第5讲：循环小数—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第5讲:循环小数 概念回顾 定义 小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。如0.4444…，1.2909090… 依次不断重复出现的数字，叫作这个循环小数的循环节。如0.4444…，1.2909090…，它们的循环节分别是“4”、“90”。 循环小数分类 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始，例如：0.4444…，0.5656…； 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，例如：1.2909090…，3.1222… 循环小数化成分数的方法 1.纯循环小数化分数 例：（1）0.6 (·)； （2）3.1 (·)02 (·) 解：（1）0.6 (·)×10=6.666…① 0.6 (·)=0.666…② 由①-②得0.6 (·)×9=6 所以0.6 (·)= （2）3.1 (·)02 (·)先看小数部分0.1 (·)02 (·) 0.1 (·)02 (·)×1000=102.102102…① 0.1 (·)02 (·)=0.102102…② 由①-②得0.1 (·)02 (·)×999=102 所以0.1 (·)02 (·)= 3.1 (·)02 (·)= 从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。 如：0.2 (·)16 (·)= 4.1 (·)23 (·)= （2）混循环小数化分数 例：（1）0.2 (·)15 (·) （2）6.353 (·) 解：（1）0.2 (·)15 (·)×1000=215.1515…① 0.21 (·)5 (·)×10=2.1515…② 由①-②得0.21 (·)5 (·)×990=215-2 0.21 (·)5 (·)= （2）先看小数部分0.353 (·) 0.353 (·)×1000=353.3333…① 0.353 (·)×100=35.3333…② 由①-②得0.353= 所以6.353= 由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 如：①把0.276 (·)化成分数。 解：0.276= ②把7.42化成分数 解：7.42= 典型例题 1.计算：0.2+0.5+0.3 【解析】 根据循环小数的意义解答。 0.2+0.5+0.3= 答案： 2.计算：0.12 (·)+0.23 (·) 0.12 (·)+0.23 (·)= 同类练习 1.将下列几个数从大到小排序。 0.19 (·)98 (·) 0.1998 (·) 0.199 (·)8 (·) 0.1 (·)998 (·) （ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ） 2. 3÷7所得的小数，小数点后的第2007位数字是什么？ 拓展练习 1.把下面的分数化为小数。 （1） （2） 2.把下面的小数转为分数。 0.143 (·)4 (·) 方法总结 一个最简分数化为小数有三种情况 如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数； 如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； 如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 专项练习 1.将转化为循环小数。 2.在除法中，如果商是无限小数，说明( )。 A.能整除 B.能除尽 C.除不尽 3. 5.272727……的循环节是 。 4. 5.8÷100O 5.8÷0.01 A.> B.< C.= 5. 5÷7的商的小数部分的第七位是( ),第100位是( )。 6. 近似值是2.65的最大三位小数是( ),最小三位小数是( )。 7.在3.82,5.6,0.35,0.002,2.75,3.2 (·)7 (·)中，是有限小数的是（ ）,是循环小数的数是（ ）。 8.在下面小数的某些数字上加上循环点，使得下式成立。 0.1998 > 0.1998 > 0.1998 > 0.1998 > 0.1998 9.把小数转化为分数：0.5 (·)3 (·) 10.计算：0.1 (·)+0.125+0.3 (·)+0.16 (·) 参考答案 同类练习 1.解析：根据循环小数的性质，最小的循环小数应该是在小数点后第5位出现最小数字1的小数，因此一定是0.1 (·)998 (·)，次小的小数在小数点后第5位出现次小数8，因此一定是0.1998 (·)其后添加的循环点必定使得小数点后第5位出现9，因此需要考虑第6位上的数字，所以最大的小数，其循环节在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.19 (·)98 (·)，而次大数为0.199 (·)8 (·)，于是得到不等式：0.19 (·)98 (·) ＞ 0.199 (·)8 (·) ＞ 0.1998 (·) ＞ 0.1 (·)998 (·) 答案：0.19 (·)98 (·) ＞ 0.199 (·)8 (·) ＞ 0.1998 (·) ＞ 0.1 (·)998 (·) 2.解析：先找到小数点的周期，然后根据2007和周期的余数即可判定。 3÷7=0.428571428571…，周期数为6，那么2007÷6=334……3。那就是周期中的第3个数字，即8。 答案：8 拓展练习 1.解析： 答案： 0.6 (·)3 (·) 2.解析： 先将混循环小数转化成循环小数，我们把它分别乘以100和10000; 0.143 (·)4 (·)×100=14.3 (·)4 (·) 0.143 (·)4 (·)×10000=1434.3 (·)4 (·) 两式相减得： 0.143 (·)4 (·)×10000-0.143 (·)4 (·)×100=1434.3 (·)4 (·)-14.3 (·)4 (·) 0.143 (·)4 (·)×（10000-100）=1434-14 0.143 (·)4 (·)= 也可以直接利用定义得出结果，一个混循环小数的小数部分化成分数时，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，即分子为1434-14=1420；分母的头几位数是9，末几位是0，且9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同，即分母为9900。故该混循环小数=。 专项练习 1.答案： 解析：根据循环小数的意义来判断：一个数的小数部分，从某一位起一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2.答案：C 解析：在计算除法时，如果商是整数或有限小数时能除尽，反之则不能。 3.答案：27 解析：循环节是指循环小数的小数部分依次不断重复出现的一个或几个数字，27是循环出现的数字，故循环节为27。 4.答案：B 解析：比较小数的大小时，整数部分位数不同时，整数部分位数越多的那个数越大；整数部分位数相同时，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。 解：5.8÷100=0.058 5.8÷0.01=580 0.058<580 故选B。 5.答案：7,2 解析：5÷7=0.7142857142857…,714285不断循环，是6个数字的循环。 7÷6=1…1,因此小数点后7位的数字是7;100÷6=16…4,因此小数点后第100位上的数是2。 6.答案：2.654,2.645 解析：根据“四舍五入”可知，最大的三位小数可为2.654,最小的三位小数为2.645。 7.答案：3.82 5.6 0.35 0.002 2.75 3.2 (·)7 (·) 解析：一个小数，从小数部分的某一位起，一个或一节数码依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。 8.答案：0.19 (·)98 (·) > 0.199 (·)8 (·) > 0.1998 (·) > 0.1 (·)998 (·) > 0.1998 解析：加上循环点或者不加，一共有5个小数： 0.1 (·)998 (·),0.19 (·)98 (·),0.199 (·)8 (·),0.1998 (·),0.1998, 比较大小可知： 0.19 (·)98 (·) > 0.199 (·)8 (·) > 0.1998 (·) > 0.1 (·)998 (·) > 0.1998 9.答案： 解析：0.5 (·)3 (·)×1=0.5 (·)3 (·) ① 0.5 (·)3 (·)×100=53.5 (·)3 (·) ② ②-①得： 0.5 (·)3 (·)×100-0.5 (·)3 (·)×1=53.5 (·)3 (·)-0.5 (·)3 (·) 0.5 (·)3 (·)×(100-1)=53 0.5 (·)3 (·)×99=53 0.5 (·)3 (·)= 10.答案：0.7361 (·) 解析：原式= 学科网（北京）股份有限公司 $