函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 含参函数单调性问题 考点一 恒成立求参数问题 例1．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，其定义域为． 不等式． 设，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，则， 设，则，当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 可得，因此， 于是，即， 即得恒成立， 则，所以的取值范围为． 故选： 例2．（25-26高三上·广东惠州·期中）已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：函数的定义域为，， 显然单调递增且有唯一零点. 令，即，此时有. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 即有：，. 令，，时，，单调递减； 时，，单调递增，，又，. 方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，， ，，. 方法三：恒成立在恒成立， 令，即恒成立. ，时，，单调递增； 时，，单调递减 ，又恒成立，，. 故选：A 例3．（25-26高三上·吉林长春·月考）若不等式对恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】不等式对恒成立， 则对恒成立， ，. 令，，. ；，则在上单调递减，在上单调递增， 从而.令，则. 令，，则. 注意到，则，. 则在上单调递增，在上单调递减， 则，从而. 故答案为： 例4．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由在定义域上恒成立，即在上恒成立， ，对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； ，即， ，即的取值范围为. 故答案为：. 例5．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，， (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)证明：在区间恒成立； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）当时，， 则，，则， 故函数在处的切线方程为； （2）令，则， 则在上单调递减，则，即， 则在区间恒成立； （3）令，则， 则在上单调递增，则，即， 则， 又当时，在上恒成立， 则在上单调递减，则， 则当，时，， 又，则存在使得， 故存在使得，不符合题意； 令， 则， 当时， ， 若在上恒成立，则在上单调递减， 则，不符合题意； 若存在使得， 则由零点存在性定理可知，存在使得， 且使得在恒成立， 则在上单调递减，则，不符合题意； 当时， ， 则在上单调递增，则，符合题意， 综上可知，的取值范围为. 例6．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）已知 (1)若时，求在上的最大值和最小值； (2)若恒成立，求m的取值范围； (3)设，，证明： 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 因，则，故在上单调递减， 所以， （2）若时，因为，不满足题目要求； 若时，， 当时，，则在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以为的一个极大值点，也为最大值点， 所以即可， 令，因为在上单调递减，且， 要使恒成立，只需，即m的取值范围是； （3）由（2）知，当时，恒成立， 即，当且仅当时等号成立. 令，因为，所以，不等式取严格小于号， 代入得 又因为时，， 则得 于是，，…，， 将以上个不等式左右分别相加，可得： ， 即. 例7．（2025·江苏·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)； (2)； (3) 证明见解析. 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 变式1．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数，，若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即，即， 因为，令，，则，所以. 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，则. 故选：B. 变式2．（2025·四川成都·一模）若函数存在最大值，且满足恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一：由函数，可得 若，则恒成立，在R上单调递减，不存在最大值； 若，令，可得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也是最大值，故， 又由，其中， 令，即为恒成立， 由，其中， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值，所以， 即，可得，所以， 即，解得，所以实数的取值范围为. 解法二：由函数， 当时，函数取得最大值，所以， 又由，其中， 令，即为恒成立， 由，其中， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也是最小值，所以， 即，可得，所以， 即，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 变式3．（25-26高三上·山西太原·月考）若不等式对任意恒成立，则实数的最大值是 【答案】 【详解】由可得， 即对任意的恒成立，即， 令，其中，则对任意的恒成立， 即函数在上为增函数， 考虑当时，，此时， 要使得对任意的恒成立，只需讨论当、、三种情况下恒成立即可， 当时，则有显然成立； 当时，，由可得或，此时或； 当时，，由可得或， 由于当时，，则显然无解，故只需，则， 综上所述，或，故的最大值为. 故答案为： 变式4．（25-26高三上·广东惠州·月考）若不等式对恒成立，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】设，因为对任意的恒成立，则， 求导得 令得，， 当时，，函数在区间单调递减； 当时，，函数在区间单调递增； 所以，所以， 则， 设，， 当时，，函数在区间单调递增； 当时，，函数在区间单调递减； 所以，即的最大值为，的最大值为. 故答案为：. 变式5．（25-26高三上·湖北·月考）已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 则函数在单调递减 即. （2） ①当时，，不成立. ②当时，，显然成立. ③当时，存在，使得， 当单调递增，单调递减， 则 综上所述：. （3）先证明：当，． 由等比数列求和公式得： 所以只需证：当时，． 设，只需证：当时， 设， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 所以有， 又，则 所以， 所以， 即当时， 变式6．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数的导函数为，所以， 又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 变式7．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，无极值；当时，极小值 (3) 【详解】（1）当时，， ， 时，， 切线的斜率， 切线的方程为. （2）函数的定义域为， ， 当时，， 在单调递增，无极值． 当时，令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 在处取极小值． （3）当时恒成立， 即， 令，即， ， 为了使在时恒成立，， 即， 令， ， 当时，， 在时是减函数 当取最大值，， 当，，图象是连续的， ，当时，， 在上单调递增，，不符合题意， 时，在时恒成立. 考点二 含参函数单调性问题 例1．（24-25高三上·福建厦门·月考）已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 而，则， 所以函数在处的切线方程为. （2）由，， 则， 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，，此时， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 例2．（2025·四川南充·一模）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论在区间上的单调性； (3)设，证明：． 【答案】(1)的极小值为，无极大值； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题意，当时，，， 则， 令，得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故当时，函数取得极小值，为，无极大值. （2）因， 则， 因为，，所以， 当时，恒有，则恒成立，即在上单调递增； 当时，令，解得（舍去），， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）令数列的前项和为，且，数列满足， 当时，， 当时，， 则原不等式，等价于， 当时，，，显然成立； 当时，要证，即证，需证， 令，则，又，所以， 则不等式，等价于，等价于， 由（2）得，当时，函数在上单调递增， 又，则，即， 故得证. 即当时，成立，故， 又当时，， 综上所述，成立，不等式得证. 例3．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数． (1)时，求在处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)若的两个不同的极值点，求的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）时，，则， 又，则， 故在处的切线方程为，即； （2）当时，， ，， 若，则，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 若，则恒成立，故在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减； （3）， 则， 由有两个不同的极值点， 则方程有两个不同正根， 故、，且，即有， 则 ， 则，， 则当时，，当时，， 故. 例4．（25-26高三上·山东·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)的取值范围是. 【详解】（1）的定义域为， ， 若，恒成立，令，得， 则当时，；当时，． 若，令，得或（）， 则当时，；当时，． 若，，当且仅当时取等号， 则在上单调递增. 若，令，得或（）， 则当时，；当时，． 综上：当时，在单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无减区间； 当时，在，单调递增，在上单调递减． （2）由（1）得， ①当时，在单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 又因为当时，当时，所以符合； ②当时，，在上只有一个零点2，所以不符合； ③当时，在单调递增， 在上单调递减，， 令，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，则，所以， 则在上没有两个零点，所以不符合； ④当时，在单调递增，无减区间，不符合； ⑤当时，在，单调递增，在上单调递减， 因为，所以不符合． 综上：当时，有两个零点． 故的取值范围是. 变式1．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【详解】（1）函数的定义域为， 当，即时，在区间上恒成立， 所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增； 时，，所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增； 时，，所以函数在区间上单调递减； 当，即时，，所以函数在区间上单调递增， ，，所以函数在区间上单调递减. 综上， 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减. （2）由（1）可知，当时，在区间上单调递减， 所以在上的最大值为，解得，不合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在上的最大值为， 整理得，即，所以，符合题意， 综上可知，函数在区间上的最大值为2时，实数的值为. 变式2．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数. (1)若的图象在处的切线方程为，求和的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在满足，且，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）因为，所以， 由点在直线上，所以. 又，由. 所以，. （2）因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）设， 则问题转化为：存在且，使得成立. 由， 所以， 因为，所以. 设，， 则，所以为偶函数； 因为， 再设，则. 当时，，所以在上单调递增， 又，所以，. 所以当时，. 所以在上单调递增，所以在上单调递减. 下面证明： 当时，设， （当时取等号）. 因为，所以等号不能成立，即. 所以在上单调递增，又，所以当时，， 即，. 又根据函数为偶函数，所以，也成立. 综上，. 所以. 所以的取值范围为：. 变式3．（25-26高三上·山东济宁·月考）已知函数， (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)讨论的单调性． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）由题意知的定义域为， 当时，，∴， 所以函数在点处的切线方程为； （2）， ①当时，， ∴在上单调递增，对； ②当时，令，对应的一元二次方程，∴， ∴在上单调递增，对； ③当时，，对应的一元二次方程， ∴有两个不相等的实数根，不妨设，且， ∴，则当时，， ∴在上单调递减，即当时，，不合题意； 综上，实数的取值范围为； （3）由（2）中①②知，当时，，∴在上单调递增； 当时，，对应的一元二次方程， ∴有两个不相等的实数根，由求根公式可得， 所以当时，， 当时，， ∴在和上单调递增， 在上单调递减， 综上所述，①当时，在上单调递增； ②当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 变式4．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数（）． (1)讨论函数的单调性； (2)对任意的，，当时，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1），， 则当时，，故在上单调递减， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由题意可得， 整理得，令， 即对任意的，，当时，都有， 即在上单调递增， ， 则对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 由在上单调递增，则， 故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练 函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练 考点目录 恒成立求参数问题 含参函数单调性问题 考点一 恒成立求参数问题 例1.(25-26高三上·安徽六安阶段练习)不等式(e*-ax-a)lnx-ax-1≤0恒成立，则a的取值范围是() A.[e2,] B.[e, C.[e,e] D.[e2,e] 例2.(25-26高三上广东惠州期中)已知函数fx=elna-axa>1,若∫x≥0恒成立，则实数a的值为() A.e B.√E C.e2 D.e2 2 例3.(2526高三上吉林长春·月考)若不等式x-xnx2+m≥0对x∈(0，+o)恒成立，则m的取值范围是」 例4.(25-26高三上·上海期中)已知函数fx=ax-1nx,若fx)>0在定义域上恒成立，则a的取值范围是」 例5.(25-26高三上北京·月考)已知函数f（x)=ax2-1-lnx,a∈R,gx)=e- ①当a-时，求函数=f八倒在1，f)处的切线方程， (2)证明：g(x)<】在区间1，+o)恒成立： 3若f(x>asin(x-1)+-e-在区间(1，+∞内恒成立，求a的取值范围. 函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练 例6.2526高三上陕西宝鸡期)已知/)=2hx-号m心+-2mx+月 (1)若m=1时，求f(x)在1,4上的最大值和最小值； (2)若∫(x≤0恒成立，求m的取值范围； 设meN,22,证明：h士<0-+分+分 n 例7.(2025-江苏模拟预测）已知函数f)=ar--nx. x+1 (1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)若f(x)≤0对任意x∈[1，+o)恒成立，求a的取值范围； 8证明：行++m2a+-h3 n 2 函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练 式1.(2025甘肃武威模拟预测)已知函数=mr-®，g寸=心，若x>0,f八≥g,则m颤 范围为() A. C.(1,e] D.（-o,e 变式2.(2025-四川成都一模)若函数f)=e-e2存在最大值a,且满足g()=2xnx+ax2+3≥0恒成立，则 m的取值范围是() c.(0,2e] 变式3.(25-26高三上山西太原·月考)若不等式e2“+2t2x2t(2+x对任意x∈[1，+o∞)恒成立，则实数t的最大值 是 b 变式4.(25-26高三上广东惠州月考)若不等式lnx+a≥2b(a>0)对x>0恒成立，则的最大值为. 变式5.(25-26高三上湖北月考)已知函数fx)=sinx-ax. 0证明：当a=1,0时，f<0: Q当xe[0引时，f到≥0恒成立，求实数c喻取植范围： 证明：当a0引时， ,1、27sina-sin"a sina-sin2a’41-sina 3 函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练 变式6.(2025·吉林长春·模拟预测)已知函数f(x)=xx+x2-2x+2. (1)求函数f(x)在x=1处的切线方程； (2)若fx≥kx恒成立，求实数k的取值范围. 变式7.(25-26高三上四川吧中月考)已知函数fx)=nx-l-ax-2(a∈R. x-1 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)求函数f(x)的极值； (③)当x22时，x≤x-2恒成立，求实数a的取值范围. 函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练 考点二 含参函数单调性问题 例1.(2425高三上福建厦门-月考)已知函数fy=ar-(2a+mr-2,其中a∈R. (I)若a=1时，求函数f(x)在1，f(1)处的切线方程： (2)当a>0时，求函数(x)的单调区间. 例2.(202s因川胸充一模)已知质数八)=n1+a-2a>0。 (当a=号时，求fx)的极值： 2 (2)讨论f(x)在区间(0，+0)上的单调性： 2,2，22 13×2-1 6设eN,证明：2432+3+2+分+血2 十…十 函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练 例3.2s26商三上江苏无锡月考)已知函数f八=anx+6+号-（口+2x。 (1)a=b=1时，求f(x)在x=1处的切线方程； (2)当b=0时，讨论∫(x)的单调性； ③)若8=-（6+号+口+x+受8国的两个不同的极值点，女求a=8+8-如的最小值. 例4.(25-26高三上山东月考)已知函数f(x)=alnx-(2+ax+x2. (I)讨论fx)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 6 函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练 变式1.(25-26高三上·河北沧州月考)已知函数fx)=alnr-x+a-1, ,a∈R (I)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数fx)在区间[1，+0)上的最大值为2，求实数a的值 变式2.(25-26高三上陕西榆林·月考)已知函数f(x)=e-ax+4(a∈R) (1)若f(x的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b,求a和b的值： (2)讨论f(x)的单调性； 同若存在偶≠满足/八)+式=小)+行，且+=2，求的取值蔻围 函数与导数：恒成立求参数问题、含参函数单调性问题专项训练 变式3.(25-26高三上山东济宁·月考)已知函数f(x)=x-1-2 alx(a∈R), (若a=,求函数y=f八在点L)处的切线方程： (②)若f(x)>0在(1，+o上恒成立，求实数a的取值范围； (3)讨论f(x)的单调性. 变式4.(25-26高三上福建厦门期中)已知函数f(x)=alnx-x+1(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性： Q对任意的，气Q小，当与<时、有八-s小，求实数a的取值藏同 6