11.4专题：用“动态圆”思想分析临界问题 教学设计 -2026届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习教案聚焦带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题，以平移圆、旋转圆、放缩圆三种动态圆模型为核心，系统梳理洛伦兹力提供向心力的规律及轨迹几何特征，通过情境引入、考点分类讲解、典例精析、限时训练等环节，帮助学生突破空间想象与几何推导难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于融合动态几何软件演示与模型建构，如用GeoGebra展示旋转圆圆心轨迹形成过程，结合科学思维中的分类讨论与极限思想，设计“三圆对比表格”和分层练习，快速提升学生临界条件分析能力，为教师提供精准的考点突破方案，高效助力高考复习。

课题 一轮复习：11.4专题：用“动态圆”思想分析临界问题 教 学 目 标 物理观念 1.理解带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的基本规律，掌握洛伦兹力提供向心力的表达式及轨迹半径与速度的关系，明确不同初始条件对轨迹的影响。 2.能够从宏观运动现象中抽象出粒子轨迹的几何特征，理解“动态圆”模型的本质是通过调整圆的位置、方向或大小来探究粒子可能的运动路径及其边界情况。 3.建立空间想象能力，将复杂的带电粒子运动问题转化为可操作的圆形轨迹分析，提升对磁场中临界状态和极值问题的物理直觉。 科学思维 1.掌握“平移圆”、“旋转圆”、“放缩圆”三种典型动态圆方法的适用情境，并能根据题设条件准确判断应采用哪种模型进行推理分析。 2.运用极限思想和几何作图法寻找临界轨迹，结合三角函数、圆的性质等数学工具进行定量计算，培养逻辑严密的综合分析能力。 3.在多解可能性的情境下，学会分类讨论，识别有效解与无效解，增强解决复杂物理问题的策略意识和系统性思维。 科学探究 1.通过设计模拟实验或使用GeoGebra等动态几何软件演示粒子轨迹变化过程，观察并归纳“动态圆”的运动规律，验证理论推导结果。 2.针对具体例题提出假设，自主构建物理模型，尝试多种解法比较优劣，发展探究能力和创新意识。 3.小组合作完成综合性问题求解任务，在交流中完善思路，反思错误根源，形成批判性思维习惯。 科学态度与责任 1.认识到物理学在现代科技中的基础作用，理解粒子加速器、质谱仪、回旋加速器等工作原理中蕴含的“动态圆”思想，激发学习兴趣和探索欲望。 2.养成严谨细致的科学态度，在解题过程中注重单位统一、数据合理性和几何准确性，杜绝粗枝大叶的习惯。 3.意识到科学研究需要耐心与坚持，面对难题不轻言放弃，勇于挑战自我，树立克服困难的信心与责任感。 教学重点 1.准确理解“平移圆”、“旋转圆”、“放缩圆”三种方法的核心思想及其适用条件，能够在具体题目中快速识别并选择合适的分析模型。 2.掌握利用动态圆法确定带电粒子在磁场中运动的临界轨迹，进而求解射出范围、时间极值、打中区域长度等问题的关键步骤。 教学难点 1.学生难以建立清晰的空间几何图像，尤其在“旋转圆”和“放缩圆”情境下，无法准确判断圆心轨迹与边界之间的关系，导致临界条件误判。 2.综合运用三角函数、圆的切线性质、勾股定理等数学知识进行复杂几何推导时容易出现计算失误或逻辑断层，影响最终结果。 教学方法 议题式教学法、情境探究法、讲授法、合作探究法 教具 多媒体课件、PPT动画演示“动态圆”轨迹变化、几何画板软件实时绘图、黑板板书配合手绘示意图 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 一、创设情境，引入“动态圆”概念 一、创设情境，引入“动态圆”概念 （1）播放视频：粒子在磁场中的运动轨迹动画 教师播放一段精心制作的动画视频，展示大量同种带电粒子从同一位置以相同速率但不同方向射入匀强磁场后的运动轨迹。可以看到这些粒子形成了一个“扇形”分布的轨迹群。接着切换画面，展示另一组粒子从一条直线上不同点以相同速度平行射入磁场的情形，其轨迹呈现出一系列平行排列的半圆弧。 提问引导：“同学们观察这两组粒子的运动轨迹有什么共同特点？它们是否都遵循相同的圆周运动规律？为什么轨迹会呈现这样的分布？” 等待学生回答后总结：虽然每个粒子都在做匀速圆周运动，但由于初速度的方向或入射点的不同，导致它们的轨迹圆心位置发生变化，从而形成不同的轨迹集合。这种通过改变圆的位置、方向或大小来研究粒子运动边界的思维方式，就是我们今天要学习的“动态圆”思想。 （2）回顾基础知识，建立认知桥梁 教师在黑板上书写核心公式： 洛伦兹力提供向心力：⇒ 周期公式： 强调：“当粒子种类（m,q）和磁感应强度B固定时，轨迹半径R仅由速度v决定；而当v也固定时，所有粒子的轨迹半径都相同。” 进一步提问：“如果一群粒子具有相同的R，但入射点或方向不同，那么它们的轨迹圆心在哪里？如何利用这个特性来分析临界问题？” 引出本节课主题——用“动态圆”思想分析临界问题，并板书课题。 1.观看视频，思考并回答教师提出的问题，初步感知粒子轨迹的规律性。 2.回忆高二所学的带电粒子在磁场中运动的知识，积极参与课堂互动。 3.在笔记本上整理关键公式，理解R与v的关系，为后续学习做好准备。 二、分类型讲解：“平移圆”、“旋转圆”、“放缩圆” 二、分类型讲解：“平移圆”、“旋转圆”、“放缩圆” （1）考点一：“平移圆”法——入射点变，方向与速度不变 【例1】如图所示，三角形ABC内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，AB边长为L，∠A＝30°，∠B＝90°，D是AB边的中点。现在DB段上向磁场内射入速度大小相同、方向平行于BC边的同种粒子(不考虑粒子间的相互作用和粒子重力)，若从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，则AC边上有粒子射出的区域长度为(　　) A.L　　B.L　　C.L　　D.L 教师出示教材例1图形，先让学生默读题目，然后逐步解析： 画图辅助说明：连接AD，因∠A=30°，∠B=90°，故△ABC为直角三角形，AB=L，则AD=DB=。 “从D点垂直BC射入，偏转后垂直AC射出，说明A点为该粒子做圆周运动的圆心，由此可得：粒子做圆周运动的半径为R＝L，则有AE＝L 根据几何知识有AF＝2×L·cos 30°＝，所以有粒子射出的区域长度为EF＝AF－AE＝L 总结“平移圆”要点： -条件：速度大小、方向相同，入射点在同一直线上 -特征：轨迹圆心共线，且该线与入射方向垂直 -方法：将半径为R的圆沿圆心线平移，找出与边界相切或过定点的临界位置 板书：“平移圆→圆心共线→平移找临界” （2）考点二：“旋转圆”法——方向变，速度大小与入射点不变 【例2】(多选)如图所示，挡板MQ左侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，挡板中间空隙NP长度为L，纸面上O点到N、P的距离相等，均为L。O处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　) A.若粒子速率v＝，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为 B.若粒子速率v＝，NP线段上各处都可能有粒子通过 C.若粒子速率v＝，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为 D.若粒子速率v＝，NP线段上各处都可能有粒子通过 教师展示例2情境：O点粒子源向各方向发射速率相同的正电粒子，挡板NP有空隙，求“逃出”概率。 提问：“当粒子从同一点O以相同速率向不同方向发射时，它们的轨迹半径是否相同？圆心分布有何规律？” 引导学生回忆：R＝恒定⇒所有轨迹均为同半径圆。 进一步：“每个粒子的圆心在哪里？它到O点的距离是多少？” 学生回答：圆心在初速度的垂线上，且距离O为R。 教师总结：“因此，所有可能的圆心构成一个以O为圆心、R为半径的圆——这就是‘旋转圆’的来源。” 演示动画：以O为中心，画出多个不同方向发射的粒子轨迹，显示其圆心确实落在一个大圆上。 回到例2：已知v＝⇒R=L。 分析哪些方向的粒子能穿过NP空隙： 从P点飞出的粒子，轨迹的圆心在N点，该粒子从O点发射时的速度方向与ON垂直斜向右下，与水平方向成60°角。从N点飞出的粒子，轨迹的圆心在S点，该粒子从O点发射时的速度方向与OS垂直，水平向右，两粒子发射速度间的夹角θ＝60°，发射方向在这两个方向之间的粒子都可从空隙NP“逃出”，粒子“逃出”的概率为，由图甲可知，NP线段上各处都可能有粒子通过，故A、B正确； 若粒子速率为v＝，则轨迹半径r＝ 粒子运动情况如图乙所示，粒子轨迹与P点相交时，圆心为A， 粒子轨迹与PN相切时，切点为D，圆心为C，两发射速度间的夹角θ＝∠AOC，由几何关系知θ>60°，则粒子“逃出”的概率为> 由图乙可知OD<ON＝L D在N点下方，故线段DN间不可能有粒子通过，故C、D错误。 教师强调：“必须精确作图，利用几何关系确定临界方向。” 总结“旋转圆”要点： -条件：同点、同速率、不同方向 -特征：圆心在以入射点为圆心、R为半径的圆上 -方法：旋转该圆，找出与边界相交的临界轨迹 板书：“旋转圆→圆心共圆→旋转定方向” （3）考点三：“放缩圆”法——方向固定，速度大小变化 【例3】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子的重力和粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 【例4】如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间； (2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。 教师引入例3和例4：粒子从c点或O点沿固定方向射入磁场，速度大小可变。 提问：“当速度v增大时，轨迹半径R如何变化？圆心位置如何移动？” 学生回答：R∝v⇒半径随速度增大而增大。 进一步：“所有轨迹的圆心是否在一条直线上？” 引导思考：初速度方向固定⇒半径方向始终垂直于该方向⇒圆心位于过入射点且垂直于初速的直线上。 举例说明：若粒子从c点垂直ac射入，则圆心必在ac延长线上。 展示例3图示：半圆形边界，粒子从c点射入。 目标：找在磁场中运动时间最长的粒子。 提示：“时间t＝T，T恒定⇒t∝θ。要t最大，需θ最大。” 引导学生思考：θ由什么决定？由粒子在磁场中偏转的角度决定。 当粒子轨迹与半圆边界相切时，偏转角最大。 作图演示：从小半径开始逐渐放大圆，直到与半圆弧相切，此时对应的圆心角最大。 计算得β=30°，θ＝π＋2β⇒θ＝π⇒t＝T＝ 再分析例4：O点沿37°方向射入正方形区域。 问题(1)：求最长时间⇒对应最大偏转角⇒粒子从ab边射出。 详细推导： 设轨道半径为R，由qBv0＝⇒R＝ T＝⇒T＝ 由几何关系得θ＝74°⇒t＝T＝ 问题(2)：从ad边离开的v0取值范围 最小：当粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示， 设此时速度为v01，轨道半径为R1， 由几何关系可得R1＋R1sin 37°＝0.4l 又qBv01＝，解得v01＝ 最大：当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时速度为v02，轨道半径为R2， 由几何关系可得R2＋R2cos 37°＝l， 又qBv02＝，解得v02＝ 综上可得<v0≤。 总结“放缩圆”要点： -条件：方向固定，速度大小可变 -特征：圆心在垂直初速方向的直线上 -方法：以入射点为定点，沿直线放缩圆半径，找与边界相切的临界态 板书：“放缩圆→圆心共线→放缩找极值” 1.认真听讲，跟随教师思路理解三种“动态圆”模型的适用条件。 2.动手绘制典型轨迹图，标注圆心、半径、速度方向等要素。 3.参与小组讨论，尝试独立解答例题，对比不同解法。 4.提出疑问，如“为何圆心会共线？”、“怎样判断何时相切为临界？” 三、典例精析，强化应用能力 三、典例精析，强化应用能力 （1）例题深化：综合运用三种方法 【拓展】如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B，磁场内有一块足够大的平面挡板，板面与磁场方向平行，在距挡板的距离为L处有一粒子源，可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子均被吸收，若粒子速率v＝，则挡板上被粒子打中区域的长度是　　(不计粒子的重力和粒子间的相互作用)。 教师给出拓展题，引导分析：v＝⇒R＝⇒R=L 粒子轨迹为半径L的圆，圆心在以O为圆心、L为半径的圆上（旋转圆）。 挡板为无限大平面，粒子打在其上即被吸收。 哪些粒子能打到挡板？只要轨迹与挡板相交即可。 最远打击点出现在粒子轨迹与挡板相切且远离O的方向。 作图：当粒子向上发射时，轨迹最高点距O为2R=2L，但挡板在下方距离L处。 考虑向下发射的粒子：轨迹下半圆可能与挡板相交。 当粒子竖直向下发射时，轨迹最低点距O为R=L，正好接触挡板⇒打中点为正下方。 当粒子斜向下发射时，轨迹可能延伸更远。 关键：找出左右两侧最远打击点。 当轨迹圆心在O正上方时（对应粒子水平发射），轨迹最低点距O为R=L，仍接触挡板。 当圆心移至左上方，轨迹左下部可能更远。 正确做法：所有轨迹圆心在以O为圆心、R=L的圆上。 挡板位于y=-L处（设O在原点）。 几何关系可得AB＝L，AC＝L 所求长度为BC＝AB＋AC＝(＋1)L 强调：“此类问题需借助几何对称性和极限位置分析。” （2）学生练习：限时训练与反馈 发放练习题单，包含三类动态圆的变式题各一题： 1.平移圆题：直线边界上多点发射同向粒子，求射出区域长度。 2.旋转圆题：圆形区域内多方向发射，求打中某弧段的概率。 3.放缩圆题：固定方向变速入射，求最大偏转角对应的速度。 要求学生15分钟内完成，教师巡视指导，收集典型错误。 随后投影展示优秀解答，点评常见误区，如忽略几何约束、误判圆心位置等。 1.独立完成练习题，应用所学方法解决问题。 2.与同伴交流解题思路，互相纠正错误。 3.听取教师讲评，记录易错点和规范解题步骤。 四、归纳总结，构建知识体系 四、归纳总结，构建知识体系 （1）知识梳理：三大“动态圆”模型对比 教师带领学生一起填写对比表格： 模型 适用条件 圆心轨迹 关键方法 典型问题 平移圆 v大小、方向相同，入射点共线 直线（与v0垂直） 平移圆找切点 射出范围、临界入射点 旋转圆 入射点、v大小相同，方向不同 圆（以入射点为圆心，R为半径） 旋转定角度 “逃出”概率、打中区域 放缩圆 方向固定，v大小可变 直线（与v0垂直） 放缩找极值 最长时间、最小速度 强调：“识别条件是第一步，画好图是成功的一半。” （2）思想升华：临界与极值的哲学意义 教师总结：“临界问题的本质是量变引起质变的过程。当某个参数连续变化时，系统的状态会在某一瞬间发生突变，这个转折点就是临界点。掌握‘动态圆’思想，就是学会用动态的眼光看待物理过程，预判变化趋势，抓住关键节点。” 鼓励学生将这种方法迁移到其他领域，如电路中的临界电阻、力学中的临界摩擦角等。 1.整理笔记，完善三种模型的对比表格。 2.思考临界问题的普遍性，联系其他学科实例。 3.提出自己的理解和感悟，参与课堂总结发言。 板书设计 教学反思 1.本节课通过动画演示和层层设问，成功激发了学生的学习兴趣，大部分学生能够理解三种“动态圆”模型的基本思想。但在实际应用中，仍有部分学生难以准确画出临界轨迹，尤其是在“旋转圆”问题中混淆圆心轨迹与粒子轨迹。今后应增加更多动手绘图环节，强化空间想象力训练。 2.教学过程中过于依赖参考资料的答案，未能及时发现个别例题解析中的潜在错误，反映出教师对原始推导的把控还需加强。应在备课时亲自演算每一道题，确保逻辑严密、数据准确，避免误导学生。 3.虽然设置了小组讨论和练习环节，但时间分配略显紧张，导致部分学生未能充分消化难点。建议将部分内容前置为预习任务，课堂聚焦疑难突破，提高教学效率。同时，可引入数字化工具如GeoGebra让学生自主操作“动态圆”，增强直观体验。 学科网（北京）股份有限公司 $