26.1.2 反比例函数的图像和性质 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级下册

反比例函数的图像和性质 一、单选题 1．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 3．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图，这是反比例函数 的图象，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．反比例函数的图像在（   ）象限 A．第一、第二象限 B．第二、第三象限 C．第二、第四象限 D．第三、第四象限 7．在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如果点在反比例函数的图象上，那么（   ） A． B． C． D． 9．如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 10．反比例函数 与一次函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 12．根据反比例函数和一次函数的图象，请写出它们的一个相同点 ；一个不同点 ． 13． 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 14．已知反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 15．如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ． 16．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 三、解答题 17．已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点． (1)求和的值，并画出这个反比例函数的图像； (2)根据反比例函数图像，指出当时，的取值范围． 18．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求的面积． 19．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B D C D C C A 1．B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，是反比例函数解析式，且， 只有B选项符合题意； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 3．B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 4．B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象分布在二、四象限可得，求出的取值范围进而即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故选：． 5．D 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的系数判断图象所在象限，以及在每一象限内的增减性． 先根据反比例函数判断函数所在象限，再分析各点所在象限的函数值正负，最后根据同一象限内的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点、、， ∴（∵）， ， ， ∴． 又∵在第二象限内，随的增大而增大，且， ∴当从增大到时，值增大，即， ∴， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据反比例函数比例系数可判断图像在第二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴图像在第二、第四象限． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象增减性与的关系是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质，当反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，得到，解得，从而得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大， ，解得． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查的是反比例函数函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 通过直接计算各点的纵坐标值，比较大小即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， ∴，即， 故选 C． 9．C 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 10．A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数图象的性质是解题的关键，把分类讨论，分别判断反比例函数与一次函数图象位置即可得到答案． 【详解】解：当时，则， ∴的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无符合选项； 当时，则， ∴的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，A 选项符合． 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数和反比例函数的交点问题， 先求出点关于y轴对称的点的坐标，再将坐标代入一次函数关系式求出a，然后将点P的坐标代入关系式求出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴点． 将点代入反比例函数关系式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 12． 图象都经过点（答案不唯一 ） 两个函数的图象的形状不同（答案不唯一 ） 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的图象的综合判断，根据反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，，， ∴两个函数的图象都经过点； ∵的图象为双曲线，的图象为一条直线， ∴两个函数的图象的形状不同． 故答案为：图象都经过点，两个函数的图象的形状不同． 13．或 【分析】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合判断，将不等式 转化为不等式，再结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：不等式 可以转化为不等式， 根据函数图像可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． 14． 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当时，在第三象限内，随的增大而减小，由，结合函数解析式求的取值范围即可． 【详解】解：对于反比例函数， 当时，函数图象在第三象限，随的增大而减小， 当时，， 因此，当时，函数值的取值范围是， 故答案为：． 15．10 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设，得到方程，解得，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵若，， ∴， 解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：10． 16．/ 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义．理解反比例函数中的几何意义是解题的关键． 根据中的几何意义来求解即可． 【详解】解：由图可知，点对应的垂线段围成的矩形面积为， 点对应的垂线段围成的矩形面积也为， ． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，理解交点的含义并正确画出函数图形是顺利解题的关键． （1）根据题意，先将代入一次函数，求得，即可求得交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式，即可求得，根据描点法即可画出图像； （2）将，代入反比例函数解析式，即可求得值，当时，观察图像即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，将代入，解得， ∴ 交点坐标为，再代入反比例函数中，解得， ∴ 反比例函数解析式为， 列出几组、的对应值： 描点连线，即可画出函数图像，如图： （2）当时，， 根据图像可知，当时，． 故当时，的取值范围是． 18．(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为． (2) 【分析】（1）先利用反比例函数图象上的点求出反比例函数表达式，再将点代入一次函数求出其表达式； （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再以为底，点横坐标为高，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：对于反比例函数，把代入， 得，解得， 反比例函数表达式为， 对于一次函数，其中，把代入， 得，解得， 一次函数表达式为． （2）解：如图所示，过点作轴于点： 点的坐标为， ， 在一次函数中，令，得， ，则， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，掌握利用函数图象上的点求函数表达式，以及利用坐标求三角形面积的方法是解题的关键． 19．(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 20．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数的表达式，求一次函数的表达式，反比例函数与几何综合，根据函数图象求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将点代入中求解，即可得到反比例函数的表达式，进而求出点，再将点代入一次函数中求解，即可求出一次函数的表达式； （2）记直线交轴于点，利用一次函数求出，再根据求解，即可解题； （3）根据一次函数图象与反比例函数图象交点情况，直接写出当一次函数值小于反比例函数值的x的取值，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，反比例函数过点，， ， 反比例函数的表达式为； ， ， 一次函数过点，， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：记直线交轴于点， 当时，， ， ，， ； （3）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， 结合图象可知，一次函数值小于反比例函数值的x的取值是或； 故答案为：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 反比例函数的图像和性质 一、单选题 1．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 3．如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图，这是反比例函数 的图象，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．反比例函数的图像在（   ）象限 A．第一、第二象限 B．第二、第三象限 C．第二、第四象限 D．第三、第四象限 7．在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如果点在反比例函数的图象上，那么（   ） A． B． C． D． 9．如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为（    ）． A．8 B．10 C．12 D．16 10．反比例函数 与一次函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 12．根据反比例函数和一次函数的图象，请写出它们的一个相同点 ；一个不同点 ． 13． 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 14．已知反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ． 15．如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ． 16．如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则 （用含k的代数式表示） 三、解答题 17．已知反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点． (1)求和的值，并画出这个反比例函数的图像； (2)根据反比例函数图像，指出当时，的取值范围． 18．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求的面积． 19．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当一次函数值小于反比例函数值的x的取值是___________； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $