第24章 微探究小专题11 圆中常见辅助线 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（人教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 人教版 2 第二十四章　圆 微探究小专题11 圆中常见辅助线 问题探究思考 问题1　连半径，构造等腰三角形 如图， AB 是☉ O 的直径， CD 是☉ O 的弦， AB ， CD 的延长线交于点 E ，已知 AB ＝2 DE ，∠ AEC ＝20°.求∠ AOC 的度数. 微探究小专题11　圆中常见辅助线 解：如图，连接 OD . ∵ AB ＝2 DE ， AB ＝2 OD ， ∴ OD ＝ DE . ∴∠ DOE ＝∠ AEC ＝20°. ∴∠ CDO ＝∠ DOE ＋∠ AEC ＝40°. 解：如图，连接 OD . ∵ AB ＝2 DE ， AB ＝2 OD ， ∴ OD ＝ DE . ∴∠ DOE ＝∠ AEC ＝20°. ∴∠ CDO ＝∠ DOE ＋∠ AEC ＝40°. ∵ OC ＝ OD ，∴∠ OCD ＝∠ ODC ＝40°. ∴∠ AOC ＝∠ OCD ＋∠ AEC ＝40°＋20°＝60°. 微探究小专题11　圆中常见辅助线 ∵ OC ＝ OD ，∴∠ OCD ＝∠ ODC ＝40°. ∴∠ AOC ＝∠ OCD ＋∠ AEC ＝40°＋20°＝60°. 题中的条件 AB ＝2 DE ，启发我们作辅助线 ，构造 ⁠ 三角形. OD 　 等 腰　 微探究小专题11　圆中常见辅助线 问题2　作弦心距，构造直角三角形 如图，已知☉ O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E ， AE ＝6 cm， EB ＝2 cm，∠ BED ＝30°，求 CD 的长. 解：如图，过点 O 作 OM ⊥ CD 于点 M ，连接 OC ，则 CD ＝2 CM . ∵ AE ＝6 cm， EB ＝2 cm，∴ AB ＝ AE ＋ EB ＝6＋2＝8(cm). ∴ OC ＝ OB ＝ AB ＝4 cm. ∴ OE ＝ OB － BE ＝4－2＝2(cm). ∵∠ CEA ＝∠ BED ＝30°， 解：如图，过点 O 作 OM ⊥ CD 于点 M ， 连接 OC ，则 CD ＝2 CM . ∵ AE ＝6 cm， EB ＝2 cm， ∴ AB ＝ AE ＋ EB ＝6＋2＝8(cm). 微探究小专题11　圆中常见辅助线 ∴ OC ＝ OB ＝ AB ＝4 cm. ∴ OE ＝ OB － BE ＝4－2＝2(cm). ∵∠ CEA ＝∠ BED ＝30°， ∴ OM ＝ OE ＝ ×2＝1(cm). ∴ CM ＝ ＝ ＝ (cm). ∴ CD ＝2 CM ＝2 cm. 微探究小专题11　圆中常见辅助线 ∴ OM ＝ OE ＝ ×2＝1(cm). ∴ CM ＝ ＝ ＝ (cm). ∴ CD ＝2 CM ＝2 cm. 圆中遇弦常作辅助线 ，构造 三角形. 弦心距　 直角　 微探究小专题11　圆中常见辅助线 问题3　构造直径所对圆周角 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝45°， AB 为☉ O 的直径， AC 交 ☉ O 于点 E ，连接 BE . (1)求∠ EBC 的度数； (1)解：∵ AB 为☉ O 的直径，∴∠ AEB ＝90°. ∵∠ BAC ＝45°，∴∠ ABE ＝90°－45°＝45°. ∵ AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝ ＝67.5°. ∴∠ EBC ＝∠ ABC －∠ ABE ＝67.5°－45°＝22.5°. 微探究小专题11　圆中常见辅助线 (2)求证： BD ＝ CD . (2)证明：如图，连接 AD . ∵ AB 为☉ O 的直径，∴∠ ADB ＝90°，即 AD ⊥ BC . ∵ AB ＝ AC ，∴ BD ＝ DC . 圆中遇直径常作辅助线 ，构造 ⁠三 角形. 直径所对的圆周角　 直角　 微探究小专题11　圆中常见辅助线 问题4　遇切线连接圆心和切点 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的半圆 O 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，过点 D 作半圆 O 的切线 DF ，交 BC 于 点 F . (1)求证： BF ＝ DF ； 微探究小专题11　圆中常见辅助线 ∵ DF 是半圆 O 的切线，∴ OD ⊥ DF ，即∠ ODF ＝90°. ∴∠ ADO ＋∠ BDF ＝90°. ∵ OA ＝ OD ， ∴∠ OAD ＝∠ ODA . ∴∠ OAD ＋∠ BDF ＝90°. ∵∠ C ＝90°，∴∠ OAD ＋∠ B ＝90°. ∴∠ B ＝∠ BDF . ∴ BF ＝ DF . (1)证明：如图1，连接 OD . 微探究小专题11　圆中常见辅助线 (2)若 AC ＝4， BC ＝3， CF ＝1，求半圆 O 的半径长. (2)解：如图2，连接 OF ， OD ，设半圆 O 的半径为 r ，则 OD ＝ OE ＝ r . ∵ AC ＝4， BC ＝3， CF ＝1， ∴ OC ＝4－ r ， DF ＝ BF ＝ BC － CF ＝3－1＝2. ∵ OD2＋ DF2＝ OF2＝ OC2＋ CF2， ∴ r2＋22＝(4－ r )2＋12.∴ r ＝ . ∴半圆 O 的半径长为 . 微探究小专题11　圆中常见辅助线 遇圆的切线常连接 ，构造 三角形. 过切点的半径　 直角　 微探究小专题11　圆中常见辅助线 专题进阶小练 1. (2022·陕西中考)如图，△ ABC 内接于☉ O ，∠ C ＝46°，连接 OA ，则 ∠ OAB ＝(　A　) A. 44° B. 45° C. 54° D. 67° A 1 2 3 4 微探究小专题11　圆中常见辅助线 2. 若 AB 是☉ O 的弦，半径 OC ⊥ AB 于点 D ， AB ＝8 cm， OC ＝5 cm， 则 DC 的长为(　C　) A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm C 1 2 3 4 微探究小专题11　圆中常见辅助线 3. 如图，△ ABC 是☉ O 的内接三角形，过点 C 作☉ O 的切线交 BA 的延 长线于点 D ， AE 是☉ O 的直径，连接 EC . 求证：∠ ACD ＝∠ B . 证明：如图，连接 OC . ∵ CD 是☉ O 的切线， ∴∠ OCD ＝90°. ∴∠ OCA ＋∠ ACD ＝90°. ∵ OE ＝ OC ，∴∠ E ＝∠ OCE . 1 2 3 4 微探究小专题11　圆中常见辅助线 ∵ AE 是☉ O 的直径， ∴∠ ACE ＝90°. ∴∠ OCA ＋∠ OCE ＝90°. ∴∠ ACD ＝∠ OCE ＝∠ E . ∵∠ B ＝∠ E ， ∴∠ ACD ＝∠ B . 1 2 3 4 微探究小专题11　圆中常见辅助线 4. 如图， AB 为☉ O 的直径， AB ＝ AC ， BC ， AC 分别交☉ O 于点 D ， E . (1)求证： BD ＝ DE ＝ DC ； (1)证明：如图，连接 AD . ∵ AB 为☉ O 的直径，∴∠ ADB ＝90°.∴ AD ⊥ BC . 又∵ AB ＝ AC ，∴ BD ＝ DC ，∠ ABC ＝∠ C . ∵四边形 ABDE 为☉ O 的内接四边形. ∴∠ AED ＋∠ ABC ＝180°.又∵∠ AED ＋∠ CED ＝180°， ∴∠ ABC ＝∠ CED . ∴∠ CED ＝∠ C . ∴ DC ＝ DE . ∴ BD ＝ DE ＝ DC . 1 2 3 4 微探究小专题11　圆中常见辅助线 (2)若 DE ＝ ， AB ＝5，求 AE 的长. (2)解：如图，连接 BE . ∵ AB 为☉ O 的直径，∴∠ AEB ＝90°. ∵ DE ＝ ， AB ＝5， ∴ DC ＝ BD ＝ DE ＝ ， AC ＝ AB ＝5. ∴ BC ＝2 DC ＝2 .设 AE ＝ x ，则 CE ＝5－ x . ∵ AB2－ AE2＝ BC2－ CE2， ∴52－ x2＝(2 )2－(5－ x )2. 解得 x ＝3，即 AE 的长为3. 1 2 3 4 微探究小专题11　圆中常见辅助线 $$