6.1　平行四边形的性 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦平行四边形的定义、对称性及边和角的性质，以问题“对边和对角有怎样的数量关系”导入，通过连接对角线证三角形全等推导性质，构建“问题-证明-性质”学习支架，结合例题与变式训练帮助学生衔接知识。 其亮点在于注重数学思维中的推理能力和几何直观，如通过全等三角形证明对边相等，例题与变式训练层层递进。采用“定义-证明-应用”逻辑链条，随堂小测分基础与拔高，助力学生形成严谨推理习惯，也为教师提供系统教学资源提升效率。

第六章　平行四边形 1　平行四边形的性质 第2课时　平行四边形对角线的性质 八年级下册·数学 　 1 在上一节的探究过程中，我们发现平行四边形的对角线互相平分.请你证明 这一结论. 已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O. 求证：OA＝OC，OB＝OD. 八年级下册·数学 　 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO. 在△BAO和△DCO中， ∠AOB＝∠COD，∠BAO＝∠DCO，AB＝CD， ∴△BAO≌△DCO（AAS）， ∴OA＝OC，OB＝OD. 八年级下册·数学 　 　平行四边形对角线的性质 平行四边形的对角线① ⁠. 【例1】（根据教材第158页习题6.1第5题改编）平行四边形ABCD的对 角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝90°，OA＝5，OB＝3，求AD和AC 的长度. 互相平分 解：∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴AC＝2OA＝2×5＝10，OD＝OB＝3. ∵∠ADB＝90°，∴AD2＝OA2－OD2. ∴AD＝ ＝4. 八年级下册·数学 　 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC＋BD＝ 20，BC＝8，则△AOD的周长为 ⁠. 18 八年级下册·数学 　 　平行四边形性质的综合应用 （1）平行四边形是② 图形，两条对角线的交点是它的③ ⁠ ⁠. （2）平行四边形的对边④ ⁠. （3）平行四边形的对角⑤ ，邻角⑥ ⁠. （4）平行四边形的对角线⑦ ⁠. 中心对称 对 称中心 平行且相等 相等 互补 互相平分 八年级下册·数学 　 【例2】（根据教材第158页习题6.1第6题改编）如图，点O为▱ABCD的对 角线BD的中点，经过点O的直线分别交AB和CD于点E，F，交DA和BC 的延长线于点G，H. （1）求证：OE＝OF； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠OEB＝∠OFD. ∵O是BD的中点，∴OB＝OD. 在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF（AAS），∴OE＝OF. 八年级下册·数学 　 （2）若OG＝5，HF＝2，求OF的长. （2）解：∵CB∥AD，∴∠H＝∠G. 在△BOH和△DOG中， ∴△BOH≌△DOG（AAS）. ∴OH＝OG＝5， ∴OF＝OH－HF＝5－2＝3， 即OF的长是3. 八年级下册·数学 　 （2025·惠州期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，则下列结论一定正确的是（　C　）. A. AO＝BO B. AB＝AD C. ∠DAC＝∠BCA D. ∠ADC＝∠BCD C 八年级下册·数学 　 　梯形的性质 一组对边⑧ 、另一组对边⑨ 的四边形叫做梯形.平行的 两边称为梯形的⑩ ，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下 底.不平行的两边称为梯形的⑪ ，两腰相等的梯形称为等腰梯形. 平行 不平行 底 腰 八年级下册·数学 　 【例3】（教材第168页习题6.1第17题）已知：如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，AB＝DC. 求证：∠B＝∠C. 证明：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E， ∵AD∥BC，AB∥DE， ∴AB＝DE，∠1＝∠B. 又∵AB＝DC， ∴DC＝DE， ∴∠1＝∠C， ∴∠B＝∠C. 八年级下册·数学 　 如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，∠A＝112°，且BD⊥CD，求 ∠C的度数. 解：∵AD∥BC， ∴∠2＝∠ADB. 又∵∠1＝∠2，∠A＝112°， ∴∠1＝∠2＝∠ADB＝34°. ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠C＝90°－34°＝56°. 八年级下册·数学 　 1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论一定正 确的是（　A　）. A. OB＝OD B. AB＝BC C. AC＝BD D. ∠ABC＋∠ADC＝180° A 八年级下册·数学 　 2. 如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△BOC 的周长是 ⁠. 3. （根据教材第176页复习题第6题改编）梯形的两底长分别是4 cm，14 cm，下底上的两个内角分别是∠B＝60°和∠C＝30°，则短腰AB的长 为 cm. 21 5 八年级下册·数学 　 4. （根据教材第156页例2改编）如图，在平行四边形ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，过点O任意作直线分别交AB，CD于点E，F. （1）求证：△AEO≌△CFO； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO. 在△AEO和△CFO中， ∴△AEO≌△CFO（ASA）. 八年级下册·数学 　 （2）若CD＝10，AD＝8，OE＝3，求四边形AEFD的周长. （2）解：∵△OAE≌△OCF， ∴CF＝AE，OE＝OF， ∴DF＋AE＝AB＝CD＝10. 又∵EF＝2OE＝6， ∴四边形AEFD的周长＝AD＋DF＋AE＋EF＝8＋10＋6＝24. 八年级下册·数学 　 5. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB ＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线AC对折，展平后使得点B落在点B'的位 置，连接DB'，求DB'的长. 八年级下册·数学 　 解：由折叠的性质可得，△ABE≌△AB'E， ∴∠BEA＝∠B'EA. ∵∠AEB＝45°， ∴∠BEB'＝90°， ∴∠DEB'＝90°. ∵BD＝4，四边形ABCD是平行四边形， ∴ED＝B'E＝2， ∴DB'＝2 . 八年级下册·数学 　 参考答案 【新课引入】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO. 在△BAO和△DCO中， ∠AOB＝∠COD，∠BAO＝∠DCO，AB＝CD， ∴△BAO≌△DCO（AAS）， ∴OA＝OC，OB＝OD. 八年级下册·数学 　 【新课导学】 ①互相平分 【例1】　解：∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴AC＝2OA＝2×5＝10，OD＝OB＝3. ∵∠ADB＝90°， ∴AD2＝OA2－OD2. ∴AD＝ ＝4. 变式训练1　18 ②中心对称 ③对称中心 ④平行且相等 ⑤相等 ⑥互补 ⑦互相平分 八年级下册·数学 　 【例2】　（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠OEB＝∠OFD. ∵O是BD的中点， ∴OB＝OD. 在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF. 八年级下册·数学 　 （2）解：∵CB∥AD， ∴∠H＝∠G. 在△BOH和△DOG中， ∴△BOH≌△DOG（AAS）. ∴OH＝OG＝5， ∴OF＝OH－HF＝5－2＝3， 即OF的长是3. 八年级下册·数学 　 变式训练2　C ⑧平行　⑨不平行　⑩底　⑪腰 【例3】　证明：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E， ∵AD∥BC，AB∥DE， ∴AB＝DE，∠1＝∠B. 又∵AB＝DC， ∴DC＝DE， ∴∠1＝∠C， ∴∠B＝∠C. 八年级下册·数学 　 变式训练3　解：∵AD∥BC， ∴∠2＝∠ADB. 又∵∠1＝∠2，∠A＝112°， ∴∠1＝∠2＝∠ADB＝34°. ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠C＝90°－34°＝56°. 【随堂小测】 1. A　2.21　3.5 八年级下册·数学 　 4. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO. 在△AEO和△CFO中， ∴△AEO≌△CFO（ASA）. （2）解：∵△OAE≌△OCF， ∴CF＝AE，OE＝OF， ∴DF＋AE＝AB＝CD＝10.又∵EF＝2OE＝6， ∴四边形AEFD的周长＝AD＋DF＋AE＋EF＝8＋10＋6＝24. 八年级下册·数学 　 5. 解：由折叠的性质可得，△ABE≌△AB'E， ∴∠BEA＝∠B'EA. ∵∠AEB＝45°， ∴∠BEB'＝90°， ∴∠DEB'＝90°. ∵BD＝4，四边形ABCD是平行四边形， ∴ED＝B'E＝2， ∴DB'＝2 . 八年级下册·数学 　 $第六章　平行四边形 1　平行四边形的性质 第1课时　平行四边形边和角的性质 八年级下册·数学 　 1 平行四边形的对边和对角有怎样的数量关系？ 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形. 求证：AB＝CD，AD＝BC. 八年级下册·数学 　 证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA. 在△BAC和△DCA中， ∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，∠DAC＝∠BCA， ∴△BAC≌△DCA（ASA）， ∴AB＝CD，AD＝BC. 八年级下册·数学 　 　平行四边形的定义及对称性 两组对边分别① 的四边形叫做平行四边形；平行四边形不相邻的两 个顶点连成的线段叫做它的② .平行四边形是③ ⁠图 形，两条对角线的交点是它的对称中心. 【例1】如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形 ABCD的面积为30 cm2，则四边形EDCF的面积为 . 平行 对角线 中心对称 15 cm2 八年级下册·数学 　 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O 的直线分别交AD和BC于点F，E. 若该平行四边形的面积为2，则图中阴影 部分的面积为 ⁠. 1 八年级下册·数学 　 平行四边形边的性质 平行四边形的对边④ ⁠. 【例2】（根据教材第154页例1改编）如图，在▱ABCD中，BE⊥AC于点 E，DF⊥AC于点F. 求证：BE＝DF. 平行且相等 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF. 八年级下册·数学 　 如图，点E在▱ABCD的边CB的延长线上，且BC＝BE，连接 DE，交AB于点F，求证：AF＝BF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADF＝∠BEF，∠DAF＝∠EBF. ∵BC＝BE，∴AD＝BE. 在△ADF和△BEF中， ∴△ADF≌△BEF（ASA），∴AF＝BF. 八年级下册·数学 　 　平行四边形角的性质 平行四边形的对角⑤ ，邻角⑥ ⁠. 【例3】如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝125°，∠CAD＝21°，求∠ABC，∠CAB的度数. 相等 互补 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝125°， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝125°， ∴∠ADC＋∠DAB＝180°，则∠DAB＝180°－125°＝55°. 又∵∠CAD＝21°， ∴∠CAB＝∠DAB－∠CAD＝55°－21°＝34°. 综上所述，∠ABC，∠CAB的度数分别是125°，34°. 八年级下册·数学 　 已知在平行四边形ABCD中，∠A比∠B小40°，求∠C的度数. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°. 又∵∠B－∠A＝40°， ∴∠B＝110°，∠A＝70°， ∴∠C＝∠A＝70°. 八年级下册·数学 　 1. （2024·龙岗区中考二模）如图，▱ABCD的顶点A，C分别在直线l1，l2 上，l1∥l2，若∠1＝32°，∠B＝66°，则∠2的度数为 ⁠. 34° 八年级下册·数学 　 2. （2024·南山区联鹏学校期中复习）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD 交CD于点E，AD＝4，AB＝6，则CE的长为（　C　）. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 C 八年级下册·数学 　 3. （教材第175页复习题第1题）在▱ABCD中，已知AB＝6，AD为▱ABCD周长的 ，求BC的长度. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC. ∵AD＝ （AB＋BC＋CD＋AD）， ∴AD＝ （2AD＋12）， 解得AD＝8， ∴BC＝8. 八年级下册·数学 　 4. 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC和AD上的点，且BE＝DF. 求证：△ABE≌△CDF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）. 八年级下册·数学 　 5. 如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1， △PBC的面积为S2，求S1＋S2的值.（用含S的代数式表示） 解：如图，过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴S＝BC·EF，S1＝ ，S2＝ . ∵EF＝PE＋PF，AD＝BC， ∴S1＋S2＝ ＋ ＝ ＝ ＝ . 八年级下册·数学 　 参考答案 【新课引入】 证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA. 在△BAC和△DCA中， ∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，∠DAC＝∠BCA， ∴△BAC≌△DCA（ASA），∴AB＝CD，AD＝BC. 八年级下册·数学 　 【新课导学】 ①平行 ②对角线 ③中心对称 【例1】 15 cm2 变式训练1　1 ④平行且相等 八年级下册·数学 　 【例2】　证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF. 八年级下册·数学 　 变式训练2　证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADF＝∠BEF，∠DAF＝∠EBF. ∵BC＝BE， ∴AD＝BE. 在△ADF和△BEF中， ∴△ADF≌△BEF（ASA），∴AF＝BF. 八年级下册·数学 　 ⑤相等　⑥互补 【例3】　解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝125°， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝125°， ∴∠ADC＋∠DAB＝180°，则∠DAB＝180°－125°＝55°. 又∵∠CAD＝21°， ∴∠CAB＝∠DAB－∠CAD＝55°－21°＝34°. 综上所述，∠ABC，∠CAB的度数分别是125°，34°. 八年级下册·数学 　 变式训练3　解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠A＋∠B＝180°. 又∵∠B－∠A＝40°， ∴∠B＝110°，∠A＝70°， ∴∠C＝∠A＝70°. 八年级下册·数学 　 【随堂小测】 1.34°　2.C 3. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC. ∵AD＝ （AB＋BC＋CD＋AD）， ∴AD＝ （2AD＋12）， 解得AD＝8， ∴BC＝8. 八年级下册·数学 　 4. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）. 八年级下册·数学 　 5. 解：如图，过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴S＝BC·EF，S1＝ ，S2＝ . ∵EF＝PE＋PF，AD＝BC， ∴S1＋S2＝ ＋ ＝ ＝ ＝ . 八年级下册·数学 　 $