第7讲：排列组合—人教2025年秋季学期五年级数学思维专题训练30讲

人教版五年级数学思维专题训练 第7讲:排列组合 概念回顾 排列的定义 从n个不同的元素中取出m个（m≤n），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从n个不同元素中取出m个的排列数，记作 排列的计算方法： 组合的定义 从n个不同元素中取出m个（m≤n）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从n个不同元素中取出m个不同的组合数，记作 组合的计算方法： 典型例题 1. 4名同学站成一列排队，那么一共有（  ）种排队的方式。 A.3 B.6 C.12 D.24 【解析】 根据公式可得，。 让我们在分析实际问题的过程中，对排列公式加深理解。 以本题为例，我们有4名同学，他们可以以任何顺序排列。 排列的基本原则是，对于n个不同的元素，第一个位置有n种选择，第二个位置剩下n-1种选择，第三个位置剩下n-2种选择，以此类推，直到最后一个位置只有1种选择。 所以，对于这个问题，我们可以这样计算： 第一个位置有4种选择（4名同学中的任何一个）。 当第一个位置被占据后，第二个位置有3种选择（剩下的3名同学中的任何一个）。 第三个位置有2种选择（剩下的2名同学中的任何一个）。 最后一个位置只有1种选择（剩下的1名同学）。 将这些选择相乘，我们得到总的排列数： 4×3×2×1=24。 答案：D。 2.要从4名优秀学生中选出2名代表学校参加比赛，则共有多少种不同的方案？（  ） A.4种 B.5种 C.6种 D.7种 解析：根据公式可得，。 让我们在分析实际问题的过程中，对组合公式加深理解。 以本题为例，要从4名优秀学生中选出2名代表学校参加比赛，我们不考虑顺序，只关心哪些学生被选中。首先我们可以给四名学生设置一下编号：1、2、3、4。 若1号学生被选中，还剩4-1=3人，即有3种组合，分别为：12、13、14； 若2号学生被选中，还剩3-1=2人，即有2种组合，分别为：23、24； 若2号学生被选中，还剩2-1=1人，即有1种组合，为：34。 加起来一共有6种方案。 所以，从4名优秀学生中选出2名代表学校参加比赛共有6种不同的方案。 答案：C。 同类练习 1.用数字0、2、7、9这四个数字（数字不可重复），能组成（  ）个不同的三位数。 A.12个 B.16个 C.18个 D.20个 2.在箱子里拿出依次拿出2个小球，如果箱子里共有3个数字不同的小球，那么可以拿出（  ）种组成不同数字的组合。 A.2 B.4 C.6 D.8 拓展练习 1.从4名候选学生中选出2名分别担任语文、数学课代表，每人只承担一个科目，则不同的选择方案有（  ）。 A.12种 B.14种 C.16种 D.18种 2.在升旗仪仗队的5名五年级学生和4名六年级学生中选取4人参加周一升旗礼，要求五年级和六年级都有2人，则不同的选取方法有（  ）种。 A.20 B.40 C.60 D.70 方法总结 注意区别排列和组合，排列有序，组合无序。 十六字方针：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。 排列数公式： 全排列公式：,规定：0!=1 组合数公式： 专项练习 1.用2、3、4能摆成几种不同的两位数，它们分别是多少? 2.用7、8、9、0四张数字卡片，可以组成个( )不同的四位数。 A.24 B.18 C.12 2.有七个点(任意三点不在同一条直线上)在同一平面内，任意连接两点，那么最多可以连成( )条线段。 A.7条 B.12条 C.21条 D.28条 4.南京到上海的一趟往返列车，中途要停靠镇江、常州、无锡、苏州四站。铁路部门要为这趟列车准备多少种不同的车票? 5.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同的排法共有( )。 A.24种 B.60种 C.90种 D.120种 6.有5张卡片，分别写有数字1、2、3、4、6,现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数可以组成多少个奇数? 7.小巧与同学们聚会，参加聚会的每两个人都合影一张。聚会结束时，统计出一共拍照45张，参加这次聚会的同学共有多少人? 8.A、B、C、D四人被安排坐入排成一排的8个座位中，若任何两个人都不相邻而坐，共有多少种不同的入座方式? 9.亚洲乒乓球锦标赛第一阶段共有32支球队参加，共分8个组，其中每组球队的前2名进入第二阶段比赛，如果这32支球队采取单循环赛制，第一阶段共比赛多少场? 10.把12支圆珠笔分给三个人，每个人都得到偶数支，且每个人至少得到2支的方法有多少种? 参考答案 同类练习 1.解析：由题意可知：我们需要使用数字0、2、7、9，并且不能重复使用。 我们可以按照以下的思路进行分析： 首先考虑百位上的数字。由于不能使用0作为三位数的百位，所以有3种选择（2、7、9）。 接下来，考虑十位上的数字。由于已经使用了百位上的一个数字，还剩下3个数字可以选择。 最后，对于个位上的数字，由于百位和十位已经使用了两个数字，还剩下2个数字可以选择。 根据排列组合的原理，我们可以得到以下计算： 3（百位选择）×3（十位选择）×2（个位选  择）=18种不同的三位数。 因此，使用数字0、2、7、9，可以组成18个不同的三位数。 答案：C 2.解析：这是一个排列问题，因为顺序很重要（第一个拿出的小球和第二个拿出的小球是不同的）。要解决这个问题，我们需要考虑从3个不同的小球中依次拿出2个小球的所有可能组合。 答案：C 拓展练习 1.解析：因为从4名候选学生中选出2名分别担任语文、数学课代表，科目不同，所以这两名同学是有顺序的，这是一个排列问题。 答案：A 2.解析：我们需要从五年级学生中选2人，从六年级学生中也选2人，无需考虑顺序，这是一个组合问题。我们可以使用组合公式来计算每一种情况的可能性。 首先，从五年级的5名学生中选2人，有（5，2）种方法： 然后，从六年级的4名学生中选2人，有（4，2）种方法： 因为这两个选择是独立的，所以我们可以将它们相乘以得到总的选取方法： 总方法数=10×6=60（种） 答案：C 专项练习 1.答案：可以组成6种不同的两位数；它们分别是：23、24、32、34、42、43。 解析：①“2”在十位：23、24; ②“3”在十位：32、34; ③“4”在十位：42、43。 2.答案：B 解析：组成四位数需要分成4个步骤进行， 第1步确定千位上的数字，千位上的数字可以是7、8、9,所以第1步有3种方法： 第二步确定百位上的数字，因为千位上用了1个数字，所以做第2步有：4-1=3(种)方法； 第三步确定十位上的数字，因为千位、百位上各用了1个数字，所以做第3步有：4-1-1=2(种)方法； 第4步确定个位上的数字，因为千位、百位、十位上各用了I个数字，所以第4步有：4-1-1-1=1(种)方法。3×3×2×1=18(个),所以可以组成18个不同的四位数，故答案为B。 3.答案：C 解析：根据两点确定一条线段，在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，连接其中任意两个点，即可计算出线段的条数，6+5+4+3+2+1=21(条),故答案为C。 4.答案：铁路部门要为这趟列车准备30种不同的车票。 解析：中途要停靠4个站，加上起点站和终点站一共有6个站，由一个车站到其它5个车站就需要5张不同的车票，由此可以求出车票的种数，即：(4+2)×5=30(种)。 5.答案：B解析：五人并排站成一排，有5×4×3×2×1=120(种)情况，其中，A在B的左边和右边是一样的，各占一半，所以B在A的右边的排法有：120÷2=60(种),故选B。 6.答案：组成一个三位数可以组成24个奇数。 解析：组成奇数，那么个位的数字必须是1、3中的一个，有2种不同的选择方法，那么十位上的数字就要从剩下的4种选择一个，有4种不同的选法，百位上的数字就剩下3个数字中选择一个，有3种不同的方法，它们的积就是所有不同奇数的个数，即：2×4×3=24(个)。 7.答案：参加这次聚会的同学共有10人。 解析：两人合影没有次序，即甲与乙合影后，乙就不再与甲合影，若有次序时应合影为：45×2=90(张),若有n人，那么n人应与(n-1)人合影，合影总次数为n与(n-1)的积，所以只要看哪两个连续自然数的积是90,那么人数就为这两个自然数中较大的那个数。n×(n-1)÷2=45,n=10(人),所以参加这次聚会的同学共有10人。 8.答案：共有120种不同的入座方式。 解析：把八个座位标记为：1、2、3、4、5、6、7、8,若任意两个人都不相邻而坐，也就是说取4个数不相邻；根据加法原理，假设以A排在第一，可有(1、3、5、7),(1、3、5、8),(1、3、6、8),(1、4、6、8),(2、4、6、8),共5种排列；再根据乘法原理，每种4个人又有：4×3×2×1=24(种)排列，所以A、B、C、D四人共有：24×5=120(种)不同的入座方式。 9.答案：第一阶段共赛48场。 解析：32支球队被分为8个组，32除以8即可求出每组有4支球队，第I支球队与其余3个队进行3场比赛，第2支球队与其余2个队进行2场比赛，第3个球队与最后1个球队进行I场比赛，最后把所有的比赛场数相加，即可求出4支球队之间进行了几场比赛，再乘8即可求出8个组共进行了几场比赛。 32÷8=4(支) 3+2+1=6(场) 6×8=48(场) 10.答案：共有10种方法。 解析：如果A分得2支圆珠笔，此时B和C有不同的分类步骤完成剩余圆珠笔的归属(乘法原理),所以，当B分得2、4、6支或8支时，剩余的归C,一共有：4×1=4(种)分法。 如果A分得4支圆珠笔，B可得2、4支或者6支，三种可能，剩余的归C,一共有：3×1=3(种)分法。 如果A分得6支圆珠笔，B可得2支或者4支，两种可能，剩余的归C,只有一种可能，因此，一共：2×1=2(种)分法。如果A分得8支圆珠笔，B可得2支，C可得2支，因此，一共：1×1=1(种)分法。 最后，共有：4+3+2+1=10(种)分法。 学科网（北京）股份有限公司 $