专题03 不等式（12大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（苏教版）

专题03 不等式 【苏教版】 【知识清单1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【知识清单2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【知识清单3 等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【知识清单4 基本不等式的证明】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【知识清单5 基本不等式的应用】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【知识清单6 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【知识清单7 三个“二次”的关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型1 由已知条件判断不等式是否正确】 【例1】（25-26高一上·天津滨海新·月考）若实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高一上·江苏·期中）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（25-26高一上·江苏·期中）下列命题是假命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【变式1.3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型2 作差法、作商法比较代数式的大小】 【例2】（25-26高一上·江苏·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【变式2.1】（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高一上·重庆·月考）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【变式2.3】（25-26高一上·吉林长春·月考）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 【题型3 利用不等式求取值范围】 【例3】（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高一上·黑龙江佳木斯·月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高一上·山东德州·期中）已知，，则下面正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）若，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【变式4-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式4-3】（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（25-26高一上·湖南·月考）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式5-1】（25-26高一上·江苏常州·期中）若，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【变式5-2】（25-26高一上·安徽·期中）已知，完成下列问题. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【变式5-3】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知， (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【题型6 基本不等式的恒成立问题】 【例6】（25-26高一上·湖北荆门·月考）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【变式6-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【变式6-3】（24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【题型7 基本不等式的实际应用】 【例7】（25-26高一上·北京·月考）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式7-1】（25-26高一上·安徽·月考）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式7-2】（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【变式7-3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【题型8 一元二次不等式的解法】 【例8】（25-26高一上·江苏·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式8.1】（25-26高一上·贵州毕节·月考）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高一上·浙江·月考）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式8.3】（24-25高一上·陕西渭南·月考）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型9 由一元二次不等式的解确定参数】 【例9】（2025高一上·湖南邵阳·专题练习）关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．4 C．6 D．9 【变式9-2】（25-26高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【变式9-3】（25-26高一上·湖北黄冈·月考）已知关于的不等式的解集中恰有四个整数，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【题型10 三个“二次”的关系】 【例10】（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·江苏常州·月考）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·云南·月考）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式10-3】（25-26高一上·上海松江·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【题型11 一元二次不等式恒成立、有解问题】 【例11】（25-26高一上·江苏·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【变式11-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型12 一元二次不等式的实际应用】 【例12】（25-26高一上·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12.1】（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12.2】（25-26高一上·上海·月考）某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 【变式12.3】（25-26高一上·内蒙古包头·月考）完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 2．（25-26高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南张家界·月考）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26高一上·江苏·期中）已知函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南张家界·月考）已知，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河南信阳·月考）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，，且，则下列选项中正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 12．（25-26高一上·广东汕头·期中）不等式的解集为 . 13．（25-26高一上·湖北·期中）已知实数，满足，，则的取值范围为 . 14．（25-26高一上·云南曲靖·期中）如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为 . 四、解答题 15．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 16．（25-26高一上·天津东丽·月考）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 17．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 18．（25-26高一上·江苏无锡·月考）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．其底面为长方形ABCD，其中AD ≥ AB．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元． (1)若贮水池的总造价不超过312000元，求AD边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低? 最低总造价是多少? 19．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式 【苏教版】 【知识清单1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【知识清单2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【知识清单3 等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【知识清单4 基本不等式的证明】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【知识清单5 基本不等式的应用】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【知识清单6 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【知识清单7 三个“二次”的关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【题型1 由已知条件判断不等式是否正确】 【例1】（25-26高一上·天津滨海新·月考）若实数，满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】依题意，， 所以，A选项错误. 当时，，B选项错误. 根据不等式的性质可知，C选项正确. 根据不等式的性质可知，D选项错误. 故选：C. 【变式1.1】（25-26高一上·江苏·期中）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【解答过程】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B. 【变式1.2】（25-26高一上·江苏·期中）下列命题是假命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【解题思路】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可判断各选项. 【解答过程】对于A，取，此时，则有，所以A错误； 对于B，若，说明，则，所以B正确； 对于C，由，有，又因为，从而，所以C正确； 对于D，若，则，则有，所以D正确. 故选：A． 【变式1.3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】对于A选项，当时，即可判断；对于B选项，通过不等式的性质判断即可； 对于C选项，通过特殊值法判断即可；对于D选项，通过作差法判断即可. 【解答过程】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，当，时，，故C错误； 对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确. 故选：D. 【题型2 作差法、作商法比较代数式的大小】 【例2】（25-26高一上·江苏·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【解题思路】用作差法计算比较的大小关系． 【解答过程】 ，故B正确． 故选：B． 【变式2.1】（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【变式2.2】（25-26高一上·重庆·月考）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【解答过程】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 【变式2.3】（25-26高一上·吉林长春·月考）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 【答案】(1) (2)变好了，理由见解析 【解题思路】（1）根据题意列不等式即可求解， （2）利用作差法即可求解. 【解答过程】（1）设窗户面积为，则地板面积为. 由题意知且，解得. 所以窗户面积至少为. （2）设窗户面积为,地板面积为，增加面积为， ∵，且，∴， 即，所以公寓采光效果变好了. 【题型3 利用不等式求取值范围】 【例3】（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的基本性质可求的取值范围. 【解答过程】由条件，又，故， 所以． 故选：B. 【变式3.1】（25-26高一上·黑龙江佳木斯·月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由题求得，再结合不等式性质即可得解. 【解答过程】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，所以， 所以. 故选：A. 【变式3.2】（25-26高一上·山东德州·期中）已知，，则下面正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意结合不等式的性质逐项运算求解即可. 【解答过程】因为，， 对于选项A：可得，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B错误； 对于选项C：因为，则，所以，故C错误； 对于选项D：因为，则，所以，故D正确； 故选：D. 【变式3.3】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由不等式的基本性质即可求得结果. 【解答过程】，，， 又，． 故选：D． 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例4】（25-26高一上·西藏拉萨·期末）若，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】先化简得到再利用基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 故选C． 【变式4-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】直接利用基本不等式即可得到答案. 【解答过程】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】A 【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可． 【解答过程】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A. 【题型5 条件等式求最值】 【例5】（25-26高一上·湖南·月考）已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【解题思路】将条件变为，代入所求，化简整理，利用基本不等式“1”的代换，即可得答案. 【解答过程】由题意得，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏常州·期中）若，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【解题思路】化简已知条件，利用基本不等式即可得出结论. 【解答过程】由题意， ，，， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·安徽·期中）已知，完成下列问题. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)49 (2)64 【解题思路】（1）由基本不等式乘1法即可求解； （2）由基本不等式得到，再结合一元二次不等式求解即可. 【解答过程】（1）因，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为49. （2）因，则， 即，可得， 即或（舍），解得， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为64. 【变式5-3】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知， (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将等价于，由“1”的妙用化简，再由基本不等式解出答案； （2）由，将看成一个整体，再解一元二次不等式即可. 【解答过程】（1）若，则，         所以，     当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. （2）由得，         当且仅当，即，时等号成立，    所以， 所以或， 又， 所以的最小值为. 【题型6 基本不等式的恒成立问题】 【例6】（25-26高一上·湖北荆门·月考）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得，再由乘1法和基本不等式可得最小值，由二次不等式的解法可得所求范围． 【解答过程】正实数满足，所以， 由恒成立，可得， ， 当且仅当时上式取等号， 则，解得， 故实数的取值范围是， 故选：B. 【变式6-1】（2025高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【解题思路】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【解答过程】 ， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【解答过程】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 【变式6-3】（24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【解题思路】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 【题型7 基本不等式的实际应用】 【例7】（25-26高一上·北京·月考）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【解题思路】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【解答过程】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 【变式7-1】（25-26高一上·安徽·月考）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解题思路】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【解答过程】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解题思路】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为 . （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【变式7-3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【解题思路】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 【题型8 一元二次不等式的解法】 【例8】（25-26高一上·江苏·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】利用一元二次不等式的解法解不等式即可． 【解答过程】，解得， 不等式的解集为． 故选：A． 【变式8.1】（25-26高一上·贵州毕节·月考）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】由，得或． 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【变式8.2】（25-26高一上·浙江·月考）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解题思路】结合题意求出，，，将原不等式化为，进而求出解集即可. 【解答过程】因为关于的不等式的解集为， 所以和是一元二次方程的解，且， 则由韦达定理得，，解得，， 即不等式可化为， 可得，解得或， 则不等式的解集为或，故C正确. 故选：C. 【变式8.3】（24-25高一上·陕西渭南·月考）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C. 【题型9 由一元二次不等式的解确定参数】 【例9】（2025高一上·湖南邵阳·专题练习）关于的不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对参数分类讨论求解不等式，再根据解得情况分析可得实数的取值范围. 【解答过程】由可得 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍去， 当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故正整数解为1，2，3，所以， 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【变式9-1】（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．4 C．6 D．9 【答案】B 【解题思路】根据一元二次不等式的解集，是关于的方程的两个根，应用根与系数的关系求参数值，即可得. 【解答过程】由题意，是关于的方程的两个根，有， 所以. 故选：B. 【变式9-2】（25-26高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解题思路】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，由题意得关于的不等式的解集为， 则，故A错误； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为， 即，解得或， 因此不等式的解集为或，故B错误； 对于C选项，由题意得，故C错误； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此不等式的解集为，故D正确. 故选：D. 【变式9-3】（25-26高一上·湖北黄冈·月考）已知关于的不等式的解集中恰有四个整数，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由得，对与的大小进行分类讨论，确定不等式解集中的整数，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】设不等式的解集为， 由得， 当时，即当时，原不等式即为，解得，即，不合乎题意； 当时，即当时，，则、、、，， 所以，解得，此时； 当时，即当时，，则、、、，， 所以，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【题型10 三个“二次”的关系】 【例10】（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【解答过程】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 【变式10-1】（25-26高一上·江苏常州·月考）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二次函数的图象和性质直接可得. 【解答过程】由的图象可知，， 得，，，，. 即，，. 所以BCD正确，A错误. 故选：A. 【变式10-2】（24-25高一下·云南·月考）已知二次函数的解集为. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，转化为是方程的两个实数根，结合根与系数的关系，以及，即可求解. （2）根据题意，转化为方程的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，函数， 因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根，可得， 则. （2）解：因为 的解集为，且， 即是方程的两个实数根， 又因为，即方程的两个负实数根， 则满足，解得且， 所以实数的取值范围为. 【变式10-3】（25-26高一上·上海松江·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于的方程只有一个根，求的值； (3)关于的不等式的解集为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或1 (3) 【解题思路】（1）解一元一次不等式可得结果； （2）分和，结合根的判别式得到不等式，即可得到的值； （3）分和，结合二次函数的图象性质得到不等式，即可得到的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，当时，，解得， 所以的解集为. （2）由题意，只有1个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1. （3），即的解集为， 当时，，解得，不符合要求， 当时，需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 【题型11 一元二次不等式恒成立、有解问题】 【例11】（25-26高一上·江苏·期中）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题转化为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【解答过程】由，且，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式11-1】（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【解答过程】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式11-2】（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出参数的取值范围； （2）参变分离可得存在使得成立，结合的范围求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】（1）因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （2）不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 【变式11-3】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【解答过程】（1）由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2）由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； （3）由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【题型12 一元二次不等式的实际应用】 【例12】（25-26高一上·江苏·期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【解答过程】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C. 【变式12.1】（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【解答过程】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 【变式12.2】（25-26高一上·上海·月考）某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润； (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利润不低于140万元. 【答案】(1)140万元 (2)每本不低于30元且不高于45元 【解题思路】（1）根据题意直接求解即可； （2）设杂志的定价为每本元，由题意得，进而解不等式即可. 【解答过程】（1）当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：万元. （2）设杂志的定价为每本元， 由题意，得，解得， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 【变式12.3】（25-26高一上·内蒙古包头·月考）完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)和时，彩带的总长最小值为 (2)①；② 【解题思路】（1）先根据题意列出等式，然后根据基本不等式的性质求出彩带的总长的最小值. （2）①根据矩形面积公式列出函数解析式即可；②根据题意要求列出不等式，然后求解集即可. 【解答过程】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. （2）①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】由不等式的性质结合举例说明，逐项判断即可. 【解答过程】对于A，取，满足，， 此时，故A错误； 对于B，取，满足，此时，故B错误； 对于C，因为，所以，又， 所以，所以，又， 所以，故C正确， 对于D，取，满足， 此时，故D错误， 故选：C. 2．（25-26高一上·江苏·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【解答过程】因为， 所以， 解得， 所以的解集为. 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【解答过程】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 4．（25-26高一上·湖南张家界·月考）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】整理可得，，结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】由得， 因为，，则，可得， 则， 当且仅当，即，时，取得等号， 所以的最小值为3. 故选：B. 5．（25-26高一上·江苏·期中）已知函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【解答过程】因为抛物线的开口向下，所以. 由二次函数的图像可知，函数的图像开口向上，且该函数的图像与轴相切，对称轴为直线， 所以，，且，则，， 不等式即，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 6．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【解答过程】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 7．（25-26高一上·江苏·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】将问题转化为，结合函数单调性求出在的最大值大于等于即可求解. 【解答过程】将不等式变形为：，令，所以是关于的函数； 当时，满足条件； 当时，满足条件； 当时，即时，在上单调递减， 若，使得关于的不等式成立，则，解得：或， 由于，则； 当时，即或时，在上单调递增， 若，使得关于的不等式成立，则，解得：或， 由于或，则或； 综上，实数的取值范围为：或； 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·湖南张家界·月考）已知，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据不等式的性质逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为， 所以， 即， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，即， 又因为， 所以，故C正确； 对于D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高一上·河南信阳·月考）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【解题思路】根据一元二次不等式的解法，结合一元二次方程的韦达定理，即可求解. 【解答过程】由条件知，，函数的两个零点分别为和， 由函数图象的开口向上，且，所以，故A正确，B错误； 方程的两个根分别为和，则，所以， 不等式，则，故C错误； 不等式，则，得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 故选：AD. 11．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若，，且，则下列选项中正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【解题思路】将变形可得A；借助基本不等式“”的活用结合基本不等式计算可得B；借助基本不等式计算可得C；借助基本不等式计算可得，再结合换元法与基本不等式计算可得D. 【解答过程】对于A项，若，，且，则， 所以，故A项正确； 对于B项，因为， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为，故B项错误； 对于C项，，，且，则， 即得，当且仅当，即，时取等号， 则 ， 当且仅当，即，时取等号，故C项正确； 对于D项，因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 令，则 ， 当且仅当，即，时取等号，故D项正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高一上·广东汕头·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【解题思路】把分式不等式转化为二次不等式即可求解. 【解答过程】不等式，即， 解得 故答案为： 13．（25-26高一上·湖北·期中）已知实数，满足，，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】利用待定系数法进行运算，利用同向不等式可加性求解即可. 【解答过程】令， 则， 因为，， 所以，， 则上两式相加得：， 故答案为：. 14．（25-26高一上·云南曲靖·期中）如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为 . 【答案】 【解题思路】设利用旧墙的长度为米，由面积求得矩形的另一边长，根据题意求得修建此矩形场地的总费用，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】设利用旧墙的长度为米，修建此矩形场地的总费用为元， 由题意知，矩形的另一边长为米， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 【答案】（1）；（2）， 【解题思路】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质计算可得； 【解答过程】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 所以； 又，，所以， 所以. 16．（25-26高一上·天津东丽·月考）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见详解 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【解答过程】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得. （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【解答过程】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以. 18．（25-26高一上·江苏无锡·月考）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．其底面为长方形ABCD，其中AD ≥ AB．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元． (1)若贮水池的总造价不超过312000元，求AD边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低? 最低总造价是多少? 【答案】(1)（单位：m） (2)当，时，贮水池的总造价最低，最低总造价是297600元． 【解题思路】（1）先设，，且，再根据总容积即可得到的值，再根据总造价可得到关于的一元二次不等式，进而求解即可得到AD边长的范围； （2）结合（1），再根据基本不等式求其最小值即可． 【解答过程】（1）设，，且， 则依题意可得，则，且， 则，且， 又总造价， 则，即， 整理得，解得， 所以AD边长的范围是（单位：m） （2）结合（1）有， 且总造价， 当且仅当时，等号成立， 所以当，时，贮水池的总造价最低，最低总造价是297600元． 19．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $