18.5 分式方程（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步教案（人教版2024）

该初中数学教学设计聚焦分式方程概念、解法及增根问题，以轮船顺逆流航行时间相等的实际问题导入，通过对比整式方程引出分式方程，搭建从实际到抽象的学习支架。 以问题链引导学生自主抽象分式方程概念，通过去分母转化为整式方程，结合实例分析增根原因，培养数学眼光（抽象现实问题）、数学思维（推理转化）和模型意识。助力学生掌握解法步骤，提升教师教学效率。

第十八章 分式 18.5 分式方程 第1课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.理解分式方程的概念,能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型作用; 2.知道分式方程的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程. 3. 了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法. 【过程与方法】 经历“实际问题—分式方程模型”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识. 【情感、态度与价值观】 1.在探索活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 2. 通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想. 二、课型 新授课 三、课时 第1课时，共2课时。 四、教学重难点 【教学重点】 1. 正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程. 2.探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤. 【教学难点】 产生增根的原因. 五、课前准备 教师：课件、直尺等。 学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。 六、教学过程 （一）导入新课 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水的流速为多少? （出示课件2） 解:设江水的流速为 v km/h，根据题意，得= 这样的方程与以前学过的方程一样吗？ （二）探索新知 1.创设情境，探究分式方程的概念 教师问1：为要解决导入中的问题，我们得到了方程=，仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？（出示课件4） 教师问2：方程 与上面的方程有什么共同特征？ 教师问3：上面所得到的方程是我们以前学过的方程吗？ 学生回答：不是. 教师问4：以前我们学过什么方程？试举例说明. 学生回答：以前学过一元一次方程和二元一次方程，如x－1＝3，x＋y＝7等. 教师问5：仔细观察这两个方程，未知数的位置有什么特点？ 学生回答：分母中都含有未知数． 教师问6：像这种，分母中含有未知数的方程叫作分式方程.，你能再写出几个分式方程吗？ 学生思考后，找学生回答。 总结点拨：（出示课件5） 分式方程的概念： 　　分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 分式方程的特征：分母中含有未知数. 注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 2.师生互动，探究分式方程的解法 教师讲解：分式方程和我们以前研究的一(二)元一次方程一样，是一种反映现实世界的数学模型，但它从形式上又与它们不同：分母中含有未知数.要使上述问题得到真正的解决，则必须想方设法解出所列的分式方程.那么如何解分式方程呢？今天我们就一起来学习“分式方程的解法”. 教师问7：你能试着解分式方程：＝；（出示课件7） 教师问8：为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题： 回顾一下一元一次方程是怎么去分母的？ 学生回答：方程的两边同乘以最简公分母. 教师问9：从中能否得到一点启发？ 学生回答：分式方程的两边也乘以最简公分母. 教师问10：我们可以试解方程＋＝2. 学生回答：解：方程两边同乘以6，得3（3x-1）+2(5x+2)=6×2. 去括号，得9x-3+10x+4=12. 移项，得9x+10x=12+3-4. 合并同类项，得19x=11. 系数化为1，得x=. 教师问11：能不能效仿分母不含未知数的一元一次方程的解法，想办法去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？（出示课件8） 教师问12：怎样去分母？ 学生回答：方程的两边乘以最简公分母. 教师问13：在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？ 学生回答：把分母相乘即可. 教师问14：这样做的依据是什么？ 学生回答：等式的基本性质. 师生一起解答如下：（出示课件9） 解：(1)＝ 方程两边同乘以（30+v）(30-v)，得90（30-v）=60(30+v). 去括号，得2700-90v=1800+60v. 移项，得-90v-60v=1800-2700. 合并同类项，得-150v=-900. 系数化为1，得v=6. 教师问15：由此我们如何找最简公分母呢？ 师生共同解答如下：（1）定系数：找系数的最小公倍数；（2）定相同因式：相同因式取指数较大的因式；（3）定单独因式：单独的因式作为公分母的一个因式. 总结点拨：（出示课件10） （1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了． （2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母． 教师问16：你得到的解v=6是分式方程＝的解吗？(出示课件11) 学生回答：检验：把v=6代入分式方程得： 左边= 右边= 左边=右边，所以v=6是原方程的解. 教师问17：试一试：解方程=.（出示课件12） 学生回答：方程两边同乘以(x＋5)(x－5)，约去分母，得 x＋5＝10. 解这个整式方程，得 x＝5. 教师问18：x＝5是原分式方程的解吗？ 学生通过代入原式发现：x＝5时，原方程的分母为0，分式根本没有意义. 学生产生困惑并且问：问题出在哪里？ 师生共同讨论，达成共识：问题只能出现在“去分母”这一步，其他步骤没有问题. 教师趁机提出下一个问题 教师问19：上面分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么＝去分母后所得整式方程90(30－v)＝60(30＋v)的解就是原分式方程的解，而=去分母后所得整式方程x＋5＝10的解却不是原分式方程的解呢？（出示课件13） 师生共同讨论后解答如下： 因为在去分母的过程中时，两边乘了一个含未知数的整式，是否为零是事先不知道的，我们实际上是假定不为零来操作的，而第一个方程化整后的解不能使“(30＋v)(30－v)”等于零，避开了麻烦，而=去分母后所得整式方程的解恰好使得两边乘的整式“(x＋5)(x－5)”等于零，这样就扩大了未知数的范围，以致出现分母为零的现象，因此x＝5只是化整后整式方程的解，而不是原分式方程的解，所以原方程无解.整式方程在去分母时，两边乘以的数是否为零一目了然，自然不会遇到以上的麻烦.由此得出结论，解分式方程必须检验. 总结点拨： 原因： 　　在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0． 教师问20：解分式方程，如何检验？（出示课件14） 师生共同解答如下： 方法一：将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等； 方法二：将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0. 教师问21：回顾解分式方程＝与=的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？（出示课件15） 师生共同解答如下： 基本思路：将分式方程化为整式方程. 一般步骤： （1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验． 注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验． 例1：解下列方程：（出示课件17） 师生共同解答如下： 解：方程的两边同乘以x(x–3)， 得2x=3x–9. 解得：x=9 检验：当x=9时，x（x–9）≠0. 所以，原方程的解是x=9. 例2：解方程：（出示课件19） 师生共同解答如下： 解：方程两边同乘（x-1）(x+2)， 得 x(x+2)-(x-1)(x+2) =3. 化简，得x+2 =3. 解得 x =1. 检验：当 x =1时，（x-1）(x+2) =0， 因此x =1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 总结点拨：（出示课件20） 解分式方程的思路： 解分式方程的一般步骤: 1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4.写出原方程的解. 简记：一化二解三检验 总结点拨：（出示课件23） 易错易混点拨： (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． (2)约去分母后，分子是多项式时， 没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉. （三）课堂练习（出示课件25-29） 1.若关于x的分式方程=1的解为x=2,则m的值为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 2.方程=的解为（ ） A. x=-1 B.x=0 C. x= D.x= 3. 已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值. 4. 解方程: 参考答案： 1.B 2.D 3. 解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx. 整理，得x2+（k–2）x–4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1. 4. 解：方程可化为： 得 解得x=–3. 经检验：x=–3是原方程的根. （四）课堂小结 今天我们学了哪些内容: 1.分式方程的定义. 2. (1)基本思想：分式方程整式方程. (2)基本方法：方程两边乘以最简公分母. (3)基本步骤：①在方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程(一元一次方程)；②解这个整式方程；③检验. 3.此类分式方程要么有一解，要么无解，两种可能. （五）课前预习 预习下节课（18.5第2课时）167页到168页的相关内容。 了解列分式方程解应用题的一般步骤. 七、课后作业 1、教材168页练习1,2，教材169页习题18.5 2、解方程：(1)＝－； (2)－＝. 八、板书设计： 九、教学反思： 1. 本节课的内容是分式方程的定义和简单分式方程的解法,在教学中应设计问题让学生理解分式方程和整式方程的区别与联系,分式方程转化为整式方程的几个方法,学生根据以往的经验会提到,适时引导学生总结,教学时应充分体现这种化归思想的教学.通过学生的练习让学生充分暴露思维过程,利用小组互查互助,体现学习的主人的优势,培养学生的解题能力. 2. 本设计首先创设出生活情境，让学生经历从实际问题抽象出数学、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，以及分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性. 学科网（北京）股份有限公司 $