精品解析：山东省青岛市市南区青岛超银中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学12月质量检测 一、单选题（27分） 1. 如图是由5个小正方体搭成的几何体，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 平行四边形的对角相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的邻边相等 D. 正方形的四条边均相等 3. 如图，是的外接圆，是直径，过点C的切线交的延长线干点D，若，，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线经过平移后，抛物线上的点平移到点，那么平移后的抛物线解析式为 A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为（1，2），3OA＝OA'，则点A'的坐标为（　　） A. B. （2，4） C. （3，4） D. （3，6） 8. 笼子里共有鸡和兔13只，鸡兔同笼共有脚36只，则笼子里鸡的数量为（ ） A. 7只 B. 8只 C. 9只 D. 10只 9. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（12分） 10. 设，是方程的两实数根，则________． 11. 如图，在中，，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为______． 12. 根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程______． 13. 如图，已知，． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q； （2）作直线，分别交，于点D，E； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，有以下结论： ①；②；③；④； 其中正确的是________． 14. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是______． 15. 如图，在矩形中，平分交于点，点是边上一点（不与点重合）．点为上一动点，，将绕点逆时针旋转后，角的两边交射线于，两点，有下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是______．（填序号） 三、解答题（81分） 16. 如图，矩形的对角线，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 17. 解下列方程： （1）（x﹣3）2﹣4＝0； （2）x2﹣4x﹣8＝0． 18. 某场地的跑道分为上坡、平地、下坡三种类型．一架无人机始终以每分的速度在离水平地面的高度匀速向右飞行，在运动员的正上方进行跟踪拍摄．如图为无人机飞行以及运动员运动路径的图像．已知，，的坡度，下坡路的坡角为． （1）求坡面的垂直高度； （2）求直线的函数解析式，并求运动员在下坡路段的速度； （3）通过计算说明运动员在上运动的过程中，与无人机距离不超过的时长． 19. 如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个而标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． （1）任意掷这枚骰子，掷出“6”的概率是多少？ （2）任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”的概率是多少？ （3）任意掷这枚骰子，掷出“奇数”和掷出“偶数”的概率哪个大？ 20. 如图，利用函数的图象，解决下列问题： （1）该函数图象的顶点坐标是 ． （2）方程的解是 ． （3）当时，的取值范围是 ． （4）当时，的取值范围是 ． 21. 如图，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象交于A (1，3)和B两点，与x轴交于点C． （1）b=_____，k=_____； （2）当-x+b时，请结合图象直接写出x的取值范围； （3）连结OA、OB，求△OAB的面积． 22. 如图，在中，对角线平分，点、在上，且．连接、、、．求证：四边形是菱形． 23. 在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处，小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：cm/s）、运动距离（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系． 运动时间t（s） 0 4 8 12 … 运动速度v（cm/s） 10 8 6 4 … 运动距离y（cm） 0 36 64 84 … （1）直接写出v关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以3cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会触到白球？若不能，请求出两球之间距离的最小值；若能，请求出运动时间t． 24. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． （1）在图①中画出中边上的高线； （2）在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； （3）在图③中画出一个与不全等但面积相等的； （4）在图④中画出一个与全等的． 25. 如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G． （1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）求线段AF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学12月质量检测 一、单选题（27分） 1. 如图是由5个小正方体搭成的几何体，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据几何体的三视图可直接进行求解． 【详解】解：根据三视图的定义， 可得左视图为 主视图为 俯视图为 故主视图与俯视图相同． 故选A． 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 平行四边形的对角相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的邻边相等 D. 正方形的四条边均相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质，根据性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：平行四边形的对角相等，故A选项正确，不符合题意， 矩形的对角线相等但不一定垂直，故B选项错误，符合题意， 菱形的邻边相等，故C选项正确，不符合题意， 正方形的四条边均相等，故D选项正确，不符合题意， 故选：B． 3. 如图，是的外接圆，是直径，过点C的切线交的延长线干点D，若，，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，证明，根据相似三角形的性质、正切的定义计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： 是的切线， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 的半径长为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 4. 抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线与x轴的另一个交点是解题的关键．根据抛物线的对称轴为得到另一个交点为，结合图象即可求出时的取值范围． 【详解】解：由图象可得：抛物线对称轴为，当时，， 根据抛物线的对称性可得：当时，， ∴若，则x的取值范围是， 故选：B． 5. 如图，四边形为正方形，点在边上，且，点在边上，且．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，设，则，根据相似三角形的性质求得，进而根据正切的定义，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形，． ∴，， ∴， ∴ ∵，，则， 设，则， ∴ 解得：或 ∵， ∴， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6. 将抛物线经过平移后，抛物线上的点平移到点，那么平移后的抛物线解析式为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，由点平移得到图象平移的规律是解题关键．根据抛物线上的点平移到点，可得抛物线右移2，上移3个单位，根据平移规律，可得答案． 【详解】解：抛物线经过平移后，抛物线上的点， ， 抛物线上的点平移到点， ∴抛物线右移2，上移3个单位， 将抛物线经过平移后抛物线的解析式为， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为（1，2），3OA＝OA'，则点A'的坐标为（　　） A. B. （2，4） C. （3，4） D. （3，6） 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得出两图形位似比，根据若两个图形ABC和A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，ABC上一点的坐标是（x，y），则在A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可． 【详解】解：∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'为位似图形，位似中心是原点，3OA＝OA'， ∴五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的位似比为1：3， ∵A（1，2） ∴点A′的坐标为：（3，6）． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 8. 笼子里共有鸡和兔13只，鸡兔同笼共有脚36只，则笼子里鸡的数量为（ ） A. 7只 B. 8只 C. 9只 D. 10只 【答案】B 【解析】 【分析】设笼子里鸡的数量为只，从而可得笼子里兔的数量为只，再根据“鸡兔同笼共有脚36只”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设笼子里鸡的数量为只，则笼子里兔的数量为只， 由题意得：， 解得， 即笼子里鸡的数量为8只， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握理解“1只鸡有2只脚，1只兔有4只脚”是解题关键． 9. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质、由二次函数图象判定系数符合及式子符号的方法是解决问题的关键．由图可知，抛物线开口向下，则；抛物线的顶点的坐标为，则对称轴为，得；抛物线与轴交于正半轴，则；根据结论逐项验证即可得到答案． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，则；抛物线的顶点的坐标为，则对称轴为，得；抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 对称轴为， ，则， 令，则由图可知， ，故②正确； 若抛物线经过点，，对称轴为，则点，到对称轴的距离分别为，， ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， ，故③错误； 若关于的一元二次方程无实数根，则抛物线与无交点，如图所示： 抛物线的顶点的坐标为， 当时，抛物线与无交点，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④，共3个， 故选：C． 二、填空题（12分） 10. 设，是方程的两实数根，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的解和根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程的解和根与系数的关系．由 是方程的根，得 ；由根与系数的关系，得 ．代入计算即可． 【详解】解：因为 是方程 的根， 所以 ，即 ． 又因为 是方程的两个实数根，由根与系数的关系，得 ． 所以 ． 故答案为 0． 11. 如图，在中，，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，相似三角形的判定与性质，熟练掌握几何概率公式，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴针尖落在阴影区域内的概率为． 故答案为： 12. 根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 13. 如图，已知，． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q； （2）作直线，分别交，于点D，E； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，有以下结论： ①；②；③；④； 其中正确的是________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点． 由作图可得垂直平分，则，为中点，根据斜边中线以及直角三角形斜边大于直角边得到，即可判断②；根据两角相等，即可证明，则可判断③，再根据相似三角形对应角相等以及等边对等角即可判断④． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，为中点， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵为中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵在中，， ∴， ∵， ∴，故②正确， 对于①现有条件不足以证明，故①错误， ∴正确的有②③④， 故答案为：②③④． 14. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的确定，设，则，，根据反比例函数的性质，列出方程计算即可． 【详解】解：点，的横坐标都是，，平行于轴，点在上，且其横坐标为， 设， ，， 反比例函数的图象经过点，， ， 解得， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，平分交于点，点是边上一点（不与点重合）．点为上一动点，，将绕点逆时针旋转后，角的两边交射线于，两点，有下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是______．（填序号） 【答案】③④ 【解析】 【分析】只要证明是等腰直角三角形，，即可判定③④正确，由此即可判断解决问题． 【详解】，， ， 平分， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ； 为等腰直角三角形， ，， ， ；故③正确， ，， ，故④正确， 无法证明①；②； 故答案为：③④． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键． 三、解答题（81分） 16. 如图，矩形的对角线，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，． 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，．可以得到四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到，由菱形的定义可以得到结论成立； （2）根据，，可以求得菱形边上的高，然后根据菱形的面积底高，代入数据计算即可． 本题考查菱形的判定、矩形的性质，锐角三角函数，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积底高或者是对角线乘积的一半． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点， 四边形是矩形，， ，， ， ， ∴, ∴, ， 菱形的面积是：． 17. 解下列方程： （1）（x﹣3）2﹣4＝0； （2）x2﹣4x﹣8＝0． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行求解一元二次方程即可； （2）利用配方法进行求解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ∴； （2） ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 18. 某场地的跑道分为上坡、平地、下坡三种类型．一架无人机始终以每分的速度在离水平地面的高度匀速向右飞行，在运动员的正上方进行跟踪拍摄．如图为无人机飞行以及运动员运动路径的图像．已知，，的坡度，下坡路的坡角为． （1）求坡面的垂直高度； （2）求直线的函数解析式，并求运动员在下坡路段的速度； （3）通过计算说明运动员在上运动的过程中，与无人机距离不超过的时长． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据坡度的定义直接求解即可； （2）结合题意确定点的坐标，然后利用几何图形性质确定点坐标，从而结合待定系数法求解析式即可；由于运动员在上的运动时间和无人机在水平方向上的运动时间相同，从而求出运动员的时间，再结合前序步骤结论求出的长度，即可求出速度； （3）用待定系数法求直线的解析式，然后求出运动员在线段上与无人机距离等于的时刻，再求出上与无人机距离等于的时刻，即可得出结论 【小问1详解】 解：如图所示，作于点， ∵的坡度， ∴， 设，则，根据勾股定理，， ∵， ∴，解得：， ∴坡面的垂直高度； 【小问2详解】 解：如图所示，作于点，则四边形为矩形，， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴，即：点的坐标为， ∵， ∴，， 即：点坐标为， 设直线的解析式为：， 将，代入解得：， ∴直线的解析式为：， 由题意，运动员在上的运动时间和无人机在水平方向上的运动时间相同， ∵，无人机速度为， ∴无人机在水平方向上的运动时间为：， 即运动员在上的运动时间为， ∵， ∴， ∴运动员在上的速度为：； 【小问3详解】 解：由（1）可知，点坐标为， 设直线解析式为：， 将代入解得：， ∴直线解析式为：； 当时，即：，解得：， ∴，即：运动员出发后，与无人机距离恰好为； 由（2）可知，直线的解析式为：， 当时，即：，解得：， ∴，即：运动员出发后，与无人机距离恰好为； ∴与无人机距离不超过的时长为：， ∴与无人机距离不超过的时长为． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解直角三角形的实际应用，理解函数图像所对应的实际信息，准确求出各部分函数解析式是解题关键． 19. 如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个而标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． （1）任意掷这枚骰子，掷出“6”的概率是多少？ （2）任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”的概率是多少？ （3）任意掷这枚骰子，掷出“奇数”和掷出“偶数”的概率哪个大？ 【答案】（1） （2） （3）掷出“偶数”的概率较大． 【解析】 【分析】本题主要考查概率知识，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算公式，先求出标有“6”的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （2）找到“3的倍数”的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （3）根据标有“偶数”的面数之和与总面数的比即可求得掷出“偶数”的概率和掷出“奇数”的概率，再比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个而标有“4”，5个面标有“5”，其余的而标有“6”． ∴标有“6”的面数为5面， ∴掷出“6”的概率是； 【小问2详解】 解：∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面， ∴掷出“3的倍数”的概率是； 【小问3详解】 解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”， ∴掷出“偶数”的概率是； ∴掷出“奇数”的概率是； ∵， ∴掷出“偶数”的概率较大． 20. 如图，利用函数的图象，解决下列问题： （1）该函数图象的顶点坐标是 ． （2）方程的解是 ． （3）当时，的取值范围是 ． （4）当时，的取值范围是 ． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键． （1）将解析式化为顶点式，即可作答； （2）根据图象作答即可； （3）求出当时，的最大值和最小值即可求解； （4）求出时的的值，即可求解． 【小问1详解】 解：， 即函数图象的顶点坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图象可得：方程的解是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，； 故答案为：； 【小问4详解】 解：由图象可得： 函数的对称轴为：直线， 由图象可知，当时，； 再由对称性可知，当时，； ∴当时，或． 故答案为：或． 21. 如图，一次函数y=-x+b的图象与反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象交于A (1，3)和B两点，与x轴交于点C． （1）b=_____，k=_____； （2）当-x+b时，请结合图象直接写出x的取值范围； （3）连结OA、OB，求△OAB的面积． 【答案】（1）4，3 （2）或 （3）4 【解析】 【分析】（1）将A(1，3)分别代入一次函数和反比例函数解析式，即可求出b和k的值； （2）由（1）可得出一次函数和反比例函数解析式，再联立两个解析式，即可求出B点坐标．根据-x+b，即求反比例函数的图象位于一次函数的图象上方时，x的取值范围即可； （3）根据一次函数解析式可求出C点坐标，再根据结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 将A(1，3)分别代入一次函数和反比例函数解析式，得： ，解得：， 故答案为：4，3； 【小问2详解】 由（1）可知一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立， 解得：，， ∴B(3，1)． ∵-x+b，即， ∴反比例函数的图象位于一次函数的图象上方即可． ∵A (1，3)、B(3，1)， ∴当或时反比例函数的图象位于一次函数的图象上方， ∴当-x+b时， x的取值范围是或； 【小问3详解】 对于，令，则， 解得：， ∴C(4，0)． 如图，连接OA，OB． 由图可知， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键． 22. 如图，在中，对角线平分，点、在上，且．连接、、、．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明： 连结BD交AC于O， ∵对角线平分， ∴∠BAC=∠DAC， 在中，AB∥DC，AB=DC，BC∥AD，BC=AD， ∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC， ∴BC=BA，DC=DA， ∴平行四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD， ∵， ∴OA-AF=OC-CE，即OE=OF， ∴四边形BEDF为平行四边形， AC⊥BD，点E、F在AC上， ∴EF⊥BD， ∴平行四边形BEDF为菱形． 【解析】 【分析】连结BD交AC于O，由对角线平分，可得∠BAC=∠DAC，由中，AB∥DC，AB=DC，BC∥AD，BC=AD，可得∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，可证平行四边形ABCD为菱形，可得AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，由，可得OE=OF，可证四边形BEDF为平行四边形，EF⊥BD，可证平行四边形BEDF为菱形即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，角平分线定义，平行线性质，掌握平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，角平分线定义，平行线性质是解题关键． 23. 在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处，小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：cm/s）、运动距离（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系． 运动时间t（s） 0 4 8 12 … 运动速度v（cm/s） 10 8 6 4 … 运动距离y（cm） 0 36 64 84 … （1）直接写出v关于t的函数表达式和y关于t的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以3cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会触到白球？若不能，请求出两球之间距离的最小值；若能，请求出运动时间t． 【答案】（1）， （2） （3）黑球在运动过程中不会础到白球，两球最小距离为6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，分别设，代入数值计算求值即可； （2）将代入解析式求出时间，再根据与的函数解析式求出速度即可； （3）以点为原点，可得白球与原点的距离与时间的函数解析式为：，结合黑球移动距离与时间的函数解析式可求出两者距离的与时间的函数解析式即可判断并计算． 【小问1详解】 解：设 由题意得：当时，，当时，分别代入得： 解得： ∴关于的函数解析式为： 设 当时，，当时，，当时，代入得： 解得： ∴关于的函数解析式为： 【小问2详解】 解：将代入得： 解得： 当时， 当时，（舍去） ∴此时的速度为： 【小问3详解】 解：由题意得：设点为原点， 白球与原点的距离与时间的解析式为： ∴两者的距离为： 即 ∴黑球在运动过程中不会触到白球， ∴当时，有最小值，最小值为 【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式以及利用顶点式求二次函数的最值是解决本题的关键． 24. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图． （1）在图①中画出中边上的高线； （2）在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； （3）在图③中画出一个与不全等但面积相等的； （4）在图④中画出一个与全等的． 【答案】（1） 高线即为所求： （2） 直线即为所求: （3） 即为所求： （4） 即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的性质，全等三角形的判定： （1）根据三角形高的定义画图即可； （2）根据三角形中线平分三角形面积，找到中点，作直线即可； （3）根据三角形不全等但面积相等的性质画出同底等高的三角形即可． （4）根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵， ∴． 25. 如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G． （1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）求线段AF的长． 【答案】 （1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切，理由如下： 连接OA， ∵点A，E是半圆周上的三等分点， ∴． ∴点A是的中点． ∴OA⊥BE． 又∵AG∥BE， ∴OA⊥AG． ∴AG与⊙O相切． （2） 【解析】 【分析】（1）求出弧AB=弧AE=弧EC，推出OA⊥BE，根据AG∥BE，推出OA⊥AG，根据切线的判定即可得出答案． （2）求出等边三角形AOB，求出BD、AD长，求出∠EBC=30°，在△FBD中，通过解直角三角形求出DF即可． 【详解】解：（1） 略 （2）∵点A，E是半圆周上的三等分点， ∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°． 又∵OA=OB， ∴△ABO为正三角形． 又∵AD⊥OB，OB=1， ∴BD=OD=， ∴AD=． 又∵∠EBC=∠EOC=30°， 在Rt△FBD中，FD=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=． ∴AF=AD﹣DF=． 答：AF的长是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $