期末图形与几何专项05：长方体和正方体“奥数思维训练版”-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期末图形与几何专项05：长方体和正方体“奥数思维训练版” 昆日期、 日用时： 贝评价： 1.一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减 少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 4dm 2.淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代，兴于元代， 盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有世界琉璃看中国，中国琉璃看淄博” 之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是 他找来一个棱长10厘米的正方体容器，里面装有一些水，将这个高8厘米的长方体镇尺竖直 放入水中（镇尺底面与容器底面平行），镇尺浸没6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多 少？（容器厚度忽略不计） 6cm 7cm 第1页共5页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3.在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌面上（正方体 的一条棱与桌面接触)，流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段 AB的长是多少厘米？ 4.如图(1)所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方 体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图 (2)所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿 的部分的长是多少厘米？ (1) (2) 5.一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长 方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 向上平移个 第2页共5页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 6.一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加 了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 7.如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在 水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ →5cm 22cm 10cm 8.一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后， 现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此 时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。 9.一个圆锥形沙堆，底面积为9平方米，高为2米，把它倒入一个长方体沙坑里，将底面铺 均匀，此时沙坑里还空着20%，已知长方体沙坑长5米，宽3米，沙坑有多深？ 第3页共5页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 10.如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是40升，底面面积是10平方分米，箱侧面出现了 漏洞，漏洞下边沿距箱口0.8分米，现在这个水箱平放在地面上，最多能装水多少升？（铁皮 厚度不计) 11.一个长方体的棱长总和是240厘米，长、宽、高的比是5：3：4。这个长方体的体积是多 少立方厘米？ 12.一个长20厘米，高10厘米的密封的长方体容器里装有6厘米深的水，如果以容器的右侧 面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 3.王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体。这个长方 体容器的容积是多少毫升？ 60厘米 第4页共5页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 14.数学活动小组准备用一块长方形铁皮如图所示，制作一个长方体铁盒，活动步骤如下： 5cm 20cm 40cm 步骤一：剪掉四个角上所有阴影部分的正方形。（每个正方形都相同）。 步骤二：再沿虚线折起来，做成没有盖子的长方体铁盒。 (1)把这个铁盒的外面涂上防腐漆，每平方厘米用0.8克防腐漆，至少准备多少克防腐漆？ (2)要给这个铁盒配上一个盖子，至少需要多少平方厘米的铁皮？ (3)该铁盒能装多少立方厘米的物品？（铁皮厚度不计） 15.连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘 作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 (1)连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是 多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多 少平方厘米？ (2)连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿 出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小 盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪 示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 36cm 第5页共5页品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期末图形与几何专项05：长方体和正方体“奥数思维训练版” 昆日期、 日用时： 贝评价： 1.一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减 少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 4dm 【答案】360立方分米 【分析】一个长方体木块，从上部截去高为4分米的长方体，便成为一个正方体，说明原来长 方体木块的长和宽相等，长和宽相等的长方体，它的前后左右四个面完全相同。 表面积减少的部分就是截去的小长方体的前、后、左、右四个面的面积之和，且每个侧面都是 形状相等的小长方形，则每个侧面的面积为：96÷4=24（平方分米），因为截去的小长方体的 高是4分米，所以小长方体的长=24÷4=6（分米)，则原来大长方体的长为6分米，宽是6 分米，高为：6+4=10（分米），再根据长方体的体积=长×宽×高，代入数据计算即可。 4dm 【详解】96÷4÷4 =24÷4 =6(分米) 6×6×(6+4) =6×6×10 =36×10 =360(立方分米) 第1页共14页 学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 答：原来长方体的体积是360立方分米。 【点睛】一个长方体从上面水平截去一个小长方体时，大长方体表面积减少的部分就是小长方 体侧面积（即前、后、左、右四个面的面积之后）。 2.淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代，兴于元代， 盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有世界琉璃看中国，中国琉璃看淄博 之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是 他找来一个棱长10厘米的正方体容器，里面装有一些水，将这个高8厘米的长方体镇尺竖直 放入水中（镇尺底面与容器底面平行），镇尺浸没6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多 少？（容器厚度忽略不计） 6cm 7cm 【答案】400立方厘米 【分析】根据正方体体积=棱长×棱长×棱长，求出正方体容器的容积，正方体容器的底面积× 水面高度=水的体积，正方体容器的容积一水的体积=高6厘米的镇尺体积。高6厘米的镇尺 体积÷6=镇尺底面积，镇尺底面积×镇尺高=镇尺体积，据此列式解答。 【详解】10×10×10-10×10×7 =1000-700 =300(立方厘米) 300÷6=50(平方厘米) 50×8=400(立方厘米) 答：这个镇尺的体积是400立方厘米。 【点睛】关键是先求出镇尺底面积，掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 3.在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌面上（正方体 的一条棱与桌面接触)，流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段 AB的长是多少厘米？ 第2页共14页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【答案】15厘米 【分析】 如图 将正方体分成高AB和高BC两个长方体部分，流出的水的体积 是高BC部分的一半，根据正方体体积=棱长×棱长×棱长，求出流出的水的体积，乘2是高 BC部分的容积；正方体容器的容积一高BC部分的容积=高AB部分的容积，根据长方体的 高=体积÷底面积，即可求出AB的长。 【详解】10×10×10=1000（立方厘米） 20×20×20-1000×2 =8000-2000 =6000(立方厘米) 6000÷(20×20) =6000÷400 =15(厘米) 答：图中线段AB的长是15厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 4.如图（1)所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方 体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图 (2)所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿 的部分的长是多少厘米？ (1) (2) 【答案】25厘米 【分析】铁块往上提时水面会下降，填充由于铁块提起而空出部分的体积，即下降部分水的体 第3页共14页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 积等于铁块21厘米高度的体积，用这部分体积除以下降部分水的底面积（容器底面积一铁块 底面积)可以得到水面下降的高度。露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长，等于提出的21 厘米加上水面下降的高度。 【详解】下降水的体积：20×20×21 =400×21 =8400(立方厘米) 下降水的底面积：50×50一20×20 =2500-400 =2100(平方厘米) 下降高度：8400÷2100=4（厘米) 露出的浸湿高度：21十4=25（厘米） 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是25厘米。 【点睛】本题关键是明确下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，同时还需要注意， 下降部分水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差。 5.一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长 方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 向上平移个 【答案】14.4立方分米 【分析】这是一道关于长方体的题目，根据长方形的周长、面积公式与长方体的表面积、体积 公式解答；由长方形的周长=（长十宽）×2可知，长十宽=周长÷2，据此可求出长方形长与 宽的和，再结合长方形的面积=长×宽，可判断出长方形纸板的长与宽：由长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2可得，长方体的高=（表面积÷2一长×宽）÷（长+宽），据此 可求出长方体的高：然后根据长方体的体积=长×宽×高，可求出这个长方体的体积。 【详解】10-2=5（分米）》 3+2=5（分米) 3×2=6(平方分米) 因此可知：长方形的长是3分米，宽是2分米。 长方体的高： 第4页共14页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (36÷2-3×2)÷(3+2) =(18-6)÷5 =12÷5 =2.4(分米) 长方体的体积：3×2×2.4 =6×2.4 =14.4(立方分米) 答：这个长方体的体积是14.4立方分米。 【点睛】利用长方体的表面积公式求出长方体的高是解题的关键。 6.一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加 了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 【答案】180立方分米 【分析】因为左右两个面是边长为3分米的正方形，根据正方形的面积公式S=a,再乘2， 即可求出左右两个面的面积： 从图中可知，长方体切成4块后，表面积增加左右两个面和上下两个面的面积之和，先用增加 的表面积减去左右两个面的面积，即是上下两个面的面积，再除以2，即可求出原长方体的底 面积； 原长方体的高是3分米，根据长方体的体积公式V=Sh,求出原长方体的体积。 【详解】增加的左右两个面的面积： 3×3×2=18（平方分米) 长方体的底面积 (138-18)÷2 =120÷2 =60(平方分米) 原长方体的体积： 60×3=180(立方分米) 答：原长方体的体积是180立方分米。 第5页共14页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【点睛】先分析出表面积增加的是哪几个面的面积，求出原长方体的底面积是解题的关键，再 根据长方体的体积公式解答。 7.如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在 水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ 5cm 22cm 10cm 【答案】1470平方厘米 【分析】从图中可知，这个长方体物体外面的侧面是4个长22厘米、宽10厘米的长方形，物 体里面的侧面是4个长22厘米、宽5厘米的长方形，根据长方形的面积=长×宽，求出一个面 的面积，再乘4，分别求出长方体外面、里面的侧面积： 这个长方体物体的底面积=边长为10厘米的正方形的面积一边长为5厘米的正方形的面积， 根据正方形的面积=边长×边长求解： 如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积=物体外面的侧面积十物体里面的侧面积+物 体的底面积×2，据此求出物体与水接触的面积。 【详解】物体外面的侧面积：10×22×4=880（平方厘米） 物体里面的侧面积：5×22×4=440（平方厘米） 物体的两个底面积： (10×10-5×5)×2 =(100-25)×2 =75×2 =150(平方厘米) 物体与水接触的面积： 880+440+150=1470(平方厘米) 答：它与水接触的面积是1470平方厘米。 【点睛】本题考查长方体表面积公式的灵活运用，分析出物体接触水的面是哪些面，再根据图 形的面积公式求解。 8.一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后， 第6页共14页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此 时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。 【答案】320立方厘米 【分析】根据题意，先求出放入大玻璃球水上升的高度，再求出将大玻璃球取出后水的高度， 也就是玻璃缸里只有水时的水面高度。放入小玻璃球的体积等于水上升的体积，先明确放入小 玻璃球后水上升的高度，结合长方体的体积公式V=abh,求出小玻璃球的体积，解答即可。 【详解】480÷10-8 =48÷8 =6(厘米) 15一6=9（厘米） 13一9=4（厘米） 10×8×4 =80×4 =320（立方厘米) 答：小玻璃球的体积是320立方厘米。 【点睛】解答此题的关键是要求出不放入任何物体时，水面的高度。要明确放入物体后水上升 的体积即为所放物体的体积。 9.一个圆锥形沙堆，底面积为9平方米，高为2米，把它倒入一个长方体沙坑里，将底面铺 均匀，此时沙坑里还空着20%，已知长方体沙坑长5米，宽3米，沙坑有多深？ 【答案】0.5米 【分析】已知圆锥形沙堆的底面积和高，根据圆锥的体积公式V=-Sh,求出沙堆的体积： 然后把这些沙子倒入一个长方体沙坑里，沙子的体积不变：此时沙坑里还空着20%，把长方体 沙坑的容积看作单位1”，沙子的体积占长方体沙坑容积的(1一20%)，单位1”未知，用沙 子的体积除以(1一20%)，求出长方体沙坑的容积： 已知长方体沙坑长和宽，根据长方体体积（容积）公式V=abh可知，长方体的高h=V÷ab, 代入数据计算求出沙坑的深度。 【详解】圆锥形沙堆的体积： 台92=6（立方米） 长方体沙坑的容积： 第7页共14页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 6÷（1-20%) =6÷0.8 =7.5(立方米) 沙坑的深度： 7.5÷5÷3 =1.5÷3 =0.5(米) 答：沙坑有0.5米深。 【点睛】本题考查百分数除法的应用，圆锥的体积、长方体的体积（容积）公式的灵活运用， 抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 10.如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是40升，底面面积是10平方分米，箱侧面出现了 漏洞，漏洞下边沿距箱口0.8分米，现在这个水箱平放在地面上，最多能装水多少升？（铁皮 厚度不计) 0.8 【答案】32升 【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V=Sh,那么h=V:S,据此可以求出长方体水箱 的高，然后用水箱的高减去0.8分米求出可以装水的高，再用底面积乘高即可求出能装水的体 积。 【详解】40升=40立方分米 40÷10-0.8 =4-0.8 =3.2(分米) 3.2×10=32（立方分米) 32立方分米=32升 答：最多能装水32升。 【点晴】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：容积 第8页共14页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 单位与体积单位之间的换算。 11.一个长方体的棱长总和是240厘米，长、宽、高的比是5：3：4。这个长方体的体积是多 少立方厘米？ 【答案】7500立方厘米 【分析】已知一个长方体的棱长总和是240厘米，根据长方体的棱长总和=（长十宽十高）×4 可知，长方体的长、宽、高之和=棱长总和÷4； 又已知长、宽、高的比是5：3：4，则长、宽、高的总份数是(5+3十4)份：用长、宽、高 之和除以它们的总份数，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽、高的份数，求出长、宽、高： 最后根据长方体的体积=长×宽×高，代入数据计算，求出这个长方体的体积。 【详解】长、宽、高之和：240÷4=60（厘米） 一份数： 60÷(5+3+4) =60÷12 =5(厘米) 长：5×5=25（厘米） 宽：5×3=15（厘米） 高：5×4=20（厘米) 体积：25×15×20=7500（立方厘米） 答：这个长方体的体积是7500立方厘米。 【点睛】先灵活运用长方体的棱长总和求出长、宽、高之和，再把长、宽、高的比看作份数， 求出一份数，进而求出长、宽、高，最后根据长方体的体积公式求解。 12.一个长20厘米，高10厘米的密封的长方体容器里装有6厘米深的水，如果以容器的右侧 面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】根据题意，长方体内水的体积不变，以容器的右侧面为底竖直摆放，也就是改变水的 底面为宽和高围成的长方形，根据：水的体积=长×宽×高，水的高=水的体积÷（高×宽）计 算出结果即可，宽未知可以用字母代替计算。 【详解】设长方体容器的宽为b厘米。 20×b×6÷(10×b) 第9页共14页 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =120b÷10b =12(厘米) 答：此时容器内水高12厘米。 【点睛】此题考查了长方体的体积运用，关键能灵活运用等体积变形知识以及字母表示数进行 解答。 13.王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体。这个长方 体容器的容积是多少毫升？ 60厘米 【答案】6750毫升 【分析】根据题意，裁剪一块长方形铁皮焊接成一个底面是正方形的无盖长方体，则少上面， 共有5个面，且底面是正方形，4个侧面完全相同。 从图中可知，把长方形的长边平均分成两半，这样左右两边都是边长为30厘米的正方形，左 边的正方形作为长方体的底面，根据正方形的面积=边长×边长，求出长方体的底面积 把右边的正方形再平均分成4个小长方形，这4个小长方形作为长方体的侧面，用30：4即可 求出长方体的高： 最后根据公式V=S,以及进率：1立方厘米=1毫升，求出这个无盖长方体容器的容积。 【详解】正方形的边长：60：2=30（厘米) 长方体的高：30÷4=7.5（厘米） 长方体的体积： 30×30×7.5 =900×7.5 =6750(立方厘米) 6750立方厘米=6750毫升 答：这个长方体容器的容积是6750毫升。 【点睛】本题考查长方体体积（容积）公式的灵活运用，找出长方体容器的底面积和高是解题 的关键。 第10页共14页 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末图形与几何专项05：长方体和正方体“奥数思维训练版” 1．一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 2．淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代，兴于元代，盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有“世界琉璃看中国，中国琉璃看淄博”之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是他找来一个棱长10厘米的正方体容器，里面装有一些水，将这个高8厘米的长方体镇尺竖直放入水中（镇尺底面与容器底面平行），镇尺浸没6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多少？（容器厚度忽略不计） 3．在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌面上（正方体的一条棱与桌面接触），流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长是多少厘米？ 4．如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 5．一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 6．一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 7．如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ 8．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。 9．一个圆锥形沙堆，底面积为9平方米，高为2米，把它倒入一个长方体沙坑里，将底面铺均匀，此时沙坑里还空着20%，已知长方体沙坑长5米，宽3米，沙坑有多深？ 10．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是40升，底面面积是10平方分米，箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口0.8分米，现在这个水箱平放在地面上，最多能装水多少升？（铁皮厚度不计） 11．一个长方体的棱长总和是240厘米，长、宽、高的比是5∶3∶4。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 12．一个长20厘米，高10厘米的密封的长方体容器里装有6厘米深的水，如果以容器的右侧面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 13．王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体。这个长方体容器的容积是多少毫升？ 14．数学活动小组准备用一块长方形铁皮如图所示，制作一个长方体铁盒，活动步骤如下： 步骤一：剪掉四个角上所有阴影部分的正方形。（每个正方形都相同）。 步骤二：再沿虚线折起来，做成没有盖子的长方体铁盒。 （1）把这个铁盒的外面涂上防腐漆，每平方厘米用0.8克防腐漆，至少准备多少克防腐漆？ （2）要给这个铁盒配上一个盖子，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （3）该铁盒能装多少立方厘米的物品？（铁皮厚度不计） 15．连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末图形与几何专项05：长方体和正方体“奥数思维训练版” 1．一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】360立方分米 【分析】一个长方体木块，从上部截去高为4分米的长方体，便成为一个正方体，说明原来长方体木块的长和宽相等，长和宽相等的长方体，它的前后左右四个面完全相同。 表面积减少的部分就是截去的小长方体的前、后、左、右四个面的面积之和，且每个侧面都是形状相等的小长方形，则每个侧面的面积为：96÷4＝24（平方分米），因为截去的小长方体的高是4分米，所以小长方体的长＝24÷4＝6（分米），则原来大长方体的长为6分米，宽是6分米，高为：6＋4＝10（分米），再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】96÷4÷4 ＝24÷4 ＝6（分米） 6×6×（6＋4） ＝6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方分米） 答：原来长方体的体积是360立方分米。 【点睛】一个长方体从上面水平截去一个小长方体时，大长方体表面积减少的部分就是小长方体侧面积（即前、后、左、右四个面的面积之后）。 2．淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代，兴于元代，盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有“世界琉璃看中国，中国琉璃看淄博”之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是他找来一个棱长10厘米的正方体容器，里面装有一些水，将这个高8厘米的长方体镇尺竖直放入水中（镇尺底面与容器底面平行），镇尺浸没6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多少？（容器厚度忽略不计） 【答案】400立方厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体容器的容积，正方体容器的底面积×水面高度＝水的体积，正方体容器的容积－水的体积＝高6厘米的镇尺体积。高6厘米的镇尺体积÷6＝镇尺底面积，镇尺底面积×镇尺高＝镇尺体积，据此列式解答。 【详解】10×10×10－10×10×7 ＝1000－700 ＝300（立方厘米） 300÷6＝50（平方厘米） 50×8＝400（立方厘米） 答：这个镇尺的体积是400立方厘米。 【点睛】关键是先求出镇尺底面积，掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 3．在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌面上（正方体的一条棱与桌面接触），流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】 如图，将正方体分成高AB和高BC两个长方体部分，流出的水的体积是高BC部分的一半，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出流出的水的体积，乘2是高BC部分的容积；正方体容器的容积－高BC部分的容积＝高AB部分的容积，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出AB的长。 【详解】10×10×10＝1000（立方厘米） 20×20×20－1000×2 ＝8000－2000 ＝6000（立方厘米） 6000÷（20×20） ＝6000÷400 ＝15（厘米） 答：图中线段AB的长是15厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 4．如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】铁块往上提时水面会下降，填充由于铁块提起而空出部分的体积，即下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，用这部分体积除以下降部分水的底面积（容器底面积－铁块底面积）可以得到水面下降的高度。露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长，等于提出的21厘米加上水面下降的高度。 【详解】下降水的体积：20×20×21 ＝400×21 ＝8400（立方厘米） 下降水的底面积：50×50－20×20 ＝2500－400 ＝2100（平方厘米） 下降高度：8400÷2100＝4（厘米） 露出的浸湿高度：21＋4＝25（厘米） 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是25厘米。 【点睛】本题关键是明确下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，同时还需要注意，下降部分水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差。 5．一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 【答案】14.4立方分米 【分析】这是一道关于长方体的题目，根据长方形的周长、面积公式与长方体的表面积、体积公式解答； 由长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长＋宽＝周长÷2，据此可求出长方形长与宽的和，再结合长方形的面积＝长×宽，可判断出长方形纸板的长与宽； 由长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2可得，长方体的高＝（表面积÷2－长×宽）÷（长＋宽），据此可求出长方体的高； 然后根据长方体的体积＝长×宽×高，可求出这个长方体的体积。 【详解】10÷2＝5（分米） 3＋2＝5（分米） 3×2＝6（平方分米） 因此可知：长方形的长是3分米，宽是2分米。 长方体的高： （36÷2－3×2）÷（3＋2） ＝（18－6）÷5 ＝12÷5 ＝2.4（分米） 长方体的体积：3×2×2.4 ＝6×2.4 ＝14.4（立方分米） 答：这个长方体的体积是14.4立方分米。 【点睛】利用长方体的表面积公式求出长方体的高是解题的关键。 6．一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 【答案】180立方分米 【分析】因为左右两个面是边长为3分米的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2，再乘2，即可求出左右两个面的面积； 从图中可知，长方体切成4块后，表面积增加左右两个面和上下两个面的面积之和，先用增加的表面积减去左右两个面的面积，即是上下两个面的面积，再除以2，即可求出原长方体的底面积； 原长方体的高是3分米，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出原长方体的体积。 【详解】增加的左右两个面的面积： 3×3×2＝18（平方分米） 长方体的底面积： （138－18）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方分米） 原长方体的体积： 60×3＝180（立方分米） 答：原长方体的体积是180立方分米。 【点睛】先分析出表面积增加的是哪几个面的面积，求出原长方体的底面积是解题的关键，再根据长方体的体积公式解答。 7．如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】1470平方厘米 【分析】从图中可知，这个长方体物体外面的侧面是4个长22厘米、宽10厘米的长方形，物体里面的侧面是4个长22厘米、宽5厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘4，分别求出长方体外面、里面的侧面积； 这个长方体物体的底面积＝边长为10厘米的正方形的面积－边长为5厘米的正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长求解； 如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积＝物体外面的侧面积＋物体里面的侧面积＋物体的底面积×2，据此求出物体与水接触的面积。 【详解】物体外面的侧面积：10×22×4＝880（平方厘米） 物体里面的侧面积：5×22×4＝440（平方厘米） 物体的两个底面积： （10×10－5×5）×2 ＝（100－25）×2 ＝75×2 ＝150（平方厘米） 物体与水接触的面积： 880＋440＋150＝1470（平方厘米） 答：它与水接触的面积是1470平方厘米。 【点睛】本题考查长方体表面积公式的灵活运用，分析出物体接触水的面是哪些面，再根据图形的面积公式求解。 8．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。 【答案】320立方厘米 【分析】根据题意，先求出放入大玻璃球水上升的高度，再求出将大玻璃球取出后水的高度，也就是玻璃缸里只有水时的水面高度。放入小玻璃球的体积等于水上升的体积，先明确放入小玻璃球后水上升的高度，结合长方体的体积公式V＝abh，求出小玻璃球的体积，解答即可。 【详解】480÷10÷8 ＝48÷8 ＝6（厘米） 15－6＝9（厘米） 13－9＝4（厘米） 10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方厘米） 答：小玻璃球的体积是320立方厘米。 【点睛】解答此题的关键是要求出不放入任何物体时，水面的高度。要明确放入物体后水上升的体积即为所放物体的体积。 9．一个圆锥形沙堆，底面积为9平方米，高为2米，把它倒入一个长方体沙坑里，将底面铺均匀，此时沙坑里还空着20%，已知长方体沙坑长5米，宽3米，沙坑有多深？ 【答案】0.5米 【分析】已知圆锥形沙堆的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，求出沙堆的体积； 然后把这些沙子倒入一个长方体沙坑里，沙子的体积不变；此时沙坑里还空着20%，把长方体沙坑的容积看作单位“1”，沙子的体积占长方体沙坑容积的（1－20%），单位“1”未知，用沙子的体积除以（1－20%），求出长方体沙坑的容积； 已知长方体沙坑长和宽，根据长方体体积（容积）公式V＝abh可知，长方体的高h＝V÷a÷b，代入数据计算求出沙坑的深度。 【详解】圆锥形沙堆的体积： ×9×2＝6（立方米） 长方体沙坑的容积： 6÷（1－20%） ＝6÷0.8 ＝7.5（立方米） 沙坑的深度： 7.5÷5÷3 ＝1.5÷3 ＝0.5（米） 答：沙坑有0.5米深。 【点睛】本题考查百分数除法的应用，圆锥的体积、长方体的体积（容积）公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 10．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是40升，底面面积是10平方分米，箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口0.8分米，现在这个水箱平放在地面上，最多能装水多少升？（铁皮厚度不计） 【答案】32升 【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，据此可以求出长方体水箱的高，然后用水箱的高减去0.8分米求出可以装水的高，再用底面积乘高即可求出能装水的体积。 【详解】40升＝40立方分米 40÷10－0.8 ＝4－0.8 ＝3.2（分米） 3.2×10＝32（立方分米） 32立方分米＝32升 答：最多能装水32升。 【点睛】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：容积单位与体积单位之间的换算。 11．一个长方体的棱长总和是240厘米，长、宽、高的比是5∶3∶4。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】7500立方厘米 【分析】已知一个长方体的棱长总和是240厘米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4； 又已知长、宽、高的比是5∶3∶4，则长、宽、高的总份数是（5＋3＋4）份；用长、宽、高之和除以它们的总份数，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽、高的份数，求出长、宽、高； 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个长方体的体积。 【详解】长、宽、高之和：240÷4＝60（厘米） 一份数： 60÷（5＋3＋4） ＝60÷12 ＝5（厘米） 长：5×5＝25（厘米） 宽：5×3＝15（厘米） 高：5×4＝20（厘米） 体积：25×15×20＝7500（立方厘米） 答：这个长方体的体积是7500立方厘米。 【点睛】先灵活运用长方体的棱长总和求出长、宽、高之和，再把长、宽、高的比看作份数，求出一份数，进而求出长、宽、高，最后根据长方体的体积公式求解。 12．一个长20厘米，高10厘米的密封的长方体容器里装有6厘米深的水，如果以容器的右侧面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】根据题意，长方体内水的体积不变，以容器的右侧面为底竖直摆放，也就是改变水的底面为宽和高围成的长方形，根据：水的体积＝长×宽×高，水的高＝水的体积÷（高×宽）计算出结果即可，宽未知可以用字母代替计算。 【详解】设长方体容器的宽为b厘米。 20×b×6÷（10×b） ＝120b÷10b ＝12（厘米） 答：此时容器内水高12厘米。 【点睛】此题考查了长方体的体积运用，关键能灵活运用等体积变形知识以及字母表示数进行解答。 13．王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体。这个长方体容器的容积是多少毫升？ 【答案】6750毫升 【分析】根据题意，裁剪一块长方形铁皮焊接成一个底面是正方形的无盖长方体，则少上面，共有5个面，且底面是正方形，4个侧面完全相同。 从图中可知，把长方形的长边平均分成两半，这样左右两边都是边长为30厘米的正方形，左边的正方形作为长方体的底面，根据正方形的面积＝边长×边长，求出长方体的底面积； 把右边的正方形再平均分成4个小长方形，这4个小长方形作为长方体的侧面，用30÷4即可求出长方体的高； 最后根据公式V＝Sh，以及进率：1立方厘米＝1毫升，求出这个无盖长方体容器的容积。 【详解】正方形的边长：60÷2＝30（厘米） 长方体的高：30÷4＝7.5（厘米） 长方体的体积： 30×30×7.5 ＝900×7.5 ＝6750（立方厘米） 6750立方厘米＝6750毫升 答：这个长方体容器的容积是6750毫升。 【点睛】本题考查长方体体积（容积）公式的灵活运用，找出长方体容器的底面积和高是解题的关键。 14．数学活动小组准备用一块长方形铁皮如图所示，制作一个长方体铁盒，活动步骤如下： 步骤一：剪掉四个角上所有阴影部分的正方形。（每个正方形都相同）。 步骤二：再沿虚线折起来，做成没有盖子的长方体铁盒。 （1）把这个铁盒的外面涂上防腐漆，每平方厘米用0.8克防腐漆，至少准备多少克防腐漆？ （2）要给这个铁盒配上一个盖子，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （3）该铁盒能装多少立方厘米的物品？（铁皮厚度不计） 【答案】（1）560克 （2）300平方厘米 （3）1500立方厘米 【分析】（1）观察图形可知，这个铁盒所需铁皮的面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求出这个无盖铁盒的表面积；再用每平方厘米需防腐漆的质量乘这个无盖铁盒的表面积，即可求出至少需准备防腐漆的质量。 （2）要给这个铁盒配上一个盖子，求至少需要铁皮的面积，就是求这个无盖长方体铁盒上面的面积，根据长方形的面积＝长×宽，其中长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，代入数据计算即可求解。 （3）这个无盖长方体纸盒的长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，高是5厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算即可求解。 【详解】（1）40×20－5×5×4 ＝800－100 ＝700（平方厘米） 0.8×700＝560（克） 答：至少准备560克防腐漆。 （2）（40－5－5）×（20－5－5） ＝30×10 ＝300（平方厘米） 答：至少需要300平方厘米的铁皮。 （3）（40－5－5）×（20－5－5）×5 ＝30×10×5 ＝1500（立方厘米） 答：该铁盒能装1500立方厘米的物品。 【点睛】本题考查无盖长方体的表面积、体积（容积）公式的灵活运用，以及长方形、正方形面积公式的运用，找出无盖长方体铁盒的长、宽、高是解题的关键。 15．连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 【答案】（1）8704立方厘米；1088平方厘米 （2）见详解；长24厘米；宽18厘米；高6厘米 【分析】（1）已知长方体礼盒的长、宽、高，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求出这个礼盒的体积。 要在礼盒的四周贴一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），求这圈商标纸的面积，就是求长方体的侧面积，长方体的侧面是4个长36厘米、宽8.5厘米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘4即可。 （2）已知连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，那么长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数。在长方形纸板的四个角上分别剪去边长是6厘米、12厘米、18厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体礼盒，此时长方体的长＝长方形的长－2条边长，长方体的宽＝长方形的宽－2条边长，长方体的高＝正方形的边长；据此分情况讨论，求出哪种礼盒正好能装下12小盒连翘红茶，即可确定无盖长方体的长、宽、高，并画出裁剪示意图。 【详解】（1）32×32×8.5 ＝1024×8.5 ＝8704（立方厘米） 32×8.5×4 ＝272×4 ＝1088（平方厘米） 答：这样一个礼盒的体积是8704立方厘米，这圈商标纸至少是1088平方厘米。 （2）长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数； ①假设高是6厘米，那么： 长：36－6－6＝24（厘米） 宽：30－6－6＝18（厘米） 长可以装：24÷6＝4（盒） 宽可以装：18÷6＝3（盒） 高可以装：6÷6＝1（盒） 一共可以装：4×3×1＝12（盒） 刚好装下这12小盒连翘红茶，符合题意。 ②假设高是12厘米，那么： 长：36－12－12＝12（厘米） 宽：30－12－12＝6（厘米） 长可以装：12÷6＝2（盒） 宽可以装：6÷6＝1（盒） 高可以装：12÷6＝2（盒） 一共可以装：2×1×2＝4（盒） 4＜12 不能装下这12小盒连翘红茶，不符合题意。 ③假设高是18厘米，那么： 长：36－18－18＝0（厘米） 不符合题意。 裁剪示意图如下：        答：制作成的礼盒长是24厘米，宽是18厘米，高是6厘米。 【点睛】（1）掌握长方体的体积、表面积公式的运用，关键是分析出商标纸的面积是长方体哪些面的面积之和。 （2）掌握用长方形硬纸板做无盖长方体的方法，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $