米的彩纸? ②最多能装多少块花生酥? 3.王工程师在一个底面积为80dm2的长方体水池中放进一块铁矿石(完全浸没)后，水面上升4.5cm,这块铁矿石的体积是多少dm3? 4.在一张长28分米、宽18分米的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是3分米的正方形，然后折成一个无盖长方体铁盒，这个铁盒的容积是多少?(铁皮厚度可忽略不计) 5.有一间教室长10米，宽7米，高3米。现在需要粉刷这个教室，每平方米用涂料0.4千克，每千克料70元。粉刷这个教室一共要花多少钱? 6.一个长方体从中间切开，正好可以切成两个棱长为15厘米的正方体。原来长方体的表面积是多少? 7.小红家准备做一个无盖的鱼缸。鱼缸长两米，宽80厘米，高9分米，制作这个鱼缸需要多少平方分米的玻璃? 8.把250毫升的杯子装满水，往长3分米，宽2分米，高2分米，装有15厘米高的水的长方体容器里倒了10杯水，问水是否溢出了? 9.有两个长是12厘米，宽8厘米，高5厘米的长方体盒子。现在要把这两个盒子包装到一起，一共有几种不同的包装方法?哪种方法用的包装纸最少? 10.把一块棱长为10厘米的正方体铁块放入一个水深为6厘米的长方体容器中，该容器的长为40厘米，宽为10厘米，高为24厘米，现在容器中的水并没有完全淹没正方体的铁块，求现在容器中水的高度? 参考答案 同类练习 1.解析：如图所示 在截取小长方体后，实际减少的部分是两个长为3厘米，宽为2厘米的长方形的面积，所以，它的表面积减少了：3×2×2=12（平方厘米）， 原正方体表面积为：5×5×6=150（平方厘米）， 故剩余部分表面积为：150-12=138（平方厘米）。 答案：剩余部分的表面积是138平方厘米。 2.解析：因为石头可以完全浸没在水中，所以石头的体积与水面上升部分的体积相等，石头的体积是300立方分米，则水面上升部分的体积也为300立方分米；那么水面上升的高度为300÷30÷10=1（分米），故现在水面的高度是15+1=16（分米）。 答案：此时水面的高度是16分米。 拓展练习 1.解析：每切一刀会增加两个最小面的面积，将木块据成5段，需要切4刀，那么应该多了4×2=8个面的面积，那么每个最小面的面积是：32÷8=4（平方厘米），所以这根木料的体积为15×4=60（立方厘米）。 答案：这根木块原来的体积是60立方厘米。 2.解析：解决这个问题之前，需要先判断一下这个铁块是完全浸入水中还是部分浸没水中。 假设完全浸入，铁块的体积为：6×5×16=480（立方厘米），则水面上升的高度为：480÷10÷8=6（厘米），那么此时水面的高度为9+6=15（厘米），15厘米＜16厘米，水深高度小于铁块的高度，说明该铁块是部分浸入水中。 若想求得高度，则需要用体积进行计算，因为长方体体积计算公式为：底面积×高，所以我们可以根据体积与底面积，求出高；容器底面积为：10×8=80（平方厘米），铁块底面积为：6×5=30（平方厘米），根据公式：液面上升的高度=被水浸没部分物体的体积÷该容器的底面积，假设此时水深为h，则h×30÷80=h-9，h=14.4。 答案：这时水深为14.4厘米。 专项练习 1.答案：这个正方体的体积是1000cm³。 解析：先根据正方体上两面涂色的小正方体的数量推算出正方体的棱长，再根据棱长求这个小正方体的体积。由此可得： 96÷12+2=10(个),10×1=10(cm),10×10×10=1000(cm³) 2.答案：①至少需要2700平方厘米。②可以装300块花生酥。 解析：①直接求礼盒的表面积即可。表面积S=(30×20+30×15+20×15)×2=2700(cm²) ②遇到这类题型，我们首先要考虑按照它的长度可以放多少?按照它的宽度可以放多少?按照它的高度可以放多少?最后全部相乘。 按照长度：30÷3=10(块) 按解宽度：20÷2=10(块) 按照高度：15÷5=3(块) 所以一共可以放：10×10×3=300(块) 3.答案：这块铁矿石的体积是36dm3。 解析：矿石的体积就是底面积为80dm2,高为4.5cm的长方体体积，在解答中要注意统一单位。由此可得：4.5cm=0.45dm,80×0.45=36(dm3) 4.答案：这个铁盒的容积是792升。 解析：由题意可得，先将减去后的长、宽、高得出。再利用长×宽×高得出铁盒得容积。 长：28-3×2=22(分米) 宽：18-3×2=12(分米) 高：3分米 容积：22×12×3=792(升) 5.答案：粉刷这个教室一共要花4816元。 解析：费用=面积×每平方米涂料重量×每千克涂料价格 [长×宽+(宽×高+长×高)×2]×0.4×70 =(70+51×2)×0.4×70 =172×0.4×70 =4816(元) 6.答案：原来长方体的表面积为2250平方厘米。 解析：长方体的长=正方体边长×2,而长方体的宽和高都为正方体的边长 15×2=30(厘米) (30×15+30×15+15×15)×2=2250(平方厘米) 7.答案：制作鱼缸需要664平方分米玻璃。 解析：此题需要统一单位：2m=20dm,80cm=8dm。由于鱼缸无盖，所以鱼缸的表面积=20×8+(20×9+8×9)×2=664(平方分米),即制作浴缸需要的玻璃面积。 8.答案：水没有溢出来。 解析：本题首先要注意单位不同，注意把单位都换算成分米来算。容器里原有的水加上后倒进去的水的总体积与容器的容积作比较，就可以判断出有没有水溢出来了。由此可得： 250×10=2500(毫升) 2500毫升=2.5立方分米 15厘米=1.5分米 3×2×1.5+2.5 =9+2.5 =11.5(立方分米) 装满时需要：3×2×2=12(立方分米) 11.5立方分米<12立方分米 9.答案：一共有3种不同的包装方法，将最大的两面叠在一起时用的包装纸最少。解析： ①长24cm、宽8cm、高5cm (24×8+24×5+8×5)×2=704(平方厘米) ②长12cm、宽16cm、高5cm (12×16+12×5+16×5)×2=664(平方厘米) ③长12cm、宽8cm、高I0cm (12×8+12×10+8×10)×2=592(平方厘米) 10.答案：现在容器中水的高度是8厘米。 解析：我们可以先求出长方体容器中已有水的体积： 40×10×6=2400(立方厘米) 长方体的底面积：40×10=400(平方厘米) 正方体的底面积：10×10=100(平方厘米) 所以正方体铁块放入长方体容器中，但是并没有被水完全淹没。所以我们可以假设水面升高了a厘米，根据题意可得： (6+a)×10×40=2400+100×(6+a) 解得：a=2 所以现在容器中水的高度为：6+2=8(厘米)。 学科网（北京）股份有限公司 $