专题03 函数的概念与性质（期末复习讲义）高一数学上学期人教B版必修第一册

该高中数学期末复习讲义通过表格系统梳理函数的概念与性质核心考点，按“函数及其表示—单调性—奇偶性—函数与方程—应用”的逻辑分层构建知识体系，结合定义解析、性质对比及易错点标注，清晰呈现各考点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型—技巧—易错”三维训练体系，如函数与方程综合问题通过数形结合转化交点问题，培养数学思维；函数应用题型结合实际建模，强化数学语言表达。分层练习适配不同学生，教师可依此实施精准教学，助力学生系统提升。

专题03 函数的概念与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数及其表示方法 理解函数的定义，掌握函数的表示方法，能求简单函数的定义域、值域，会判断是否构成函数关系 比较多见的是求函数定义域，其中大题往往与具体函数、集合等综合考查. 函数的单调性 掌握函数的单调性，能判断函数的单调性、并应用其解答综合问题. 高频考点，具有工具性，多为小题，大题中往往与具体函数的性质结合奇偶性. 函数的奇偶性 熟练掌握函数的奇偶性及其应用 高频考点，具有工具性，多为小题，大题中往往与具体函数的性质结合单调性. 函数与方程、不等式之间的关系 掌握三者的等价关系，会应用函数零点存在定理判断其所在区间 函数方程问题多为小题，涉及三者关系的题目主要是大题. 函数的应用（一） 聚焦一次函数、二次函数、分段函数在实际问题中的建模与求解 有小题，多为大题.主要有两种类型，一是已知函数模型（解析式），二是根据实际问题建立函数模型 知识点01 函数及其表示方法 1.函数的概念：给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f，如果对于集合 A 中的每一个实数x，在集合 B 中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{y∈B| y＝f(x)，x∈A }称为函数的值域． 3.相同函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两个函数相同的依据． 4.函数的表示法 （1）表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]． （2）分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． ·易错点：函数定义域确定错误 示例：（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   知识点02 函数的单调性 1.单调函数的定义与证明 （1）增函数、减函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数 单调区间 I是y＝f(x)的增区间 I是y＝f(x)的减区间 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2） 证明方法：定义法（取值、作差、变形、定号）； （3）函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为； 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为 2.函数的平均变化率 （1）定义 （2）平均变化率与函数单调性的关系 ·易错点：单调性证明过程中推理错误. 示例：（25-26高一上·广东潮州·月考）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 知识点03 函数的奇偶性 1.定义： 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 判定步骤：先判断定义域是否关于原点对称→再验证f(−x)与f(x)的关系. 常见结论：奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反. 2.函数奇偶性的应用 ·易错点：应用函数奇偶性解题错误. 示例：（25-26高一上·江苏苏州·月考）若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 知识点04 函数与方程、不等式之间的关系 1.函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 2.二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系 函数图象 判别式符号 (设判别式 Δ＝b2－4ac) Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根 的个数 2 1 0 3.零点的存在性及其近似值的求法 （1）函数零点的判定定理 条件 结论 函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点 (1)图象是连续不断的曲线 (2)f(a)f(b)＜0 （2）二分法的概念 ①对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． ②用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤： 函数f(x)在区间[a,b]有零点x0，给定近似的精确度ℇ，x0的近似值x1，使x1-x0|<ℇ. ·易错点：（1）忽略定义域；（2）二次项系数的陷阱：解一元二次不等式时，未先判断二次项系数正负，直接套用结论导致解集方向错误；（3）误用零点存在定理：认为f(a)⋅f(b)<0时只有一个零点，实际可能有多个（需结合函数单调性判断个数）. 示例：（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，方程的所有实数根之和为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 知识点05 函数的应用（一） 1. 函数建模的基本步骤 可总结为 “审、设、列、解、验、答” 六步： （1）审：仔细审题，明确问题中的已知量、未知量，理清变量之间的数量关系，识别问题属于哪种函数模型（一次、二次、分段）. （2）设：设定自变量和因变量，通常选择影响因变量的关键量作为自变量x，所求的量作为因变量y. （3）列：根据题意中的等量关系，列出函数解析式y=f(x)，务必标注自变量的取值范围（这是实际问题的关键约束，不能遗漏）. （4）解：利用函数的图象、单调性、最值等性质，求解函数在定义域内的对应值. （5）验：检验求解结果是否符合实际意义（比如人数、长度、利润不能为负数），不符合的要舍去. （6）答：规范写出最终答案，回答实际问题的设问. 2. 常见函数模型及性质 ·易错点：忽视实际问题对变量的限制. 示例：（25-26高一上·江苏·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 题型一 函数的定义域问题 解｜题｜技｜巧 1.常见类型：分式（分母不为 0）、偶次根式（被开方数非负）、对数式（真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1）、零次幂（底数不为 0）的定义域求解. 2.抽象函数定义域的传递性（已知f(x) 定义域求f(g(x))定义域，或反之）. 易｜错｜点｜拨 1.函数同时含分式、根式、对数等多个约束条件时，分别解出每个条件的范围后，忘记取交集，导致定义域范围扩大； 2.对于复合函数，混淆内外层函数的定义域； 3.实际问题，忽略实际背景的约束. 【典例1】（25-26高一上·上海普陀·月考）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是 ． 【典例2】（25-26高一上·安徽阜阳·月考）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【变式1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为 ． 【变式2】（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .（跨章节/学科题型） 题型二 函数的值域问题 解｜题｜技｜巧 1.常见求法：观察法、配方法（二次函数）、换元法、单调性法、分离常数法（分式函数）、数形结合法. 2.通用解题步骤（所有方法适用） 第一步：求定义域 → 值域是定义域的 “衍生范围”，定义域错误会导致值域全错； 第二步：选方法 → 根据函数解析式的结构，匹配上述方法； 第三步：定范围 → 结合函数的单调性、图象或代数变形，确定函数值的集合； 第四步：验边界 → 检查端点值、最值是否能取到. 易｜错｜点｜拨 1.忽略定义域对值域的制约（最核心易错点）； 2. 换元法遗漏新元的取值范围； 3. 复合函数值域求解顺序错误； 4. 分离常数法误判 “分式项的取值范围”； 5. 数形结合法图象绘制错误. 【典例1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为 ； ②若的值域为，则实数m的取值范围是 ． 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【变式1】（25-26高一上·四川巴中·期中）函数的值域为 . 【变式2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为 . 题型三 函数的解析式问题 解｜题｜技｜巧 求法：待定系数法（已知函数类型）、换元法、配凑法、方程组法（如f(x)与f()联立）. 易｜错｜点｜拨 1.待定系数法：忽略函数类型的前提条件； 2. 换元法：忽略新元的取值范围； 3.构造方程组时，未保证替换的等价性或消元出错 4.实际问题，只根据数学关系列解析式，遗漏实际定义域. 【典例1】（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【典例2】（25-26高一上·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)求的解集； (3)若，求实数的值. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【变式2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 题型四 函数单调性问题 解｜题｜技｜巧 判断（证明）函数单调性 （1） 定义法：取值、作差、变形、定号、结论； （2） 图象法； （3）性质法（结论速用法），适用于基本初等函数的组合函数（和、差、复合函数），需熟记基本初等函数的单调性.①和差性质：增函数 + 增函数 = 增函数；减函数 + 减函数 = 减函数； 增函数 - 减函数 = 增函数；减函数 - 增函数 = 减函数.②复合函数单调性，“同增异减”. 易｜错｜点｜拨 1. 忽略定义域，单调区间超出定义域范围； 2. 混淆 “区间” 与 “集合”，错误合并单调区间（最为常见）； 3. 复合函数单调性，忽略 “内外层区间的对应关系”； 4. 定义法中，取值不满足 “任意性”； 5. 二次函数单调性，忽略顶点横坐标的位置. 【典例1】（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的值； (2)作出函数在上的图象； (3)指出函数在上的单调区间及值域. 【变式1】（25-26高一上·湖南·月考）已知是减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·浙江·期中）定义在上的函数满足，当时，，且满足，则不等式的解集为 . 题型五 函数的奇偶性问题 解｜题｜技｜巧 1.判定奇偶性，第一步必须检查定义域是否关于原点对称，若不对称，直接判定为非奇非偶；若对称，再进行下一步； 2.利用奇偶性求解析式的技巧： 已知函数在x>0时的解析式，求x<0时的解析式，步骤如下：设x<0，则−x>0，代入x>0时的解析式，求出 f(−x)；若函数为奇函数，则f(x)=−f(−x)；若为偶函数，则f(x)=f(−x)； 若函数在x=0处有定义，奇函数满足f(0)=0，偶函数直接代入x=0计算. 3.奇偶性与单调性结合的解题技巧： （1）核心结论： ①奇函数在关于原点对称的区间上，单调性相同； ②偶函数在关于原点对称的区间上，单调性相反. （2）解题应用：利用对称性，只需研究函数在x≥0或 x≤0一侧的单调性，即可推导另一侧的单调性. 易｜错｜点｜拨 1. 忽略定义域关于原点对称的前提； 2. 误用f(0)=0的结论，注意：f(0)=0 是奇函数在x=0处有定义的必要条件，不是充分条件； 3.复合函数奇偶性判断错误，注意：内奇外偶为偶，内偶不管外啥都为偶，内奇外奇为奇. 【典例1】（25-26高一上·上海闵行·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【典例2】（25-26高一上·福建漳州·期中）已知函数 是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式：； 【变式1】（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·河南新乡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 题型六 函数与方程、不等式综合问题 解｜题｜技｜巧 1.核心是以函数为纽带，将方程的解转化为函数图象的交点，将不等式的解集转化为函数图象的高低关系，解题的关键思路是 “数形结合”+“等价转化”； 2.方程问题 → 函数图象交点问题，构造函数、画图、找交点‘’ 3.不等式问题 → 函数图象高低问题，构造函数：令h(x)=f(x)−g(x)；分析函数：研究h(x)的单调性、零点、最值；数形结合：根据h(x)的图象与x轴的位置关系，确定不等式的解集. 4.利用函数性质（单调性、奇偶性）简化综合问题； 5.含参问题的分类讨论技巧，核心依据是：（1）函数的类型；（2）函数的图象特征；（3）参数对交点 / 单调性的影响. 易｜错｜点｜拨 1. 忽略定义域的约束； 2. 数形结合时图象画错； 3. 利用单调性时忽略 “单调区间”； 4. 含参问题分类讨论不彻底或重复. 【典例1】（25-26高一上·云南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 【典例2】（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【变式1】（25-26高一上·全国·月考）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)讨论函数的单调性； (3)若方程恰有2个不同的实数根，求的取值范围． 【变式2】（24-25高一上·青海·期中）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若方程有实根，求实数的取值范围. 题型七 函数的应用问题 解｜题｜技｜巧 1.判断一次函数的依据：变量之间的变化率是恒定的（即每增加 1 个单位x，y的变化量固定）； 2.二次函数求最值的两种方法，配方法、单调性法； 3.分段函数模型的解题技巧，分段求解原则：“分段函数分段看”，先确定自变量x属于哪个区间，再代入对应区间的解析式计算；最值求解方法：分别求出每个区间内函数的最值，再比较所有区间的最值，最终确定整个函数的最大（小）值. 易｜错｜点｜拨 1.忽略自变量的实际取值范围； 2.二次函数直接用顶点求最值，忽略定义域； 3.分段函数漏算分界点； 4.计算结果不符合实际意义. 【典例1】（25-26高一上·云南·月考）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【变式1】（25-26高一上·江西·期中）某新能源汽车生产制造工厂使用智能机器人操作电机安装工序，一台机器人每天安装电机的数量（台）与工作时长（时）的关系式为 (1)若要求一台机器人每天安装电机不低于24台，求的取值范围； (2)为提高生产效率，工厂在每条生产线上安装两台机器人轮流工作，两台机器人每天工作的时长分别为小时和小时，且每天的总工作时长为8小时，如何分配这两台机器人的工作时长，才能使这两台机器人每天安装电机的总数量最多，最多为多少台？ 【变式2】（25-26高一上·全国·月考）第十五届全民运动会以“全民全运，全运惠民”为理念，掀起了一场全民健身热潮，某社区积极响应全民健身号召，开展了一场户外徒步登山活动，其中某位参与者的路线及速度如下：该参与者从A处出发，以70米/分钟行走半小时后到达山脚下B处，然后以50米/分钟徒步爬山40分钟到达山顶C处，在山顶休息半小时，最后以80米/分钟沿另一条小路行走20分钟下山到D处，完成全程．设该参与者从处出发后，徒步的路程为S米，所用的时间为t分钟． (1)求S关于t的函数解析式； (2)求该参与者徒步全程的路程； (3)求该参与者徒步前半段路程花费的时间． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西上饶·月考）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广西南宁·月考）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 4.（多选）（25-26高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 5.（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南·月考）已知是定义域为R的减函数，且当时，，若，则 ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·重庆·月考）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 . 2．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． (1)求； (2)若，求实数m的取值范围． 3．（25-26高一上·四川·月考）已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数及其表示方法 理解函数的定义，掌握函数的表示方法，能求简单函数的定义域、值域，会判断是否构成函数关系 比较多见的是求函数定义域，其中大题往往与具体函数、集合等综合考查. 函数的单调性 掌握函数的单调性，能判断函数的单调性、并应用其解答综合问题. 高频考点，具有工具性，多为小题，大题中往往与具体函数的性质结合奇偶性. 函数的奇偶性 熟练掌握函数的奇偶性及其应用 高频考点，具有工具性，多为小题，大题中往往与具体函数的性质结合单调性. 函数与方程、不等式之间的关系 掌握三者的等价关系，会应用函数零点存在定理判断其所在区间 函数方程问题多为小题，涉及三者关系的题目主要是大题. 函数的应用（一） 聚焦一次函数、二次函数、分段函数在实际问题中的建模与求解 有小题，多为大题.主要有两种类型，一是已知函数模型（解析式），二是根据实际问题建立函数模型 知识点01 函数及其表示方法 1.函数的概念：给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f，如果对于集合 A 中的每一个实数x，在集合 B 中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{y∈B| y＝f(x)，x∈A }称为函数的值域． 3.相同函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两个函数相同的依据． 4.函数的表示法 （1）表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]． （2）分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． ·易错点：函数定义域确定错误 示例：（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B 知识点02 函数的单调性 1.单调函数的定义与证明 （1）增函数、减函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数 单调区间 I是y＝f(x)的增区间 I是y＝f(x)的减区间 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2） 证明方法：定义法（取值、作差、变形、定号）； （3）函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为； 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为 2.函数的平均变化率 （1）定义 （2）平均变化率与函数单调性的关系 ·易错点：单调性证明过程中推理错误. 示例：（25-26高一上·广东潮州·月考）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【知识点】函数图象的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 知识点03 函数的奇偶性 1.定义： 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 判定步骤：先判断定义域是否关于原点对称→再验证f(−x)与f(x)的关系. 常见结论：奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反. 2.函数奇偶性的应用 ·易错点：应用函数奇偶性解题错误. 示例：（25-26高一上·江苏苏州·月考）若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数奇偶性的定义得与的方程组，可解出，即得答案. 【详解】根据已知条件， 为奇函数， 为偶函数，可得： ， 联立解得： 计算得： 因此，. 故选：D. 知识点04 函数与方程、不等式之间的关系 1.函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 2.二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系 函数图象 判别式符号 (设判别式 Δ＝b2－4ac) Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根 的个数 2 1 0 3.零点的存在性及其近似值的求法 （1）函数零点的判定定理 条件 结论 函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点 (1)图象是连续不断的曲线 (2)f(a)f(b)＜0 （2）二分法的概念 ①对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． ②用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤： 函数f(x)在区间[a,b]有零点x0，给定近似的精确度ℇ，x0的近似值x1，使x1-x0|<ℇ. ·易错点：（1）忽略定义域；（2）二次项系数的陷阱：解一元二次不等式时，未先判断二次项系数正负，直接套用结论导致解集方向错误；（3）误用零点存在定理：认为f(a)⋅f(b)<0时只有一个零点，实际可能有多个（需结合函数单调性判断个数）. 示例：（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，方程的所有实数根之和为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数与方程的综合应用 【分析】通过和都是奇函数，交点横坐标和为0，即可求解. 【详解】，定义域为， ， 所以为奇函数， 令，由题意定义域为， ， 所以为奇函数， 又也是奇函数， 所以方程的所有实数根，即为函数和图象交点的横坐标， 因为为奇函数，也是奇函数， 所以函数和图象交点的横坐标的和为0， 即方程的所有实数根之和为0， 故选：C 知识点05 函数的应用（一） 1. 函数建模的基本步骤 可总结为 “审、设、列、解、验、答” 六步： （1）审：仔细审题，明确问题中的已知量、未知量，理清变量之间的数量关系，识别问题属于哪种函数模型（一次、二次、分段）. （2）设：设定自变量和因变量，通常选择影响因变量的关键量作为自变量x，所求的量作为因变量y. （3）列：根据题意中的等量关系，列出函数解析式y=f(x)，务必标注自变量的取值范围（这是实际问题的关键约束，不能遗漏）. （4）解：利用函数的图象、单调性、最值等性质，求解函数在定义域内的对应值. （5）验：检验求解结果是否符合实际意义（比如人数、长度、利润不能为负数），不符合的要舍去. （6）答：规范写出最终答案，回答实际问题的设问. 2. 常见函数模型及性质 ·易错点：忽视实际问题对变量的限制. 示例：（25-26高一上·江苏·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)元，元 (3) 【知识点】待定系数法、利用二次函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 题型一 函数的定义域问题 解｜题｜技｜巧 1.常见类型：分式（分母不为 0）、偶次根式（被开方数非负）、对数式（真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1）、零次幂（底数不为 0）的定义域求解. 2.抽象函数定义域的传递性（已知f(x) 定义域求f(g(x))定义域，或反之）. 易｜错｜点｜拨 1.函数同时含分式、根式、对数等多个约束条件时，分别解出每个条件的范围后，忘记取交集，导致定义域范围扩大； 2.对于复合函数，混淆内外层函数的定义域； 3.实际问题，忽略实际背景的约束. 【典例1】（25-26高一上·上海普陀·月考）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】对进行分类讨论，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【典例2】（25-26高一上·安徽阜阳·月考）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【详解】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 【变式1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由定义域的概念可得，计算可得结果. 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .（跨章节/学科题型） 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域的求法，内层函数必须包含于外层函数的定义域之中. 【详解】令，则， 因为函数的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型二 函数的值域问题 解｜题｜技｜巧 1.常见求法：观察法、配方法（二次函数）、换元法、单调性法、分离常数法（分式函数）、数形结合法. 2.通用解题步骤（所有方法适用） 第一步：求定义域 → 值域是定义域的 “衍生范围”，定义域错误会导致值域全错； 第二步：选方法 → 根据函数解析式的结构，匹配上述方法； 第三步：定范围 → 结合函数的单调性、图象或代数变形，确定函数值的集合； 第四步：验边界 → 检查端点值、最值是否能取到. 易｜错｜点｜拨 1.忽略定义域对值域的制约（最核心易错点）； 2. 换元法遗漏新元的取值范围； 3. 复合函数值域求解顺序错误； 4. 分离常数法误判 “分式项的取值范围”； 5. 数形结合法图象绘制错误. 【典例1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为 ； ②若的值域为，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）将函数化为，利用基本不等式即可求解； （2）将函数化为，先求出的范围即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 【变式1】（25-26高一上·四川巴中·期中）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知函数存在最小值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】由题意，函数最小值在上取得，所以需要分类求出最小值，并且不大于的下界值，即可解不等式得解. 【详解】如图，    当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值， 当时，， 所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 题型三 函数的解析式问题 解｜题｜技｜巧 求法：待定系数法（已知函数类型）、换元法、配凑法、方程组法（如f(x)与f()联立）. 易｜错｜点｜拨 1.待定系数法：忽略函数类型的前提条件； 2. 换元法：忽略新元的取值范围； 3.构造方程组时，未保证替换的等价性或消元出错 4.实际问题，只根据数学关系列解析式，遗漏实际定义域. 【典例1】（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. （2）由（1）的结论列出一元二次不等式，再求解该不等式. 【详解】（1）设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此，解得，， 所以二次函数的解析式为. （2）由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 【典例2】（25-26高一上·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)求的解集； (3)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求函数值、已知函数值求自变量或参数、分式不等式 【分析】（1）代值计算可得的值； （2）利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）解方程可得出的值. 【详解】（1）因为，所以. （2）不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为. （3）由可得，即，解得或，合乎题意. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 【变式2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数 (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）． 【答案】(1)， (2)或4 (3)作图见解析，值域为 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、画出具体函数图象、分段函数的值域或最值 【分析】（1）根据自变量的范围代入对应的解析式即可求解； （2）分类讨论的范围即可； （3）画出分段函数的图象，数形结合即可求出值域． 【详解】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图象，如下图所示： 由图象可知，函数的值域为． 题型四 函数单调性问题 解｜题｜技｜巧 判断（证明）函数单调性 （1） 定义法：取值、作差、变形、定号、结论； （2） 图象法； （3）性质法（结论速用法），适用于基本初等函数的组合函数（和、差、复合函数），需熟记基本初等函数的单调性.①和差性质：增函数 + 增函数 = 增函数；减函数 + 减函数 = 减函数； 增函数 - 减函数 = 增函数；减函数 - 增函数 = 减函数.②复合函数单调性，“同增异减”. 易｜错｜点｜拨 1. 忽略定义域，单调区间超出定义域范围； 2. 混淆 “区间” 与 “集合”，错误合并单调区间（最为常见）； 3. 复合函数单调性，忽略 “内外层区间的对应关系”； 4. 定义法中，取值不满足 “任意性”； 5. 二次函数单调性，忽略顶点横坐标的位置. 【典例1】（25-26高一上·北京·期中）已知函数，若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数 【分析】首先分析函数在各段的单调性，即可求出的取值范围，结合函数存在最小值得到不等式，解得即可. 【详解】因为， 当时，所以在上单调递减，则； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使函数存在最小值，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B 【典例2】（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知函数. (1)求的值； (2)作出函数在上的图象； (3)指出函数在上的单调区间及值域. 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)答案见详解 【知识点】画出具体函数图象、根据图像判断函数单调性、分段函数的值域或最值、求分段函数值 【分析】（1）根据题意结合分段函数解析式运算求解即可； （2）分析的解析式，结合解析式作图； （3）根据的图象分析函数的单调区间和值域即可. 【详解】（1）因为， 所以，. （2）因为， 则函数在上的图象如图所示： （3）由函数在上的图象可得： 函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 且函数在上的值域为. 【变式1】（25-26高一上·湖南·月考）已知是减函数，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数以及二次函数的单调性，即可结合分段函数的性质求解. 【详解】由在R上是减函数可得，解得， 故选：D 【变式2】（25-26高一上·浙江·期中）定义在上的函数满足，当时，，且满足，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】结合题干所给的信息赋值证明函数的单调性和奇偶性，再利用奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令，得， 令，得， 函数是定义在上的奇函数， ，令，得， 任取，则， 当时，，当 时，，即， 函数是定义在上的单调递增函数， . 故答案为：. 题型五 函数的奇偶性问题 解｜题｜技｜巧 1.判定奇偶性，第一步必须检查定义域是否关于原点对称，若不对称，直接判定为非奇非偶；若对称，再进行下一步； 2.利用奇偶性求解析式的技巧： 已知函数在x>0时的解析式，求x<0时的解析式，步骤如下：设x<0，则−x>0，代入x>0时的解析式，求出 f(−x)；若函数为奇函数，则f(x)=−f(−x)；若为偶函数，则f(x)=f(−x)； 若函数在x=0处有定义，奇函数满足f(0)=0，偶函数直接代入x=0计算. 3.奇偶性与单调性结合的解题技巧： （1）核心结论： ①奇函数在关于原点对称的区间上，单调性相同； ②偶函数在关于原点对称的区间上，单调性相反. （2）解题应用：利用对称性，只需研究函数在x≥0或 x≤0一侧的单调性，即可推导另一侧的单调性. 易｜错｜点｜拨 1. 忽略定义域关于原点对称的前提； 2. 误用f(0)=0的结论，注意：f(0)=0 是奇函数在x=0处有定义的必要条件，不是充分条件； 3.复合函数奇偶性判断错误，注意：内奇外偶为偶，内偶不管外啥都为偶，内奇外奇为奇. 【典例1】（25-26高一上·上海闵行·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用函数的定义和奇偶性结合已知条件求解； （2）先确定在上的单调性，再利用单调性结合奇偶性化简抽象不等式，解不等式求出实数的取值范围． 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ， 当时，， 当时，，则，是奇函数， ，故， （2）当时，是增函数， 又是定义在上的奇函数，奇函数在对称区间上单调性一致，且， 在上是增函数， ，， ，， 在上是增函数， ，即，解得或， 的取值范围为． 【典例2】（25-26高一上·福建漳州·期中）已知函数 是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式：； 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）首先利用奇偶性将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，，则， 又，则 ，，经验证此时为奇函数. （2）在上单调递增 证明：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）在上是奇函数且单调递增， 由得， 解得：， 不等式的解集为. 【变式1】（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】奇偶函数对称性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数图象选择解析式 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 【变式2】（25-26高一上·河南新乡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据的单调性，按的不同取值分类讨论即可. 【详解】（1）因为为偶函数，当时，， 当，有，则， 所以． （2）当时，．因为的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，在上单调递减， 则； 当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，在上单调递增，则． 综上，． 题型六 函数与方程、不等式综合问题 解｜题｜技｜巧 1.核心是以函数为纽带，将方程的解转化为函数图象的交点，将不等式的解集转化为函数图象的高低关系，解题的关键思路是 “数形结合”+“等价转化”； 2.方程问题 → 函数图象交点问题，构造函数、画图、找交点‘’ 3.不等式问题 → 函数图象高低问题，构造函数：令h(x)=f(x)−g(x)；分析函数：研究h(x)的单调性、零点、最值；数形结合：根据h(x)的图象与x轴的位置关系，确定不等式的解集. 4.利用函数性质（单调性、奇偶性）简化综合问题； 5.含参问题的分类讨论技巧，核心依据是：（1）函数的类型；（2）函数的图象特征；（3）参数对交点 / 单调性的影响. 易｜错｜点｜拨 1. 忽略定义域的约束； 2. 数形结合时图象画错； 3. 利用单调性时忽略 “单调区间”； 4. 含参问题分类讨论不彻底或重复. 【典例1】（25-26高一上·云南·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3). 【知识点】函数方程组法求解析式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数与方程的综合应用 【分析】（1）构造方程，解方程组即可求出函数解析式； （2）由一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由不等式恒成立转化为判别式不大于0求解即可. 【详解】（1）由，① 得，② ②①，得， 所以. （2）由（1）得，由，得， 则，得或， ，. 由， 化简得，解得或. （3）由，得， 因为，，所以， 解得，所以的取值范围为. 【典例2】（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2)且 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范围是且. 【变式1】（25-26高一上·全国·月考）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)讨论函数的单调性； (3)若方程恰有2个不同的实数根，求的取值范围． 【答案】(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减 (2)在区间、上单调递减，在区间、上单调递增 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、根据图像判断函数单调性 【分析】（1）去掉绝对值，再分析单调性即可. （2）结合函数图像判断单调区间. （3）根据题目条件联立函数，分析的交点判断的取值. 【详解】（1）由，得 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）数形结合可知在区间、上单调递减，在区间、上单调递增． （3）当直线与曲线只有一个交点时， 联立得，令，得， 依题意，作出与的图象，如图所示，由图知， ①当时，且，函数的图象与的图象无交点，不满足题意； ②当时，且，函数的图象与的图象仅交于点，不满足题意； ③当时，若，则， 若，则， 要使方程恰有2个不同的实数根，则的图象与轴的交点在点左侧，只需，即， 当时有3个不同实根， 时有4个不同实根； ④当时，由上函数的图象与的图象有3个交点，不满足题意； ⑤当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意． 综上，的取值范围为． 【变式2】（24-25高一上·青海·期中）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若方程有实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)的减区间为，增区间为 (2) 【知识点】复合函数的单调性、函数与方程的综合应用 【分析】（1）根据条件得，令，则，再利用指数函数与二次函数的单调性，即可求解； （2）令，从而将问题转化成在上有解，令，利用二次函数的图象，即可求解. 【详解】（1）若，则，令，则， 因为的对称轴为，图象开口向上， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又是增函数，由，得到，由，得到， 所以的减区间为，增区间为. （2）因为，令， 则方程有实根，即在上有解， 令，对称轴，图象开口向上， 因为，要使在上有解， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 题型七 函数的应用问题 解｜题｜技｜巧 1.判断一次函数的依据：变量之间的变化率是恒定的（即每增加 1 个单位x，y的变化量固定）； 2.二次函数求最值的两种方法，配方法、单调性法； 3.分段函数模型的解题技巧，分段求解原则：“分段函数分段看”，先确定自变量x属于哪个区间，再代入对应区间的解析式计算；最值求解方法：分别求出每个区间内函数的最值，再比较所有区间的最值，最终确定整个函数的最大（小）值. 易｜错｜点｜拨 1.忽略自变量的实际取值范围； 2.二次函数直接用顶点求最值，忽略定义域； 3.分段函数漏算分界点； 4.计算结果不符合实际意义. 【典例1】（25-26高一上·云南·月考）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)300台，最大利润为20000元 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据固定成本、生产一台机器需投入的费用，结合利润的计算方式进行求解即可； （2）利用二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 【变式1】（25-26高一上·江西·期中）某新能源汽车生产制造工厂使用智能机器人操作电机安装工序，一台机器人每天安装电机的数量（台）与工作时长（时）的关系式为 (1)若要求一台机器人每天安装电机不低于24台，求的取值范围； (2)为提高生产效率，工厂在每条生产线上安装两台机器人轮流工作，两台机器人每天工作的时长分别为小时和小时，且每天的总工作时长为8小时，如何分配这两台机器人的工作时长，才能使这两台机器人每天安装电机的总数量最多，最多为多少台？ 【答案】(1) (2)两台机器人各工作4小时，每天安装电机的总数量最多，最多为48台 【知识点】分段函数模型的应用、建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）分、分别得到不等式，解得即可； （2）依题意两台机器人每天安装电机的数量之和，且，分，与、两种情况讨论，分别求出最大值. 【详解】（1）当时，由， 得，解得，所以.                   当时，由，满足条件.           综上可得，的取值范围是. （2）两台机器人每天安装电机的数量之和，且. 分两种情况： ①两台机器人的工作时长都小于小时，即， 此时，       由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为台.                   ②一台机器人的工作时长小于6小时，另一台不小于6小时，不妨取，则， 此时，       该函数图象的对称轴为，则当时，单调递增， 所以.               因为， 所以两台机器人各工作小时时，每天安装电机的总数量最多，最多为48台. 【变式2】（25-26高一上·全国·月考）第十五届全民运动会以“全民全运，全运惠民”为理念，掀起了一场全民健身热潮，某社区积极响应全民健身号召，开展了一场户外徒步登山活动，其中某位参与者的路线及速度如下：该参与者从A处出发，以70米/分钟行走半小时后到达山脚下B处，然后以50米/分钟徒步爬山40分钟到达山顶C处，在山顶休息半小时，最后以80米/分钟沿另一条小路行走20分钟下山到D处，完成全程．设该参与者从处出发后，徒步的路程为S米，所用的时间为t分钟． (1)求S关于t的函数解析式； (2)求该参与者徒步全程的路程； (3)求该参与者徒步前半段路程花费的时间． 【答案】(1)； (2)5700（米）； (3)45分钟． 【知识点】分段函数模型的应用、已知函数值求自变量或参数、求函数值 【分析】（1）根据给定的信息，利用速度、时间、路程的关系分段求出即得解析式. （2）由（1）的结论求出函数值. （3）由（2）求出半段路程及所属范围，再列出方程求解. 【详解】（1）依题意，当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 所以S关于t的函数解析式为. （2）由（1）得（米）． （3）由（2）得前半段路程为2850米，， 由，解得， 所以该参与者徒步前半段路程花费的时间为45分钟. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】利用零点存在性定理，通过端点值的正负加以判断. 【详解】由， 根据零点存在性定理，由函数在区间上是连续的,且， 所以函数在区间上一定存在零点，故B正确； 而，则在上不一定有零点，故A错误； 又，则在，上也不一定有零点，故CD错误； 故选：B 2．（25-26高一上·江西上饶·月考）取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数新定义、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】由题可知，从而得到函数的值域为. 【详解】根据取整函数的定义，对任意实数，有，可得； 故函数的值域为. 故选：A 3．（25-26高三上·广西南宁·月考）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【知识点】求集合的子集（真子集）、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】已知函数的值域取值情况结合题目条件求出函数定义域取值的集合，再由集合非空子集个数及分步计数求“同族函数”个数即可得． 【详解】由题可知 的值域为 ，则 或 或 ， 结合“同族函数“的定义， 则函数定义域分别从 中各取至少一个数， 所以共有 种． 故选：D 4.（多选）（25-26高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】已知f（g（x））求解析式、已知函数类型求解析式 【分析】由函数的类型设，结合已知列方程求参数值，即可得解析式. 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC 5.（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数 . 【答案】0 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出图象，问题转化为必须有两个小于2的不同根，数形结合得解. 【详解】令，则，如图， 由图像可知，和均最多有2个不同的根， 所以要使得有四个不同的解，则必须有两个小于2的不同根，由的图像可得实数的取值范围是. 故选：B 2．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可. 【详解】作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 3．（25-26高一上·湖南·月考）已知是定义域为R的减函数，且当时，，若，则 ． 【答案】 【知识点】求函数值、根据函数的单调性求参数值 【分析】利用赋值法构建关于的方程后可求的值. 【详解】因为，故， 令，，则且， 故即， 因是定义域为R的减函数，故即， 即，故或， 若，则，，故，这与为上的减函数矛盾， 故即， 故答案为：. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一上·重庆·月考）已知定义在上的函数 满足：① ； ②对 ，则 . 【答案】 【知识点】求抽象函数的解析式 【分析】通过赋值，得到，再令，得到，通过累加即可求解. 【详解】令， 可得：，又， 所以， 令，得， 所以，， 由， 令， 则， 两式相加可得： 所以， 当时，满足； 所以， 故答案为： 2．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数，．设的定义域和值域分别为集合，，集合． (1)求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据根式的性质，以及函数定义域和值域的求法，列出不等式组，求出集合，，再求出集合交集即可. （2）根据集合描述法的概念，和根式的性质，求出函数定义域，再根据集合交集运算结果，判断集合之间的关系，进而列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）由题意得，解得，即， 由，因为，所以， 所以，即， 所以． （2）由，得，解得或， 因为，所以， 当时，的解集为，不符合题意， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 3．（25-26高一上·四川·月考）已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)解不等式：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用赋值法代入求值即可. （2）利用单调性的定义证明函数单调递增； （3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可. 【详解】（1）令，，代入中得，， 解得； 令，代入原式中得，，取，则； 所以. （2）设，且，则. 当时，，所以. ， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）因为， 所以原不等式可化为，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以，即， 解得或. 所以该不等式的解集为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $