专题06 二次函数（期末复习课件）九年级数学上学期北师大版

这是一份初中数学九年级上学期期末复习课件，北师大版，以二次函数为核心，包含考情分析、必备知识、重难点题型及分层验收。知识覆盖定义、图象性质、最值、实际应用等，通过典例与变式题构建学习支架，助力期末复习。 资料突出核心素养，通过面积最值、销售利润等实际问题培养数学眼光，以推理步骤强化数学思维，用抛物线模型提升数学表达。分层设计和题型分类清晰，如篱笆围矩形题帮助学生巩固应用，为教师教学提供系统参考，提升复习效率。 九年级学生面临升学考试，需重点关注二次函数综合应用能力，资料系统梳理知识体系，强化解题技巧，帮助学生查漏补缺，适应升学考试对综合能力的要求。

专题06 二次函数 九年级数学上学期 期末复习大串讲 北师大版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 基础概念与性质 掌握二次函数的核心定义，明晰二次函数的图像与性质，结合图像快速判断开口方向、对称轴、顶点等特征；能通过图像分析函数的增减性。 必考点，多以选择、填空题形式出现，考查内容包括二次函数的定义判断、解析式形式辨析、开口方向与大小、对称轴与顶点坐标的计算、增减性判断等。 解析式 熟练掌握三种解析式形式及转化，能根据已知条件灵活转化三种形式，实现“知式求点”“知点求式”。 高频中档考点，可出现在填空、解答题中，核心是根据已知条件选择合适的解析式形式求解。 图像变换 掌握二次函数图像的变换规律，要求能根据原函数解析式和变换方式求新函数解析式，或描述原函数到新函数的变换路径。 高频重点，多以选择题或填空题形式出现，考查对“平移、翻折”变换规律的理解。重点是“左加右减、上加下减”的平移规律应用。 最值问题 能从实际问题中抽象出二次函数模型，解决利润最值、面积最值等。 核心考点，可单独出解答题，也可融入综合题中，分为代数最值和实际应用最值两类。 一元二次方程关系 理清二次函数与一元二次方程的关系，能通过函数图像求一元二次方程的近似解。 常结合图象出现，考查抛物线与x轴的交点个数判断、根据交点坐标求解析式、通过函数图像求一元二次方程的近似解等，侧重数形结合思想的应用。 综合应用 能综合运用二次函数的性质、图像变换、与一元二次方程的关系等知识解决综合性问题，能通过观察、归纳、推理发现函数规律，提升数形结合、转化与化归的数学思想运用能力。 高频难点，多以压轴解答题形式出现，分值较高，考查多个知识点的综合运用。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 二次函数的概念 知识点01 把二次函数化为一般形式，右边一定要是整式， 最高次数是2且二次项系数不等于0。 二次函数的定义： 形如的函数叫做二次函数。 其中： 是自变量， 是函数解析式的二次项系数； 是函数解析式一次项系数； 是函数解析式的常数项。 二次函数的一般形式： 判断二次函数方法： 二次函数的图象与性质 知识点02 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0           a<0           1.二次函数的图象与性质 二次函数的图象与性质 知识点02 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=时 时y有最大值. 增 减 性 a>0 在对称轴x=的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴x=的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=的右边y随x的增大而减小. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 二次函数的图象与性质 知识点02 （1）二次函数的平移变换 2.二次函数的图象变换 二次函数的图象与性质 知识点02 （2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀   y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 二次函数的图象与性质 知识点02 ②若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； （3）二次函数的对称性问题 ①抛物线上两点若关于直线x=对称，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； y O x x= ③二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称； y O x y=ax2+bx+c y=ax2-bx+c ④二次函数y=ax2+bx+c与y= -ax2-bx-c的图象于x轴对称. y= -ax2-bx-c 关系 符号 图象特征 a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小． a<0 开口向下 a、b共同决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c=0 抛物线经过原点 c>0 抛物线与y轴交于正半轴 c<0 抛物线与y轴交于负半轴 由b²-4ac 确定抛物线与x轴交点的个数 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点 b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点 二次函数的图象与性质 知识点02 3.二次函数与a，b，c之间的关系 二次函数解析式的确定 知识点03 名称 解析式 适用范围 一般式 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 （a，h，k为常数，≠0）， 顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 已知抛物线与x 轴两交点坐标 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 二次函数的应用 知识点04 一、用二次函数解决实际问题的一般步骤 ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 二次函数的应用 知识点04 3.销售利润问题： 根据“利润=(售价-进价)×销量”列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值 二、方法技巧总结 1.利用二次函数解决面积最值： 利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值 2.抛物线形问题： 将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题 二次函数的应用 知识点04 4.利用二次函数解决动点问题： 首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 二、方法技巧总结 5.利用二次函数解决存在性问题： 一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在 二次函数与一元二次方程 知识点05 1.二次函数与一元二次方程的关系 b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac<0 0个交点 没有实数根 一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标. 二次函数与一元二次方程 知识点05 2.二次函数与不等式的关系（以a大于0为例） 不等式以a大于0为例 图象 观察方法 解集 ax2＋bx＋c >0 的解集情况   函数y=ax²+bx+c的图象位于x轴上方时对应的自变量的取值范围 x<或x>  ax2＋bx＋c<0 的解集情况   函数y=ax²+bx+c的图象位于x轴下方时对应的自变量的取值范围 <x< 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 二次函数的概念 题型一 【典例1-1】（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 解： A、中当时．y是x的一次函数，则A不符合题意； B、不是二次函数，则B不符合题意； C、是二次函数，则C符合题意； D、是一次函数，则D不符合题意； C 二次函数的概念 题型一 【典例1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， B 二次函数的概念 题型一 【典例1-3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， D 二次函数的概念 题型一 【变式1-1】（24-25九年级上·安徽亳州·期末） 已知是二次函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．1或 解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵， ∴，∴． B 二次函数的概念 题型一 【变式1-2】（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 解：由题意得，， B 【变式1-3】（24-25九年级上·广东肇庆·期末） 二次函数的常数项为 ． 解：二次函数的常数项为， 二次函数的图象与性质 题型二 【典例2-1】（24-25九年级上·安徽池州·期末） 抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．轴 D．直线 解：根据对称轴公式，又，可得对称轴为直线，即对称轴为轴． 二次函数的图象与性质 题型二 【典例2-2】（25-26九年级上·浙江温州·期末）抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 解： 抛物线， 对于点 ，有； 对于点 ，有； 对于点 ， 有； ， ， 即 ． D 二次函数的图象与性质 题型二 【典例2-3】（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， y O x 二次函数的图象与性质 题型二 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末） 二次函数的图象的开口向 ． 解：二次函数，， 则图象的开口向下， 下 【变式2-2】（24-25九年级上·吉林松原·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 解：依题意，的顶点坐标是， 二次函数的图象与性质 题型二 【变式2-3】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数，值越大， ∵点，，都在二次函数的图象上， ∵，， ∴， 根据二次函数的图象判断式子符号 题型三 【典例3-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ）  A． B． C． D． 解：函数开口向下，， 函数对称轴为直线， ， 函数图像与y轴交于负半轴， 当时，， ， 根据图像可知当时，． C 根据二次函数的图象判断式子符号 题型三 【典例3-2】（25-26九年级上·湖北·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ）   A． B． C． D． 解：观察函数图象，得抛物线开口向上，， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故符合题意； 观察函数图象，当时，， ，而，， ，，故符合题意； 时，取得最小值， （为任意实数）， ， 即，故符合题意； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ， 故符合题意； D 根据二次函数的图象判断式子符号 题型三 【典例3-3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①因图象开口向下，可知：； 又∵对称轴为直线， ∴，整理得：，即a、b同号． 由图象可知，当时，， 又∵对称轴为直线，可知： 当时，；即； ∴，故①正确． ②由①得：． 代入原解析式得：； 由图知，当时，， 即， ∴，故②正确． ③∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确． ④设， 则， ∴两边加c得到， ∴不等式左侧为时的函数值为最大值，右侧为时的函数值，则不成立， 故④错误．综上，①②③正确，共3个． C 根据二次函数的图象判断式子符号 题型三 【变式3-1】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ）   A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ．． 又图象可得，，，． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时， 函数值． ，故D正确，不符合题意 B 根据二次函数的图象判断式子符号 题型三 【变式3-2】（24-25九年级上·广东茂名·期末） 二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ）   A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：由图象可知，，，∴， ∴，故①正确； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知对称轴为直线， 则∴ ∴故③正确； ∵对称轴为直线 ∴当和时，函数值相等 根据函数图象可得当时，， ∴当时， ∴即， 故④错误； ∴当时 ， 故⑤不正确． B 根据二次函数的图象判断式子符号 题型三 【变式3-3】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，与y轴交于点C，对称轴为．给出五个结论：①；②；③；④当时，；⑤若，点P是抛物线对称轴上一点，则周长的最小值为，其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：抛物线与轴有两个交点 ，即，故①正确 对称轴为， 即，，故②错误 当时， ，故③错误 抛物线开口向下， 当时， ，， 又， 无法确定与的大小关系， 故④错误 根据二次函数的图象判断式子符号 题型三 【变式3-3】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，与y轴交于点C，对称轴为．给出五个结论：①；②；③；④当时，；⑤若，点P是抛物线对称轴上一点，则周长的最小值为，其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为 的周长为 的周长的最小值为 A ， 的周长的最小值为， 故⑤正确 综上，正确的结论有①⑤，共个 二次函数图象与一次函数图象、反比例函数图象综合判断 题型四 【典例4-1】（24-25九年级上·河南安阳·期末）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象的开口向下， 与轴的交点的纵坐标为，即与轴的交点位于与轴的负半轴上， 观察四个选项可知，只有选项A符合， A 二次函数图象与一次函数图象、反比例函数图象综合判断 题型四 【典例4-2】（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 解：根据二次函数图象与y轴的交点可得： ，根据抛物线开口向下可得， 由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， A 二次函数图象与一次函数图象、反比例函数图象综合判断 题型四 【典例4-3】（24-25九年级上·广东·期末） 抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是 ． 解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 或． 二次函数图象与一次函数图象、反比例函数图象综合判断 题型四 【变式4-1】（24-25九年级上·山东潍坊·期末） 已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象是（    ） A． B． C． D． 解：观察一次函数图象可知： ，，则， ∴二次函数的图象开口向下， 且与y轴的交点在y轴正半轴， 对称轴在y轴的左侧． 只有选项A符合题意 A 二次函数图象与一次函数图象、反比例函数图象综合判断 题型四 【变式4-2】（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点．当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：如图所示：若，则二次函数图像在一次函数图像的下面， 此时x的取值范围是：． A 40 二次函数图象与一次函数图象、反比例函数图象综合判断 题型四 【变式4-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ） B． D． A． C． 解：A、由抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，可得，， 所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； B、由抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，可得，， 所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项不符合题意； C、由抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，可得，， 所以，则，由反比例函数图象在第二、四象限，则，故此选项不符合题意； D、由抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，可得，， 所以，则，由反比例函数图象在第一、三象限，则，故此选项符合题意； D 二次函数的平移、对称问题 题型五 【典例5-1】（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数图象的对称轴； (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． 解：（1） 当时， ∴这个二次函数的图象经过点， 又∵这个二次函数的图象经过点， ∴此二次函数图象的对称轴： 直线． 二次函数的平移、对称问题 题型五 【典例5-1】（24-25九年级上·北京通州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (2)若二次函数的图象上存在两点，，其中，，且，求m的取值范围． （2）解：由（1）可设二次函数的解析式为， ∵这个二次函数的图象上存在两点，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴． 二次函数的平移、对称问题 题型五 【典例5-2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． （1）解：当时，抛物线的解析式为， ，该抛物线的顶点为； （2）解：由题意知，抛物线的解析式， 当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为， 即，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时， 时，二次函数有最大值，最大值为：， 时二次函数有最小值，最大值为：； 二次函数的平移、对称问题 题型五 【典例5-2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 当时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大， 若对于，，都有， 则，∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小， 对称轴为：直线， ∴在抛物线上的对称点为， 若对于，，都有， 则， 的取值范围为：或． 二次函数的平移、对称问题 题型五 【变式5-1】（23-24九年级上·广东湛江·期末）已知二次函数的图象如图所示． (1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围． （1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：根据函数的对称性， 抛物线和轴的另外一个交点坐标为， 观察函数图象知， 当时，的取值范围为或． 二次函数的平移、对称问题 题型五 【变式5-2】（24-25九年级上·福建莆田·期末） 已知抛物线过点，顶点为． 抛物线 ． (1)求的值和点的坐标． (2)求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． （1）解：∵抛物线过点， ∴，∴， ∴抛物线， ∴； （2）证明：将向左平移个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，， ∴在抛物线上． 二次函数的平移、对称问题 题型五 【变式5-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． (3)已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． （1）解：若，，则二次函数的解析式为， 配方得：， 抛物线的顶点坐标为； 二次函数的平移、对称问题 题型五 【变式5-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (2)已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． （2）解：，， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为，与轴交点为，， 当时，开口向上，时随的增大而增大， ∵，在抛物线上， ∴， ∴和都在右侧， ∵当时，都有， ∴，解得，此时； 二次函数的平移、对称问题 题型五 【变式5-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (2)已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． 当时，开口向下，时随的增大而减小， ∴， ∴在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵关于对称轴的对称点为， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 综上所述，或； 二次函数的平移、对称问题 题型五 【变式5-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (3)已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． （3）解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时， 的取值范围为， ∵当时， 的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入 得， 解得或；此时； 当时，开口向下， ∴当时， 的取值范围为或， ∵当时， 的取值范围为， ∴不合题意，综上所述，． 二次函数的最值问题 题型六 【典例6】（24-25九年级上·安徽安庆·期末） 如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． （1）解：把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 当时，， ∵当时，， 当时，， ∵， ∴当时，y的最小值是． 二次函数的最值问题 题型六 【变式6-1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时，①求函数图象的顶点坐标；②当时，求的取值范围； (2)当时，．①若，求的最小值；②若，求的最大值． （1）解：当时， ∴． ①∵， ∴函数图象的顶点坐标为； ②由①得抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 又∵， ∴当时，，当时，， ∴此时y的取值范围是：； 二次函数的最值问题 题型六 （2）解：由得，抛物线与x轴的交点坐标为和． ∴对称轴是直线． ∴当时， ； 当时，； 当时，， ①当时，抛物线开口向下． 又当时，则， ∴此时二次函数在顶点处取得最大值为． ∴，则． 当时，则， ∴，∴． ∴若，a的最小值为； 【变式6-1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时，①求函数图象的顶点坐标；②当时，求的取值范围； (2)当时，．①若，求的最小值；②若，求的最大值． 二次函数的最值问题 题型六 （2）解：由得，抛物线与x轴的交点坐标为和． ∴对称轴是直线． ∴当时， ； 当时，； 当时，， 【变式6-1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时，①求函数图象的顶点坐标；②当时，求的取值范围； (2)当时，．①若，求的最小值；②若，求的最大值． ②当时，抛物线开口向上， ∴． ∵当时，， ∴． ∴． ∴若，a的最大值为1． 二次函数的最值问题 题型六 【变式6-2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中， 二次函数的图象交轴于点． (1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为______； (2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； (3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． （1）解：由题意， 二次函数的图象交轴于点， ， 将点向右平移4个单位得到， 又此时在二次函数上， ， 二次函数的最值问题 题型六 【变式6-2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中， 二次函数的图象交轴于点． (1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为______； (2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； (3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． （2）解：∵点，在二次函数的图象上， ，          ，         ， ， ． 二次函数的最值问题 题型六 【变式6-2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中， 二次函数的图象交轴于点． (1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为______； (2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； (3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． （3）解：①当时，二次函数在的范围内随的增大而增大， 当时，的最小值为3． ， 解得，（舍去）；         ②当时， 二次函数的最小值为，不合题意，舍去；         二次函数的最值问题 题型六 【变式6-2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中， 二次函数的图象交轴于点． (1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为______； (2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； (3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． （3）解：  ③当时，二次函数在的范围内随的增大而减小， 当时，的最小值为3． ， 解得（舍去），． 综上可知，的值为或5． 二次函数的最值问题 题型六 【变式6-3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知，一次函数的 图象上有一点，反比例函数经过A点． (1)当时， ①若，求反比例函数的解析式；②求k的最大值． (2)当时，k随着m的增大而减少，求此时a的范围． （1）解：①当时，一次函数解析式为， 当时，点A的坐标为， 在中，当时，， ∴点A的坐标为， 把代入到中得，解得， ∴反比例函数解析式为； 二次函数的最值问题 题型六 【变式6-3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知，一次函数的 图象上有一点，反比例函数经过A点． (1)当时， ①若，求反比例函数的解析式；②求k的最大值． (2)当时，k随着m的增大而减少，求此时a的范围． ②当时，一次函数解析式为， ∴， ∴ 把代入到中得， ∴， ∵， ∴当，即时，k有最大值，最大值为； 二次函数的最值问题 题型六 【变式6-3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知，一次函数的 图象上有一点，反比例函数经过A点． (1)当时， ①若，求反比例函数的解析式；②求k的最大值． (2)当时，k随着m的增大而减少，求此时a的范围． 当时，则当时，k随着m的增大而减少， ∵当时，k随着m的增大而减少， ∴，∴，此时不符合题意； （2）解：∵一次函数的图象上有一点， ∴，∴ 把代入到中得， ∴= ， 二次函数的最值问题 题型六 【变式6-3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）已知，一次函数的 图象上有一点，反比例函数经过A点． (1)当时， ①若，求反比例函数的解析式；②求k的最大值． (2)当时，k随着m的增大而减少，求此时a的范围． （2）解：∵一次函数的图象上有一点， ∴，∴ 把代入到中得， ∴= ， 当时，则当时，k随着m的增大而减少， ∵当时，k随着m的增大而减少， ∴，∴；综上所述，． 待定系数法求二次函数解析式 题型七 【典例7-1】（24-25九年级上·福建泉州·月考）如图，已知二次函数的图象经过三点．求二次函数的表达式． 解：由图象可得，， 把分别代入二次函数表达式，得， 解得， 二次函数的表达式为． 待定系数法求二次函数解析式 题型七 【典例7-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式． 解：设该二次函数的解析式为． 该二次函数的图象经过点， ， ， 该二次函数的解析式为． 待定系数法求二次函数解析式 题型七 【变式7-1】（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）已知抛物线（是常数，）． (1)若此抛物线的图象经过点和，求此抛物线的解析式； (2)若，当时，函数随的增大而增大，求的取值范围． （1）解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴ a的取值范围为 待定系数法求二次函数解析式 题型七 【变式7-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数表达式； (2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围． （1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设二次函数表达式为， 把代入， 得， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）∵，抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为， ∴当y随x的增大而减小时x的取值范围． 待定系数法求二次函数解析式 题型七 【变式7-3】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，已知二次函数 图象的顶点坐标为，与轴其中一个交点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围． （1）解：该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为 将，代入得：；即 将代入得：． （2）解：∵二次函数的解析式， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与轴其中一个交点坐标为． ∴与轴其中一个交点坐标为． 由函数图象可得当时，的取值范围为． 二次函数与一元二次方程、不等式 题型八 【典例8-1】（24-25九年级上·广东中山·期末） 【阅读材料】解一元二次不等式： ． 解：设 ，解得：，，则抛物线 与x轴的交点坐标为和 ． 画出二次函数 的大致图象 （如图所示）， 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ，所以一元二次不等式． 的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： 【数学理解】（1） 请直接写出一元二次不等式． 的解集； 【拓展探索】（2） 用类似的方法解一元二次不等式： ． 解：（1）一元二次方程的解为，， 由图象可知：当时函数图象位于x轴下方， 此时，即 ， ∴一元二次不等式的解集为：． 二次函数与一元二次方程、不等式 题型八 【典例8-1】（24-25九年级上·广东中山·期末） 【阅读材料】解一元二次不等式： ． 解：设 ，解得：，，则抛物线 与x轴的交点坐标为和 ． 画出二次函数 的大致图象 （如图所示）， 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方，此时，即 ，所以一元二次不等式． 的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： 解：（1）一元二次方程的解为，， 由图象可知：当时函数图象位于x轴下方， 此时，即 ， ∴一元二次不等式的解集为：． 【数学理解】（1） 请直接写出一元二次不等式． 的解集； 【拓展探索】（2） 用类似的方法解一元二次不等式： ． y O x 二次函数与一元二次方程、不等式 题型八 【典例8-1】（24-25九年级上·广东中山·期末） 【数学理解】（1） 请直接写出一元二次不等式． 的解集； 【拓展探索】（2） 用类似的方法解一元二次不等式： ． （2）设 ， 解得：，， 则抛物线与x轴的交点坐标为和 ， 画出二次函数 的大致图象，如图所示： 由图象可知：当或时函数图象位于x轴上方， 此时，即 ， ∴一元二次不等式的解集为： 或． y O x 二次函数与一元二次方程、不等式 题型八 【典例8-2】（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … (1)表格中______； (2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； (3)根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 4.7 4.7 7.1 72 二次函数与一元二次方程、不等式 题型八 【变式8-1】（24-25九年级上·重庆长寿·期末）某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请你帮他们补充完整．(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中，______； … 0 1 2 3 4 … … 0 0 0 … (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分； (3)探究与应用： ①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是______； ②结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 二次函数与一元二次方程、不等式 题型八 【变式8-1】（24-25九年级上·重庆长寿·期末）某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请你帮他们补充完整．(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中，______； … 0 1 2 3 4 … … 0 0 0 … (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分； （1）解：当时， ，即； （2）解：描点、连线，如图 二次函数与一元二次方程、不等式 题型八 【变式8-1】（24-25九年级上·重庆长寿·期末）某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，过程如下，请你帮他们补充完整． (3)探究与应用： ①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是 ； ②结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 解：①由图象知， 函数有最小值， 且与x轴有3个交点， ∴当函数的图象与直线有4个交点时，， 则方程有4个实数根时， 的取值范围是； 由图可知，当时， 由得或， 直线与函数有两个交点和，故当或时， 函数的图象位于直线的下方， 二次函数与一元二次方程、不等式 题型八 【变式8-1】（24-25九年级上·重庆长寿·期末）某班的“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，过程如下，请你帮他们补充完整． (3)探究与应用： ①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是 ； ②结合图象，直接写出关于的不等式的解集． ②当时，由得或， 直线与函数有两个交点和， 同一直角坐标系中画直线，如图， 图象 ∴不等式的解集是：或． 二次函数与一元二次方程、不等式 题型八 【变式8-2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知和是关于x的一元二次方程的两个实数根，二次函数图像与y轴交点的纵坐标为6． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点M、N是二次函数图像上的两点，请比较p与q的大小； (3)直接写出不等式的解集． （1）解：设抛物线的解析式是， ∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为6， ∴抛物线经过点， 即，解得：， ∴抛物线的解析式是， 则，顶点坐标为； 二次函数与一元二次方程、不等式 题型八 【变式8-2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知和是关于x的一元二次方程的两个实数根，二次函数图像与y轴交点的纵坐标为6． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点M、N是二次函数图像上的两点，请比较p与q的大小； (3)直接写出不等式的解集． （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，离对称轴越远函数值越小. ∵， ， ∴，∴； （3）解：当时，， 解得．∴当时，． 二次函数与x轴交点问题 题型九 【典例9-1】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）抛物线的顶点坐标为，且图像经过点． (1)求函数解析式． (2)求抛物线与坐标轴交点坐标． （1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：当时，， 整理：，无实数解， 故抛物线与轴无交点， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为． 二次函数与x轴交点问题 题型九 【典例9-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． （1）解：二次函数的图象经过点和点． ∴， 解得， ∴． （2）解：由，当时 ， ， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 二次函数与x轴交点问题 题型九 【变式9-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末） 已知二次函数（，，是常数，且）． (1)若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． (2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围． （1）解∶①， ， 将代入， 得， ； ②证明∶令， ， ，， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 不论b为何值，该函数图象与轴一定有两个交点； 二次函数与x轴交点问题 题型九 【变式9-1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数（，，是常数，且）． (1)若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． (2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围． （2）解 ，点和在抛物线上， 对称轴为直线，， ， 解得， 的取值范围为． 二次函数与x轴交点问题 题型九 【变式9-2】（24-25九年级上·山东德州·期末）设二次函数（，是常数）． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标； (3)若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围． 解：（1）设   ∴， ∵ ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根． （2）∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴，∴， ∴二次函数为， 令，则， 解得：，， ∴这个函数图象与轴交点的坐标为， 83 二次函数与x轴交点问题 题型九 【变式9-2】（24-25九年级上·山东德州·期末）设二次函数（，是常数）． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标； (3)若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围． （3）解：∵，在这个函数的图象上，且． ∴，即， 当时，，得二次函数与轴交点为、， ∴ 当时，由，得，即，即． 当时，由，得，即，即． ∴或且． 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x为多少时，苗圃园的面积最大，最大面积是多少． （1）解：根据题意得：， ， ， 当时，， 不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：x的值为9； 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-1】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x为多少时，苗圃园的面积最大，最大面积是多少． （2）解：由题意，结合（1）可得，苗圃园的面积 墙长为． ．又， 当时，苗圃园的面积S取最大值，最大值为． 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-2】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，，点是的中点，将直角三角板的直角顶点绕点旋转，三角板的两条直角边与、分别交于点、（不与端点重合），连接． (1)判断在旋转过程中与的数量关系？并说明理由； (2)求动态线段的最小值． （1）解：， 理由如下：如图，连接， 设， ，， 点为的中点， ，， 设将直角三角板的直角顶点绕点旋转， 三角板的两条直角边分别与、分别交于点、（不与端点重合）， ， 在和中， ， ， ， 二次函数的实际应用 题型十 （2）由（1）得： 设，则， 在中， ， ∴当时，有最小值为， 【典例10-2】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，，点是的中点，将直角三角板的直角顶点绕点旋转，三角板的两条直角边与、分别交于点、（不与端点重合），连接． (1)判断在旋转过程中与的数量关系？并说明理由； (2)求动态线段的最小值． 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求拱门所在抛物线的函数表达式；(2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． （1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为：， 将代入，得：， 解得， ∴拱门所在抛物线的函数表达式为 化简为一般式： ． 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-3】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）为庆祝元旦，某公园在门口搭建了一个抛物线形的装饰拱门，已知该拱门接触地面的跨度为，拱门顶端最高处的高度为，小青以拱门的左边缘O为原点，地面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求拱门所在抛物线的函数表达式；(2)为了使拱门更加牢固，要在拱门内左右两边各垂直于地面竖立一根高为的支柱，支柱的顶端恰好在抛物线上，求这两根支柱之间的距离． （2）解：由（1）得： 令，可得：， 解得：，， （m）， ∴这两根支柱之间的距离为m． 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-4】（24-25九年级上·山西长治·期末）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ （1）解： 设该套装的销售单价降低元， 则销售单价为元， 每周能销售套， 根据题意，得 ， ， 解得或（舍去）， ∴（元）， 答：该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为140元； 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-4】（24-25九年级上·山西长治·期末）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ （2）解：设每周的利润为y元， 销售单价降低了元，则： ， ， 当时，每周的利润最大， 最大利润为42250元， 此时销售单价为 元， 答：当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元． 92 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-5】（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-5】（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则，解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为 ； 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-5】（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． （2）解：火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙，因此，火球不会落在城墙内． 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-6】（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-6】（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】(1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． （1）解：平面直角坐标系如下：抛物线顶点在y轴， ∴设抛物线解析式为， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O， 由题可知 将A，C代入抛物线解析式，得，解得， 函数解析式为： ∴顶点为故； 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-6】（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 （2）解：由（1）得：函数解析式为 当时，代入抛物线表达式 解得最大宽度为 他们能站的最大宽度为才不会被水淋到． 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-7】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们常见的炒菜锅是抛物线面，锅盖是圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的圆弧记为． (1)求的解析式和所在圆的半径； (2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-7】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们常见的炒菜锅是抛物线面，锅盖是圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的圆弧记为． (1)求的解析式和所在圆的半径； （1）解：设解析式为， 把代入 中得， ，∴ ∴解析式为； 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-7】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们常见的炒菜锅是抛物线面，锅盖是圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的圆弧记为． (1)求的解析式和所在圆的半径； （1）解：设所在圆的圆心为T， 连接，则， ∵， ∴ ∵，∴垂直平分， ∴点T在直线上，∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，∴所在圆的半径为5； 101 二次函数的实际应用 题型十 【典例10-7】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的圆弧记为． (2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． （2）解；将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖不能正常盖上，理由如下：在中， 当时，； 设直线与交于， 由（1）可得，的半径为5， ∴， ∴或（舍去） ∴， ∵ ， ∴，即 ∴将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖不能正常盖上． 二次函数的实际应用 题型十 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米．  (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 二次函数的实际应用 题型十 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米．  (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． （1）解：依题得：，，， 设该抛物线的表达式为： ， 将代入得：， 该抛物线的表达式为：， 其中自变量的取值范围是； 二次函数的实际应用 题型十 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米．   (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． （2）解：由（1）得，抛物线的表达式为， 则当时，， 解得 ， 其中， 即在范围内，可通过高米的车辆， 则能通过高米的车辆的宽度至少需为 ， ， 其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 要使双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带）其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆， 二次函数的实际应用 题型十 【变式10-2】（24-25九年级上·河南开封·期末）掷实心球是中招体育考试素质类选考项目中的一项．体育模拟测试时，小亮同学掷实心球，实心球离地面的高度满足关系式，其中是实心球离手的时间，是实心球被投掷时竖直方向上的速度．已知实心球离手时与抛出时高度一致． (1)求出的值． (2)实心球离手多长时间时，离地面的高度最大，最大高度为多少？ （1）解：∵已知实心球离手时与抛出时高度一致， ∴和时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， 解得：； （2）由（1）可知：， ∴当时，的值最大为； 答：实心球离手时，离地面的高度最大，最大高度为． 二次函数的实际应用 题型十 【变式10-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的 空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 二次函数的实际应用 题型十 【变式10-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的 空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； 1）解：由题意可知， 当和时，， ∴对称轴为直线， 由表格知，抛物线经过， 设野兔某次跳跃的抛物线为， 把代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 二次函数的实际应用 题型十 【变式10-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的 空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为： ； 当时， ， ∵， ∴野兔此次跳跃不能跃过篱笆． 二次函数的实际应用 题型十 【变式10-4】（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为．  (1)填空：______，_______；（用含t的式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)当t为何值时，的面积最大？ （1）解：由题意，得 ，． （2）解：在中，由勾股定理， 得， 解得：(舍去)，； （3）解：由（1）知， ， ， ， ， ， 当时，的面积最大． 二次函数的实际应用 题型十 【变式10-5】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； (3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ （1）解：设y与x的函数关系式为 ， 把和分别代入， 得， 解得， ； 二次函数的实际应用 题型十 【变式10-5】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； (3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ （2）依题意， ， ， 时，W有最大值， W最大值 元； 二次函数的实际应用 题型十 【变式10-5】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； (3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ （3）依题意，当时， ， 解得，， ，尽可能让利于顾客， 销售单价为110元． 二次函数的综合应用 题型十一 【典例11-1】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为．  (1)求抛物线和一次函数的表达式． (2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． （1）解：把代入， 得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； 二次函数的综合应用 题型十一 【典例11-1】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为．  (1)求抛物线和一次函数的表达式． (2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值． （2）设点的坐标为，则， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 二次函数的综合应用 题型十一 【典例11-2】（25-26九年级上·河南安阳·期末） 已知二次函数（为非零常数）经过点． (1)求的值； (2)若原二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，求的值； (3)当时，求的最大值与最小值的差． （1）解：将代入 ， 得：，解得； （2）解：当时，， 令，则或， 可得， 将代入， 得， 故点坐标为， ； y O x 二次函数的综合应用 题型十一 【典例11-2】（25-26九年级上·河南安阳·期末） 已知二次函数（为非零常数）经过点． (1)求的值； (2)若原二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，求的值； (3)当时，求的最大值与最小值的差． （3）解：由题意得， ∴对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向上， 当时，有最小值为， ，且直线比直线距离对称轴较远， 将代入可得的最大值为7， 当时，的最大值与最小值的差为： ． 二次函数的综合应用 题型十一 【典例11-3】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求抛物线的解析式；(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当时，求t的值． （1）解：抛物线与轴交于，两点， ， ， 抛物线解析式为. 二次函数的综合应用 题型十一 【典例11-3】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求抛物线的解析式；(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当时，求t的值． （2）解：如图，由（1） ， 顶点 一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，， 设，， ， ，， ， ， ， （舍），， ，， ，当时，． 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-1】（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、．若为等腰直角三角形，求点的坐标． （1）解：把点，代入函数解析式， 得： 解得：， ∴； 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-1】（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，．(2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、． 若为等腰直角三角形，求点的坐标． （2）解：∵ ， ∴顶点坐标为，则： 关于原点对称的点为， ∵，关于原点对称， 抛物线的开口大小不变，方向相反， ∴的解析式为： ， ∴，对称轴为直线， 设，， 当点为直角顶点时，则，此时不存在点在抛物线上，不符合题意， ∴轴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或， 当或时，，∴， 当点为直角顶点时，则，且，点在点下方： 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-1】（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，．(2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、． 若为等腰直角三角形，求点的坐标． （2）解：∵ ， ∴顶点坐标为，则： 关于原点对称的点为， ∵，关于原点对称， 抛物线的开口大小不变，方向相反， ∴的解析式为： ， ∴，对称轴为直线， 设，， 当点为直角顶点时，则，此时不存在点在抛物线上，不符合题意， ∴轴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或， 当或时，，∴， 当点为直角顶点时，则，且，点在点下方： 二次函数的综合应用 题型十一 ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或， 当或时，， ∴，∴， ∴，∴；∴， 综上：点的坐标为或． 【变式11-1】（24-25九年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，．(2)设关于原点对称的抛物线为，的顶点为，对称轴为．若点在上，点在上，连接、． 若为等腰直角三角形，求点的坐标． 当点为直角顶点时，过点作于点， 则：， 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)用含m的代数式表示，；(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)用含m的代数式表示，；(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点， 点， ， 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)用含m的代数式表示，；(3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时， 分以下三种情况：  由（）可得，点，， ， ， ，， 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： ，，， ①当时， ， 解得，（舍去）， （舍去）， 此时点M的坐标为； 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： ，， ②当时， ， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-2】（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： ，，， ③当时，， 解得:，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为: 或或 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． （1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点.(2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为 ， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时， ，即点， ∵， 故当和为直角时， 点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时， 解得：或（舍去）， ∴点． （3）解：如图：连接，设点，  设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴，∴， ∴， ． 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点.(3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． ∴的最大值为． 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-4】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴．  (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-4】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴．  (1)求抛物线的解析式； （1）解：抛物线经过原点， 抛物线的表达式为， 将点代入上式得， ，解得， 抛物线的解析式为； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； （2）由（1）中抛物线的解析式可知， 抛物线的对称轴为直线， 则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时， 抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即， 点B、M不重合， 故， 即且； 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-4】（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， 当点M的纵坐标为时，， 解得； 当点M的纵坐标为时，， 解得：或， 综上，m的值为1或或； 二次函数的综合应用 题型十一 【变式11-4】（24-25九年级上·吉林松原·期末） (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． （4）存在，或，理由如下： 当点在点B的上方时，如图，设点，过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， 是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ， ， ， ， ， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得 ，   解得（舍去）或， 则； 当点在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得， ， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则，综上，或． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练 1．（24-25九年级上·北京海淀·期末）将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 解：∵将抛物线向下平移1个单位， ∴所得新抛物线的解析式为：． A 2．（25-26九年级上·北京·期末）抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． A 138 期末基础通关练 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． （1）解：如图所示：以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 抛物线顶点为，经过点， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为： ； （2）解：由题意得，当时， ， 小罗此次射门不能射入球门内． 期末重难突破练 4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(    ) A． B． C． D． B 解：分别将、、代入二次函数： 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∵，∴ 期末重难突破练 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 B 解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 期末重难突破练 6．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，． 解：（1）是的高， ， 四边形是矩形， ， ， 是的高， ，，，， ， ， (1)求出与之间的函数表达式； (2)直接写出当取何值时，矩形面积最大． （2） ， ， 当时， 矩形面积的最大值为． 期末综合拓展练 7．（23-24九年级上·天津滨海新·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：∵，则， 依题意，得：， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为． 故③正确， B 期末综合拓展练 8．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 解：过点C作轴，过点B作于M，过点D作于N， M ∟ ∟ N ∟ ∴，由条件可知， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， 解得 ∵点C在抛物线的图象上， ∴，∴． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $