第16讲：解方程应用题—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第16讲:解方程应用题 概念回顾 定义 是指将现实生活中的问题转化为数学方程，并通过解方程的方法来求解问题的过程，可以使一些数量关系较复杂或隐蔽的逆向思维的问题简单化。 解题步骤 1.审：找到等量关系，即和、差、不变量； 2.设：弄清题意，设合适的未知数为x； 3.找：找出题目中的等量关系式； 4.列：利用等量关系、列方程； 5.解：解方程； 6.验：代入方程； 7.答：检查所答是否为所问。 方法 1.综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。 2.分析法：先找出等量关系，再根据具体情况建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。 3.图示法：对于一些较直观的问题，可以用示意图表示出题目中的条件及它们之间的关系，然后由示意图中有关基本量的内在联系找到相等关系，列出方程。比如用线段表示距离，箭头表示方向，此法多用于行程问题等。 4.列表法：对于数量关系较复杂的应用题，有时可先画出表格，在表格中表示出各个有关的量，使题目中的条件和结论变得直观明显，从而找到它们之间的相等关系。此法多用于比例分配问题，等积变形问题，工程问题以及其它条件较多，关系较复杂的题目。 5.公式法：学生熟识的公式诸如“利润=售价-成本”，“本息和=本金+利息”，“路程=速度×时间”，“工作总量=工作效率×工作时间”等，直接套用这些公式就可以找出题目中的等量关系，列出方程。 典型例题 1.五年级科技小组共有40人，其中男生比女生多10人，请问男生与女生各有多少人? 【解析】 已知小组内共有40人，且男生比女生多10人，根据题意： 解：设女生有人，则男生有（+10）人。可列出方程： ++10=40 　2+10=40 　　2=40-10 　　2=30 　　 =30÷2 　　=15 男生人数：15+10=25（人） 答案：男生有25人，女生有15人。 2.小明看一本书，原计划15天看完。实际每天比原计划少看3页。这样，用20天才看完了这本书。这本书一共有多少页？ 【解析】解：设原计划每天看书页，则实际每天看书（-3）页， 15 =（-3）×20 15 =20-60 60=20-15 60=5 =60÷5 =12 则这本书一共12×15=180（页） 答案：这本书一共有180页。 同类练习 1.染料厂六月份用水520吨，七月份用水440吨，七月份比六月份节约水费120元，这两个月各付水费多少元？ 2.有甲、乙两个班甲班有52人，乙班有40人。现从乙班调出多少人到甲班后，甲班人数是乙班的3倍? 拓展练习 1.甲、乙两人在两地间同时相向而行，8小时相遇。如果两人每小时的速度都减少3千米，则10小时相遇，求两地间的距离。 2.有甲、乙、丙三个数，和为540。甲数是乙数的3倍，乙数是丙数的2倍。甲、乙、丙三个数各是多少? 方法总结 设未知数的三种方法 1.通常是问什么设什么，比如第1题问男女生各多少人，我们设未知数时就设女生人数是； 2.求多个问题时设较小的为x，例如最后一题问甲乙丙各是多少，这时我们通过读题知道丙数较小，设未知数时就设丙数为，则乙数为2，甲数为6，再列方程就简单了； 3.通过等量关系设未知数，有些比较复杂的方程，前两种方法设未知数仍然不好列方程，这时就会考虑利用等量关系中不知道的量来设未知数这时就比较好列方程了。例如巩固拓展第1题等量关系是路程相等。也就是8×速度和=10×（速度和-3-3），这时很明显设速度和会比较简单。 列等量关系的三种方法 “等量关系”特指数量间的相等关系，在用方程解应用题时，先要找到等量关系，然后根据等量关系列方程就会非常容易。 1.根据题目中的关键句找等量关系，比较常见的就是几倍多几，几倍少几的题目。例如，第一层比第二层的4倍少2本，里面的“比”字就相当于“=”，“的”相当于“×”，“少”相当于“-”； 2.用常见公式找等量关系 这类题目只要公式记得准确，相对会比较简单，以巩固拓展第1题为例子，很明显是路程类题目。这时写出公式，相遇时间×速度和=相遇路程，然后代入数字就可以了。 3.画图找等量关系 一些做图题目，或者用线段图分析的题目列方程，可以通过图中对应关系找到等量关系。 常见题型及解法 1.数量关系题：这类题目中通常涉及到一些基本的数量关系，如速度、时间和距离等。解题时需要先理清这些数量关系，然后根据关系式建立方程。 2.比例关系题：这类题目中通常涉及到一些比例关系，如按比例分配、成正比或反比等。解题时需要先理清这些比例关系，然后根据关系式建立方程。 3.几何应用题：这类题目通常涉及到一些几何知识，如面积、体积和周长等。解题时需要先理清题目中的几何关系，然后根据公式建立方程。 列方程解应用题的范围： 1.一般应用题； 2.和倍、差倍、和差问题； 3.几何体的周长、面积、体积计算； 4.分数、百分数应用题； 5.比和比例应用题； 6.行程问题：相遇问题、追及问题、环形问题、航行问题； 7.鸡兔同笼问题； 8.价格、盈亏问题； 9.年龄问题； 10.工程问题； 11.储蓄问题； 12.销售问题（打折销售）。 专项练习 1.故宫的面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米? 2.猎豹是世界上跑得最快的动物，能达到每小时110千米，比大象的2倍还多30千米。大象最快能达到每小时多少千米? 3.一个长方形的周长是72厘米，长是宽的2倍，求长方形的长和宽各是多少厘米? 4.鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有48条。鸡和兔各有多少只? 5.张老师第一次到体育用品商店买了24套运动服，第二次又买了同样的运动服30套，第二次比第一次多付了510元。每套运动服多少元? 6.甲乙两地相距380千米，客车与货车同时从两地相对开出，4小时后在中途相遇，已知客车每小时行驶45千米，货车每小时行驶多少千米? 7.甲乙两车同时同地出发去同一目的地，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶35千米。途中甲车停车3小时，结果甲车比乙车迟到I小时到达目的地。那么,两地的距离是多少干米? 8.一架飞机所带的燃料最多可以用9小时，飞机顺风，每小时可以飞1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米，这架飞机最多飞多少干米，就需往回飞? 9.用一根绳子测量一口枯井的深度，把绳子对折一次量，井外多6米，把绳子对折两次量，井外多I米，井深多少米?绳子长多少米? 10.生物学家最近新发现了两种生物，一种叫九头虫，一种叫九尾狐。已知九头虫有9头1尾，而九尾狐有9尾I头。现在有63个头和87条尾巴，请问：九尾狐比九头虫多多少只? 参考答案 同类练习 1.解析：七月份的水费一六月份的水费=节约的水费 解：设每吨水费元。 520-440=120 解得=1.5 六月份付水费：520×1.5=780（元） 七月份付水费：440×1.5=660（元） 答案：六月份付水费780元，七月份付水费660元。 2.解析：从乙班调出几人到甲班后，乙班减少多少人，甲班就增加多少人，此时乙班人数乘3就等于甲班人数。其数量关系式是：（乙班人数-调出人数）×3=甲班人数+调进人数 解：设乙班调出人到甲班后，甲班人数是乙班的3倍。 （40-）×3=52+ 解得=17 答案：现从乙班调出17人到甲班后，甲班人数是乙班的3倍。 拓展练习 1.解析：如果两人每小时的速度都减少3千米，则两个人每小时的减少的速度和为6千米。 解：设甲、乙两人原来的速度和为千米/小时，则现在的速度和为（-6）千米/小时。 8=（-6）×10 解得=30 故两地间的距离为：30×8=240（千米） 答案：两地间的距离是240千米。 2.解析：设丙数为，则乙数为2，则甲数为6。 +2+6=540 解得=60 则乙数为2×60=120，丙数为6×60=360。 答案：甲数是60，乙数是120，丙数是360。 专项练习 1.答案：天安门广场的面积是44万平方米。 解析：设天安门广场的面积是万平方米，则有： 2-16=72 解得=44 2.答案：大象最快能达到每小时40千米。 解析：设大象最快能达到每小时千米，则有： 2+30=110 解得=40 3.答案：长方形的长是24厘米，宽是12厘米。 解析：设长方形的宽是厘米，则有： (+2)×2=72 解得=12 12×2=24(厘米) 4.答案：鸡和兔各有8只。 解析：设鸡有只，则兔也有只，则有： 2+4=48 解得=8 5.答案：每套运动服85元。 解析：设每套运动服元，则有： 30-24=510 解得=85 6.答案：货车每小时行50千米。 解析：设货车每小时行千米，则有： 4+45×4=380 解得=50 7.答案：两地距离是560千米。 解析：设乙行驶完全程要小时，甲行驶完全程要(-3+1)小时，根据题意列方程得： 40(-3+1)=35 解得=16 两地距离：35×16=560(千米) 8.答案：这架飞机最多飞出6000千米，就需往回飞。 解析：设去时用小时，则返回时用(9-)小时。因为去时路程和返回时路程一样，可列出方程为： 1500=1200×(9-) 解得=4 1500×4=6000(千米) 9.答案：井深4米，绳子长约20米。 解析：设井深米。 (+6)×2=(+1)×4 解得=4 (4+6)×2=10×2=20(米) 10.答案：九尾狐比九头虫多3只。解析：设九头虫有只，九尾狐有(63-9)只，根据等量关系列方程： +9×(63-9)=87 解得=6 63-9×6=9(只) 9-6=3(只) 学科网（北京）股份有限公司 $