第12讲：周长与面积（二）—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第12讲:周长与面积（二） 概念回顾 不规则图形面积的计算 一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系。 方法 1.直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发，直接求出不规则图形面积； 2.相加法（分割法）：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积； 3.相减法（去空法）：这种方法是将所求的不规则图形的面积补成是一个或几个基本规则图形，用补全后规则图形的整体面积减去补足部分面积。 典型例题 1.已知大小正方形的边长分别为10厘米和8厘米，求阴影部分面积。 【解析】 如图所示 除去阴影部分的空白部分为3个直角三角形，分别是△ACG、△ABE和△EFG，若想求得阴影部分面积，即从两个正方形的面积之和中减去这三个直角三角形面积即可。 已知大正方形边长为10厘米，小正方形边长为8厘米， 所以S△ACG=×（CD+DG）×AC  =×（10+8）×10 =90（平方厘米）， S△ABE=×AB×BE =×AB×（BD-DE） =×10×（10-8） =10（平方厘米）， S△EFG=×EF×FG =×8×8 =32（平方厘米）， 故阴影部分面积为：S正方形ABCD+S正方形EDFG-S△ACG-S△ABE-S△EFG =10×10+8×8-90-10-32 =32（平方厘米） 答案：阴影部分的面积是32平方厘米。 2.有一个不规则图形如右图所示，问它的面积是多少。（单位：厘米） 解析：由三角形的面积=底×高÷2，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2得： 梯形面积： （8+12）×8.5÷2=85（cm2） 三角形面积：12×3÷2=18（cm2） 则图形面积=梯形面积-三角形面积=85-18=67（cm2） 答案：图形面积为67平方厘米。 同类练习 1.如图，一个正方形的水池的周围，环绕着一条宽3米的路，小路的面积为300平方米，那么水池的面积是多少？ 2.如图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE。求阴影部分面积。 拓展练习 1.如图，梯形ABCD中，三角形ABE的面积是60平方米，AC的长是AE的4倍，梯形ABCD的面积是多少平方米？ 2.如图，平行四边形ABCD的边BC长为10厘米，直角三角形BCE的直角边CE长为8厘米。已知两块阴影部分的面积之和比三角形EFG的面积大10平方厘米。CF长是多少厘米？ 方法总结 1.夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，那么S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB行于CD。 专项练习 1.如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12(厘米),AB=8(厘米),BC=15(厘米),且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米? 2.一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图所示(单位：平方米),剩下一块的面积应该是多少平方米? 3.如图所示，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三角形DEC的面积是3平方厘米。请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米? 4.求四边形ABCD的面积。(单位：厘米) 5.如图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的,求正方形ABCD的面积。 6.图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。(单位：厘米) 7.如图，已知平行四边形ABCD的面积为36平方厘米，AOD的面积为8平方厘米。三角形BOC的面积为多少? 8.如图，正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米? 9.如图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD,若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD及△ACE的面积。 10.如图，把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米，结果面积增加了71平方厘米(阴影部分)。原正方形的面积为多少平方厘米? 参考答案 同类练习 1.解析：如图所示 将宽3米的小路分成4个同样大的长方形。因此，一个长方形的面积是300÷4=75（平方米）。 因为路宽为3米，所以每个小长方形的长是75÷3=25（米）。 从图中可以看出正方形水池的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是25-3=22（米）。 故水池的面积为：22×22=484（平方米）。 答案：水池的面积是484平方米。 2.解析：如图所示 连接CF， 因为FG=2GE，所以S△CEG=S△CEF， 又因为E、F分别为AB、AD中点，所以AE=BE=×AB=×10=5（厘米），DF=FA=×DA=×6=3（厘米）， 所以S△AEF=×AE×AF=×5×3=7.5（平方厘米）， S△BCE=×BE×BC=×5×6=15（平方厘米）， S△CDF=×CD×DF=×10×3=15（平方厘米）， 所以S△CEF=S长方形ABCD-S△AEF-S△BCE-S△CDF=10×6-7.5-15-15=22.5（平方厘米）。 故S△CEG=S△CEF=×22.5=7.5（平方厘米）。 答案：阴影面积为7.5平方厘米。 拓展练习 1.解析：因为△ACD与△ABD等底等高，面积相等，所以同时减去△AED后，面积仍然相等，即S△ECD=S△ABE=60（平方米）。 又因为AC的长是AE的4倍，所以CE的长度是AE的3倍，所以AE：EC=1:3，所以S△ABE:S△BEC=AE:EC=1:3，S△BEC=60×3=180（平方米），S△ADE:S△EDC=AE:EC=1:3，所以可求出S△AED=60÷3=20（平方米）。 故S梯形ABCD=S△BEC+S△AED+S△ECD+S△ABE=180+20+60+60=320（平方米）。 答案：梯形ABCD的面积是320平方米。 2.解析：因为两块阴影部分的面积之和比三角形EFG的面积大10平方厘米，而阴影部分面积加上中间梯形的面积，即为平行四边形的面积；中间的梯形面积加上三角形EFG的面积，即为大直角三角形BCE的面积，可知等量关系可知平行四边形的面积比大直角三角形BCE的面积大10平方厘米。 所以S△BCE=×BC×CE=×10×8=40（平方厘米），S平行四边形ABCD=S△BCE+10=40+10=50（平方厘米）。 根据平行四边形面积计算公式可得BC×FC=50，CF=50÷BC=50÷10=5（厘米）。 答案：CF长是5厘米。 专项练习 1.答案：三角形DEF的面积是30平方厘米。 解析：直角梯形ABCD的面积：(12+15)×8÷2=108(平方厘米),三个图形面积相等：108÷3=36(平方厘米)。CF=36×2÷8=9(厘米),FB=15-9=6(厘米),AE=36×2÷12=6(厘米),EB=8-6=2(厘米)。 S△DEF=36-2×6÷2=30(平方厘米)。 2.答案：剩下一块的面积是20平方米。 解析：因第一行的长方形和第二行的长方形的长是一定的，所以它们宽度的比等于面积的比，根据它们的宽度的比就是面积比可列出比例式，再根据比例式进行解答即可. 解：设剩下的面积为平方米。 30:40=15: 解得=20 3.答案：三角形ABC的面积是27平方厘米。 解析：△DEC与△ADC同高不同底，所以面积比等于底之比，因为AC是EC的3倍，所以S△ADC是S△DEC的3倍，即S△ADC=3×3=9(平方厘米),同理可得，△ABC与△ADC也是同高不同底，面积比等于底之比，因为BC是DC的3倍，所以S△ABC是S△ADC的3倍，S△ABC=3×9=27(平方厘米)。 4.答案：四边形ABCD的面积是20平方厘米。 解析：如图，延长BA、CD,相交于E点，这时三角形BCE为一个腰长为7厘米的等腰直角三角形，面积为：7×7÷2=24.5(平方厘米)。三角形ADE是一个腰长为3厘米的等腰直角三角形，它的面积为：3×3÷2=4.5(平方厘米)。所以三角形BCE的面积减去三角形ADE的面积就是四边形ABCD的面积：24.5-4.5=20(平方厘米)。 5.答案：正方形ABCD的面积是36平方厘米。 解析：过E作BC的垂线交AD于F。在矩形ABEF中AE是对角线， 所以S△ABE=S△AEF=8。在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。 因此，正方形面积=8×2+8÷×2=36(平方厘米)。 6.答案：阴影部分的面积是18平方厘米。 解析：如图所示，分别延长GA、FC交于点K,则阴影部分的面积=梯形ABFK的面积-三角形AKC的面积-三角形BFC的面积，将题目所给数据分别代入梯形和三角形面积公式即可求解。 [4+(4+6)]×6÷2-(6-4)×4÷2-(6+4)×4÷2 =14×6÷2-2×4÷2-10×4÷2 =18(平方厘米) 7.答案：三角形BOC的面积为10平方厘米。 解析：根据一半模型可知，三角形AOD的面积和三角形BOC的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，所以三角形BOC的面积是：36÷2-8=10(平方厘米)。 8.答案：梯形BCDF的面积是51.2平方厘米。 解析：要求梯形的面积，关键是要求出上底FD的长度。连接FC后就能得到一个三角形EFC,用△EBC的面积减去△FBC的面积就能得到△EFC的面积：8×20÷2-8×8÷2=48(平方厘米)。FD=48×2÷20=4.8(厘米)。所求梯形的面积就是：(4.8+8)×8÷2=51.2(平方厘米)。 9.答案：△ABD的面积是10平方厘米，△ACE的面积是15平方厘米。 解析：本题主要考察的是“同底、等高的三角形面积相等”这一概念。 取BD的中点F,则有BC=BF=FD,(,(BC=CD),连接AF。因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米。 所以△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。 又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。 10.答案：原正方形的面积为49平方厘米。 解析：如上图所示：把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米后，增加部分的面积等于长为原正方形的边长，宽分别为3厘米和5厘米的两个长方形的面积再加上一个长为5厘米宽为3厘米的长方形的面积；如果把右上角的长方形剪下按如图的方式拼接到左下角(黑色),就成为一个大长方形，从而可以求出原来正方形的边长，再根据正方形的面积公式即可求得原正方形的面积。 解：(71-3×5)÷(3+5) =(71-15)÷8 =56÷8=7(厘米) 7×7=49(平方厘米) 学科网（北京）股份有限公司 $