第一章数与式 课件-2026年安徽中考数学 复习

该初中数学课件系统覆盖实数的相关概念、分类、科学记数法及近似数等中考核心考点，严格对接中考说明分析考点权重，按定义与性质梳理数轴、相反数、绝对值等概念，归纳科学记数法、数轴与绝对值结合等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于中考真题训练与应试技巧指导，精选安徽近十年真题及多地模拟题，通过典例解析培养学生抽象能力和推理意识。如科学记数法中131.9亿转化为1.319×10¹⁰的步骤解析，数轴上利用n+q=0判断绝对值最大数的推理方法，帮助学生掌握答题技巧提高得分率，助力学生中考冲刺，为教师复习教学提供系统指导。

第2课时　实数的运算与大小比较 知识点❶　实数的运算 实数的运算 实数的运算 实数的运算 实数的运算 知识点❷　实数的大小比较 实数 的大 小比 较 考点1　实数的混合运算 典例1 计算：70＋－()2－sin 30°. ［解析］　本题考查实数的综合运算能力，涉及有理数的乘方，负整数指数幂、零指数幂，实数的绝对值化简、特殊角的三角函数值等考点.针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算顺序和法则求得计算结果. ［答案］　解：原式＝1＋6＋－5－＝2. 考点2　无理数的估算、实数的大小比较 典例2 《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”.例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于28“面”的值说法正确的是(　　) A.是4和5之间的实数 B.是5和6之间的实数 C.是6和7之间的实数 D.是7和8之间的实数 ［解析］　根据无理数的估算方法进行计算.∵25＜28＜36，∴5＜＜6，∴28“面”的值是5和6之间的实数. ［答案］　B 典例3　 比较下列各数的大小：－1.5，0，|－2|，－，其中最小的数是(　　) A.－1.5 　B.－ 　C.0 D.|－2| ［解析］　利用实数大小的比较方法：1.在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大.2.正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.3.两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.按照从小到大的顺序排列找出结论即可.∵|－2|＝2，∴－＜－1.5＜0＜2，∴－＜－1.5＜0＜|－2|，∴最小的数是－. ［答案］　B 命题点1　平方根、算术平方根、立方根 1.(2017·安徽)27的立方根是 .  【变式训练】 (－5)2的平方根是 ，算术平方根是 . 5 ±5 3 命题点2　实数的运算 2.(2023·安徽)计算：＋1＝ .  3.(2022·安徽)计算：()0－＋(－2)2. 4.(2021·安徽)计算：＋(－1)0＝ .  3 解：原式＝1－4＋4＝1. 3 【变式训练】 计算：(1)计算：2sin 60°＋(－1)2 025－|－2|； (2)(－2 025)0＋－2sin 30°. 解：(1)原式＝2×＋(－1)－(2－)＝－1－2＋＝2－3. (2)原式＝1＋2＋5－2×＝1＋2＋5－1＝7. 命题点3　实数的大小比较 5.(2025·安徽)在－2，0，2，5这四个数中，最小的数是( ) A.－2 B.0 C.2 D.5 6.(2024·安徽)我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小： (选填“＞”或“＜”).  7.(2020·安徽)下列各数中，比－2小的数是( ) A.－3 B.－1 C.0 D.2 A ＞ A 【变式训练】 1.与1＋最接近的整数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.比较大小： (选填“>”“<”或“＝”). > B A.固态氢 B.固态氧 C.固态氮 D.固态酒精 全国拓展 8.(2025·江西)在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是( ) D 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点 (单位：℃) －259 －218 －210 －117 9.(2025·凉山州)若(3x＋2y－19)2＋|2x＋y－11|＝0，则x＋y的平方根是( ) A.8 B.±8 C.±2 D.2 10.(2025·自贡)若(－4)×＝8，则内的数字是( ) A.－2 B.2 C.4 D.－4 11.(2025·烟台)实数3的整数部分为 .  12.(2025·陕西)满足＜a＜5的整数a可以是 (写出一个符合题意的数即可).  2(或3或4) 4 A C $第3课时　代数式与整式 知识点❶　列代数式及其求值 【温馨提示】 (1)列代数式的几点注意：a.仔细辨别词义，要先认真审题，抓住关键词语.如“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分. b.要分清数量之间的关系. c.注意运算顺序，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，对于不同级运算的语言，要体现出先低级运算时，应把代数式中代表低级运算的这部分括起来. d.有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换. (2)如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值.题型简单总结以下三种：a.已知条件不化简，所给代数式化简；b.已知条件化简，所给代数式不化简；c.已知条件和所给代数式都要化简. 知识点❷　整式的相关概念 整式的相关概念 【温馨提示】 对整式概念的认识，凡是分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“＋”或“－”将单项式连起来的就是多项式，不含“＋”或“－”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字. 知识点❸　整式的运算 整式的运算 系数 指数 5 不变 变号 am+n 相减 am-n 相乘 amn 乘方的积 ambm 整式的运算 a2－b2 a2±2ab＋b2 【温馨提示】 (1)计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. (2)公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式. 知识点❹　因式分解 1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.因式分解的基本方法有提公因式法和公式法. 2.基本方法 (1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝⑰ ；  (2)公式法：a2－b2 ⑱ ；a2±2ab＋b2 ⑲ .  (a±b)2 (a＋b)(a－b) m(a＋b＋c) 【温馨提示】 因式分解的一般步骤：a.如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式，在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，可尝试运用公式法；b.分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止，即“一提二公三变形，分解彻底才可停”. 考点1　列代数式 典例1　(2025·濉溪县一模) 某直播带货公司去年12月份的营业额为a元，春节期间该公司营业额一直增长，若该公司今年元月和2月的营业额的月平均增长率为x，则该公司今年2月份营业额比去年12月营业额增长了(　　) A.a(2＋x)x元 B.a(1＋x)2元 C.a(1＋x)元 D.a(1＋x)x元 ［解析］　∵该公司去年12月份的营业额为a元，且该公司今年元月和2月的营业额的月平均增长率为x，∴该公司今年2月份营业额为a(1＋x)2，∴该公司今年2月份营业额比去年12月营业额增长了a(1＋x)2－a＝a(2x＋x2)＝a(2＋x)x元. ［答案］　A 考点2　整式的运算 典例2　(2025·安徽模拟) 先化简，再求值：a(a－1)－(a＋1)(a－1)，其中a＝＋1. ［解析］　先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答. ［答案］　原式＝a2－a－a2＋1＝－a＋1.当a＝＋1时，原式＝－(＋1)＋1＝－. 考点3　因式分解 典例3　(2025·安庆二模) 因式分解：3a2－18a＋27＝　　　　.  ［解析］　先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可.因此有3a2－18a＋27＝3(a2－6a＋9)＝3(a－3)2. ［答案］　3(a－3)2 考点4　整式中的规律探究 典例4　(2025春·庐江县月考) 【观察思考】“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷，例如：处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺.数学中也有像“回文”一样的“回文等式”，例如，以下是两位数与三位数相乘的“回文等式”： 12×231＝132×21； 16×671＝176×61； 25×572＝275×52； 54×495＝594×45； 63×396＝693×36； …… 【规律探索】 在上述等式中，以等号为对称轴，等号两边的各个数字是对称排列的，根据等式规律完成下列任务： (1)根据上述等式规律填空： ①　　　　×891＝198×　　　　，  ②35×　　　　＝　　　　×53；  【规律证明】 (2)有同学发现此种有理数的乘积是11的倍数并利用代数知识证明此等式中的规律：设等式左边两位数的十位数字为m，个位数字为n，且2≤m＋n≤9，等式左边表示为(10m＋n)×［100n＋10(m＋n)＋m］，等式右边表示为［100m＋10(m＋n)＋n］×(10n＋m). 左边＝(10m＋n)(110n＋11m)＝　　　　.  ∴左边＝11×(　　　　)，即该式中的乘积是11的倍数.  右边＝［100m＋10(m＋n)＋n］(10n＋m)＝(　　　　)(10n＋m)＝　　　　，  ∴左边＝右边. ［解析］　(2)由题知，等式左边表示为(10m＋n)×［100n＋10(m＋n)＋m］＝(10m＋n)×(100n＋10m＋10n＋m)＝(10m＋n)×(110n＋11m)，等式右边表示为［100m＋10(m＋n)＋n］×(10n＋m)＝(100m＋10m＋10n＋n)×(10n＋m)＝(110m＋11n)×(10n＋m).因此左边＝(10m＋n)(110n＋11m)＝(10m＋n)［11(10n＋m)］，∴左边＝11(10m＋n)(10n＋m)，即该式中的乘积是11的倍数，右边＝(110m＋11n)(10n＋m)＝11(10m＋n)(10n＋m)，∴左边＝右边. ［答案］　(1)①18　81　②583　385　(2)(10m＋n)［11(10n＋m)］　(10m＋n)(10n＋m)　110m＋11n　11(10m＋n)(10n＋m) 典例5　(2025·安徽模拟) 【观察思考】 以上图案均由边长为1的等边三角形和边长为1的菱形拼凑而成. 【规律发现】 (1)第n幅图中有　　　　个边长为1的等边三角形；  (2)第一幅图中菱形的个数为＝1；第二幅图中菱形的个数为1＋2＝＝3；第三幅图中菱形的个数为1＋2＋3＝＝6；则第n幅图中菱形的个数为　　　　；  (3)若第k幅图中边长为1的菱形的个数是边长为1的等边三角形个数的3倍，求k的值. ［解析］　(1)第一个图形有2个边长为1的等边三角形，第二个有3个，第三个有4个，第n个有(n＋1)个.(2)观察可得，第n个图形有1＋2＋3＋…＋n＝个菱形.(3)明确等量关系，＝3(k＋1)，求解k即可. ［答案］　(1)(n＋1)　(2)　(3)解：由题意知，＝3(k＋1)，解得k＝6或k＝－1(不符合题意)，∴k的值为6. 命题点1　整式的运算 1.(2023·安徽)下列计算正确的是( ) A.a4＋a4＝a8 B.a4·a4＝a16 C.＝a16 D.a8÷a4＝a2 2.(2022·安徽)下列各式中，计算结果等于a9的是( ) A.a3＋a6 B.a3·a6 C.a10－a D.a18÷a2 B C 3.(2020·安徽)计算(－a)6÷a3的结果是( ) A.－a3 B.－a2 C.a3 D.a2 4.(2017·安徽)计算(－a3)2的结果是( ) A.a6 B.－a6 C.－a5 D.a5 A C 命题点2　因式分解 5.(2020·安徽)分解因式：ab2－a＝ . 【变式训练】　　　　　 　　　　　 1.下列各选项中因式分解正确的是( ) A.x2－1＝(x－1)2 B.a3－2a2＋a＝a(a2－2a) C.－2y2＋4y＝－2y(y＋2) D.m2n－2mn＋n＝n(m－1)2 2.(2025·自贡)若2a＋b＝－1，则4a2＋2ab－b的值为 . 1 D a(b＋1)(b－1) 命题点3　规律探究 6.(2024·安徽)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2(x，y均为自然数)”的问题. (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)： N 奇数 4的倍数 表示 结果 1＝12－02 3＝22－12 5＝32－22 7＝42－32 9＝52－42 … 4＝22－02 8＝32－12 12＝42－22 16＝52－32 20＝62－42 … 一般结论 2n－1＝n2－(n－1)2 4n＝　？　  按上表规律，完成下列问题： (ⅰ)24＝( )2－( )2；  (ⅱ)4n＝ ；  (n＋1)2－(n－1)2 5 7 (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14……这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下： 假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数. 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数， 而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容. ②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝ 为4的倍数. 而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数. ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数. 而4n－2是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知，猜测正确. 4(k2－m2＋k－m) 7.(2023·安徽) 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“⦾”的个数为 ；  (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为…… 第n个图案中“★”的个数可表示为 ；  3n 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1＋2＋3＋…＋n等于第n个图案中“⦾”的个数的2倍. 解：依题意，有1＋2＋3＋…＋n＝，第n个图案中有3n个⦾，∴＝3n×2，解得n＝0(舍去)或n＝11. 8.(2020·安徽)观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：  ；  (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明. (1－)÷. 证明：等式左边＝(1－)÷＝等式右边，所以猜想成立. (1－)÷ 全国拓展 9.(2025·陕西)计算2a·ab的结果为( ) A.4a2b B.4a3b C.2a2b D.2a3b 10.(2025·长沙)下列运算正确的是( ) A.2a＋a2＝2a3 B.6a2b＋a＝6b C.(ab)7＝a7b7 D. C C 11.(2025·云南)按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代数式是( ) A.(2n－1)a B.(2n＋1)a C.(n＋1)a D.2 025a A 12.(2025·内江)对于正整数x，规定函数f(x)＝在平面直角坐标系中，将点(m，n)中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标(其中m，n均为正整数).例如，点(8，5)经过第1次运算得到点(4，16)，经过第2次运算得到点(2，8)，经过第3次运算得到点(1，4)，经过有限次运算后，必进入循环圈.按上述规定，将点(2，1)经过第2 025次运算后得到点是( ) A.(2，1) B.(4，2) C.(1，2) D.(1，4) A A.32 B.28 C.24 D.20 13.(2025·重庆)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是( ) C 14.(2025·重庆)若实数x，y同时满足x－|y|＝2，|x|－y＝4，则xy的值为  .  15.(2025·湖南)先化简，再求值：(x＋2)(x－2)＋x(1－x)，其中x＝6. 解：(x＋2)(x－2)＋x(1－x)＝x2－4＋x－x2＝x－4.当x＝6时，原式＝6－4＝2. 代数式 $第5课时　二次根式 知识点❶　二次根式相关概述及性质 知识点❷　二次根式的运算 【温馨提示】 1.二次根式具有双重非负性：不仅a≥0，而且≥0. 2.确定n的值在哪两个整数之间时，将n转化为，再进行估值. 3.熟记常见二次根式的值也能快速解题，如≈1.414，≈1.732. 考点1　二次根式有意义的条件 典例1　(2025·合肥二模) 若有意义，则x的取值范围是　　　　.  ［解析］　根据二次根式有意义，则被开方数不小于0，于是令－x≥0.若有意义，则－x≥0，解得x≤0. ［答案］　x≤0 　　本题主要考查二次根式有意义的条件，代数式的意义一般从三个方面考虑：(1)当代数式是整式时，字母可取全体实数；(2)当代数式是分式时，分式的分母不能为0；(3)当代数式是二次根式时，被开方数为非负数，此题比较简单. 考点2　二次根式的性质与化简 典例2　(2025春·怀宁县期中) 若实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简＋|a＋b|的结果为(　　) A.2a B.2b C.－2a D.－2b ［解析］　根据数轴可得b＜a＜0，则a－b＞0，a＋b＜0.进而根据二次根式以及绝对值的性质化简，即可求解.∵b＜a＜0，∴a－b＞0，a＋b＜0，∴＋|a＋b|＝－(a＋b) ＝a－b－a－b＝－2b. ［答案］　D 考点3　二次根式的混合运算 典例3 计算：. ［解析］　先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式. ［答案］　原式＝ ＝ ＝3－3＋6 ＝3＋3. 考点4　二次根式中的规律探究 典例4　(2025·蜀山区校级三模) 某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：＝2， 特例2：＝3， 特例3：＝4， 特例4：＝　　　　；  (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为　　　　；  (3)应用运算规律： ①化简：； ②若＝11(a，b均为正整数)，求a＋b的值. ［解析］　(1)根据二次根式的性质和乘法法则，按照前面的特例变形得到特例4的结果为5. (2)根据前面特例中数据与序号数的关系写出第n个式子为＝(n＋1). (3)①先根据(2)中的规律变形前面的二次根式，然后根据二次根式的乘法法则运算，则有原式＝2 025＝2 025＝2 025. ②利用特例中数据与序号数的关系先确定a的值，然后确定b的值，最后计算它们的和. ［答案］　(1)5 (2)＝(n＋1) (3)①解：原式＝2 025＝2 025＝2 025. ②解：∵＝11(a，b均为正整数)， ∴a＝11－1＝10，∴b＝10＋2＝12， ∴a＋b＝10＋12＝22. 命题点1　估算二次根式的值 1.(2021·安徽)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是－1，它介于整数n和n＋1之间，则n的值是 .  1 【变式训练】 1.估计的值在( ) A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 2.估计)的值应在( ) A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 A A 命题点2　二次根式的性质与化简 2.(2025·安徽)下列计算正确的是( ) A.＝－a B.＝－a C.a3·(－a)2＝a6 D.(－a2)3＝a6 B 【变式训练】 1.化简：＝ . 2.如图，数轴上点A表示的数为a，化简的值是 . 5 命题点3　二次根式的运算 3.(2019·安徽)计算的结果是 .  【变式训练】　 计算：(1)()2＋(2＋)(2－)； (2)(5－6＋4)÷. 解：(1)原式＝5－2＋2＋4－3＝8－2. (2)原式＝5－6＋4＝5－6＋4＝20－18＋4＝2＋4. 3 全国拓展 4.(2025·连云港)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A.x≤1 B.x≥1 C.x≤－1 D.x≥－1 5.(2025·河北)计算：()()＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8 B D A. B. C. D. 7.(2025·湖南)下列四个数中，最大的数是( ) A.3.5 B. C.0 D.－1 8.计算(＋1)(－1)的结果为 .  9.(2025·上海)方程＝2的解为 .  x＝10 60 6.(2025·扬州)如图，数轴上点A表示的数可能是( ) A C 10.(2025·甘肃)计算：. 解：原式＝2. 1.概念 2.性质 运算 $第4课时　分式 知识点❶　分式相关概念与基本性质 分式相关概念与基本性质 分式相关概念与基本性质 【温馨提示】 (1)分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.分式的值为正数的条件是分子、分母同号；分式的值为负数的条件是分子、分母异号. (2)当分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体. (3)分式的约分、通分、恒等变形都是利用分式的基本性质. 知识点❷　分式的运算 分式的运算 考点1　分式有意义的条件 典例1　(2025·安徽模拟) 若分式有意义，则x的取值范围是　　　　.  ［解析］　直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案.∵分式有意义，∴x2－4≠0，∴x≠±2. ［答案］　x≠±2 考点2　分式的化简与求值 典例2 先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值. ［解析］　先化简分式，再将x＝3代入求出结果. ［答案］　解：＝x－1. ∵x－1≠0，x－2≠0，∴x≠1，x≠2.当x＝3时，原式＝2. 1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，以免缺少必要的步骤；代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”. 2.代入求值时，有直接代入法、整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0. 3.在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的结果若为分式，则分子、分母要进行约分；若为整式，也要化成最简整式. 考点3　分式中的规律探究 典例3　(2025·太湖县模拟) 观察以下等式： 第1个等式：－1＋2＝； 第2个等式：－2＋2＝； 第3个等式：－3＋2＝； 第4个等式：－4＋2＝； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：　　　　 ；  (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明. ［解析］　(1)根据上述等式，写出第5个等式即可. (2)根据上述等式，得第n个等式：－n＋2＝，再证明等式左边＝等式右边. ［答案］　(1)－5＋2＝ (2)第n个等式：－n＋2＝. 证明如下： 等式左边＝－(n－2)＝ ＝ ＝ ＝等式右边，故等式成立. 命题点1　分式有意义的条件 1.(2024·安徽)若分式有意义，则实数x的取值范围是 .  x≠4 【变式训练】 1.对于分式，下列说法不正确的是( ) A.x＝0时，分式值为0 B.x＝3时，分式无意义 C.x>3时，分式的值为正数 D.分式的值可能为1 2.(2025·山东)写出使分式有意义的x的一个值 . 2(答案不唯一) D 命题点2　分式的化简与求值 2.(2025·安徽)先化简，再求值：，其中x＝3. 解：原式＝·(x＋1)(x－1)＝.当x＝3时，原式＝＝1. A.① B.② C.③ D.①或② 2.已知＝1，且a≠－b，则的值为 . 【变式训练】 1.若x是非负整数，则表示的值的对应点落在如图数轴上的范围是( ) 1 B 全国拓展 3.(2025·河南)化简( ) A.x＋1 B.x C.x－1 D.x－2 4.(2025·天津)计算的结果等于( ) A. B. C. D.1 5.(2025·河北)若a＝－3，则＝( ) A.－3 B.－1 C.3 D.6 B A A 6.(2025·南充)已知＝2，则的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2025·湖北)计算－x的结果是 .  2 D 8.(2025·重庆)先化简，再求值：(x＋1)(3x－1)－x(3x＋1)＋÷()，其中x＝|－3|＋(π－4)0. 解：原式＝－，∵x＝|－3|＋(π－4)0＝3＋1＝4，∴原式＝－. 9.(2025·眉山)先化简，再求值：()÷.其中x，y满足(x＋2)2＋|y－1|＝0. 解：原式＝[]÷.∵(x＋2)2＋|y－1|＝0，(x＋2)2≥0，|y－1|≥0，∴(x＋2)2＝|y－1|＝0，∴x＋2＝0，y－1＝0，∴x＝－2，y＝1，∴原式＝＝－1. $第1课时　实数的相关概念 知识点❶　实数的分类 1.按定义分类： 【温馨提示】(1)无限小数包括两部分，一类是无限循环小数，这类小数可以写成分数的形式，属于有理数范围；另一类是无限不循环小数，这类小数是无理数.(2)无理数常见表现形式有四种：a.开方开不尽的方根，如等；b.有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数；c.按照某种规律书写并且不符合无限循环小数规律的，如0.101 001…(相邻两个1之间依次多1个0)等；d.含有根号的三角函数值，如sin 45°，sin 60°，cos 30°等. 知识点❷　实数的有关概念 1.数轴 (1)数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线，实数与数轴上的点是一一对应的，数轴上的点，从左向右表示的数越来越大. (2)数轴三要素：原点、正方向、单位长度. (3)数轴上原点右边的点表示的数是正数，原点左边的点表示的数是负数. 2.相反数 (1)从数的角度：互为相反数的两个数，④ 不同，绝对值相同.  (2)从形的角度：数轴上互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离⑤ .  (3)字母表示：a＋b＝0或a＝－b⇔a，b互为相反数. 3.倒数 (1)定义：乘积为1的两个数互为倒数. (2)字母表示：ab＝1⇔a，b互为倒数. 【温馨提示】0没有倒数；倒数等于本身的数有1与－1. 相等 符号 4.绝对值 |a|具有非负性，绝对值最小的数是0. (2)几何意义：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离；离原点越远的点所表示的数的绝对值越⑧ .  大 【温馨提示】1.初中阶段所学的三类非负数： 形式 |x| x2(或x4) 性质 如果几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零 2.零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数. 知识点❸　科学记数法和近似数 1.科学记数法 科学记数法 【温馨提示】(1)科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律是关键，由于10的指数比原来的整数位数少1，按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n.(2)指数n分为正整数和负整数两种情况.(3)常用计数单位有：1亿＝1×108，1万＝1×104，1千＝1×103等；计量单位有：1 km＝1×103 m，1 mm＝1×10－3 m，1 μm＝1×10－6 m，1 nm＝1×10－9 m. 2.近似数 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位. 【温馨提示】近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.例如，精确度常用表示形式有：精确到0.01或精确到百分位或保留两位小数. 考点1　科学记数法 典例1　(2025·宣城三模) 2025年前两个月，安徽省“新三样”(电动汽车、锂离子蓄电池、光伏产品)合计出口131.9亿元，同比增长98.8%.其中数据“131.9亿”用科学记数法表示为(　　) A.131.9×108 B.131.9×107 C.1.319×1011 D.1.319×1010 ［解析］　科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.131.9亿＝13 190 000 000＝1.319×1010. ［答案］　D 考点2　绝对值、数轴 典例2 如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n＋q＝0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是(　　) A.p　　　 B.q　　　 C.m　　　 D.n ［解析］　由n＋q＝0可以得到n，q互为相反数，进而可以判定原点O是线段NQ的中点.如图，观察数轴可知，点P距离原点O最远，故题图中表示数绝对值最大的点是P点，对应的实数为p. ［答案］　A 命题点1　科学记数法 1.(2025·安徽)安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为( ) A.521.7×108 B.5.217×109 C.5.217×1010 D.0.521 7×1011 C 【变式训练】 1.(2025·蚌埠模拟)我国自主研发的C919国产大飞机可储存约186 000升燃油，用科学记数法表示数据186 000，正确的是( ) A.186×103 B.1.86×103 C.1.86×105 D.0.186×106 C 2.(2025·阜阳三模)中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟9000芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产14 nm芯片，14 nm等于0.000 000 014 m，数据0.000 000 014可用科学记数法表示为( ) A.－1.4×108 B.1.4×10－8 C.－14×109 D.14×10－9 B 3.(2025·上海)据报道，我国某科学研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先.已知一皮秒等于1×10－12秒.该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次(科学记数法表示). 2.5×109 命题点2　实数的有关概念 2.(2024·安徽)－5的绝对值是( ) A.5 B.－5 C. D.－ 3.(2023·安徽)－5的相反数是( ) A.5 B.－5 C. D.－ 4.(2022·安徽)下列为负数的是( ) A.|－2| B. C.0 D.－5 D A A 【变式训练】 1.(2025·德阳)下列数是正数的是( ) A.1 B.0 C.－1 D.－2 2.(2025·庐江县一模)中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在我国秦汉时期的《九章算术》中就引入了负数.若在粮谷计算中，益实一斗(增加1斗)记为＋1斗，那么损实七斗(减少7斗)记为( ) A.－1斗 B.＋1斗 C.－7斗 D.＋7斗 C A 全国拓展 5.(2025·江西)下列各数中，是无理数的是( ) A.0 B. C.3.14 D. 6.(2025·烟台)|－3|的倒数是( ) A.3 B. C.－3 D.－ B B 第7题图 7.(2025·北京)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( ) A.a＞－1 B.a＋b＝0 C.a－b＞0 D.|a|＞|b| D 第8题图 8.(2025·临沂)如图，数轴上表示－2的点是( ) A.M B.N C.P D.Q A 实数 2.按性质分类： 实数 (1)代数意义： $