重难点02 方程（组）与不等式（组）的解法与应用9大考点（专项训练）（河北专用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

专题02 方程（组）与不等式（组）的解法与应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一、解一元一次方程 易｜混｜易｜错 去分母时漏乘不含分母的项；移项时忘记变号；系数化为1时，除数为分数或负数时计算错误。 1．（2025·河北邢台·模拟预测）某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北唐山·二模）在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 3．（2025·河北石家庄·三模）老师在黑板上写了一个不完整的算式：．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． (1)第1次转动转盘后，求算式的计算结果； (2)某次转动转盘后，算式的计算结果是，求指针所指区域的数； (3)多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 4．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2025·河北唐山·二模）如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． (1)若，求这四个有理数的和； (2)若相对的两个叶片上数字的和相等，求a的值． 6．（2025·河北·模拟预测）对任意有理数a，b，c，d，规定，例如：，根据以上规定解决以下问题． (1)求的值； (2)若，求的值． 7．（2025·河北石家庄·三模）小明在解一道有理数运算时，一个有理数m被污染了．计算：． (1)若，计算：； (2)，求m的值． 8．（2025·河北保定·一模）定义新运算：对于任意都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如： (1)计算； (2)若的值是0，求的值． 9．（2025·河北衡水·模拟预测）综合实践课上，同学们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一元一次方程．如图，老师将题目交给甲同学，他完成一步解答后交给乙同学，依次进行，最后由戊同学完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中过程出错的同学； (2)请你写出正确的求解过程． 10．（2025·河北廊坊·二模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的积； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求a的值： ②求，4，5，这四个数的平均数． 考点二、一元一次方程方程实际应用 易｜混｜易｜错 审题不清，找错等量关系；设未知数不明确；忽略单位统一；求出解后未结合题意检验。 11．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 12．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 13．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）将正整数1至2025按一定规律排列．如图所示．平移表中带阴影的矩形框．矩形框中三个数的和可能是（    ） A．2024 B．2022 C．2019 D．2040 15．（2025·河北石家庄·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“方程术”记载：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？其大意为：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有50钱．问甲、乙两人各有多少钱？下列选项说法错误的是（   ） A．设乙有x钱，可得方程 B．甲有钱，乙有25钱 C．设甲有x钱，则乙有钱 D．设甲有x钱，乙有y钱，可得方程组 16．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 17．（2025·河北唐山·二模）某校举行跳远能力竞赛，比赛场地从起跳线由近及远共三个得分区域，每个区域对应的分数如图所示，每位选手跳远5次，5次成绩的和为该选手的最终成绩，两位参赛选手的跳远情况如下图. (1)求嘉嘉5次跳远的最终成绩. (2)若淇淇的最终成绩为3分，求x的值. 18．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    19．（2025·河北邯郸·二模）为推广垃圾分类，某社区设置智能回收箱，居民投放可回收物后，设备自动称重并计算积分．已知1千克塑料可兑换8积分，1千克废纸可兑换12积分．嘉嘉投放了千克塑料和千克废纸，淇淇的塑料投放量是嘉嘉的2倍，废纸投放量比嘉嘉少3千克． (1)用含的式子分别表示嘉嘉和淇淇的积分； (2)淇淇的积分能否是嘉嘉的2倍？请说明理由． 20．（2025·河北·模拟预测）甲、乙两人输入相间的值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所得结果大者胜出． (1)当甲得到的计算结果为时，求的值以及乙的计算结果； (2)若甲胜出，求的取值范围． 考点三、解二元一次方程组 易｜混｜易｜错 消元方法选择不当导致计算复杂；代入消元时，代入的代数式未加括号；加减消元时符号出错。 21．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则用含有y的代数式表示应为（   ） A． B． C． D． 22．（2023·河北沧州·一模）已知方程组的解是一对正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 23．（2025·河北沧州·一模）已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（   ） A． B． C． D． 24．（2025·河北邢台·三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 25．（2024·河北·一模）甲乙两人在解方程组时，有如下讨论：甲：我要消掉，所以；乙：我要消掉，所以．则下列判断正确的是（    ） A．甲乙方法都可行 B．甲乙方法都不可行 C．甲方法可行，乙方法不可行 D．甲方法不可行，乙方法可行 26．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 ； 27．（2023·河北邢台·二模）已知二元一次方程组： (1)请把方程②写成用的代数式表示 . (2)这个方程组的解是 . 28．（2023·河北邯郸·一模）小张老师在数学课上拿着A，B，C三张硬纸片，上面分别标着a，b，c三个数字．已知，且三个数字各不相同． (1)若小刚翻开纸片B，发现该数字为0，求代数式的值． (2)当时，求这三个数字组成的最大三位数． 29．（2025·河北廊坊·一模）密码学是研究信息加密与安全传输的学科，其核心思想是通过数字变换将原始信息（明文）转化为难以破译的形式（密文）．嘉嘉受此启发，他的加密方法如下：利用两个字母和的不同运算表示其中的部分有理数，形成两个密匙，密匙：，，；密匙：，，，其中每个密匙表示的是个互不相等的有理数，且密匙，都表示的是个相同的有理数，则（   ） A． B． C． D． 30．（2023·河北沧州·三模）定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数． 例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数． （1）有理数1 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）； （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数． ①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 ； ②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 ． 考点四、二元一次方程方程组的实际应用 易｜混｜易｜错 无法从复杂情境中提取两个等量关系；方程与实际问题匹配错误；忽略解的合理性（如人数为正整数）。 31．（2025·河北邯郸·三模）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（　　） A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可得 B．设有x名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有12个盘子 32．（2025·河北邯郸·三模）为了方便业主为新能源汽车充电，某小区要建设一批充电桩．已知新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要1.3万元，新建3个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.9万元． (1)求新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元； (2)若该小区计划用不超过13.3万元的资金新建50个充电桩，且地上充电桩的数量不超过20个，求共有哪几种建造方案． 33．（2025·河北沧州·三模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 34．（2025·河北·模拟预测）红星中学假期组织了“研学活动”，共有48名同学参加，______． 条件1：男生比女生多1人； 条件2：男生人数比女生人数的2倍少3人． 从上述两个条件中选取一个，添加到横线处，能确定男生和女生人数的是（   ） A．条件1 B．条件2 C．两个条件都可以 D．两个条件均不能确定 35．（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 36．（2025·河北唐山·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．”其可译为：“有5只麻雀、6只燕子，分别在衡上称量之，麻雀在一起重，燕子在一起轻．将1只麻雀、1只燕子交换，衡恰好平衡．麻雀与燕子合起来共重1斤（1斤等于16两）．”设雀、燕每只各重x、y两，则下列说法错误的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．依题意 D．一只燕的重量是两 37．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 38．（2025·河北石家庄·模拟预测）欧欧准备到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”一次性出售，嘉嘉和淇淇分别给出价格： (1)根据对话内容，求欧欧制作的竹篮和陶罐数量各是多少？ (2)欧欧接受了淇淇的报价，交易后到花店购买单价为6元／束的鲜花看望老人，剩余的钱还要为自己购买一支钢笔．若一支钢笔的价格最低15元，请你求出欧欧最多可以购买几束鲜花？ 39．（2024·河北·模拟预测）已知嘉嘉购买了红、绿、蓝三种颜色的筷子各只，将红、绿、蓝三种颜色的筷子分别放入甲、乙、丙桶中． （1）若嘉嘉从甲桶拿出4只筷子放入乙桶中，此时乙桶中的筷子数量是甲桶筷子数量的2倍，则m的值为 ； （2）若嘉嘉从甲、丙桶分别拿出只红、蓝筷子放入乙桶中，接下来，从乙桶拿出只筷子放入甲桶中，其中有只绿色筷子，此时乙桶中绿色筷子的数量与剩余红色、蓝色筷子的数量和相等，则的值为 ． 甲 乙 丙 初始状态 红 绿 蓝 第一次 红 绿红蓝 蓝 40．（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 考点五、一元二次方程的解法 易｜混｜易｜错 未先将方程化为一般形式；公式法求根前未计算判别式；因式分解法忽略右边为零；配方时配方错误。 41．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 42．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 43．（2025·河北邯郸·三模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 44．（2025·河北邯郸·三模）已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（　　） A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为，则另一个根为 C．两根之积为 D．两根之和为 45．（2025·河北唐山·三模）A，B是数轴上不同的两点，其表示的数分别为，．若，两点到原点的距离相等．则的值为（   ） A．-2 B．0 C．2 D．0或2 46．（2025·河北邯郸·三模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（    ） A． B． C． D． 47．（2025·河北邯郸·二模）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示： 习题1 习题2 …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 即第四步 (1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程． 49．（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 50．（2025·河北邢台·模拟预测）数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． (1)嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； (2)淇淇说“若输入，输出的多项式为0时，n有两个不同的值”，你同意淇淇的说法吗？请说明理由． 考点六、一元二次方程的实际应用 易｜混｜易｜错 增长率问题混淆“增长到”与“增长了”；几何面积问题忽略实际边长>0的隐含条件；利润问题中销量与价格关系理解错误。 51．（2025·河北邯郸·三模）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（    ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A．9 B．10 C．11 D．12 52．（2025·河北邯郸·二模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘（取1.4）．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，有下列说法： 甲：可列方程；            乙：可列方程； 丙：每天“遗忘”的百分比约为；    丁：每天“遗忘”的百分比约为． 其中正确的是（    ） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 53．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 54．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 55．（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 56．（2024·河北邯郸·三模）某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路． （1）若，则草坪总面积为 平方米． （2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 米． 57．（2025·河北邯郸·三模）如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1)求的值（用含的式子表示）． (2)若，求的值． 58．（2024·河北沧州·一模）（1）计算： （2）九年级某班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他名同学，这样全班43名同学恰好都接到了一次通知，求的值． 59．（2024·河北石家庄·二模）【观察思考】用同样大小的正方体木块依次堆放成如图1、图2、图3所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去． 【规律总结】 （1）图4有______个正方体； （2）图n有______个正方体（用含n的式子表示）； 【问题解决】 （3）是否存在某个图形，它对应的几何体由496个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 60．（2024·河北唐山·二模）某校开展劳动实践活动，九（1）班分到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的矩形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形．设长为米，长为y米． (1)用含x的代数式表示y； (2)九（1）班的小明同学说：“矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0.”请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 考点七、分式方程的解法和应用 易｜混｜易｜错 忘记检验增根是最常见错误；去分母时整数项漏乘最简公分母；应用题中忽略“双检验”（既验根也验题意）。 61．（2023·河北·中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ． x结果代数式 2 n 7 b a 1 62．（2025·河北石家庄·三模）如图，数学老师写了一个运算过程，为一个含的代数式．      (1)求（要求化为最简形式）； (2)的值可能等于吗？请说明理由． 63．（2025·河北邢台·三模）若，则 ． 64．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的． 先化简，再求值． ，其中 解：原式① ． (1)正确化简___________ (2)求图中被污染的的值． 65．（2025·河北张家口·模拟预测）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式  …………第一步    …………第二步          …………第三步 习题2：解方程 解：   …………第一步       …………第二步         …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解          …………第四步 (1)习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 66．（2025·河北石家庄·二模）已知：分式， (1)计算； (2)利用（1）的结论，解分式方程． 67．（2025·河北邯郸·二模）已知分式． (1)化简分式； (2)若的值为方程的解，求该分式的值． 68．（2025·河北邯郸·二模）如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： (1)若被污染的部分是一个代数式，求这个代数式； (2)若被污染的部分是常数1，求的值． 69．（2025·河北唐山·二模）根据如图所示的程序，解决下列问题： (1)求（结果需化简）； (2)若输出的的结果为3，求输入的的值． 70．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 后拿先拿 白 白 （白，白） （白，） （白，） （，白） （，） （，） （，白） （，） （，） 考点八、解一元一次不等式（组） 易｜混｜易｜错 系数为负时，忘记改变不等号方向；去分母时漏乘；在数轴上表示解集时，混淆实心点与空心圈；确定不等式组解集时找错公共部分。 71．（2025·河北邯郸·模拟预测）若，，，则“□”内应填的符号是（    ） A．＞ B．＜ C．≤ D．＝ 72．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 73．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 74．（2025·河北邯郸·三模）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 75．（2025·河北邯郸·三模）不等式的正整数解为 ． 76．（2025·河北沧州·模拟预测）将关于x的不等式组|的解集表示在数轴上图所示，则a的值为 ． 77．（2025·河北·一模）对于任意有理数和，定义◐，例如2◐． (1)求◐3的值； (2)若◐，求x的取值范围． 78．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 79．（2024·河北·模拟预测）甲杯和乙杯中分别盛有质量均为克的糖水(杯子足够大)．其中甲杯中含有糖a克(克)，乙杯中含有糖克．现从乙杯盛出克糖水，倒入甲杯并搅拌均匀．嘉嘉给出算式：① ；②a；③；④；⑤下列能反映甲杯的糖水变甜的关系式是（   ）(提示：浓度) A． B． C． D． 80．（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 考点九、一元一次不等式（组）的实际应用 易｜混｜易｜错 不能准确将“至少”“不超过”等关键词转化为不等号；列式时忽略隐含条件（如整数解）；设计方案类问题考虑情况不全面。 81．（2025·河北唐山·二模）如图，经了解，植物生长的温度为，而大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，则以下适宜植物长高的最高温度x是（   ） A．15 B．20 C．24 D．25 82．（2025·河北邯郸·模拟预测）王老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下： 游戏规则： 甲同学任报一个有理数传给乙同学； 乙同学把这个数减后报给丙同学； 丙同学把接收到的数的二倍减，报出答案． 根据游戏规则，回答下面的问题： (1)若甲报的数为，则丙报的数是多少； (2)若甲报了一个整数，丙报出的是正数，求甲报的最小整数是多少？ 83．（2025·河北石家庄·三模）有一个数学游戏，如图，一个实数从，，三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置例如：将按照或的顺序进行运算，是将数据经过“乘以”的运算得出结果． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； (2)输入一个整数按照的顺序进行运算，发现运算结果不大于则输入数字的最小值为多少？ 84．（2025·河北·一模）检测游泳池的水质，要求三次检测的平均值不小于7.2．且不大于7.8．已知第一次的检测值为7.2，第二次的检测值为8.1．若该游泳池的水质检测合格，则第三次的检测值可能为 ．（写出一个符合条件的一位小数） 85．（2025·河北邯郸·模拟预测）某奶茶店推出爆款“杨枝甘露”和“芝士杨梅”，售价如图．嘉嘉和三名同学相约一起去喝． 售价 杨枝甘露    9元 芝士杨梅    12元 (1)若他们总共要了3杯杨枝甘露，1杯芝士杨梅，则一共需要付多少元？ (2)若他们想在不超过42元的基础上，给每人买一杯爆款饮品，则最多可以买几杯芝士杨梅？ 86．（2025·河北邯郸·三模）如图，嘉嘉和淇淇做一个数学游戏，嘉嘉任意给出一个实数m，淇淇从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数m利用小球上标识的运算逐一进行计算． (1)若，淇淇从圆桶里随机摸出小球顺序是A、B、C，请列出算式并计算结果； (2)淇淇从圆桶里随机摸出小球的顺序是B、C、A，运算结果总是非正数，求嘉嘉给出m的取值范围． 87．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，小强组装了一款遥控车，并在长度为的跑道上试验它在不同速度下的运行情况．从点A出发，先以的速度行进了，接着以的速度行进到终点B，为记录，全程安装了拍摄设备，拍摄设备在与起点A距离处的P点．设遥控车的运动时间为，遥控车与拍摄点的距离为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求遥控车距离拍摄点时的运动时间； (3)当遥控车从点A出发时，一个机器人从拍摄点出发以的速度向点B行进，并在与点B相距内（不包含，不与点B重合）被遥控车追上；直接写出a的取值范围． 88．（2025·河北邢台·三模）如图，利用计算机小程序做数学游戏： 第一步，点击“数字小助手”随机生成一个整数； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出两张不同的运算卡片； 第三步，对第一步中生成的整数，按照第二步中弹出的卡片内容依次进行计算． 例如：第一步，点击“数字小助手”生成整数3； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出卡片和； 第三步，计算． (1)若第一步中生成的整数为5，第二步中弹出的卡片依次为和，请完成第三步的计算； (2)若第一步中生成的整数为，第二步中弹出的卡片依次为和，第三步的计算结果是一个正数，求的最小整数值． 89．（2025·河北保定·二模）电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗条，则正确的是（　　） A．数量多的狗群每个群有狗条 B．依题意 C．有最小值，但没有最大值 D．是正确解，但不是唯一解 90．（2025·河北唐山·二模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一出水口，利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度” 现有两个水杯容量相同的智能空水杯． (1)王老师先拿了其中一个智能空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯的水温为． ①王老师的水杯容量是为________； ②求此时杯中的水温（不计热损失）； (2)嘉琪拿了另外一个智能空水杯，先接了x秒温水，又接了一会儿开水，接满杯中水．智能杯盖显示此时杯中温度为，请你求出t与x的函数关系式，直接写出x至多为几秒时，才能使杯中温度不低于（x为正整数） 试卷第66页，共71页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组）的解法与应用 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一、解一元一次方程 易｜混｜易｜错 去分母时漏乘不含分母的项；移项时忘记变号；系数化为1时，除数为分数或负数时计算错误。 1．（2025·河北邢台·模拟预测）某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 把代入，得，求出a的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得，解得． 把代入一元一次方程， 得，解得． 故选：A． 2．（2025·河北唐山·二模）在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． （1）将错就错，把x的值代入小亮去分母出错的方程求出m的值即可； （2）由题意直接把m的值代入方程计算即可求出解． 【详解】（1）解：由题可知，，即， ∵， ∴； （2）由（1）可知，原方程为， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 3．（2025·河北石家庄·三模）老师在黑板上写了一个不完整的算式：．转动转盘，转盘停止后将指针所指区域的数填入“”并完成算式计算，若指针指在边界线上无效．如图是第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域的情况． (1)第1次转动转盘后，求算式的计算结果； (2)某次转动转盘后，算式的计算结果是，求指针所指区域的数； (3)多次转动（指针在每个区域至少停留一次）转盘并计算后发现，有一个计算结果最大．请直接写出这个最大的结果． 【答案】(1) (2)3 (3)5 【分析】本题考查了有理数的四则运算和一元一次方程．熟练掌握有理数的四则运算法则和一元一次方程是解题的关键． （1）将指针所指区域的数代入算式计算即可； （2）将指针所指区域为，再将算式的计算结果代入算式，求出即可； （3）将各区域数字分别代入算式计算出结果，然后比较大小即可 【详解】（1）解：如图可知，第1次转动转盘，转盘停止后指针所指区域为， 所以． （2）解： 设指针所指区域为，则 解得：， 所以指针所指区域的数为． （3）当时，算式为： ； 当时，算式为： ； 当时，算式为： ； 当时，算式为： ； ， 所以最大的结果为． 4．（2025·河北·一模）关于x的方程的解为，则a的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解．注意使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．由关于的方程的解是，即可得，继而求得答案． 【详解】解：关于的方程的解是， ， 解得：． 故选：A． 5．（2025·河北唐山·二模）如图，某数学课外活动小组同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上标有一个有理数． (1)若，求这四个有理数的和； (2)若相对的两个叶片上数字的和相等，求a的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出相应的式子或方程； （1）直接将4个数相加即可求解； （2）列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 解得． 6．（2025·河北·模拟预测）对任意有理数a，b，c，d，规定，例如：，根据以上规定解决以下问题． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数运算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给的新定义进行求解即可； （2）根据所给的新定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为， 所以， 整理得， 解得． 7．（2025·河北石家庄·三模）小明在解一道有理数运算时，一个有理数m被污染了．计算：． (1)若，计算：； (2)，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，解一元一次方程． （1）根据有理数四则混合运算的法则计算即可； （2）将式子化简为，解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（2025·河北保定·一模）定义新运算：对于任意都有，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如： (1)计算； (2)若的值是0，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题主要考查整式的运算和一元一次方程，准确理解题意中的新定义是解题的关键． （1）根据题意以及平方差公式进行计算即可； （2）根据新定义得出一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得原式； （2）解：由题意可得， 解得， 即的值为． 9．（2025·河北衡水·模拟预测）综合实践课上，同学们玩“接力游戏”，由每组学生合作解一元一次方程．如图，老师将题目交给甲同学，他完成一步解答后交给乙同学，依次进行，最后由戊同学完成求解．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． (1)写出这个“接力游戏”中过程出错的同学； (2)请你写出正确的求解过程． 【答案】(1)甲，乙，戊 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）利用解一元一次方程的基本步骤，逐一判断即可解答； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：甲同学在去分母时，右侧没有乘以6；乙同学去括号，括号内的符号没有变号；戊同学最后将未知数系数化为1时，方程右边没有除以，而是除以； 故这个“接力游戏”中计算错误的同学有：甲，乙，戊； （2）解：正确的解答过程如下： ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 10．（2025·河北廊坊·二模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数． (1)求这已知的四个数的积； (2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等． ①求a的值： ②求，4，5，这四个数的平均数． 【答案】(1)60 (2)①；②四个数的平均数为 【分析】本题主要考查了有理数的加法，求平均数，解一元一次方程： （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）①根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可；②由①知a的值，根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， 即这已知的四个数的积为60； （2）解：①∵横排三个数的和与竖列三个数的和相等， ∴， 解得：； ② 即这四个数的平均数为． 考点二、一元一次方程方程实际应用 易｜混｜易｜错 审题不清，找错等量关系；设未知数不明确；忽略单位统一；求出解后未结合题意检验。 11．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 3 1 在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．    (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值． 【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分； (2)． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）根据题意列一元一次方程即可求解. 【详解】（1）解：由题意得(分)， 答：珍珍第一局的得分为6分； （2）解：由题意得， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 12．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得：， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 13．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）将正整数1至2025按一定规律排列．如图所示．平移表中带阴影的矩形框．矩形框中三个数的和可能是（    ） A．2024 B．2022 C．2019 D．2040 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型的数字变化类、一元一次方程的应用等知识点，根据题意恰当地表示出三个数的和并结合中间数所处的位置分析是解题的关键． 设中间数为x，则另外两个数分别为：、，方框中三个数的和为：，分别令等于四个选项中的数字得到一元一次方程并求解，并结合能否形成三个相连的正整数依次分析即可． 【详解】解：设中间数为x，则另外两个数分别为：、， ∴方框中三个数的和为：， 若，则，不是正整数，舍去，故A不符合题意； 若，则，，则674在第85行第2列， ∴674的前后都可以有数，形成三数相连：673，674，675，故B符合题意； 若，则，， ∴673在第85行第1列，故C不符合题意； 若，则，， ∴680在第85行第8列，故D不符合题意． 综上，只有B符合题意． 故选：B． 15．（2025·河北石家庄·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“方程术”记载：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？其大意为：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有50钱．问甲、乙两人各有多少钱？下列选项说法错误的是（   ） A．设乙有x钱，可得方程 B．甲有钱，乙有25钱 C．设甲有x钱，则乙有钱 D．设甲有x钱，乙有y钱，可得方程组 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据各选项设定的未知数，再确定相等关系求解，其中B选项可进行检验作答即可. 【详解】解：选项A：设乙有钱，则甲的钱为， 乙得到甲的三分之二钱后总钱数为，方程成立，故A正确； 选项B：甲有钱，乙有25钱， 验证条件一：；条件二：，均成立，故B正确， 选项C：设甲有钱，则乙的钱应为，而非，表达式错误，故C错误； 选项D：设甲有钱，乙有钱， 结合题意可得：甲得到乙的一半钱后共有50钱，即①， 乙得到甲的三分之二钱后共有50钱，即②， ∴方程组为，故D正确； 故选：C 16．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，整理出代数式进行分析即可； （2）根据题意，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 得到的新的两位数为， ，且为整数， 这个新的两位数能被9整除； （2）解：由题意， 得， 解得． 17．（2025·河北唐山·二模）某校举行跳远能力竞赛，比赛场地从起跳线由近及远共三个得分区域，每个区域对应的分数如图所示，每位选手跳远5次，5次成绩的和为该选手的最终成绩，两位参赛选手的跳远情况如下图. (1)求嘉嘉5次跳远的最终成绩. (2)若淇淇的最终成绩为3分，求x的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法的应用及一元一次方程的应用，正确理解题意，准确计算是解题的关键. （1）根据题意把5次跳远的成绩相加即可求解； （2）根据题意列出关于的方程，解方程即可求解. 【详解】（1）解：， 故嘉嘉五次跳远的最终成绩为分. （2）解：由题意，得， 解得， 即的值为3. 18．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．    【答案】99 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设重叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 19．（2025·河北邯郸·二模）为推广垃圾分类，某社区设置智能回收箱，居民投放可回收物后，设备自动称重并计算积分．已知1千克塑料可兑换8积分，1千克废纸可兑换12积分．嘉嘉投放了千克塑料和千克废纸，淇淇的塑料投放量是嘉嘉的2倍，废纸投放量比嘉嘉少3千克． (1)用含的式子分别表示嘉嘉和淇淇的积分； (2)淇淇的积分能否是嘉嘉的2倍？请说明理由． 【答案】(1)嘉嘉：，淇淇： (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，正确读懂题意是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）若淇淇的积分是嘉嘉的2倍，则，整理求解出，不符合实际，即可说明． 【详解】（1）解：嘉嘉的积分为， 淇淇的积分为． （2）解：不能．理由如下： 若淇淇的积分是嘉嘉的2倍，则， 去括号，得， 整理，得， 解得，不符合实际， 淇淇的积分不能是嘉嘉的2倍． 20．（2025·河北·模拟预测）甲、乙两人输入相间的值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所得结果大者胜出． (1)当甲得到的计算结果为时，求的值以及乙的计算结果； (2)若甲胜出，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式，代数式求值，根据题意列出方程或不等式是解题的关键； （1）根据运算程序列出方程，得出的值，进而代入乙的运算程序进行计算即可求解； （2）根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 解得： 乙的计算结果为： （2）解：依题意， ∴ ∴ 解得：． 考点三、解二元一次方程组 易｜混｜易｜错 消元方法选择不当导致计算复杂；代入消元时，代入的代数式未加括号；加减消元时符号出错。 21．（2025·河北沧州·模拟预测）若，则用含有y的代数式表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代入消元法，先根据，得，整理得，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 22．（2023·河北沧州·一模）已知方程组的解是一对正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由加减消元法求出方程组的解，即可求出的取值范围； （2）由绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴原方程组可得：， ∵因为方程组的解为一对正数， ∴， ∴； ∴的取值范围为：； （2）解：由（1）可知，， ∴，， ∴ ； 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，绝对值的化简，解题的关键是掌握加减消元法解方程组． 23．（2025·河北沧州·一模）已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是用整体法，把两式相加直接得出结论． 把方程组的两个方程相加得到，进而即可求得． 【详解】解：， 由， 可得， 解得，， ， 故选：A． 24．（2025·河北邢台·三模）甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的相关应用，根据题意列出方程组，整理和解方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意，可列方程组为． 得， 化简得， 解得， 故选：D． 25．（2024·河北·一模）甲乙两人在解方程组时，有如下讨论：甲：我要消掉，所以；乙：我要消掉，所以．则下列判断正确的是（    ） A．甲乙方法都可行 B．甲乙方法都不可行 C．甲方法可行，乙方法不可行 D．甲方法不可行，乙方法可行 【答案】A 【分析】本题考查加减消元法，根据消掉哪个未知数，就让哪两个未知数的系数的绝对值相等，进行判断即可． 【详解】解：得：；消去了； ，得：；消去了； 故甲，乙的方法都可行； 故选A． 26．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为 ； 【答案】1 【分析】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得：， 故答案为：1． 27．（2023·河北邢台·二模）已知二元一次方程组： (1)请把方程②写成用的代数式表示 . (2)这个方程组的解是 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把方程②移项即可； （2）用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解：把方程②移项得：， （2）解：得： 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． 28．（2023·河北邯郸·一模）小张老师在数学课上拿着A，B，C三张硬纸片，上面分别标着a，b，c三个数字．已知，且三个数字各不相同． (1)若小刚翻开纸片B，发现该数字为0，求代数式的值． (2)当时，求这三个数字组成的最大三位数． 【答案】(1)23 (2)410 【分析】（1）先根据可得，再根据整式的加减、完全平方公式化简所求代数式，然后代入求值即可得； （2）根据分、和三种情况，再分别求出a、b、c的值即可得． 【详解】（1）解：∵纸片表示的数是0， ∴，即， ∴， ， ， 将代入得：原式； （2）解：∵，且三个数字各不相同， ∴三个数中必有一个为0， ①当时， ∵， ∴（不合题意，舍去）； ②当时， ∵，， ∴， 解得； ③当时， ∵，， ∴，； 综上所述，它们组成的最大三位数是410． 【点睛】本题考查了代数式化简求值、完全平方公式、二元一次方程组的应用，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键． 29．（2025·河北廊坊·一模）密码学是研究信息加密与安全传输的学科，其核心思想是通过数字变换将原始信息（明文）转化为难以破译的形式（密文）．嘉嘉受此启发，他的加密方法如下：利用两个字母和的不同运算表示其中的部分有理数，形成两个密匙，密匙：，，；密匙：，，，其中每个密匙表示的是个互不相等的有理数，且密匙，都表示的是个相同的有理数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，根据题意分若，有或和若，有或两种情况分析求出，然后检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵密匙，都表示的是个相同的有理数， ∴（）若，有或， 当时，，不符合题意； 当时，则，所以， ∴密匙，的三个数为，，， （）若，有或， 当时，则，，不符合题意； 当时，则，，不符合题意； 综上可知：，， ∴； 故选：． 30．（2023·河北沧州·三模）定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数． 例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数． （1）有理数1 “希尔伯特”数（填“是”或“不是”）； （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数． ①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为 ； ②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是 ． 【答案】 是 / 67 【分析】（1）根据“希尔伯特”数的定义即可判断； （2）①由题意可得：这个“H希尔伯特”数是，展开化简即得答案； ②由①可设这两个“H希尔伯特”数为，根据两个“H希尔伯特”数的差是48构建关于m、n的方程，求方程的正整数解即可得. 【详解】解：（1）由于数1能表示成的形式， ∴1是“希尔伯特”数； 故答案为：是； （2）①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），则另一个奇数是， ∴这个“H希尔伯特”数是； 故答案为：； ②由①可设这两个“H希尔伯特”数为且m、n是正整数， 根据题意可得， ∴，即， ∵m、n是正整数， ∴满足题意的正整数m、n是； 则这两个“H希尔伯特”数中较大的是； 故答案为67. 【点睛】本题是阅读理解题型，正确理解题意、弄清“希尔伯特”数与“H希尔伯特”数的定义是解题的关键. 考点四、二元一次方程方程组的实际应用 易｜混｜易｜错 无法从复杂情境中提取两个等量关系；方程与实际问题匹配错误；忽略解的合理性（如人数为正整数）。 31．（2025·河北邯郸·三模）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（　　） A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可得 B．设有x名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有12个盘子 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或一元一次方程）是解题的关键． 根据题意可列出二元一次方程组或一元一次方程，然后求解可求出客人数和盘子数，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．设有x名客人，y个盘子， 根据题意可列出方程组，选项A不符合题意； B．设有x名客人， 根据题意可列出方程，选项B符合题意； C．解方程，得：， ∴有30名客人，选项C不符合题意； D．∵， ∴（个）， ∴有13个盘子，选项D不符合题意． 故选：B． 32．（2025·河北邯郸·三模）为了方便业主为新能源汽车充电，某小区要建设一批充电桩．已知新建2个地上充电桩和3个地下充电桩需要1.3万元，新建3个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.9万元． (1)求新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元； (2)若该小区计划用不超过13.3万元的资金新建50个充电桩，且地上充电桩的数量不超过20个，求共有哪几种建造方案． 【答案】(1)新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元 (2)一共有4种方案，分别为： 方案①：新建17个地上充电桩，33个地下充电桩； 方案②：新建18个地上充电桩，32个地下充电桩； 方案③：新建19个地上充电桩，31个地下充电桩； 方案④：新建20个地上充电桩，30个地下充电桩． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用. （1）设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元，根据题意列出方程组计算即可； （2）设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩个，根据题意列出不等式求出，再根据求出所有情况即可. 【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元， 依题意得 解得 答：新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元； （2）解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩个， 由题意得， 解得． 又， 整数的值可以为17，18，19，20， 一共有4种方案，分别为： 方案①：新建17个地上充电桩，33个地下充电桩； 方案②：新建18个地上充电桩，32个地下充电桩； 方案③：新建19个地上充电桩，31个地下充电桩； 方案④：新建20个地上充电桩，30个地下充电桩． 33．（2025·河北沧州·三模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，列出方程组即可． 【详解】解：设有客房x间，客人y人，由题意，得：； 故选D． 34．（2025·河北·模拟预测）红星中学假期组织了“研学活动”，共有48名同学参加，______． 条件1：男生比女生多1人； 条件2：男生人数比女生人数的2倍少3人． 从上述两个条件中选取一个，添加到横线处，能确定男生和女生人数的是（   ） A．条件1 B．条件2 C．两个条件都可以 D．两个条件均不能确定 【答案】B 【分析】设女生x人，男生有y人，根据题意列方程组，计算解答即可． 此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出关系式是解题关键． 【详解】解：设女生x人，男生有y人， 若选择条件1： 由题意得方程组：， 解得，由于人数必须为整数，无解，故条件1无法确定具体人数． 若选择条件2： 由题意得方程组：， 解得，， 符合要求且均为整数，故条件2可以确定男生和女生人数． 故选：B． 35．（2025·河北秦皇岛·一模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名的数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？下列说法错误的是（   ） A．设鸡有x只，所列方程为 B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为 C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔． D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出46只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡． 【答案】A 【分析】该题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，根据题意解答即可． 【详解】解：A．设鸡有x只，则兔有只， 则所列方程为，故该选项错误，符合题意； B．设鸡有x只，兔有y只，所列方程组为，故该选项正确，不符合题意； C．假设每只动物抬起2只脚，则剩余脚数为只，此时鸡无脚站立，剩余均为兔脚，每只兔剩2只脚，故有12只兔，故该选项正确，不符合题意； D．假设所有动物均为兔，则应有只脚，但实际有94只脚，少出只脚；每只鸡少2只脚，所以有23只鸡，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 36．（2025·河北唐山·一模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．”其可译为：“有5只麻雀、6只燕子，分别在衡上称量之，麻雀在一起重，燕子在一起轻．将1只麻雀、1只燕子交换，衡恰好平衡．麻雀与燕子合起来共重1斤（1斤等于16两）．”设雀、燕每只各重x、y两，则下列说法错误的是（   ） A．依题意 B．依题意 C．依题意 D．一只燕的重量是两 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．根据将一只雀一只燕交换位置而放，天平恰好平衡，5只雀、6只燕重量共16两，列出方程组即可，求解即可． 【详解】解：设1只雀重x两，一只燕重y两， 由题意，得：，，． 解得，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 37．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式与几何图形表示，数形结合得到，求解即可得到，代入代数式求解即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题图-1可知， ， 题图-1中大正方形的边长减少1个单位， 题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则， ， ， ， 综上所述，， 解得， ， 故答案为：． 38．（2025·河北石家庄·模拟预测）欧欧准备到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”一次性出售，嘉嘉和淇淇分别给出价格： (1)根据对话内容，求欧欧制作的竹篮和陶罐数量各是多少？ (2)欧欧接受了淇淇的报价，交易后到花店购买单价为6元／束的鲜花看望老人，剩余的钱还要为自己购买一支钢笔．若一支钢笔的价格最低15元，请你求出欧欧最多可以购买几束鲜花？ 【答案】(1)欧欧制作竹篮5个，陶罐4个 (2)欧欧最多可以购买9束鲜花 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设欧欧制作竹篮x个，陶罐y个，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设欧欧可以购买m束鲜花，利用总价=单价×数量，结合一支钢笔的价格最低15元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设欧欧制作竹篮个，陶罐个，依题意得： 解之，得 答：欧欧制作竹篮5个，陶罐4个． （2）解：设购买鲜花束，依题意得 解之，得． 又为整数， 最大可取9． 答：欧欧最多可以购买9束鲜花． 39．（2024·河北·模拟预测）已知嘉嘉购买了红、绿、蓝三种颜色的筷子各只，将红、绿、蓝三种颜色的筷子分别放入甲、乙、丙桶中． （1）若嘉嘉从甲桶拿出4只筷子放入乙桶中，此时乙桶中的筷子数量是甲桶筷子数量的2倍，则m的值为 ； （2）若嘉嘉从甲、丙桶分别拿出只红、蓝筷子放入乙桶中，接下来，从乙桶拿出只筷子放入甲桶中，其中有只绿色筷子，此时乙桶中绿色筷子的数量与剩余红色、蓝色筷子的数量和相等，则的值为 ． 【答案】 6 2 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，以及二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意． （1）根据题意得出甲桶中有只筷子，乙桶中有只筷子．再根据乙桶中的筷子数量是甲桶筷子数量的2倍，列出方程求解即可； （2）根据题意得出两次拿放后每个桶中筷子数目情况，再列等式即可求解； 【详解】解：（1）∵甲、乙桶中分别有只筷子，嘉嘉从甲桶拿出4只筷子放甲乙桶中， ∴甲桶中有只筷子，乙桶中有只筷子． ∵乙桶中的筷子数量是甲桶筷子数量的2倍， ∴， 解得：； （2）甲、乙、丙桶初始状态和第一次拿放后每个桶中筷子数目情况列表如下： 甲 乙 丙 初始状态 红 绿 蓝 第一次 红 绿红蓝 蓝 第二次：从乙桶拿出只筷子放入甲桶中，其中有只绿色筷子， 则此时乙桶中有只绿色筷子，拿出的筷子中蓝色和红色筷子共只， 则乙桶中红色和蓝色筷子剩余只， ∵乙桶中绿色筷子的数量与剩余红色、蓝色筷子的数量和相等， ∴， 即， ． 40．（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组与三元一次方程组的应用，设型小组数为，型为，型为，根据题意可得，，得出，即可判断①；设硬件工程师总数为，软件工程师为，根据100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，得出硬件工程师有人，根据组建型号的研发小组个数分别为2，2，4，需要硬件工程师人，进而即可判断②，即可求解． 【详解】解：①每个小组的工程师需求： 型：人 型：人 型：人 设型小组数为，型为，型为． 根据条件：①；， ， ② 由①得：，代入②： 解得： ∴，且 ， ， 所以 ， 或 ， （不满足 ）等， 唯一解是 ， ． 因此，型小组数为个，结论①正确； ②设硬件工程师总数为，软件工程师为，依题意， ： 解得：， 设型小组数为，型为，型为． 当组建型号的研发小组个数分别为2，2，4时， 需要硬件工程师人数为：，故②正确 故选：D． 考点五、一元二次方程的解法 易｜混｜易｜错 未先将方程化为一般形式；公式法求根前未计算判别式；因式分解法忽略右边为零；配方时配方错误。 41．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 42．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 43．（2025·河北邯郸·三模）已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对A、C选项进行判断；然后根据根与系数的关系对B、D选项进行判断． 【详解】解：方程化为一般式为， ， 方程有两个不相等的实数根，所以A选项、C选项的说法错误； 设方程的两根为、， 根据根与系数的关系得， 即方程的两根之和为4，所以B选项的说法错误，D选项的说法正确． 故选：D． 44．（2025·河北邯郸·三模）已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（　　） A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为，则另一个根为 C．两根之积为 D．两根之和为 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系。根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系． 先把二次项系数化为正系数，计算根的判别式的值，结合根与系数的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴选项的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之积为， ∴若方程有一个根为，则另一个根为， ∴选项、选项的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之和为， ∴选项的说法不正确，符合题意， 故选：． 45．（2025·河北唐山·三模）A，B是数轴上不同的两点，其表示的数分别为，．若，两点到原点的距离相等．则的值为（   ） A．-2 B．0 C．2 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，解一元二次方程，由相反数的定义得，解方程，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，， A，B是数轴上不同的两点， ， ， 故选：C． 46．（2025·河北邯郸·三模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出这个根，求出所求即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， 故选：C 47．（2025·河北邯郸·二模）已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系．分别根据一元二次方程的解，一元二次方程解的判别式，一元二次方程的解与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：是方程的解， ， ，故A错误； 由题意得，该方程有两个实数根， ， ∴，故B错误； 的两个解为，， ， ，故C正确，D错误． 故选：C． 48．（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示： 习题1 习题2 …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 即第四步 (1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程． 【答案】(1)习题1从第一步开始出现错误；习题2从第二步开始出现错误； (2)见解析． 【分析】此题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是关键． （1）根据解方程的步骤进行判断即可； （2）按照正确的步骤和方法解方程即可． 【详解】（1）解：习题1去分母时常数项没有乘以分母的最小公倍数，即从第一步开始出现错误；习题2常数项判断错误，即从第二步开始出现错误； （2） …………第一步 …第二步 …………．第三步 ……………．第四步 整理，得……………第一步 ∵，…………第二步 ，…第三步 ∴方程有两个不相等的实数根， 则 即第四步． 49．（2025·河北邯郸·三模）嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程解的含义，根的判别式，根与系数的关系，根据嘉嘉抄错k的正负号后得到错误方程，代入已知根求出错误k值，进而确定原方程的系数，计算判别式判断结论一，利用根与系数关系验证结论二. 【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为，代入根得： ， 解得：， 因此，原方程为， ∴，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 根据根与系数关系，两根之和为，但结论二写为，符号错误，故结论二不正确； 综上，结论一正确、结论二不正确， 故选A 50．（2025·河北邢台·模拟预测）数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． (1)嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； (2)淇淇说“若输入，输出的多项式为0时，n有两个不同的值”，你同意淇淇的说法吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)同意；理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握题目所给运算式的运算顺序． （1）把代入题目所给运算式进行计算即可； （2）根据题目所给运算式，得出方程，然后利用一元二次方程根的判别式，即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉在电脑屏幕上输入， 输出的多项式为； （2）同意淇淇的说法，理由如下： 若输入，输出的多项式为0， 则， ， 关于n的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即n有两个不同的值． 考点六、一元二次方程的实际应用 易｜混｜易｜错 增长率问题混淆“增长到”与“增长了”；几何面积问题忽略实际边长>0的隐含条件；利润问题中销量与价格关系理解错误。 51．（2025·河北邯郸·三模）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（    ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，一元二次方程的应用，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，， 解得，， 又因为n为正整数，所以， 即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故选：D． 52．（2025·河北邯郸·二模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘（取1.4）．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，有下列说法： 甲：可列方程；            乙：可列方程； 丙：每天“遗忘”的百分比约为；    丁：每天“遗忘”的百分比约为． 其中正确的是（    ） A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丙 D．乙、丁 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的应用，解方程，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，解方程，熟练掌握增长率，解方程是解题的关键． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x，则第一天后剩余知识为，第二天后剩余知识为， 根据题意，得， 故， 又， 故， 解得，即每天遗忘约30%， 故甲，丙正确，乙，丁错误． 故选：A． 53．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图所示的是一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式．现从这三张卡片中进行抽取，规定抽到灰色卡片，就减去上面的整式，抽到白色卡片，就加上上面的整式． (1)已知抽到甲、丙两张卡片，计算结果的值可能是1吗？请判断并说明理由； (2)已知同时抽到甲、乙、丙这三张卡片，若计算结果的值为0，求x的值． 【答案】(1)不可能，理由见详解 (2)或 【分析】本题考查整式的加减运算、一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法，本题属于基础题型． (1) 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，列出方程，然后将方程整理为一般式，再根据根的判别式即可解答； (2)根据题意列出方程，进而解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：不可能，理由： 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1， 由题意可知：， ， ， ， ， ， 该方程没有实数根， 抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1； （2）解：由题意可知， ， ， ， ， 解得：或． 54．（24-25九年级上·广东清远·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 55．（2025·河北·模拟预测）张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（    ） A．20米 B．24米 C．28米 D．32米 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程与几何综合，设现有的篱笆总共长度是米，分别表示出两个矩形的面积，然后列方程求解即可． 【详解】解：设现有的篱笆总共长度是米， ∴把10米长的墙作为所围的矩形的一边，这个矩形的另一边长为，面积为； 设单纯利用篱笆围成的矩形一边长为米，则矩形的另一边长为，面积为， ∴当时，单纯利用篱笆围成的最大矩形面积为， ∴， 解得， 故选：A． 56．（2024·河北邯郸·三模）某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路． （1）若，则草坪总面积为 平方米． （2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 米． 【答案】 30 1 【分析】本题考查全等图形、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和方程． （1）根据题意和图形中的数据，可以用的代数式表示出草坪的面积，然后将的值代入计算即可； （2）根据草坪总面积恰好等于小路总面积，可以得到关于的一元二次方程，从而可以求得此时的路宽． 【详解】解：（1）由图可得， 草坪的总面积是， 当时， ， 即时，草坪总面积为30平方米， 故答案为：30； （2）由图可得， 草坪的总面积是， 路的总面积是， ∵草坪总面积恰好等于小路总面积， ， 解得(舍去)， 即此时的路宽为1米， 故答案为：1． 57．（2025·河北邯郸·三模）如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1)求的值（用含的式子表示）． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据正方形的面积列式求解即可； （2）根据列出关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶ ， ， ， 或2， 又， ． 58．（2024·河北沧州·一模）（1）计算： （2）九年级某班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他名同学，这样全班43名同学恰好都接到了一次通知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查实数的混合运算以及一元二次方程的应用． （1）原式分别化简，然后再进行乘法和加减运算即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出方程，然后求解即可． 【详解】 解：（1） ； （2）由题意可得，， 解得（不符合题意，舍去） 即的值是6． 59．（2024·河北石家庄·二模）【观察思考】用同样大小的正方体木块依次堆放成如图1、图2、图3所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去． 【规律总结】 （1）图4有______个正方体； （2）图n有______个正方体（用含n的式子表示）； 【问题解决】 （3）是否存在某个图形，它对应的几何体由496个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）28；（2）；（3）存在，第16个图形 【分析】本题考查了几何体中的规律、列代数式、一元二次方程的应用，正确发现变化规律是解题的关键． （1）观察分析图形，得出答案即可； （2）观察发现规律，得出图n正方体个数，整理得出答案即可； （3）根据“它对应的几何体由496个正方体木块组成”，得出求解即可， 【详解】解：（1）图1所示的实心几何体一共有1个小正方体，即， 图2所示的实心几何体一共有6个小正方体，即， 图3所示的实心几何体一共有15个小正方体，即， 图4所示的实心几何体一共有28个小正方体，即， 故答案为：28； （2）由（1）的规律得，图n正方体个数， 故答案为：； （3）存在， 由题意得，， 即， 解得：或（舍去）， ∴存在某个图形，它对应的几何体由496个正方体木块组成，它是第16个图形． 60．（2024·河北唐山·二模）某校开展劳动实践活动，九（1）班分到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的矩形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形．设长为米，长为y米． (1)用含x的代数式表示y； (2)九（1）班的小明同学说：“矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0.”请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)他的说法正确．理由见详解 【分析】（1）根据长方形的周长公式解答即可； （2）用含的代数式分别表示出矩形的长和宽，根据长方形的面积公式写出其面积表达式；利用作差法判断两个面积的大小即可． 本题考查一元二次方程的应用、矩形和正方形的性质，掌握矩形和正方形的性质及其周长和面积公式、二次函数求最值的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据长方形的周长公式，得，即， 关于的函数表达式为． （2）解：他的说法正确．理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ． 即矩形的面积与矩形的面积的差一定大于0． 考点七、分式方程的解法和应用 易｜混｜易｜错 忘记检验增根是最常见错误；去分母时整数项漏乘最简公分母；应用题中忽略“双检验”（既验根也验题意）。 61．（2023·河北·中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ． x结果代数式 2 n 7 b a 1 【答案】 【分析】把代入得，可求得a的值；把分别代入和，据此求解即可． 【详解】解：当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键． 62．（2025·河北石家庄·三模）如图，数学老师写了一个运算过程，为一个含的代数式．      (1)求（要求化为最简形式）； (2)的值可能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)的值不能等于，理由见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）由题意可得，将除法化为乘法并约分即可； （2）根据（1）中所求列得方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：； （2）解：的值不能等于，理由如下： 若， 去分母得：， 解得：， 当时，，分式无意义， ∴的值不能等于． 63．（2025·河北邢台·三模）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解分式方程，准确的运算是解题的关键．把原方程两边乘以去分母化为整式方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：6． 64．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的． 先化简，再求值． ，其中 解：原式① ． (1)正确化简___________ (2)求图中被污染的的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程等知识，正确进行计算是解题的关键； （1）先通分化简，再把分子相减即可． （2）由题意得分式方程，解分式方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：由题意得：， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解． 即被污染的x的值为5． 65．（2025·河北张家口·模拟预测）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式  …………第一步    …………第二步          …………第三步 习题2：解方程 解：   …………第一步       …………第二步         …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解          …………第四步 (1)习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，一 (2)习题1：；习题2： 【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减法，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的通分判断习题1的第一步；根据分式方程去分母这一步骤判断习题2的第一步； （2）习题1：根据分式的加减法则计算即可；习题2：根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：一、一； 故答案为：一，一； （2）习题1： 解：原式= ， 习题2：解方程 解： ， 检验：当时 是原方程的根． 66．（2025·河北石家庄·二模）已知：分式， (1)计算； (2)利用（1）的结论，解分式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的减法运算和解分式方程． （1）代入分式A、B，先通分计算同分母的减法，再约分即可； （2）结合（1）的结论，根据得，解分式方程并检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 67．（2025·河北邯郸·二模）已知分式． (1)化简分式； (2)若的值为方程的解，求该分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，分式的混合运算． （1）根据分式混合运算法则，先算小括号里面的分式减法，然后再算分式的除法即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解分式方程求出x的值，然后检验，把分式方程的解代入（1）中化简后的分式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：对于方程， 去分母，得， 解得． 检验：把代入，得， 分式方程的解为， 原分式的值为． 68．（2025·河北邯郸·二模）如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： (1)若被污染的部分是一个代数式，求这个代数式； (2)若被污染的部分是常数1，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查的是分式的加减运算，分式方程的解法； （1）由减法的意义可得被污染的部分为，再通分计算即可； （2）结合（1）可得，再解分式方程即可． 【详解】（1）解：这个代数式为： ； （2）解：由（1）得， 去分母，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 的值为4． 69．（2025·河北唐山·二模）根据如图所示的程序，解决下列问题： (1)求（结果需化简）； (2)若输出的的结果为3，求输入的的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式的四则混合计算，正确理解题意求出C的结果是解题的关键． （1）根据题意可得，据此先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）根据（1）所求可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）解：依题意得：， 两边同乘得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴输入的的值为． 70．（2025·河北沧州·模拟预测）嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏，如图，棋盘旁有两个棋盒．甲盒中有3个白子和7个黑子，乙盒中有1个白子和1个黑子． (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后，从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同，求m的值； (2)经过（1）的棋子调整后，用乙盒及棋盒中的棋子做如下游戏，规则：先随机摸出1个棋子，记下颜色后放回，再摸出1个棋子．若摸出两个棋子的颜色相同，则嘉嘉胜；若摸出两个棋子的颜色不同，则淇淇胜．请问该游戏规则公平吗？说明理由． 【答案】(1)1 (2)不公平，见解析 【分析】（1）根据简单地概率公式列出分式方程解答即可； （2）利用列表法，计算各自的概率，比较大小，判定即可． 本题考查了简单地概率公式，列表法求概率，解分式方程，正确选择方法是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 经检验，是这个分式方程的解， 的值为1． （2）解：该游戏规则不公平，理由如下： 经过（1）的棋子调整后，乙盒中有1个白子和2个黑子，列表如下： 后拿先拿 白 白 （白，白） （白，） （白，） （，白） （，） （，） （，白） （，） （，） 共有9种等可能的结果，其中摸出的两个棋子颜色相同的有5种结果，摸出的两个棋子颜色不同的有4种结果， 嘉嘉获胜的概率为，淇淇获胜的概率为， 该游戏规则不公平． 考点八、解一元一次不等式（组） 易｜混｜易｜错 系数为负时，忘记改变不等号方向；去分母时漏乘；在数轴上表示解集时，混淆实心点与空心圈；确定不等式组解集时找错公共部分。 71．（2025·河北邯郸·模拟预测）若，，，则“□”内应填的符号是（    ） A．＞ B．＜ C．≤ D．＝ 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 72．（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是4和5，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， ∵不等式组的整数解是4和5， ， 解得， 故选：D． 73．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 74．（2025·河北邯郸·三模）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后根据不等式组的解集在数轴上表示得到，，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：， ∵在数轴上表示为： ∴， 解得，， ∴ 故选：C． 75．（2025·河北邯郸·三模）不等式的正整数解为 ． 【答案】1 【分析】该题考查了解不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解．先求出不等式的解，再根据不等式的解求出正整数解即可． 【详解】解：， ∴， ∴不等式的解为， ∴该不等式的正整数解为 ， 故答案为：1． 76．（2025·河北沧州·模拟预测）将关于x的不等式组|的解集表示在数轴上图所示，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，根据所给数轴，得出不等式组的解集，据此进行计算即可． 【详解】解：由所给数轴可知，不等式组的解集为：． 由得，； 由得，， 则， 解得． 故答案为：． 77．（2025·河北·一模）对于任意有理数和，定义◐，例如2◐． (1)求◐3的值； (2)若◐，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义有理数的运算和一元一次不等式的求解： （1）根据新定义的计算法则，令即可计算； （2）根据新定义的计算法则，令，然后解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可得，◐； （2）解：由题意可得，◐， 解得． 78．（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【详解】（1）解：按键1次后，，两区显示的结果的和； （2）解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 79．（2024·河北·模拟预测）甲杯和乙杯中分别盛有质量均为克的糖水(杯子足够大)．其中甲杯中含有糖a克(克)，乙杯中含有糖克．现从乙杯盛出克糖水，倒入甲杯并搅拌均匀．嘉嘉给出算式：① ；②a；③；④；⑤下列能反映甲杯的糖水变甜的关系式是（   ）(提示：浓度) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，列不等式，理解题意找到数量关系是解决问题即可．甲杯的糖水变甜，即甲杯混合后的浓度需大于原浓度，分别表示出原浓度和混合后浓度据此解答即可． 【详解】解：原甲杯浓度：， 乙杯浓度：， 从乙杯取克糖水倒入甲杯的糖量：， 混合后甲杯总糖量：， 混合后甲杯总质量：克， 混合后浓度： ， 甲杯变甜的条件：混合后浓度>原浓度， 即． 故选：D． 80．（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数．例如：，，． 请结合上述材料，解决下列问题： (1) ____， _______； (2)若 ，则负整数a的值是______． 【答案】(1)，4 (2) 【分析】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键． （1）由新定义即可求解； （2）首先得，则得不等式，解不等式，即可求得负整数a的值． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 满足条件的负整数为， 故答案为：． 考点九、一元一次不等式（组）的实际应用 易｜混｜易｜错 不能准确将“至少”“不超过”等关键词转化为不等号；列式时忽略隐含条件（如整数解）；设计方案类问题考虑情况不全面。 81．（2025·河北唐山·二模）如图，经了解，植物生长的温度为，而大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，则以下适宜植物长高的最高温度x是（   ） A．15 B．20 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式组的实际应用，根据题意可得，且x越大越好，据此可得答案． 【详解】解：∵大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高， ∴四个选项中适宜植物长高的最高温度x是24， 故选：C． 82．（2025·河北邯郸·模拟预测）王老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下： 游戏规则： 甲同学任报一个有理数传给乙同学； 乙同学把这个数减后报给丙同学； 丙同学把接收到的数的二倍减，报出答案． 根据游戏规则，回答下面的问题： (1)若甲报的数为，则丙报的数是多少； (2)若甲报了一个整数，丙报出的是正数，求甲报的最小整数是多少？ 【答案】(1)； (2)甲报的最小整数是． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式，根据题意列出关于的不等式是解题的关键． （）按照游戏中的规则，将甲报的数为代入，然后依次进行计算即可解答； （）设甲报出的数为，根据运算顺序，列出不等式，解之取最小整数即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：甲报出的数为， 则， ， ∴甲报的最小整数是． 83．（2025·河北石家庄·三模）有一个数学游戏，如图，一个实数从，，三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置例如：将按照或的顺序进行运算，是将数据经过“乘以”的运算得出结果． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； (2)输入一个整数按照的顺序进行运算，发现运算结果不大于则输入数字的最小值为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式，有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式及不等式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）设输入的整数为，根据题意列得不等式为，解不等式并确定的最小整数解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设输入的整数为， 由题意得， 解得：， 则的最小整数解为， 即输入数字的最小值为． 84．（2025·河北·一模）检测游泳池的水质，要求三次检测的平均值不小于7.2．且不大于7.8．已知第一次的检测值为7.2，第二次的检测值为8.1．若该游泳池的水质检测合格，则第三次的检测值可能为 ．（写出一个符合条件的一位小数） 【答案】 【分析】根据算术平均数的定义，不等式组的应用．并结合三次检验的的平均值不小于，且不大于，可得，从而得出答案． 【详解】解：根据题意知， 解得：； 则第三次的检测值可能为； 故答案为：（答案不唯一）． 85．（2025·河北邯郸·模拟预测）某奶茶店推出爆款“杨枝甘露”和“芝士杨梅”，售价如图．嘉嘉和三名同学相约一起去喝． 售价 杨枝甘露    9元 芝士杨梅    12元 (1)若他们总共要了3杯杨枝甘露，1杯芝士杨梅，则一共需要付多少元？ (2)若他们想在不超过42元的基础上，给每人买一杯爆款饮品，则最多可以买几杯芝士杨梅？ 【答案】(1)一共需要付元 (2)最多可以买2杯芝士杨梅 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次不等式的应用； （1）已知两种饮品的单价和购买数量，直接相乘后求和即可； （2）设买杯芝士杨梅，则买杨枝甘露杯，根据题意，列出不等式，求得最大整数解，即可求解． 【详解】（1）解：（元） 答：一共需要付元 （2）解：设买杯芝士杨梅，则买杨枝甘露杯，根据题意得， 解得： ∵为非负整数，则的最大值为 答：最多可以买杯芝士杨梅 86．（2025·河北邯郸·三模）如图，嘉嘉和淇淇做一个数学游戏，嘉嘉任意给出一个实数m，淇淇从圆桶里随机摸出小球，并按摸出小球的先后顺序，把实数m利用小球上标识的运算逐一进行计算． (1)若，淇淇从圆桶里随机摸出小球顺序是A、B、C，请列出算式并计算结果； (2)淇淇从圆桶里随机摸出小球的顺序是B、C、A，运算结果总是非正数，求嘉嘉给出m的取值范围． 【答案】(1)见解析，结果为5 (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）代入，根据有理数的运算法则，进行计算即可； （2）根据运算结果总是非正数，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴嘉嘉给出的取值范围为． 87．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，小强组装了一款遥控车，并在长度为的跑道上试验它在不同速度下的运行情况．从点A出发，先以的速度行进了，接着以的速度行进到终点B，为记录，全程安装了拍摄设备，拍摄设备在与起点A距离处的P点．设遥控车的运动时间为，遥控车与拍摄点的距离为． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求遥控车距离拍摄点时的运动时间； (3)当遥控车从点A出发时，一个机器人从拍摄点出发以的速度向点B行进，并在与点B相距内（不包含，不与点B重合）被遥控车追上；直接写出a的取值范围． 【答案】(1)当时，，当时， (2)或 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用数形结合思想，找准等量关系是关键． （1）根据题意进行分类讨论：当时，当时，然后结合线段间等量关系列式求解； （2）将代入（1）中得出的函数关系式，即可解答； （3）根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）解：将代入， 解得， 将代入，得， 解得， 故遥控车离拍摄点时的运动时间为或； （3）解：由题意可得： 点P与点B之间的距离为：， 遥控车走到点B所需时间为：， ， 解得， 的取值范围为． 88．（2025·河北邢台·三模）如图，利用计算机小程序做数学游戏： 第一步，点击“数字小助手”随机生成一个整数； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出两张不同的运算卡片； 第三步，对第一步中生成的整数，按照第二步中弹出的卡片内容依次进行计算． 例如：第一步，点击“数字小助手”生成整数3； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出卡片和； 第三步，计算． (1)若第一步中生成的整数为5，第二步中弹出的卡片依次为和，请完成第三步的计算； (2)若第一步中生成的整数为，第二步中弹出的卡片依次为和，第三步的计算结果是一个正数，求的最小整数值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数运算、解不等式．核心素养表现为运算能力和推理能力． （1）根据程序列式计算即可； （2）根据程序得到，求出，得到的最小整数值为． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意，得， ， 的最小整数值为． 89．（2025·河北保定·二模）电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗条，则正确的是（　　） A．数量多的狗群每个群有狗条 B．依题意 C．有最小值，但没有最大值 D．是正确解，但不是唯一解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理清狗群数量多的一方与狗群数量少的一方存在的数量关系． 设数量少的狗群中有狗条，则狗群数量多的那个群为条，且狗群数量都是奇数，据此逐一分析判断即可． 【详解】A、设数量少的狗群中有狗条，则狗群数量多的每个群为条，此选项错误； B、依题意应该是：，此选项错误； C、依题意得(x为奇数)，解得：(x为奇数)，故x的最小值为1，x的最大值为73．此选项错误； D、由C可知，(x为奇数)，故是正确解，但不是唯一解，符合题意，故此选项正确． 故选：D． 90．（2025·河北唐山·二模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一出水口，利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度” 现有两个水杯容量相同的智能空水杯． (1)王老师先拿了其中一个智能空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯的水温为． ①王老师的水杯容量是为________； ②求此时杯中的水温（不计热损失）； (2)嘉琪拿了另外一个智能空水杯，先接了x秒温水，又接了一会儿开水，接满杯中水．智能杯盖显示此时杯中温度为，请你求出t与x的函数关系式，直接写出x至多为几秒时，才能使杯中温度不低于（x为正整数） 【答案】(1)①250； (2)；x至多7秒时，温度不低于 【分析】（1）王老师先拿了其中一个智能空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯的水温为． ①根据题意，王老师的水杯容量是为，解答即可； ②根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，智能空水杯的容量为，温水的容量为，开水的容量为，根据题意，得，整理即可得到t与x的函数关系式，根据杯中温度不低于建立不等式，求整数解即可． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握解方程，解不等式是解题的关键． 【详解】（1）（1）①解：根据题意，王老师的水杯容量是为， 故答案为：250； ②解：根据题意，得， 解得． 答：此时杯中的水温为． （2）解：根据题意，智能空水杯的容量为，温水的容量为，开水的容量为， 根据题意，得， 整理得； 由杯中温度不低于，得， 解不等式，得， 又是整数， 故 故至多7秒． 试卷第66页，共71页 1 / 71 学科网（北京）股份有限公司 $