函数与导数：利用导数研究方程的根、利用导数研究恒成立问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：利用导数研究方程的根、利用导数研究恒成立问题专项训练 函数与导数：利用导数研究方程的根、利用导数研究恒成立问题专项训练 考点目录 利用导数研究方程的根 利用导数研究恒成立问题 考点一 利用导数研究方程的根 例1．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知关于的方程且在上恰好有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·海南海口·期中）设函数则方程的实数根的个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（25-26高三上·福建泉州·月考）已知函数，若关于的方程有且仅有4个不等实根，则实数的取值范围为 . 例4．（25-26高三上·河北·期中）已知，且，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 例5．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，关于x的方程有两个不同的实数根，， ①求k的取值范围； ②当取最小值时，求k的值． 例6．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数． (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，，证明：． 例7．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)（i）求在处的切线方程和在处的切线方程； （ii）若方程有两个不同的实根，证明：. 变式1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）判断一元五次方程的实根个数为（   ） A．5 B．1 C．2 D．3 变式2．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 变式4．（25-26高三上·山东·月考）对任意，方程有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 . 变式5．（25-26高三上·宁夏固原·月考）已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 变式6．（25-26高三上·广东惠州·月考）给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)当时，求的值域； (3)求出方程解的个数． 变式7．（2025·广西·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若在区间上恰有一个零点，求的取值范围； (3)当时，解方程． 考点二 利用导数研究恒成立问题 例1．（25-26高三上·山东·月考）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·湖南·月考）函数（，），若在上恒成立，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（25-26高三上·河北·期中）若 对任意的恒成立，则a的取值范围是 . 例4．（25-26高三上·吉林长春·月考）若不等式对恒成立，则的取值范围是 . 例5．（25-26高三上·云南昆明·期中）函数（，为自然对数的底数）． (1)若恒成立， ①求a的值； ②若，证明：． (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 例6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：； (3)若，求实数的取值范围. 例7．（2025·陕西汉中·一模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)当时，若，且，证明：． 变式1．（25-26高三上·广西柳州·月考）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·福建厦门·月考）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·湖南·月考）已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为 . 变式4．（2025·河北·模拟预测）若，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 变式5．（25-26高三上·河南·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若，数列的前项和为，证明：． 变式6．（2025·湖南长沙·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若与恰有两个交点，求的取值范围. (3)当时，，求a的取值范围. 变式7．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数 . (1)当时，求的单调递增区间； (2)若时，恒成立，求正实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：利用导数研究方程的根、利用导数研究恒成立问题专项训练 函数与导数：利用导数研究方程的根、利用导数研究恒成立问题专项训练 考点目录 利用导数研究方程的根 利用导数研究恒成立问题 考点一 利用导数研究方程的根 例1．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知关于的方程且在上恰好有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对得， 而函数在上为增函数， 所以，对两边同时取自然对数， 得，即， 所以与图象恰好有两个交点， 又，则在单调递增；在单调递减， 而，当时，，当时，， 故， 故实数的取值范围为. 故选：B. 例2．（25-26高三上·海南海口·期中）设函数则方程的实数根的个数可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，由，得或， 所以在上递增，在和上递减， 所以的极大值为，极小值为， 当时，，则的大致图象如图所示， 令，则， 所以方程有两个不相等的实根，，， 所以由图可知，的图象与有2 个不同的交点，的图象与有1 个不同的交点， 所以原方程有3个不同的根. 故选：B 例3．（25-26高三上·福建泉州·月考）已知函数，若关于的方程有且仅有4个不等实根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】，或，即或， ， 当时，单调递增， 当，或时，单调递减， 当时，，当时，， 因此当时，， 把函数的图象在横轴下面的部分进行关于横轴对称，并把函数的图象在横轴下面的部分去掉，得到函数的图象，如下图所示： 要想关于的方程有实根， 首先必有， 若，由上分析结合图象，此时关于的方程没有实根， 当时，则有， 于是要想关于的方程有且仅有4个不等实根， 则有， 故答案为： 例4．（25-26高三上·河北·期中）已知，且，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为方程有两个不同的实数根，两边取以为底的对数可得， 设函数，则， 故在区间上单调递增，在上单调递减，且，， 趋近于正无穷时，趋近于0，且恒大于0，故时，， 要使得方程有两个不同的实数根，需满足， 注意到，因此，且，故. 故答案为： 例5．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，关于x的方程有两个不同的实数根，， ①求k的取值范围； ②当取最小值时，求k的值． 【答案】(1)单调递增区间为，，无单调递减区间． (2)①；②3 【详解】（1）定义域为． 当时，， ， 令，则， 令，得． 当变化时，的变化情况如下： x 0 － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以， 所以当时，恒成立， 所以恒成立， 所以单调递增区间为，，无单调递减区间． （2）①：当时，． 令，则，即， 令， 关于x的方程有两个不同的实数根，，， 有两个不同的零点，，，且，均不为0， ， 当时，，在上单调递增，至多有一个零点，不合题意， 当时，令，得． 当变化时，的变化情况如下： x － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以， 所以． 又，， ，当，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 即， 所以， ，，所以． 因为， ， 又，且在单调递减，在单调递增， 所以，，使，． 所以有两个不同的非零零点， 综上，k的取值范围为． ②即． 由①知．所以， 所以即， 由（1）知在上单调递增， 所以最小时取最小值， 即也取最小值． 设， 则， 设，则， 所以在上单调递增，又，， 所以存在使得， 且时，， 时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 此时． 例6．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数． (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由，得， 记，所以， 当时，恒成立，为增函数，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 即在上单调递增，在上单调递减， 因为在区间上不是单调函数，所以，解得， 即a的取值范围为． （2）方程， 当时，方程不成立，所以，则， 由方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，且， 当或时，，在区间和上单调递减， 当时，，在区间上单调递增． 当时，，当时，， 则当时，且当时，取得极小值， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，，即， 故a的取值范围为． （3）证明：由题意知在上恒成立，即恒成立， 令， 则， 当时，，则，在上单调递增， 当时，令， 则，在上单调递增， 又，， 所以在区间上存在唯一零点，且当时，，则， 当时，，则， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以． 例7．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)（i）求在处的切线方程和在处的切线方程； （ii）若方程有两个不同的实根，证明：. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)（i）在处的切线为，在处的切线为；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意知：定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由（1）得：，，又， 在处的切线方程为：，即； 在处的切线方程为：，即. （ii）由（1）知：在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 不妨令，为方程的两根，； 设，， ，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即在上恒成立； 设与交点的横坐标为，则， 又，，； 设，， ，在上单调递减， ，即在上恒成立； 设与交点的横坐标为，则， 又，，； ，， . 变式1．（25-26高三上·湖南衡阳·月考）判断一元五次方程的实根个数为（   ） A．5 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】设， 则， 对于一元二次方程，， 所以，所以， 则函数在R上单调递增，且， 有，由零点的存在性定理知， 函数在上存在唯一的零点， 即方程有1个实数根. 故选：B 变式2．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，其中， 对任意的恒成立， 则函数在上为单调递增函数， 因为是方程的实根， 由可得， 由可得，故，从而得出， 构造新函数，，可得， 所以在上为单调递增函数， 可得，， 因为实数是方程的实根，则，即， 其中，所以，即，所以C正确，D不正确. 令，，可得，在上为单调递增函数， 因为，，即， 所以， 又由，且，所以，所以A、B都不正确. 故选：C. 变式3．（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得关于x的方程恰有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以是的一个解，则存在实数，使得有四个不同的解， 即当时，有三个不同的解. ，令， 当时，，且. 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，且，当时，， 在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图： 由图知： 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线有三个交点，符合题意； 当时，的图象与直线至多有两个交点，不符合题意； 当时，存在实数，使得的图象与直线有三个交点，符合题意. 综上，. 故答案为：. 变式4．（25-26高三上·山东·月考）对任意，方程有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由方程，可得， 要使得对任意，方程有且仅有一个实数根， 即有唯一的实数根， 设，即有唯一的实数解， 因为，所以在上为单调函数，且值域为， 当时，，当时，，即的值域为， 又由，要使得为单调函数，则或恒成立， ①若恒成立，即，即恒成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以. ②若恒成立，即，即恒成立， 由在上单调递增，在上单调递减，且当时，， 所以函数无最小值，不符合题意，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 变式5．（25-26高三上·宁夏固原·月考）已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，取得极小值，无极大值. (2). 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， 求导得，由可得， 当时，恒成立，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，取得极小值，无极大值. （2）由方程有两个不等实根可知，，化简得， 依题意，方程有两个不等实根等价于函数与有两个交点. 由，当时，恒成立，当时，恒成立， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值， 且当；当，且， 故可作出函数的图象如下.    由图知，当且仅当时，函数与有两个交点.， 故的取值范围为. 变式6．（25-26高三上·广东惠州·月考）给定函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)当时，求的值域； (3)求出方程解的个数． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值； (2)； (3)当时，0个解；当或时，1个解；当时，2个解. 【详解】（1）对求导，得.令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故的极小值为，无极大值. （2）由（1）知，在单调递减，在单调递增， 则在处取得最小值.又，当时，， 所以当时，的值域为. （3）由上述分析可知，当时，；当时，； 当时，.结合（1）中的单调性和极小值， 大致作出的图像如下图所示， 方程的解的个数等价于函数与直线的交点个数： 当时，无交点，方程无解； 当时，有2个交点，方程有2个解； 当或时，有1个交点，方程有1个解.    变式7．（2025·广西·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若在区间上恰有一个零点，求的取值范围； (3)当时，解方程． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2)； (3). 【详解】（1）因为（），所以（）， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）因为（），所以（）， 当时，，即，在定义域内单调递增； 注意到，因此在区间上无零点； 当时，由，得仅有一解， 记，则仅有一解， 令，则直线与的图象仅有一个交点， 因为，且直线过点， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且，， 所以，结合，则的取值范围为． （3）由题，，记上式为， 由，则在定义域内单调递减， 因此，仅有一个解， 注意到待求方程， 对中含的部分单独考察，令，解得， 因此时可消去． 当时，有，满足题意； 当时，显然不在函数的定义域内，不符合； 综上，原方程的解为. 考点二 利用导数研究恒成立问题 例1．（25-26高三上·山东·月考）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 令，则， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围是. 故选：C. 例2．（25-26高三上·湖南·月考）函数（，），若在上恒成立，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】令，则， 则当时，，当，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，当时，， 故有两个零点、； 由在上恒成立， 则时，需，时，需， 又在上单调递减，在上单调递增， 则当、为与的公共零点时，有在上恒成立， 则有，且有， 则. 故选：C. 例3．（25-26高三上·河北·期中）若 对任意的恒成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【方法一】第一步：化同构 由题意得，所以由，得，得. 第二步：换元，构造函数 设，则，设， 第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解 ，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，得， 所以的取值范围是. 【方法二】第一步：化同构 由题意得，所以由，得，得，得. 第二步：换元，构造函数 设，则，，设， 第三步：利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解 则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 例4．（25-26高三上·吉林长春·月考）若不等式对恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】不等式对恒成立， 则对恒成立， ，. 令，，. ；，则在上单调递减，在上单调递增， 从而.令，则. 令，，则. 注意到，则，. 则在上单调递增，在上单调递减， 则，从而. 故答案为： 例5．（25-26高三上·云南昆明·期中）函数（，为自然对数的底数）． (1)若恒成立， ①求a的值； ②若，证明：． (2)若时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【详解】（1）①恒成立，即恒成立，即恒成立， 求导得， 若，则，单调递增，但，不满足题意； 若，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故在处取最小值，， 设，求导得， 当时，，递增； 当时，，递减， 在处取得最大值，仅当时恒成立， ． ②先证：，即，即，即， 令，， 在上单调递增，故，即，； 再证：，即，即， 令，则， 在上单调递增，，， 综上，． （2）恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，则， 求导得，， 令， 求导得， 为必要条件，即， 充分性：当时，， 在上单调递减，即， 在上单调递减，故，即成立， 综上，a的取值范围为． 例6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，故在上单调递增， 所以的最小值为； （2）因为，所以，所以，即， 要证，而，只需证，即证， 设，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以，得证. （3）由，即， 令，且、在上单调递减， 所以在上单调递减，， 当，即时，在上单调递减，，满足； 当，即时，，又时， 当时，，则存在，使得， 当时，，所以在上单调递增，则，不满足， 当时，，在上，在上单调递增，则，不满足， 综上所述，实数的取值范围是. 例7．（2025·陕西汉中·一模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)当时，若，且，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1），令，解得或， 若，则，则在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. （2）当时，由，得，得， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 又， 则当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增； 所以， 所以，即的取值范围为. （3）当时，，因， 若，，则，，与矛盾，故，， 由（2）可知，则，则， 所以， 又， 所以. 变式1．（25-26高三上·广西柳州·月考）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，其中， 则，， 当时，，， 当时，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即， ，即， 故当时，，则， 因为不等式对任意恒成立，则， 令，，其中，则， ，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，，所以， 因此实数的取值范围是. 故选：C. 变式2．（25-26高三上·福建厦门·月考）函数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数， 在上恒成立， 所以恒成立， 令，则， 令，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减； 所以当时，取得极大值，也是最大值， 因为 ，所以. 故选：B. 变式3．（25-26高三上·湖南·月考）已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，则， 令，，在区间上单调递增，且， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 令，易知在区间上单调递增， 又，，. 故答案为： 变式4．（2025·河北·模拟预测）若，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以不等式等价于， 设，则， 令，解得， 令，解得， 故在区间 上单调递增，在区间上单调递减， 故； 设，则， 令，解得， 令，解得， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故， 因为恒成立， 所以，即． 故答案为： 变式5．（25-26高三上·河南·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题意得的定义域为． 当时，在上单调递减； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）依题意可得当时，对任意恒成立． 令，则． ①当时，， 则，所以， 则在上单调递增，则，符合题意． ②当时，有两根， 因为且，所以， 所以由，即，得， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则，则不符合题意． 故的取值范围是． （3）由（2）可得，当时，对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则， 当时，，此时满足，即不等式成立． 当时，， 所以，， 以上累加得， 则，即． 综上可知，对所有的． 变式6．（2025·湖南长沙·二模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若与恰有两个交点，求的取值范围. (3)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【详解】（1）当时，，， 令，则恒成立， 所以在单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. （2）， 令，问题转化为有两个零点， 求导， 若，则，单调递增，在上至多有一个零点，不符合题意； 若，令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 由零点存在定理可得要使有两个零点，则， 当时，，，则； 当，由指数爆炸模型可知， 所以的取值范围为. （3）当时，，即，整理可得， 当时显然成立； 当时，分离参数可得， 令，求的最大值即可， 求导， 令分子为， 则， 再令， 则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 又， 故存在，使得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又， 所以时，，即，单调递增； 时，，即，单调递增， 所以. 所以a的取值范围为. 变式7．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数 . (1)当 时，求 的单调递增区间； (2)若 时， 恒成立，求正实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则， 令 ，得到 ， 所以函数 的单调递增区间是 （2）由 ，当时， 当时，此时 ， ，故 当时，设，则 令，则 若，则， 单调递增， ， 因此 单调递增， ，符合题意， 若时， 令 ，解得 ，此时 在 单调递增，在 单调递减，因此，而 ，设是的零点，注意到单调递增， 当时，此时 ，故， 从而 单调递增 ，符合题意， 当 时，存在使得 ，且 在 单调递增，在 单调递减，故 ，即，得到 ， 此时，即 ，因此 ; 综上所述， 的取值范围是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $