18.5 分式方程（第1课时）教案 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦分式方程概念及解法，以章引言轮船顺逆流航行时间相等的实际问题导入，通过对比整式方程引出分母含未知数的分式方程，搭建从旧知到新知的学习支架。 亮点在于以核心素养为导向，用数学眼光从现实问题抽象分式方程，通过问题链探究解法及增根原因，培养推理能力与运算能力，例题练习结合思维导图梳理步骤，助力学生发展抽象思维，为教师提供清晰教学路径与实例。

18.5　分式方程（第1课时） 教学目标 1．经历分式方程概念的获得过程，知道分式方程的特征，能识别分式方程． 2．在探究分式方程解法的过程中，想象、表征并思考知识与解决问题策略之间的关联，归纳出解分式方程的一般方法，提升推理能力． 3．能用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单分式方程，体会化归思想，发展运算能力． 教学重点 利用去分母的方法解分式方程． 教学难点 了解用去分母的方法解分式方程可能产生增根的原因． 教学过程 新课导入 回顾章引言中的问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，江水的流速为多少？ 【师生活动】教师出示章引言的问题，师生共同回顾通过设未知数（设江水的流速为 v km/h）列出的方程＝． 【设计意图】由章引言的实际问题引出分母中含未知数的方程，让学生了解到分式方程是整式方程的延伸和发展，感受研究分式方程的必要性． 新知探究 【问题1】仔细观察方程＝，未知数的位置有什么特点？ 【师生活动】学生发现这个方程的未知数出现在分母．教师指出这样的方程和我们以前学习的方程不太一样，以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程，分式方程是这节课要研究的重点内容． 【新知】方程＝的分母中含有未知数v，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程． 【提醒】我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 【练习】判断下列式子是不是分式方程？若不是，请说明理由． （1）＝5； （2）＝1； （3）x2－x＋＝5； （4）－； （5）＋＝7. 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考后集体口答． 【答案】（1）（5）是分式方程； （2）（3）（4）不是分式方程． 理由：（2）（3）分母中不含未知数，不是分式方程；（4）不是方程． 【归纳】分式方程的三个特征 ①有等号，是方程； ②方程中含有分式； ③分式的分母中含有未知数． 【提醒】特别注意，判断一个式子是不是分式方程时，不能对式子进行约分、通分变形，更不能利用等式的性质对其进行变形． 【设计意图】引导学生在比较的基础上抽象出分式方程的特征，让学生经历概念的形成过程，认识分式方程，了解分式方程与整式方程的区别． 【问题2】如何解分式方程＝呢？ 【师生活动】学生独立思考，小组交流，尝试解方程． 【追问1】面对数学问题时，我们经常把新知识转化成熟悉的旧知识来解决．大家想一想，能否将分式方程转化为我们熟悉的整式方程呢？ 【师生活动】学生讨论之后，师生共同分析达成共识：通过“去分母”可以将分式方程转化为整式方程，具体方法是在方程的两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．同时，教师强调“去分母”是分式方程化为整式方程的关键步骤． 师生共同完成解方程的过程，教师板书示范： 方程两边同乘(30＋v)(30－v)，得 90(30－v)＝60(30＋v)． 解得 v＝6． 【追问2】v＝6是分式方程＝的解吗？如何进行检验？ 【师生活动】学生回答问题，相互补充，教师书写检验的过程． 【答案】将v＝6代入分式方程中，左边＝，右边＝，左、右两边的值相等，因此v＝6是分式方程的解． 【归纳】解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘各分母的最简公分母．这也是解分式方程的一般方法． 【问题3】请你运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程＝． 【师生活动】学生在学习任务单上完成解方程的过程，教师组织全班交流．此时预设会出现不同意见，有的学生解得的结果是x＝5，有的学生认为方程无解．教师可先请解得的结果是x＝5的学生代表展示解方程的过程． 解：方程两边同乘(x－5)(x＋5)，得 x＋5＝10． 解得 x＝5． 【追问】为什么有同学认为方程无解？x＝5不是分式方程＝的解吗？ 【师生活动】教师请认为方程无解的学生代表讲述自己的想法，师生共同发现，检验时，将x＝5分别代入原分式方程的左右两边，分母x－5和x²－25的值都为0，相应的分式无意义．教师指出：x＝5虽然是整式方程x＋5＝10的解，但不是分式方程＝的解．实际上，这个分式方程无解． 【设计意图】引导学生观察分式方程的特点，运用化未知为已知的方法，结合已有解整式方程的经验，理解解分式方程的关键是去分母．帮助学生回忆检验方程的解的方法，通过实例，让学生发现去分母后得到的整式方程的解可能不是原分式方程的解，从而认识到检验的重要性． 【问题4】上面解分式方程的过程中，为什么＝ ①去分母后所得整式方程的解就是①的解？而＝②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 【师生活动】学生独立思考后小组交流，教师进行指导，师生达成共识：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，即在方程两边同时乘了一个整式，如果这个整式不为0，那么所得到的整式方程与原分式方程同解；如果这个整式为0，那么所得到的整式方程的解不满足原分式方程，它是增根． 【新知】一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解． 【设计意图】让学生探究分式方程产生增根的原因，进一步感受解分式方程时检验的必要性． 例题精讲 【例1】解方程：＝． 【师生活动】学生独立完成后，全班交流．教师引导学生回顾解分式方程的过程，并概括出解分式方程的基本思路和一般步骤，同时进一步强调检验的重要性． 【答案】解：方程两边同乘x(x－3)，得 2x＝3x－9． 解得 x＝9． 　　检验：当x＝9时，x(x－3)≠0． 所以，原分式方程的解为x＝9． 【例2】解方程：－1＝． 【师生活动】学生独立完成后，全班交流． 【答案】解：方程两边同乘(x－1)(x＋2)，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3． 解得 x＝1． 　　检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解． 　　所以，原分式方程无解． 【归纳】解分式方程的一般步骤 【设计意图】通过例题讲解，帮助学生加深对分式方程解法的认识，规范解题步骤和书写格式，积累解题经验，提升运算能力． 课堂练习 解下列方程： （1）；　　　 （2）； （3）；　 （4）； （5）； （6）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：（1）方程两边同乘x(x－2)，得 5(x－2)＝7x． 解得 x＝－5． 检验：当 x＝－5时，x(x－2)≠0． 所以，原分式方程的解为x＝－5． （2）方程两边同乘(x＋3)(x－1)，得 2(x－1)＝x＋3． 解得 x＝5． 检验：当 x＝5 时，(x＋3)(x－1)≠0． 所以，原分式方程的解为x＝5． （3）方程两边同乘2x(x＋3)，得 x＋3＝4x． 解得 x＝1． 检验：当 x＝1 时，2x(x＋3)≠0． 所以，原分式方程的解为x＝1． （4）方程两边同乘3(x＋1)，得 3x＝2x＋3x＋3． 解得 x＝． 检验：当 x＝时，3(x＋1)≠0． 所以，原分式方程的解为x＝． （5）方程两边同乘(x－1)(x＋1)，得 2(x＋1)＝4． 解得 x＝1． 检验：当x＝1时，(x－1)(x＋1)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解． （6）方程两边同乘x(x－1)(x＋1)，得 5(x－1)－(x＋1)＝0． 解得 x＝． 检验：当 x＝时，x(x－1)(x＋1)≠0． 所以，原分式方程的解为x＝． 【设计意图】通过课堂练习，帮助学生养成按照规范的步骤和格式解分式方程的习惯，在积累解题经验的同时，体会化归思想，发展运算能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．你能说出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？ 2．解分式方程时应该注意什么？你能举例说明解分式方程时检验的必要性吗？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材第169页习题18.5第1、2题． 学科网（北京）股份有限公司 $