第二十二章二次函数 单元检测提优卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章二次函数检测提优卷 用时:120分钟 总分:120分 得分: 一、选择题(本题包括10小题，每小题3分，共30分) 1.(2025·湖南常德期末)如果函数 是关于x 的二次函数，那么 k 的值是( ). A. 1或2 B. 0或2 C. 2 D. 0 2.一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，-4)，则这个二次函数的解析式为( ). 3.(2025·浙江杭州期末)下面关于抛物线. 的结论正确的是（ ）. A.开口向上，顶点坐标为(1，-2) B.开口向下，顶点坐标为(1，-2) C. 开口向上,顶点坐标为(-1,-2) D. 开口向下,顶点坐标为(-1,-2) 4.(2024·河北唐山迁安期末)某商店购进一批成本为5角的面包，如果以单价7角销售，每天可销售160个.在此基础上，这种面包单价每提高1角，每天就会少卖出20个，若设每个面包上涨x(x>0)角，每天销售利润为 y角，可列函数式为y=(7+x-5)(160-20x)，在所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是( ). A.(7+x-5)表示涨价后面包的单价 B.20x 表示涨价后少卖出面包的数量 C.(160-20x)表示涨价后卖出面包的数量 D.(7+x)表示涨价后面包的单价 5.(2025·浙江绍兴期中)已知二次函数 当x≥0时，函数有最小值-1,当x<0时，函数有最小值-2,则 bc的值为( ). A. 1 B. 1或-1 C. 2或-2 D. - 2 6.已知二次函数 (a为常数，且a>0)，下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x<0时，y随x的增大而减小；④当.x>0时，y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是（ ）. A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④ 7.(2024·福建中考)已知二次函数 的图象经过 两点，则下列判断正确的是（ ）. A.可以找到一个实数a，使得 B.无论实数a 取什么值，都有 C.可以找到一个实数a，使得 D.无论实数a 取什么值，都有 8.已知抛物线 与直线y=1有两个交点A(-1,1),B(3,1),抛物线 与直线y=1的一个交点是(-3,1),则m的值是( ). A. - 6 B. - 2 C.6或2 D. - 6或-2 9.(2024·乐山中考)已知二次函数 ，当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）. A. 0<t≤2 B. 0<t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2 10.(2024·山东济南章丘区期末)已知二次函数 m为常数)，当自变量x 的值满足-3≤x≤-1时，与其对应的函数值y 的最小值为5，则m的值为（ ）. A. 1或-3 B. - 3或-5 C. 1或-1 D. 1或-5 二、填空题(本题包括8小题，每小题3分，共24分) 11.(2025·上海虹口区一模)已知 是二次函数，那么m 的值是 . 12.已知二次函数 若当x=m和x=-m(m≠0)时函数值相等,则b的值为 . 13.(2025·上海宝山区期中)若抛物线 过(1,y₁),(3,y₂)两点,则y₁ y₂(填“>”“<”或“=”). 14.(2024·江苏泰州兴化期末)二次函数 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到新的二次函数图象的顶点坐标是 . 15.一个二次函数 的顶点在 y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 . 16.(2025·浙江嘉兴期末)在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),B(3,3),点C(m,n)在线段AB 上,设t= ，则t 的最大值为 . 17.(2024·北京东城区期末)如图(1)，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分.铅球出手位置的高度为 当铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m.铅球的行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系满足二次函数.若以最高点为原点，过原点的水平直线为x轴，建立如图(2)所示的平面直角坐标系xOy，该二次函数的解析式为 若以过出手点且与地面垂直的直线为y轴，y轴与地面的交点为原点，建立如图(3)所示的平面直角坐标系xOy，则该二次函数的解析式为 . 18.(2024·江苏南通如皋期末)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天 元. 三、解答题(本题包括8小题，共66分) 19.(6分)(2024·安徽合肥期末)已知抛物线 (1)用配方法确定它的顶点坐标、对称轴. (2)x取何值时,y<0? 20.(6分)(2024·江苏宿迁期中)已知二次函数的图象如图所示. (1)求这个二次函数的解析式； (2)观察图象，当-2<x<1时，y的取值范围为 ； (3)若将该二次函数图象向上平移m个单位长度后恰好过点((-2,0),求m的值. 21.(8分)(2024·陕西西安二十六中期末)在平面直角坐标系中，抛物线 与 n+1交于点A.如图，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C(点B 在点C 左侧)，求线段BC的长. 22.(8分)(2024·内蒙古通辽期中)已知抛物线 经过点A(2,4). (1)直接写出这个函数的解析式为 ，并写出抛物线上点 A 关于y轴的对称点 B 的坐标 ; (2)求 的面积； (3)抛物线上是否存在点 C，使 的面积等于 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由. 23.(8分 )某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM=12米，顶点 P 到底部OM 的距离为9米.将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上.其内部支架有两个符合要求的设计方案： 方案一是“川”字形内部支架(由线段AB,PN,DC 构成),点B,N,C在OM上,且OB=BN=NC=CM,点A,D 在抛物线上,AB,PN,DC均垂直于OM; 方案二是“H”形内部支架(由线段A'B',D'C',EF 构成),点B',C'在OM 上,且OB'=B'C'=C'M,点A',D'在抛物线上，A'B',D'C'均垂直于OM，E，F分别是A'B',D'C'的中点. (1)求该抛物线的函数解析式. (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料?请说明理由. 24.(8分)(2024·渭南一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 (a,b为常数，且a≠0))与x轴交于点A(-4,0)和点 B,与y轴交于点C,且(OC=OB. (1)求该抛物线的函数解析式. (2)连接BC，点D 是抛物线的对称轴l上的动点，点E 是平面内的点，是否存在以点B，C，D，E为顶点的四边形是菱形?若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由. 25.(10分)(2024·浙江湖州南浔区期末)设二次函数 (a,b,c均为常数，且a≠0).已知函数值y和自变量x 的部分对应取值如表所示. x 0 1 y n n 4a (1)若a=1, ①求二次函数的解析式，并写出顶点坐标； ②已知点 与 都在该二次函数图象上，且 请求出y₁ 的最小值 (2)将该二次函数图象向右平移k(0<k<2)个单位，若平移后的二次函数图象在 的范围内有最小值为 求k 的值. 26.(12分) (2024·济宁中考)已知二次函数 的图象经过(0,-3),(-b,c)两点，其中a，b，c为常数，且ab>0. (1)求a,c 的值. (2)若该二次函数的最小值是-4,，且它的图象与x轴交于点A，B(点A 在点B 的左侧)，与y轴交于点C. ①求该二次函数的解析式，并直接写出点 A，B的坐标. ②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点 P 作x轴的垂线，垂足为 D，与直线AC交于点E,连接 PC,CB,BE.是否存在点 P,使 若存在，求此时点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由. 1. D [解析]∵函数 是关于x的二次函数， 解得 k=0.故选 D. 2. C[解析]设抛物线的解析式为 ，则抛物线解析式为 .将(0,-4)代入上式,得 解得a=-2，故抛物线的解析式为 故选C. 3. C 4. A 5. D[解析]已知二次函数解析式中,a=1>0, ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线 ∵当x≥0时，函数有最小值-1，当x<0时，函数有最小值-2,-1>-2, ∴对称轴在 y 轴左边，即 当x=0时,y=c=-1, ∴当x<0时，函数的最小值为-2，解得 ∵b>0,∴b=2,∴bc=2×(-1)=-2.故选 D. 6. B[解析]∵a>0时，抛物线开口向上，∴对称轴为直线 当x<0时，y随x的增大而减小，当x> 时，y随x的增大而增大，∴函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、四象限.故选 B. 7. C[解析]∵二次函数解析式为 ∴二次函数开口向上，且对称轴为直线 顶点坐标为( 当a>0时 y₁<a,当a<0时, 故A,B错误,不符合题意;当a>0时,0<a<2a<3a,由二次函数对称性可知点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴当x=3a时， 当a<0时,3a<2a<a<0,由二次函数对称性可知点(0,a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∴当x=3a时，y₂>a，可能大于0也可能小于0，故C正确，符合题意，D错误，不符合题意.故选 C. 一题多解将点A(a ,y₁),B(3a,y₂)分别代入二次函数 中，得 故 A,B错误;令y₂<0,即 a<0,解得 即只要满足 就能使y₂<0,故C正确,D错误.故选 C. 8. D [解析]∵抛物线 的对称轴为直线x=h,抛物线. 的对称轴为直线x=h+m,∴抛物线 的图象可由抛物线 的图象向右平移m个单位长度得到.∵抛物线 与直线y=1有两个交点A(-1,1),B(3,1),∴当点A(-1,1)平移后的对应点为(-3,1)时,m=-3-(-1)=-2;当点B(3,1)平移后的对应点为(-3,1)时,m=-3-3=-6.综上所述,m的值为-2或-6.故选D. 9. C [解析]∵ ∴抛物线的对称轴为直线x=1，且顶点坐标为(1，-1).∵1-(-1)=3-1,∴x=-1和x=3时的函数值相等.∵-1≤x≤t-1,当x=-1时,函数取得最大值,∴t-1≤3.又当x=1时,函数取得最小值, ∴t-1≥1,∴1≤t-1≤3,解得2≤t≤4.故选 C. 10. D [解析]∵ ∴当x=m时,y的最小值为1.当m<-3时,在-3≤x≤-1中，y随x的增大而增大，. 解得 (舍去);当-3≤m≤-1时,y 的最小值为1，舍去；当m>-1时,在-3≤x≤-1中,y随x的增大而减小， 解得 (舍去), 的值为-5或1.故选 D. 易错警示 利用配方法可得出当x=m时，y的最小值为1,注意需要分m<-3,-3≤m≤-1和m>-1三种情况考虑. 11.0 12.0 [解析]在二次函数 中，当x=m时，函数值为 当x=-m(m≠0)时，函数值为 当x=m和x=.-m(m≠0)时函数值相等,. bm+c,∴bm+ bm=0,解得b=0. 一题多解 ∵当x=m和x=-m(m≠0)时函数值相等, ∴函数图象的对称轴为直线 13.< [解析]∵ ∴抛物线对称轴为直线 开口向上，∴当x=1时，该二次函数取最小值， 14.(3,-1) [解析]∵ ∴二次函数 的图象的顶点坐标是(1，2)，∴将二次函数 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到新的二次函数图象的顶点坐标是(1+2,2-3),即(3,-1). (答案不唯一) 16.-3 [解析]设直线 AB 为y= kx+b,∵点A(2,1),B(3,3),. 解得 ∴直线AB为y=2x-3.∵点 C(m,n)在线段AB 上,∴n=2m-3(2 2.∵-1<0,∴当m=2时,t有最大值为-3. [解析]根据题图(2)解析式得 ∵铅球行进的水平距离为4m 时，高度达到最大值3m，∴抛物线的顶点坐标为(4，3)，∴抛物线解析式为 18.350 [解析]设空闲房间为x个，则定价增加了 10x元，设宾馆的利润为y元.由题意,得y=(180+10x-20)· 10890.∵a=-10<0,抛物线开口向下,∴当x=17时,y有最大值,此时房间定价为 180+10×17=350(元).∴若想要获得最大利润，房间定价为350元. 一题多解设定价为 x 元，则每天利润为(50- 故当房间定价为350元时每天利润最大. 顶点坐标为 对称轴是直线 (2)令y=0,即 解得x=-2或 ∵抛物线开口向下， ∴当x<-2或 时,y<0. 20.(1)根据图象可知,二次函数的顶点为(-1,-4), 设二次函数的解析式为 且图象过点(1,0),. 解得a=1, ∴二次函数的解析式为. (2)-4≤y<0 [解析]由(1)得二次函数的解析式为 .当x=-1时,y有最小值-4,当x=1时,y有最大值0,∴当-2<x<1时,y 的取值范围为-4≤y<0. (3)由题意得平移后的解析式为 ∵过点(-2,0),. 解得m=3. 21.由题知，两条抛物线的对称轴分别为直线x=-5和直线x=3，令直线BC 与这两条对称轴的交点分别为M 和N，如图. 因为直线BC平行于x轴，则MN=3-(-5)=8. 又BM=AM,CN=AN, 所以BC=AB+AC=2(AM+AN)=2MN=16,故线段 BC 的长为16. [解析]∵抛物线 经过点A(2,4),∴4=4a,解得a=1,∴这个函数的解析式为 ∵点A(2,4),∴点 A 关于y轴的对称点B 的坐标为(-2,4). (2)∵点A(2,4),B(-2,4),∴AB=2-(-2)=2+2= (3)设点C的坐标为(m,m²), ∵△ABC 的面积等于△AOB 面积的一半, 则得 或 ∴点C 的坐标为( ,6)或(- ,6)或( ,2)或( 23.(1)∵该抛物线型构件的底部宽度OM=12米，顶点 P 到底部OM 的距离为9米， ∴顶点 P 的坐标为(6,9),点O 的坐标为(0,0),点 M 的坐标为(12,0). 设抛物线的解析式为 ,将O(0,0)代入,得 解得 ∴该抛物线的函数解析式为 即 (2)方案二的内部支架节省材料.理由如下： 方案一:∵OB=BN=NC=CM,OM=12米,∴OB=3米,OC=9米. 当x=3时, 即 米；当x=9时, 即 米， ∴方案一内部支架材料长度为 (米). 方案二： 米， 米，OC'=8米，EF=B'C'=4米. 当x=4时, 即A'B'=8米； 当x=8时, 即C'D'=8米， ∴方案二内部支架材料长度为.A'B'+EF+C'D'=8+4+8=20(米). ∴方案二的内部支架节省材料. 24.(1)当x=0时,y=2,∴点C(0,2),则OC=2,∴OC=OB=2,∴点 B(2,0). ∵抛物线 过点A(-4,0)和点 B(2,0), 解得 ∴抛物线的函数解析式为 (2)由(1)得 ∴抛物线的对称轴为直线x=-1. 设D(-1,m), ①当BC 为菱形的边时,则BC=CD或BC=BD, 或 ,即8=1+(m-2)²或 (无解)，解得： ∴点D 的坐标为 或 ②当BC 为菱形的对角线时,则CD=BD, 即 解得m=-1,∴点D 的坐标为(-1,-1). 综上可得，存在以点B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，点D 的坐标为 或(-1,2- )或(-1,-1). 25.(1)①根据题意,得 解得 ∴抛物线解析式为 ∴顶点坐标为(-2,-5). ②∵点(m,y₁)与(m-3,y₂)都在该二次函数图象上,且 ∴当x>-2时，y随x的增大而增大， ∴y₁的最小值是 时的函数值， ∴y₁的最小值为 (2)由表格数据，可知抛物线的顶点为(-2，-5a). ∴抛物线的解析式为. 将该二次函数图象向右平移k(0<k<2)个单位，得到 且对称轴为x=k-2,-2<k-2<0. ∵平移后的二次函数图象在-2≤x≤0的范围内有最小值为 若a>0，二次函数开口向上，当-2≤x≤0时，二次函数最小值为 解得a=0,不符合题意，∴抛物线开口向下. 若当x=-2时,函数. 有最小值，把x=-2代入. 得 解得 若当x=0时，函数. 有最小值，把x=0代入,得 或 综上所述，k的值为 或 26.(1)∵函数过(0,-3),(-b,c), ∵ab>0,∴a≠0,b≠0, ∴a-1=0,∴a=1. (2)①由(1)知该函数的解析式为 ∵a=1>0, ∴当 时，函数取最小值为 ∵二次函数最小值为 解得b=±2. ∵ab>0,a=1,∴b=2, ∴二次函数解析式为 令y=0,则 解得 ∴点A 坐标(-3,0),点 B 坐标(1,0). ②当点 P 在点A 右侧时,如图(1),过B 作BF⊥AC 于点F,过P 作PG⊥AC 于点G. ∵A(-3,0),C(0,-3),B(1,0), ∴OA=OC=3,OB=1, ∴AB=OA+OB=4,AC=3 ∵△PCE 和△BCE 都是以CE 为底的三角形, 如图(1),过点 P 作PH∥AC交y轴于点 H,过点 C 作CK⊥PH,则 ∵OA=OC,∴∠OCA=45°, ∴点 H 的坐标为 ∴直线 PH 解析式为 联立方程组可得 解得 ∴点 P 坐标为 或 当点 P 在点A 左侧时,过P 作PH∥AC 交y轴于点 H,如图(2). 同第一种情况的方法可得 学科网（北京）股份有限公司 ∴直线 PH 解析式为 联立方程组得 解得 舍去 ∴点 P 坐标为 综上，点P 横坐标为 或 或 $