2025-2026学年人教版九年级数学下册《第27章相似》期末综合复习训练题

2025-2026学年人教版九年级数学下册《第27章相似》期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 2．下列条件中，能使成立的是（   ） A． B． C．上的高；上的高 D． 3．如图，，若，，则的值为（   ） A．5 B．2.5 C．15 D．10 4．如图，在菱形中，延长至点，使得，连接交边于点．若，则菱形的周长为（　　） A．30 B．24 C．20 D．12 5．手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为（   ） A．1m B． C． D． 6．如图，四边形内接于，对角线恰好是的直径，若，则的长为（ ） A． B．3 C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 8．若，则 ． 9．小明拿1米的竹竿立于地面，测其影长为米，同一时刻测得一棵树在太阳光下的影长为米，则这棵树的高为 米． 10．图中的两个四边形相似，则 ， ． 11．黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，点B为的黄金分割点，长度为，则的长度为 （结果保留根号）． 12．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，D是AB边的中点，P是BC边上一动点(点P不与B、C重合)，若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC= . 13．如图，是一块三角形木板，边，要把它加工成一个边长为的正方形凳子面，且正方形的一边在上，其余两个顶点P，N分别在，上，则这个三角形木板的面积是 ． 14．如图， 在平面直角坐标系中， 四边形的顶点坐标分别是，，，，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的倍，则点的坐标可能为 ． 三、解答题 15．如图，是的边上一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.（保留作图痕迹） (1)如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点； (2)在图1中作，交于点； (3)如图2，在边上找一点，使得； 17．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E，延长到点F，连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 18．汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽在汉武大帝雕像影子的末端点处竖立一根2.4米的标杆，此时，小哲测标杆的影长米；然后，小泽从点沿方向走了9.6米（米），到达点，在处树立一根2.4米的标杆，接着沿方向走到点处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端与点在一条直线上（即，，在一条直线上），此时，小哲测得米，小泽的眼睛到地面距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出汉武大帝雕像的高． 19．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若N是直线下方抛物线上的一点，求面积的最大值； (3)如图②，P，Q两点在抛物线的对称轴上（点P在点Q上方），且，当与相似时，求出Q点的坐标． 20．【基础巩固】 （1）如图1，在中，，于点，求证： 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点在上，，于点，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在矩形中，点在边上，和关于直线对称．点的对称点在边上，为中点，连结交于点，，若，求的长． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了比例尺，用到的知识点是比例的性质，解题的关键是根据性质列出方程，注意单位的换算．设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得，求出的值，再把单位换算为即可． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键；直接利用相似三角形的证明方法依次判断即可． 【详解】解：A、∵， 为的夹角，不是的夹角， ∴不能证明，故该选项不符合题意； B、∵，， ， ∴不能证明，故该选项不符合题意； C、如图： ，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，故该选项符合题意； D、∵， ∴, 不为的夹角，是的夹角， ∴不能证明，故该选项符合题意； 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理的应用是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识是关键；由菱形的性质可证明，则得的长，即可求得菱形的周长． 【详解】解：在菱形中，，； ， ， ； ， ， ， ， 则菱形的周长为； 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意得出，然后利用对应边成比例进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 即， 故选：C． 6．D 【分析】作于E，由等腰三角形三线合一的性质以及垂径定理证得过圆心，利用三角形中位线定理求得，然后通过证得得到，设圆的半径为r，则，则，根据直径所对的圆周角为直角可得出是直角三角形，由勾股定理可得出，解方程求得即可求得BD的长． 【详解】解：作于E， ， ， 垂直平分， 过圆心， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 设圆的半径为r，则， ， ， 在中，， ， 整理得，即， （负值舍去）． 故选：D． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判断，等腰三角形三线合一，三角形的中位线，掌握相关知识是解决问题的关键． 7．D 【分析】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线）． 先根据正方形的性质得到，，，当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图1，过点作轴于点，根据位似的性质得到，再证明，得到，则可计算出，，，所以，从而得到点坐标；当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图2，再证明，得到，所以，然后求出得到点坐标． 【详解】解：∵点、、的坐标分别为、、， ∴，，， 当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图1，过点作轴于点， ∵正方形与正方形关于点位似． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴点坐标为； 当点与点对应，点与点对应，点和点对应，点与点对应，如图2， ∵正方形与正方形关于点位似，， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∴点坐标为． 故选：D． 8． 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设（），利用比例性质得到，，，然后把它们代入原式进行计算即可． 【详解】解：设（），则 ，，， ． 故答案为：． 9．6 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是：弄清楚哪两个量成何比例，于是列比例即可求解． 在同样的条件下，物体的高度与其影子的长度的比值是一定的，则物体的高度与其影子的长度成正比例，据此即可列比例求解． 【详解】解：设树高为米，根据题意得：竹竿高度与影长的比等于树高与影长的比， 即 ， 解方程：， 即这棵树的高为6米． 故答案为 6． 10． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，多边形内角和定理，由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以，，则，，然后通过多边形内角和定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等， 所以，， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 11． 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义可知，，由此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 故答案为：． 12．6或 【分析】由Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，D是AB边的中点，即可求得AB与CD的值，又由以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，可得∠DPC=90°或∠CDP=90°，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得PC的值． 【详解】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12， ∴AB=15， ∵D是AB边的中点， ∴CD=BD=AB=7.5， ∵以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似， ∴∠DPC=90°或∠CDP=90°， （1）如图1： 若∠DPC=90°，则DP∥AC， ∴==， ∴BP=BC=6， 则PC=6； （2）如图2： 若∠CDP=90°，则△CDP∽△BCA， ∴=， 即=， ∴PC=． 综上所述：PC=6或． 故答案为6或． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质与直角三角形的性质．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用与数形结合思想的应用． 13．1200 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设的高与交于点，先证出，，，再设，则，证出，根据相似三角形的性质可得的值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，设的高与交于点， ∵正方形的边长为， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， 设，则， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， ∴这个三角形木板的面积是． 故答案为：1200． 14．或 【分析】本题考查了位似变换的概念和性质，四边形的面积是四边形面积的倍，则四边形与四边形为，从而可得出点的坐标，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的倍， ∴四边形与四边形为， ∵， ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 15．(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）先根据，以及，得到，继而可用两角相等证明相似； （2）根据相似三角形的性质可得，进而即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ， ， ； （2）由（1）中， ， ， ， ． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似中心和位似比是解题的关键． （1）根据位似比为，作出位似图形即可； （2）利用网格性质作出即可； （3）取格点、，连接，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：在的延长线上取格点，在的延长线上取格点，使、，连接、， 如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：取格点、，连接，交于点， 如图2所示，点即为所求． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据三线合一性质得出，则可得出，然后结合三角形内角和定理可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又是半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 18．21.6米 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用，先证明，则，设，则，过点作，交于点，交于点，证明四边形为矩形，得到，，再证明，则，得到，解得：，即可得到答案． 【详解】解： 光线 设，则 过点作，交于点，交于点 ，， 四边形为矩形 ， 解得： 答：汉武大帝雕像的高为米. 19．(1) (2) (3)P，Q两点的坐标分别为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）在下方抛物线上取一点，过点作轴，与直线交于点，连接，首先确定，利用待定系数法解得直线的解析式为；设，则，易得，进一步可得，结合二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）连接，首先确定是等腰直角三角形，由勾股定理可得，，再证明为等腰直角三角形，易得，然后分和两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：将，两点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过点作轴，与直线交于点，连接， 对于抛物线，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将，两点代入，可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （3）如图④，连接， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与轴的交点为M， ∵，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 由勾股定理可得， 在中，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 若，则， ∴，解得， ∴， ∴； 若，则， ∴，解得， ∴， ∴． 综上所述，当与相似时，P，Q两点的坐标分别为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，灵活应用是关键． 20．（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算求得，再利用勾股定理即可求得到答案； （3）由与关于直线对称，得，从而得到，，再通过证明得到，由（1）可得，，设，则，解方程求出的值即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 在矩形中，，，， ， ， ， ， ， 由（1）可得，， ， ， ∴； （3）解：在矩形中，， ， 与关于直线对称， ， ，， ， ∴， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 由（1）可得，， 设，则， ， 解得，（舍去）， 的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $