专题02 圆与方程（14大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

专题02 圆与方程 【苏教版】 【知识清单1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【知识清单2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【知识清单3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【知识清单4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【知识清单5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【知识清单6 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【知识清单7 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【知识清单8 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【知识清单9 圆与圆的位置关系及判定】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【知识清单10 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【知识清单11 两圆的公共弦】 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【题型1 求圆的方程】 【例1】（25-26高二上·江苏·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【解答过程】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 【变式1.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求得直径，即可得答案. 【解答过程】由中点坐标公式得：圆心， 直径，即半径为， 故以为直径的圆的标准方程为. 故选：C. 【变式1.2】（25-26高二上·贵州·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【解答过程】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为. 故选：A. 【变式1.3】（25-26高二上·湖北·月考）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用配方法，结合点关于直线对称的性质进行求解即可. 【解答过程】， 因此圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为， 因为圆心和圆心关于直线对称， 所以有，即圆的圆心坐标为， 因为圆和圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等， 所以圆的方程为， 故选：B. 【题型2 由圆的方程确定圆心和半径】 【例2】（25-26高二上·江西上饶·月考）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程求解即可. 【解答过程】将对分别配方得 故圆的圆心为. 故选：C. 【变式2.1】（25-26高二上·广东广州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】将圆的方程化为标准方程，可得答案. 【解答过程】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 【变式2.2】（25-26高二上·青海·月考）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据圆的标准方程的性质得出圆心和半径． 【解答过程】圆的标准方程为， 圆心为，半径的平方，故半径，故C正确． 故选：C． 【变式2.3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 已知圆过，，三点，将这三点分别代入圆的标准方程，得到三个方程，联立求解就可以得到圆心坐标和半径. 【解答过程】设圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 将，代入，得到， 展开整理可得，. 三个式子联立解得，，，. 则所以圆心坐标为，半径为. 故选：D. 【题型3 二元二次方程表示圆的条件】 【例3】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【解答过程】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 【变式3.1】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断． 【解答过程】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意； 对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意； 对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意； 对于D，，，不表示圆，故D不符合题意． 故选：A． 【变式3.2】（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【答案】A 【解题思路】根据圆的一般方程特征列出关系式求解后，再代回检验即可. 【解答过程】若曲线表示圆，则，解得或. 检验： 若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去； 若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留. 故选：A. 【变式3.3】（25-26高二上·重庆·月考）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简为圆的标准方程，再根据半径平方大于零即可求解． 【解答过程】将方程配方，得， 因为方程表示圆，所以半径的平方，解得，即的取值范围是． 故选：D． 【题型4 轨迹问题——圆】 【例4】（25-26高二上·重庆·月考）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，，根据线段的中点坐标得到与和与的关系式，再代入圆的方程即可求得结果. 【解答过程】设，，则线段的中点坐标为， 即，所以. 因为点在圆上，所以满足. 化简得. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·天津静海·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【解答过程】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则， 则点轨迹方程为. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【解答过程】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆的切线与过切点的圆的半径垂直，得到点满足的条件，用坐标表示可得点的轨迹方程. 【解答过程】如图： 圆表示以为圆心，1为半径的圆. 由题意，且，所以. 所以点在以，半径为的圆上， 所以点的轨迹方程是． 故选：A. 【题型5 直线与圆的位置关系】 【例5】（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解题思路】先确定直线过定点，再根据点与圆的位置关系进行判断. 【解答过程】因为直线： ， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【解题思路】根据直线方程，可知其过定点，求出圆C的圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点在圆的内部，分析即可得答案. 【解答过程】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，所以直线与圆相交. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于圆的半径，列方程求. 【解答过程】方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径， 因为直线:与圆:相切， 所以点到直线的距离， 所以， 解得，或， 故选：A. 【变式5-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将圆的一般式方程整理为标准方程，确定其圆心及半径，使圆心到直线的距离小于半径即可. 【解答过程】圆的方程可整理为：， 因此圆心，半径. 因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离， 得，即. 故选：C. 【题型6 直线与部分圆的相交问题】 【例6】（25-26高二上·辽宁·月考）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【解答过程】因为，可知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·广西河池·月考）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，作出图象，利用直线与半圆有两个交点求出b的取值范围. 【解答过程】是斜率为1的直线， 曲线即，是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图， 当直线与圆相切时，，解得，或（舍去）， 当直线过时，，直线与半圆有两个公共点； 由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·江西南昌·月考）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【解答过程】由可得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高二上·河北·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出直线的定点，然后结合图像，确定临界条件，进而求出结果. 【解答过程】直线可转化为，所以直线过定点，斜率为， 又曲线可转化为：，. 画出直线与曲线图象如图所示. 数形结合可得直线在，处产生临界条件， 设直线，的斜率分别为，. 点，则，设直线的方程为， 即，圆心到直线的距离为，解得， 所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则. 故选：D. 【题型7 到直线距离定值的圆上点个数问题】 【例7】（25-26高二上·安徽·月考）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，确定圆心到直线的距离的取值范围，根据点到直线的距离公式及不等式的性质，求得的取值范围. 【解答过程】由题意，圆的圆心为，半径， 圆心到直线，即的距离， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 得，即， 解得或． 故选：C． 【变式7-1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【解答过程】圆的圆心是，半径， 而圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】圆上恰有三个点到直线的距离都等于1且半径为2，则圆心到直线的距离求解即可. 【解答过程】圆心，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1， 所以圆心到直线的距离为，解得; 故选：B. 【变式7-3】（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求得圆心到直线的距离为，结合题意，得到，进而求得的取值范围，得到答案. 【解答过程】由圆，可化为， 则圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 要使得圆上至少有3个点到直线的距离为3，则满足， 即，可得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 【题型8 圆的弦长与中点弦问题】 【例8】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）若直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据圆的弦长的求法求得正确答案. 【解答过程】由，得， 则圆的圆心到直线的距离为， 则． 故选：A. 【变式8.1】（25-26高二上·浙江丽水·期中）若直线被圆截得的弦长为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆的弦长公式和点到直线的距离公式求出结果. 【解答过程】圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离为. 因为圆的弦长为，所以根据勾股定理得，解得. 故选：A. 【变式8.2】（25-26高二上·云南玉溪·月考）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【解题思路】由圆的方程写出圆心及半径，求圆心到直线的距离，然后由垂径定理求得弦长. 【解答过程】圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：B. 【变式8.3】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】由直线斜率存在和不存在结合弦长公式即可求解. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心，半径. 当的斜率不存在时，，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为， 由，解得，此时的方程为. 综上，直线的方程为或. 故选：C. 【题型9 求圆的切线方程、切线长】 【例9】（25-26高二上·河北石家庄·月考）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用圆心与切点连线和切线垂直可求出切线斜率，再根据点斜式可得答案. 【解答过程】，由切线与直线垂直， 得：，得：， 又因为切线经过， 所以切线的方程为：， 即. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值. 【解答过程】设切点为，连接、，则， 易知圆心为，圆的半径为， 由勾股定理可得 ， 当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为. 故选：D. 【变式9-2】（24-25高三上·云南曲靖·月考）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果. 【解答过程】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 【变式9-3】（25-26高二上·重庆荣昌·月考）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆 相切的直线方程是或. 故选：D. 【题型10 直线与圆中的面积问题】 【例10】（25-26高二上·江苏·期末）已知圆，直线与交于两点，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【解答过程】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得， 所以的面积为. 故选：B. 【变式10-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线恒过定点，点为圆上的动点，为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A．10 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】首先求出直线过定点的坐标，再求出圆心坐标与半径，求出及直线的方程，再求出圆心到直线的距离，从而求出点到直线距离的最大值，从而得解. 【解答过程】由，整理为， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 如图， 则，直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离， 所以面积的最大值为. 故选：D. 【变式10-2】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点M，N，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆心为，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径可列方程求解a，从而求得圆心与半径，即可写出圆的方程； （2）设圆心到直线的距离为，利用勾股定理用d表示出进而将整理为关于d的函数，再根据d的范围及二次函数的性质求出的取值范围. 【解答过程】（1）因为圆心在直线上，设圆心为. 则点到直线的距离，由题意，， 所以，化简得，解得. 所以圆心为，半径， 所以圆的方程是. （2）设圆心到直线的距离为，则，即. 因为直线与圆交于两点，所以. 所以， 因为，则，所以. 所以的面积的取值范围为. 【变式10-3】（25-26高二上·安徽·月考）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)或； (2)四边形面积的最小值为， 【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【解答过程】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.    【题型11 直线与圆有关的最值问题】 【例11】（25-26高二上·河北衡水·期中）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．-1 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值. 【解答过程】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：，    观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故选：C. 【变式11-1】（25-26高二上·广东广州·期中）已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用圆的性质及直线与圆的位置关系，得出目标表达式与两圆的关系式，再求出关于直线的对称点，再结合两点间线段最短求出的最小值． 【解答过程】    的圆心为，半径，的圆心为，半径，分别是圆上的动点， ，故， 设点关于直线的对称点为，则垂直于直线 且的中点在直线上， 即，解得， ， 两点之间线段最短，的最小值为， ， 的最小值为，故D正确． 故选：D． 【变式11-2】（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【解答过程】（1）因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （3）设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为    【变式11-3】（24-25高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)7 【解题思路】（1）根据动点与点的距离是它与原点的距离的2倍，由化简求解； （2）设，代入，得到，利用判别式求解； （3）当AB和CD的斜率都存在和AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0，设直线AB方程为：，分别求得弦长AB和CD，再由四边形ACBD的面积为求解. 【解答过程】（1）因为动点与点的距离是它与原点的距离的2倍， 所以， 即， ； （2）设，则，代入， 得， 由，得， 解得，即， 所以的最小值为； （3）当AB和CD的斜率都存在时，设直线AB方程为：， 则直线CD的方程为：， 已知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 则圆心到直线的距离为， 所以，同理， 所以四边形ACBD的面积为：， ； 当AB和CD两直线中有一条没有斜率，另一条的斜率为0， 此时 ， 所以四边形ACBD的面积为， 当，即时，四边形ACBD的面积的最大值是7. 【题型12 圆与圆的位置关系】 【例12】（25-26高二上·江苏·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解题思路】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【解答过程】由题可得：,,,, 所以， 所以，故这两个圆的位置关系为相交； 故选：C. 【变式12-1】（25-26高二上·福建厦门·月考）若圆与圆外切，则m=（ ） A．14 B．28 C．9 D． 【答案】A 【解题思路】分别求出两圆的圆心坐标和半径，，由两圆外切，可得，代入数据，即可得答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 所以，解得. 故选：A. 【变式12-2】（25-26高二上·广西·月考）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】D 【解题思路】求出两圆的圆心距，再与两圆半径和差进行比较即可判断作答. 【解答过程】把圆的方程化成标准方程，得， 则圆的圆心是，半径. 把圆的方程化成标准方程，得， 则圆的圆心是，半径. 圆与圆的圆心距为. 圆与圆的两半径之和，两半径之差， 因为，即，所以圆与圆相交. 故选：D. 【变式12-3】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知圆与圆相交，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两圆相交的判断方法得到不等式组，解出即可. 【解答过程】由题知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，． 若圆和圆相交，则，解得或． 故选：C． 【题型13 两圆的公共弦问题】 【例13】（25-26高二上·云南曲靖·月考）圆与圆的公共弦长为（   ） A．2 B． C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【解答过程】由，可得圆心的坐标为，半径， 由，可得圆心的坐标为，半径， 故，故圆与圆相交， 两圆方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为． 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：A. 【变式13-1】（25-26高二上·辽宁·月考）圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，化简圆的方程为一般式方程，两圆的方程相减，即可求解. 【解答过程】由圆的方程，可化为， 联立方程组，两圆的方程相减，可得， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为. 故选：A. 【变式13-2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆，则 (1)求圆与圆的公共弦的长； (2)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）联立圆的方程得出公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式求出圆到直线的距离，再利用弦长公式求解； （2）利用圆过圆交点设圆系方程，再利用该圆过交点求解． 【解答过程】（1） 联立圆方程圆得两圆公共弦所在直线方程为， 圆到直线的距离为，又圆的半径， 两圆的公共弦长为． （2）设经过圆与圆交点的圆系方程为， 该圆系经过点， ，解得， 该圆方程为，即． 【变式13-3】（25-26高二上·辽宁·期中）已知两圆和.求： (1)取何值时，两圆相内切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 【答案】(1)； (2)公共弦所在直线方程为，公共弦长为. 【解题思路】（1）求出两圆的圆心，半径，圆心距，可得若两圆内切，只能是，带入半径求解即可； （2）两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦的距离，再由弦长公式求弦长即可. 【解答过程】（1）设圆：，可化为， 则圆心，半径， 设圆：，可化为， 则圆心，， 由于圆心距，， 则要使得两圆内切，需，即，解得. （2）当时， 圆：， 两圆的方程相减，可得，即， 则两圆的公共弦方程为. 则圆心到公共弦的距离为， 由弦长公式，可得弦长为. 【题型14 两圆的公切线问题】 【例14】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：C. 【变式14-1】（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据两圆圆心距离与半径的关系可判断两圆位置关系，进而可得公切线条数. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为内切，所以公切线的条数为， 故选：B. 【变式14-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【解题思路】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【解答过程】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为 ，即． 【变式14-3】（24-25高二上·陕西西安·月考）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．,1 B．,1 C．, D．, 【答案】B 【解题思路】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【解答过程】将圆的一般式方程转化为标准方程， 可得， 所以该圆圆心为，半径为1. 故选：B. 2．（25-26高二上·广西河池·月考）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将方程转化成圆的标准方程结构即可求解. 【解答过程】由， 得， 解得.即m的取值范围是. 故选：D. 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【答案】C 【解题思路】根据点与圆的位置关系得出，再利用的关系判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】因点在圆内，则， 则点到直线的距离， 则直线与圆相离. 故选：C. 4．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【解答过程】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 5．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立平面直角坐标系，求出圆的一般方程，求其半径长即可. 【解答过程】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知、、， 设圆弧所在圆的方程为， 将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为， 故该圆的半径为. 故选：C. 6．（25-26高二上·安徽·月考）圆与圆的公切线有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【解题思路】根据圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系，以确定两圆公切线的条数. 【解答过程】圆，圆心，半径. 圆16，圆心，半径. 所以， 则， 则两个圆相交，所以两圆的公切线有2条． 故选：C． 7．（25-26高二上·江苏·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由圆的方程求得其圆心和半径，求出圆心到直线l的距离d，分析可得，当时，取最大值，结合，求出，结合圆的切线性质，即可求得答案. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线的距离为，即l与圆相离， 由于，故， 故当时，最小，此时最大，则也取最大值， 此时，所以， 所以. 故选：C. 8．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线：恒过定点，点为圆上的动点，为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A．10 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】首先求出直线过定点的坐标，再求出圆心坐标与半径，求出及直线的方程，再求出圆心到直线的距离，从而求出点到直线距离的最大值，从而得解. 【解答过程】由，整理为， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆：的圆心，半径， 如图，，直线的方程为， 则圆心到直线的距离， 则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离， 所以面积的最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·广东东莞·月考）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BCD 【解题思路】化简圆的方程为，结合选项，分别求得圆心坐标和半径，以及圆心到直线的距离和圆的面积，即可得到答案. 【解答过程】对于A，由圆的方程，可化为，得圆心为，A不正确； 对于B，当时，得圆的方程，则圆的半径为，B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到直线的距离为，C正确； 对于D，当时，得圆的方程为，则圆的半径为，圆的面积为，D正确. 故选：BCD. 10．（25-26高二上·浙江湖州·月考）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【解题思路】对于A，由圆的方程明确圆心与半径，利用圆心距与半径差和的大小关系，可得其正误；对于B，根据圆的性质，可得圆上点的位置，可得其正误；对于C，根据圆切线的性质，结合直角梯形的性质以及勾股定理，可得其正误；对于D，联立两圆的方程，作差化简，可得其正误. 【解答过程】对于A，由圆可知圆心与半径， 圆可知圆心与半径， 因为，且，即，所以两圆相交，故A错误； 对于B，由圆的性质可知，故B正确； 对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确； 对于D联立方程可得，即， 两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高二上·山东烟台·期中）已知直线与圆相交于，两点，则下列说法正确的有（   ） A．当最大时， B．当面积最大时， C．直线过定点，且 D．若直线，的斜率分别为，，则 【答案】ABD 【解题思路】当最大时，直线经过圆心，求出，可判断A；根据三角形面积公式可知，时，面积最大，求出可判断B；解得直线过定点，根据圆幂定理得求解可判断C；由题意设直线的方程为，代入圆的方程，利用韦达定理计算可判断D. 【解答过程】圆，即，圆心，半径． 当最大时，直线经过圆心， 则，解得，A正确； ， 则当时，面积最大，此时，B正确； 直线整理得：， 由，解得直线过定点． ， 根据圆幂定理得，C错误； 直线过定点，由题意直线的斜率存在，设直线的方程为， 代入圆得：， 即， ，即， 设 ，则 ， 则 ， 故 ，D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏·期末）圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为 . 【答案】 【解题思路】设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标与半径，可得圆的方程. 【解答过程】设圆心坐标为，则， 解得，即圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为 故答案为：. 13．（25-26高二上·北京·月考）直线与圆相交于两点，则 . 【答案】4 【解题思路】先利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离，再利用弦长公式求解即可. 【解答过程】由圆，可知圆心，半径， 则：， 所以. 故答案为：4. 14．（25-26高二上·江苏·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可. 【解答过程】由题意知：直线过定点 ，    曲线是以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 . 当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得， 结合图像可知，当 时，直线 和曲线恰有两个交点. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点，，且圆心在直线上． (2)圆心在轴上，半径为，且经过点． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）设出圆心坐标，根据圆心到的距离相等求解出圆心坐标，则圆的方程可求； （2）设出圆心坐标，根据圆过点和半径求解出圆心坐标，则圆的方程可求. 【解答过程】（1）因为圆心在上，所以设圆心为， 因为圆过点， 所以，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. （2）设圆心为，因为圆的半径为且过， 所以，解得或， 所以圆的方程为或. 16．（25-26高二上·辽宁·月考）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 【答案】(1) (2)，圆心为，半径为． 【解题思路】（1）先求出的中点的坐标，进而利用两点斜率公式求得中线的斜率，最后利用点斜式直线方程求解即可； （2）设出圆的方程，将点的坐标代入求解圆的方程，然后化为圆的标准方程，即可求得圆心和半径. 【解答过程】（1）由题意得的中点为，， 所以边上的中线所在的直线方程为，即． （2）设所求圆的方程为， 则 解得，，， 所以该圆的方程为， 又化为标准方程为， 所以该圆的圆心为，半径为． 17．（25-26高二上·天津静海·期中）已知圆经过点，，且圆心在上，圆. (1)求圆的标准方程 (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长. 【答案】(1) (2)两圆相交，公共弦所在直线方程为，公共弦长为. 【解题思路】（1）运用圆心在弦的中垂线上，再求交点可得圆心，再由圆心及圆上一点确定半径，进而得到圆的方程； （2）运用圆心距和两个圆半径的关系，判定位置关系，将两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，再结合弦长公式计算公共弦长即可. 【解答过程】（1）的中点坐标，且直线的斜率为， 故直线的垂直平分线的斜率为， 因此直线的垂直平分线的方程， 即，联立方程，解得，即圆心 . 又， 故圆. （2）圆与圆的位置关系为相交. 由题可知，圆的圆心，. 故， 又， 故两圆的位置关系为相交. 设交点为， ，， 两圆方程作差得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为：. 又圆心到直线的距离为， 则公共弦长. 18．（25-26高二上·江苏·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)37 【解题思路】（1）根据直线垂直关系求出PM直线方程，与直线方程联立求得圆心，再求出半径即可得解； （2）先判断直线与圆相离，然后利用对称性得四边形面积为，结合垂线段最短利用点线距离求解即可. 【解答过程】（1）设圆心坐标为， 则设过点的半径所在的直线为，代入，可得， 由解得所以. 所以， 所以圆的方程为. （2）因为到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 由题意四边形面积为， 可得，当与直线垂直时，最小，四边形面积最小. 由 .所以四边形面积的最小值为. 19．（25-26高二上·江苏·期末）已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将圆的方程化为标准方程，分析可知，直线过圆心，求出的值，即可得出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得弦的长； （3）求出点到直线的距离的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【解答过程】（1）圆的方程可化为，圆心为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，得. 所以圆的标准方程为. （2）由（1）得圆心为，半径， 又直线的方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 所以. （3）圆的圆心为，半径长为， 则点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与方程 【苏教版】 【知识清单1 圆的方程】 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【知识清单2 二元二次方程与圆的方程】 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【知识清单3 点与圆的位置关系】 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【知识清单4 轨迹方程】 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【知识清单5 与圆有关的对称问题】 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【知识清单6 直线与圆的位置关系及判定】 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【知识清单7 圆的切线及切线方程】 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 【知识清单8 圆的弦长】 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【知识清单9 圆与圆的位置关系及判定】 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则 d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时， 两圆无公共点，包括内含与外离. 【知识清单10 两圆的公切线】 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【知识清单11 两圆的公共弦】 1．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. 【题型1 求圆的方程】 【例1】（25-26高二上·江苏·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（25-26高二上·贵州·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（25-26高二上·湖北·月考）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型2 由圆的方程确定圆心和半径】 【例2】（25-26高二上·江西上饶·月考）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·广东广州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2.2】（25-26高二上·青海·月考）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2.3】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知圆过三点，则的圆心和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【题型3 二元二次方程表示圆的条件】 【例3】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知曲线表示圆，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2 【变式3.3】（25-26高二上·重庆·月考）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 轨迹问题——圆】 【例4】（25-26高二上·重庆·月考）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·天津静海·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【题型5 直线与圆的位置关系】 【例5】（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式5-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【变式5-2】（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 直线与部分圆的相交问题】 【例6】（25-26高二上·辽宁·月考）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·广西河池·月考）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·江西南昌·月考）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·河北·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 到直线距离定值的圆上点个数问题】 【例7】（25-26高二上·安徽·月考）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式7-3】（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 圆的弦长与中点弦问题】 【例8】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）若直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 【变式8.1】（25-26高二上·浙江丽水·期中）若直线被圆截得的弦长为，则（　　） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高二上·云南玉溪·月考）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 【变式8.3】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【题型9 求圆的切线方程、切线长】 【例9】（25-26高二上·河北石家庄·月考）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·河南焦作·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高三上·云南曲靖·月考）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·重庆荣昌·月考）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【题型10 直线与圆中的面积问题】 【例10】（25-26高二上·江苏·期末）已知圆，直线与交于两点，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式10-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知直线恒过定点，点为圆上的动点，为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A．10 B．4 C．6 D．8 【变式10-2】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于点M，N，求的面积的取值范围. 【变式10-3】（25-26高二上·安徽·月考）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【题型11 直线与圆有关的最值问题】 【例11】（25-26高二上·河北衡水·期中）如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．-1 【变式11-1】（25-26高二上·广东广州·期中）已知点是圆上的动点，点是圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 【变式11-3】（24-25高二上·海南海口·期中）已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值； (3)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【题型12 圆与圆的位置关系】 【例12】（25-26高二上·江苏·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【变式12-1】（25-26高二上·福建厦门·月考）若圆与圆外切，则m=（ ） A．14 B．28 C．9 D． 【变式12-2】（25-26高二上·广西·月考）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 【变式12-3】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知圆与圆相交，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型13 两圆的公共弦问题】 【例13】（25-26高二上·云南曲靖·月考）圆与圆的公共弦长为（   ） A．2 B． C．2 D．4 【变式13-1】（25-26高二上·辽宁·月考）圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知圆与圆，则 (1)求圆与圆的公共弦的长； (2)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程． 【变式13-3】（25-26高二上·辽宁·期中）已知两圆和.求： (1)取何值时，两圆相内切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 【题型14 两圆的公切线问题】 【例14】（2025·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【变式14-3】（24-25高二上·陕西西安·月考）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．,1 B．,1 C．, D．, 2．（25-26高二上·广西河池·月考）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 4．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽·月考）圆与圆的公切线有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 7．（25-26高二上·江苏·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线：恒过定点，点为圆上的动点，为坐标原点，则面积的最大值为（    ） A．10 B．4 C．6 D．8 二、多选题 9．（25-26高二上·广东东莞·月考）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 10．（25-26高二上·浙江湖州·月考）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 11．（25-26高二上·山东烟台·期中）已知直线与圆相交于，两点，则下列说法正确的有（   ） A．当最大时， B．当面积最大时， C．直线过定点，且 D．若直线，的斜率分别为，，则 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏·期末）圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为 . 13．（25-26高二上·北京·月考）直线与圆相交于两点，则 . 14．（25-26高二上·江苏·期末）若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（25-26高二上·内蒙古包头·月考）求满足下列条件的圆的方程： (1)经过点，，且圆心在直线上． (2)圆心在轴上，半径为，且经过点． 16．（25-26高二上·辽宁·月考）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 17．（25-26高二上·天津静海·期中）已知圆经过点，，且圆心在上，圆. (1)求圆的标准方程 (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长. 18．（25-26高二上·江苏·期末）一个圆切直线于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过直线上一点引圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 19．（25-26高二上·江苏·期末）已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $