精品解析：河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高一上学期分科后第二次月考数学试题

南阳一中2025年秋期高一分科后第二次月考 数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“是无理数”的否定是（ ） A. 不是无理数 B. 不是无理数 C. 不是无理数 D. 不是无理数 3. 某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对户居民进行抽样，先将户居民进行编号，，，…，，从中抽取个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（    ） 21 45 70 16 33 88 29 54 07 61 10 84 37 11 69 28 50 74 36 02 95 41 83 15 72 60 49 08 39 24 56 81 09 80 43 19 67 52 03 98 45 96 A. B. C. D. 4. 已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（ ） A. 与相互独立且 B. 与不相互独立且 C. 与相互独立且 D. 与不相互独立且 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 7. 宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（ ） A. 15天 B. 16天 C. 17天 D. 18天 8. 定义域和值域均为（常数）的函数和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解； 那么，其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（每小题6分，共18分，选对部分得部分分，选错或者多选无分） 9. 已知且，函数和图象的交点问题，下列结论正确的是（ ） A. 当时，有1个或3个交点 B. 当时，有0个或2个交点 C. 所有交点都在直线上 D. 所有交点都关于直线对称 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据的平均数为4，则这组数据的方差是5 B. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若的标准差为2，则的标准差为4 D. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 11. 已知函数，关于函数有如下命题，其中真命题是（ ） A. 对所有实数x成立 B. 存在b，使得方程有2个有理数解 C. 若，则且，为无理数 D. 对任意，都存在，使得 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也.”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世.按父子相继曰世”.“一世”又叫“一代”，到了唐朝，为了避李世民的讳，“一世”方改为“一代”，当代中国学者测算“一代”平均为25年.另据美国麦肯锡公司的研究报告显示，全球家庭企业的平均寿命其实只有24年，其中只有约的家族企业可以传到第二代，能够传到第三代的家族企业数量为总量的，只有的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值.根据上述材料，可以推断美国学者认为“一代”应为__________年． 13. 专用通信电缆总长度问题，可将弯曲的河道“拉直”，使刻画曲线段的长度变成刻画直线段的长度，可转化为绝对值之和问题．高层电梯停在第几层，可使电梯运行距离最短也属于此类问题．则函数的最小值为___________． 14. 已知，，，，则__________. 四、解答题 15. 某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率： （1）两个歌唱节目相邻； （2）舞蹈和小品至少有1个在最前或最后． 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 17. 甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． （1）求恰好比赛3局后甲获胜的概率； （2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 18. 已知函数. （1）若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围. 19. 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”． （1）函数是否有“飘移点”？请说明理由； （2）证明函数在上有“飘移点”； （3）若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中2025年秋期高一分科后第二次月考 数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解不等式，明确集合的元素，根据集合交集运算，可得答案. 【详解】由，则，即，由，则，即， ， 故选：A. 2. 命题“是无理数”的否定是（ ） A. 不是无理数 B. 不是无理数 C. 不是无理数 D. 不是无理数 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】解：由全称量词命题的否定为存在量词命题， 得命题：是无理数”的否定是：不是无理数. 故选：A. 3. 某社区为了调查小区居民对社区的满意度，利用随机数表对户居民进行抽样，先将户居民进行编号，，，…，，从中抽取个样本，下面是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第7列开始横向自左向右依次读取数据，则得到的第7个样本编号是（    ） 21 45 70 16 33 88 29 54 07 61 10 84 37 11 69 28 50 74 36 02 95 41 83 15 72 60 49 08 39 24 56 81 09 80 43 19 67 52 03 98 45 96 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由随机数表依次读取数据，注意舍去超出范围的编号与重复的编号即可. 【详解】从随机数表中的第2行第7列开始向右读取数据，依次为163，388（超出299，舍去），295，407（超出299，舍去），611（超出299，舍去），084，371（超出299，舍去），169，285，074，360（超出299，舍去），295（与前样本重复，舍去），418（超出299，舍去），315（超出299，舍去），726（超出299，舍去），049， 故得到的第7个样本编号是049， 故选：C. 4. 已知是一个随机试验中的两个随机事件，若，，则（ ） A. 与相互独立且 B. 与不相互独立且 C. 与相互独立且 D. 与不相互独立且 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知判断是否成立，结合概率的性质求，即可得. 【详解】由题设，，， 所以事件与事件相互独立； 由概率的性质，有. 故选：C 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可排除B，利用再根据指数函数的性质排除CD，得解. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 图象关于原点对称，故排除B， 当时，， 由，得，排除CD． 故选：A． 6. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C；根据对立事件概率计算即可判断B；根据结合古典概型求解概率，结合独立事件概率性质即可判断D. 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 7. 宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨，水面清圆，一一风荷举”．已知池塘中的荷花每经过一天的生长，荷叶覆盖水面面积都是前一天的倍，若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶大约生长了（参考数据：）（ ） A. 15天 B. 16天 C. 17天 D. 18天 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定出天数与荷叶覆盖水面的面积之间的关系式，再结合指数幂、对数的运算性质求解即可. 【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为， 则经过天荷叶覆盖水面的面积， 由题意得，即， 两边取以10为底的对数得， 所以， 解得． 故选：． 8. 定义域和值域均为（常数）的函数和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）方程有且仅有三个解； （2）方程有且仅有三个解； （3）方程有且仅有九个解； （4）方程有且仅有一个解； 那么，其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，依次判断： （1）由于，可得方程有且仅有三个解； （2）由于，可得方程最多三个解； （3）方程的解最多有九个解； （4）由于，可得方程有且仅有一个解. 最后可求得结果. 【详解】（1）方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解；g（x）有三个不同值，由于y＝g（x）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解；从图中可知，f（x）∈（0，a）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解．结合图象，y＝g（x）是减函数，故正确． 故答案为①④． 故选B. 【点睛】本题考查了函数的图象及其性质、复合函数的图象与性质、方程的解与函数的零点之间的关系，考查了推理能力，考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 二、多选题（每小题6分，共18分，选对部分得部分分，选错或者多选无分） 9. 已知且，函数和图象的交点问题，下列结论正确的是（ ） A. 当时，有1个或3个交点 B. 当时，有0个或2个交点 C. 所有交点都在直线上 D. 所有交点都关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】分和两种情况，根据对数函数图象分析判断. 【详解】当时，可知：指数函数在上单调递减，对数函数在上单调递减， 当时，如图所示，此时有3个交点，其中一个在直线上，另外两个关于直线对称；     当时，如图所示，此时有1个交点； 当时，如图所示，此时有1个交点；     当时，可知：指数函数在上单调递增，对数函数在上单调递增， 当时，如图所示，此时有2个交点，此时两个交点在直线上；     当时，如图所示，此时有1个交点；     当时，如图所示，此时有0个交点； 可知：当时，此时可能有0个或1个或2个交点； 综上所述：当时，此时有1个或3个交点； 当时，此时可能有0个或1个或2个交点，故A正确，B错误； 所有交点可能在直线上，可能关于直线对称，故C错误，D正确. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据的平均数为4，则这组数据的方差是5 B. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 若的标准差为2，则的标准差为4 D. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由平均数和方差计算公式分析A，由百分位数计算公式分析B，由方差与标准差的性质分析C，由分层抽样方法分析D，综合可得答案． 【详解】对于A，数据的平均数为4，则有，解可得， 则这组数据的方差，故A错误； 对于B，将数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30，由于， 则数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23，故B正确； 对于C，若样本的标准差为2，则方差为4， 则的方差为，则的标准差为4，故C正确； 对于D，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人， 则抽取的比例为，高二年级应抽取人，故从高三年级学生中抽取的人数为人，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数，关于函数有如下命题，其中真命题是（ ） A. 对所有实数x成立 B. 存在b，使得方程有2个有理数解 C. 若，则且，为无理数 D. 对任意，都存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，通过函数解析式可知对于任意的，函数值均恒正，即可判断选项正误；对于B选项，当时，函数存在两个有理数解，即可判断选项正误；对于C选项，通过举出反例即可判断选项正误；对于D选项，分为有理数及为无理数两种情况分类讨论即可判断选项正误. 【详解】对于A选项，已知， 即当时，，当且时，， 由此可得：时，，又，则， 即得：对所有实数成立，故A选项正确； 对于B选项，当时，由于，， 因此可得：存在，使得方程有两个有理数解. 故B选项正确； 对于C选项，当，时，，， 满足的条件，但不满足且，为无理数的条件，故C选项错误； 对于D选项，当为有理数时，只需要取为正的无理数，则，均为无理数，因此可得：，满足题意； 当为无理数时，一定存在，使得与也为无理数， 故得：，满足题意； 因此可得：对任意，都存在，使得. 故D选项正确. 故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也.”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世.按父子相继曰世”.“一世”又叫“一代”，到了唐朝，为了避李世民的讳，“一世”方改为“一代”，当代中国学者测算“一代”平均为25年.另据美国麦肯锡公司的研究报告显示，全球家庭企业的平均寿命其实只有24年，其中只有约的家族企业可以传到第二代，能够传到第三代的家族企业数量为总量的，只有的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值.根据上述材料，可以推断美国学者认为“一代”应为__________年． 【答案】20 【解析】 【分析】设美国学者认为的一代为年，然后可得出寿命在、、、的家族企业的频率分别为、、、，然后利用平均数公式列方程解出的值，即可得出所求结果． 【详解】设美国学者认为的一代为年，然后可得出寿命在、、、的家族企业的频率分别为、、、， 则家族企业的平均寿命为， 解得，因此，美国学者认为“一代”应为年，故答案为. 【点睛】本题考查平均数公式的应用，解题的关键要审清题意，将题中一些关键信息和数据收集起来，结合相应的条件或公式列等式或代数式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题． 13. 专用通信电缆总长度问题，可将弯曲的河道“拉直”，使刻画曲线段的长度变成刻画直线段的长度，可转化为绝对值之和问题．高层电梯停在第几层，可使电梯运行距离最短也属于此类问题．则函数的最小值为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】由绝对值的几何意义即可求解. 【详解】的几何意义为： 数轴上的点到距离之和， 当时，取到最小值， 当时，取到最小值， 当时，取到最小值， 综上可知当时，取到最小值， 即当时，， 故答案为：9 14. 已知，，，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】构造函数，可得，结合单调性可得，即可得解. 【详解】因为，显然，所以， 又，显然， 所以， 令函数，则， 易知在上单调递增，， 所以在上有唯一的零点， 所以，即， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率： （1）两个歌唱节目相邻； （2）舞蹈和小品至少有1个在最前或最后． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型列举样本空间的基本事件总数，从而设事件A：两个歌唱节目相邻，确定事件A发生的样本总数，从而得概率； （2）设事件B：舞蹈和小品至少有1个在最前或最后，结合对立事件关系确定，从而得所求概率. 【小问1详解】 记2个歌唱节目为，记1个舞蹈节目为，1个小品节目为， 则按任意次序排出一个节目单的样本空间是： bamn，banm，bman，bmna，bnam，bnma，mabn，manb，mban，mbna，mnab，mnba， nabm，namb，nbam，nbma，nmab，nmba，共24件， 设事件A：两个歌唱节目相邻，事件A包含的样本点有 abmn，abnm，bamn，banm，mabn，mban，mnab，mnba，nabm，nbam，nmab，nmba，共12个， 则；即两个歌唱节目相邻的概率是. 【小问2详解】 设事件B：舞蹈和小品至少有1个在最前或最后，则事件B的对立事件：舞蹈和小品排在中间， 而事件包含的样本点有，共4件， 所以 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】（1）；84 （2）74 （3）62；37 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率关系可得的值，再根据百分位数的概念求解样本成绩的第75百分位数即可； （2）根据频率分布直方图计算平均数即可； （3）根据样本的平均数与方差求解总体的平均数与方差即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图面积和为1， 可得， 解得； 成绩在的频率为， 则第75百分位数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图可得样本平均数为 ． 【小问3详解】 可知成绩落在的人数为人， 成绩落在的人数为人， 则两组总体成绩平均数为， 则总体方差为． 17. 甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． （1）求恰好比赛3局后甲获胜的概率； （2）求甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件，由并应用独立事件乘法公式求概率； （2）记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率. 【小问1详解】 记“甲在第局获胜”为事件，“恰好比赛3局后甲获胜”为事件， 所以，则， 所以恰好比赛3局后甲获胜的概率为. 【小问2详解】 记“甲在4局以内（包含4局）赢得比赛”为事件，则， 因为， 且， 所以， 即甲在4局以内（包含4局）赢得比赛的概率为. 18. 已知函数. （1）若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （2）若对任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算可得，令，转化问题为方程在上有两个不同的实数根，进而结合求解即可； （2）令，转化问题为对于恒成立，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由， 令，由于关于的方程有两个不同的实数解， 则方程在上有两个不同的实数根， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，， 得， 令，则， 即对于恒成立， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 且，则，即， 所以的取值范围为.. 19. 若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”． （1）函数是否有“飘移点”？请说明理由； （2）证明函数在上有“飘移点”； （3）若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 不存在，理由如下： 对于，则，整理得， ∵，则该方程无解， ∴函数不存在“飘移点”. （2） 对于，则，整理得， ∵在内连续不断，且， ∴在内存在零点，则方程在内存在实根， 故函数在上有“飘移点”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意整理得，通过判断该方程是否有解； （2）根据题意可得，构建函数，结合零点存在性定理分析证明； （3）根据题意整理得，利用换元结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对于，则，即， ∵，则， 令，则， ∴， 又∵，当且仅当，即时等号成立， 则，， ∴，即， 故实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $