专题09 函数的应用 期末专题复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以“函数的应用”为核心，通过思维导图系统梳理知识体系，涵盖函数零点（定义、等价关系、存在定理、判断方法）和函数模型（核心特征、解题关键）两大模块，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，如零点存在定理应用（例3判断区间）和函数模型应用题（例6分段函数经验值），培养数学思维与模型表达能力。易错点解析帮助学生规避概念偏差，变式突破满足不同层次需求，助力教师实施精准教学与学生自主高效复习。

专题09 函数的应用 基础知识与题型（思维导图） 基础题型 题型一 函数的零点 方法点拨： 1.如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. ”零点不是点，是一个实数，也就是函数的图象与轴交点的横坐标“ 2.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3.零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解。 4.零点个数的判断方法 (1)直接法：令,直接求零点， (2)图象法：单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 例题解析： 例1.（25-26高一上·陕西渭南·月考）函数的零点为 . 例2.（25-26高一上·山东青岛·月考）已知函数，则函数的零点个数为 . 例3.（25-26高一上·云南昭通·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 例4.（25-26高一上·贵州·月考）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5.（2024高二下·吉林·学业考试）函数的零点的个数为 ． 例6.已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7.（25-26高一上·广东·月考）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 例8.（2025高三·全国·专题练习）函数，的所有零点之和等于（    ）． A． B． C． D． 例9.（25-26高一上·安徽·月考）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 变式突破： 1.（25-26高一上·湖北·月考）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·重庆·月考）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·上海·月考）函数的零点为 . 4.（25-26高二上·云南昆明·期中）已知是函数的零点，则的最小值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．5 5.（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高三上·河南·月考）已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 7.（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·江西抚州·月考）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 ．（从小到大的顺序） 9.已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时， 题型二 函数模型 方法点拨： 核心特征：题目未给出函数解析式，需通过分析文字描述中的数量关系，抽象出函数模型（如分段函数、指数增长模型、幂函数模型等）。 解题关键：（1）梳理变量关系：确定自变量 x和因变量 y，找到等量关系；（2）选择合适模型：根据增长速度（线性增长→一次函数，指数爆炸→指数函数，递减趋稳→对数函数）判断模型类型；（3）代入数据求参数，检验模型合理性。 例题解析： 例1.（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（ ） A． B． C． D． 例2.（25-26高一上·江西·月考）对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 例3.（25-26高一上·广东揭阳·月考）流行病学中，基本传染数是衡量病毒传播能力的一个重要指标.在疫情初期，感染人数随时间 （单位：天）的变化规律近似满足公式 ，其中为初始感染人数，为传播率.若某种病毒在疫情初期，则感染人数翻两番（变为原来的4倍）大约需要（   ） （参考数据：，） A．5天 B．7天 C．9天 D．11天 例4.（25-26高一上·四川绵阳·期中）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 例5.（25-26高一上·贵州·月考）汽水放入冰箱后，其温度x(单位：℃)与时间t(单位：h)的函数关系式为，其中均为常数.已知汽水刚放入冰箱时的温度为，经过 ah后汽水的温度为，再经过a h后汽水的温度为（    ） A．11℃ B．12 ℃ C．13℃ D．14℃ 例6.（河北省承德市2025-2026学年高一上学期12月期中联考数学试题）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． (1)写出与的函数关系式； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 例7.（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 例8.（18-19高一上·四川宜宾·月考）定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x1，x2∈R，都有f（），则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0） （1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域； （2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由； （3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围． 变式突破： 1.（贵州省遵义市县中联盟2025-2026学年高二上学期12月自主命题考试数学试题）近年来，虽然电动汽车已经进入了千家万户，但是燃油车还是牢牢占有一席之地.燃油车的启动主要靠本身的蓄电池供电.已知某品牌汽车蓄电池的与电池相关的常数与放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·浙江金华·月考）已知某种塑料经自然降解后残留量与时间（单位：年）之间的关系式为，其中为初始量，若这种塑料经自然降解，残留量不超过初始量的，则至少需要（    ）（参考数据：） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 3.（25-26高一上·重庆·月考）2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2025年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 4.（25-26高一上·湖北·月考）汉川市汈汊湖国家湿地公园的某位工作人员今年以来一直在研究公园内一池塘里某种水生植物的覆盖面积的变化情况.已知今年前3个月月底与此种水生植物的覆盖面积关系如下表所示： 第月月底 1 2 3 某种水生植物的面积 36 44 56 (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算第月月底该水生植物的覆盖面积，并求出你选择模型的解析式： ①， ②，且， ③，且； (2)求至少要到第几个月月底时，该水生植物覆盖面积可超过？（参考数据：） *5（2017·上海金山·一模）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记，； （1）求实数、的值； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的范围； （3）对于定义在上的函数，设，，用任意将划分成个小区间，其中，若存在一个常数，使得不等式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数，试证明函数是在上的有界变差函数，并求出的最小值； 易错点 1.概念理解偏差：“零点”≠“点”，忽略定义域限制 核心问题：（1）误将零点当作“点的坐标”（如认为零点是 (a,0)），实际零点是函数值为0时的自变量值（即方程 f(x)=0 的实根）。（2）忽略函数定义域，直接解方程 f(x)=0 得到的根可能不在定义域内，导致“增根”。 2.零点存在定理的“条件遗漏”与“结论误读” 核心问题：（1）使用零点存在定理时，忽略“函数在闭区间 [a,b] 上连续”或“f(a)·f(b) < 0”的前提（如分段函数在分界点不连续时，即使 f(a)·f(b) < 0 也可能无零点）。（2）认为“f(a)·f(b) > 0 则区间 (a,b) 内无零点”（反例：f(x)=x²-2x 在 [0,3] 上 f(0)=0，f(3)=3，f(0)·f(3)=0，但 (0,3) 内有零点 x=2）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 函数的应用 基础知识与题型（思维导图） 基础题型 题型一 函数的零点 方法点拨： 1.如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. ”零点不是点，是一个实数，也就是函数的图象与轴交点的横坐标“ 2.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3.零点存在定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解。 4.零点个数的判断方法 (1)直接法：令,直接求零点， (2)图象法：单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 例题解析： 例1.（25-26高一上·陕西渭南·月考）函数的零点为 . 【答案】和6 【知识点】求函数的零点 【分析】分和两种情况计算求解时的解，即可得解. 【详解】当时，令即，解得（舍去）或； 当时，令即. 综上可得函数的零点为和. 故答案为：和6 例2.（25-26高一上·山东青岛·月考）已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】解方程，即可得出函数的零点个数. 【详解】令，令，即， 当时，由，解得或； 当时，由，解得. 当时，由，可得，，该方程无解， 由，可得，解得， 由，可得，解得或； 当时，由，解得， 由，解得， 由，解得. 综上所述，函数的零点构成的集合为. 故函数的零点个数为. 故答案为：. 例3.（25-26高一上·云南昭通·期中）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】研究对数函数的单调性、判断零点所在的区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由解析式判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】.因为在上为增函数，且，， 所以的零点所在的区间为. 故选：C 例4.（25-26高一上·贵州·月考）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，由函数的零点所在区间为， 得，则，解得， 所以a 的取值范围为. 故选：A 例5.（2024高二下·吉林·学业考试）函数的零点的个数为 ． 【答案】1 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】先根据函数单调性性质可知函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理即可判断零点个数. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以由零点存在性定理可知，函数在上只有一个零点， 可知函数的零点的个数为1 故答案为：1 例6.已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足，解得： 故选：A. 例7.（25-26高一上·广东·月考）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较零点的大小关系 【分析】利用零点求法可得，结合图象交点位置可判断大小，进而可得答案. 【详解】由得， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出的图象，由图象知. 故选：B. 例8.（2025高三·全国·专题练习）函数，的所有零点之和等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正切函数图象的应用、求零点的和 【分析】将函数的零点转化为函数图象交点横坐标，画出函数图象，结合函数图像的对称性易得结果. 【详解】由题意分析，函数，的零点， 即函数与函数的交点的横坐标. 由于函数与函数的图像均关于对称，如图所示      则设的零点为， 由对称性可得，所以. 故选：B． 例9.（25-26高一上·安徽·月考）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】根据表格及二分法的定义，结合精确度求零点的近似解. 【详解】因为，可知零点在内， 又区间长度，满足条件， 所以方程的近似解可取为. 故选：C 变式突破： 1.（25-26高一上·湖北·月考）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数函数的单调性、判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在定理直接判断零点所在区间. 【详解】由已知，则函数在上单调递增， 又， ， ， ， ， 所以使， 故选：C. 2.（25-26高一上·重庆·月考）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解，构造函数，分析单调性求得的值域，即可得实数的取值范围. 【详解】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解. 令函数，则直线与函数的图象有交点. 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，所以函数是减函数. 因为. 所以函数的值域为，所以实数的取值范围为. 故选：D. 3.（25-26高一上·上海·月考）函数的零点为 . 【答案】2 【知识点】对数的运算、求对数型复合函数的定义域、求函数的零点 【分析】首先求出已知函数的定义域，通过对数运算化简解析式，列方程求解零点. 【详解】因为，所以该函数的定义域为. 令，即， 所以，解得（舍去）或. 故答案为：2. 4.（25-26高二上·云南昆明·期中）已知是函数的零点，则的最小值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、条件等式求最值 【分析】依题意可得，从而得到或，再分、两种情况讨论，分别求出的最小值，即可得解. 【详解】因为是函数的零点， 所以，即，则或， 解得或， 当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为； 当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为； 又，综上可得的最小值为，此时，. 故选：B 5.（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用、比较零点的大小关系 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 6.（25-26高三上·河南·月考）已知函数的图象关于点对称，则函数的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】函数对称性的应用、简单复合函数的导数、利用导数研究函数的零点、求零点的和 【分析】求出函数的定义域，结合导数确定函数的单调性及零点个数，再利用对称性求出零点和. 【详解】函数，由，得或， 而，则， 即是函数图象的对称中心，， 函数在上单调递减，而在上单调递增， 则函数在上单调递减，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，当从大于2的方向趋近于2时，， ，则函数在上有唯一零点， 由对称性知函数在有唯一零点，两个零点和为2， 所以函数的零点之和为2. 故选：B 7.（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】根据二分法基本原则确定满足精确度的区间即可得到近似解. 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 8.（25-26高一上·江西抚州·月考）已知函数，，的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 ．（从小到大的顺序） 【答案】 【知识点】求函数的零点、比较零点的大小关系 【分析】由零点的定义求得零点，根据指数与对数的取值，利用中间值法，可得答案. 【详解】根据题意，得，即，故； ，即，且，则，所以； ，即，故； 故答案为：. 9.已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．在上，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时， 【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数，，的图像，如图所示，在上，随着的逐渐增大，的增长速度越来越快，且快于，故A错误；B正确；对于C，当时，的增长速度不是一直快于，故C错误；对于D，当时，，故D错误. 题型二 函数模型 方法点拨： 核心特征：题目未给出函数解析式，需通过分析文字描述中的数量关系，抽象出函数模型（如分段函数、指数增长模型、幂函数模型等）。 解题关键：（1）梳理变量关系：确定自变量 x和因变量 y，找到等量关系；（2）选择合适模型：根据增长速度（线性增长→一次函数，指数爆炸→指数函数，递减趋稳→对数函数）判断模型类型；（3）代入数据求参数，检验模型合理性。 例题解析： 例1.（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 例2.（25-26高一上·江西·月考）对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A．对任意的 B．对任意的 C．一定存在 ，当 时，总有 D． 与 的图象有两个交点 【答案】ABC 【知识点】指数、对数、幂函数模型的增长差异 【分析】作出函数 的图象，数形结合，结合函数的增长趋势，一一判断各选项，即得答案. 【详解】作出函数 的图象，如图所示： 由图象知，对任意的 ，，A，B选项正确， 由于函数呈爆炸式增长，当x增大到一定程度后的函数值将会超过的函数值，并一直持续， 即一定存在 ，当时，总有 ，C正确； 对于选项，当时， 与 的图象有一个交点， 当时 与 的图象有2个交点，一共有3个交点，D错误， 故选：ABC 例3.（25-26高一上·广东揭阳·月考）流行病学中，基本传染数是衡量病毒传播能力的一个重要指标.在疫情初期，感染人数随时间 （单位：天）的变化规律近似满足公式 ，其中为初始感染人数，为传播率.若某种病毒在疫情初期，则感染人数翻两番（变为原来的4倍）大约需要（   ） （参考数据：，） A．5天 B．7天 C．9天 D．11天 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据感染人数翻两番的条件，结合给的感染人数变化公式，通过建立方程并求解，进而得出感染人数翻两番所需要的时间. 【详解】，，感染人数翻两番（变为原来的4倍）， ，，，，， ，约为. 故选：B. 例4.（25-26高一上·四川绵阳·期中）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】设无盖贮水池的底面长为，宽为，列出总造价关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【详解】设无盖贮水池的底面长为，宽为， 又其深度为，容积为，所以，化简得， 令池底面积为，则，解得， 又池底每平方米的造价为元，则池底总造价为元， 池壁由四个侧面组成，面积为， 又池壁每平方米的造价为元，则池壁总造价为元， 综上所述，水池的总造价为元， 令，又， 所以， 根据基本不等式，可得， 当且仅当，即时，取得最小值. 故选：C 例5.（25-26高一上·贵州·月考）汽水放入冰箱后，其温度x(单位：℃)与时间t(单位：h)的函数关系式为，其中均为常数.已知汽水刚放入冰箱时的温度为，经过 ah后汽水的温度为，再经过a h后汽水的温度为（    ） A．11℃ B．12 ℃ C．13℃ D．14℃ 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由汽水刚放入冰箱时的温度为，得到当时，，将其代入解出，由经过 ah后汽水的温度为得到当时，，将其代入得到，由再经过a h后汽水的温度得到，将其代入求出的值. 【详解】汽水刚放入冰箱时的温度为，当时，， ，， ，， 经过 ah后汽水的温度为，当时，， ，，， 再经过a h后汽水的温度为. 故选：C. 例6.（河北省承德市2025-2026学年高一上学期12月期中联考数学试题）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． (1)写出与的函数关系式； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】（1）分，，分别计算即可； （2）由基本不等式和反比例函数单调性分别计算最值即可求解. 【详解】（1）由题意得，当时，； 因为， 所以当时，； 当时，； 综上， （2）由题意， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最小值26； 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 因为，所以当游玩时间为时，取到最小值，为 例7.（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【知识点】指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 例8.（18-19高一上·四川宜宾·月考）定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x1，x2∈R，都有f（），则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0） （1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域； （2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由； （3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围． 【答案】（1）；（2）凹函数；见解析（3）[﹣2，0）． 【知识点】函数综合 【分析】(1)根据二次函数的图像与性质求解即可. (2)根据凹函数的定义求解的正负判断即可. (3)分情况去绝对值,再参变分离求解范围即可. 【详解】（1）当a＝1时，， 由二次函数的图象及性质可知，，f（x）max＝f（2）＝6，即所值域为； （2）当a＝1时，函数f（x）是凹函数，此时f（x）＝x2+x， ，， 作差得到： ， 即有f（），故函数f（x）＝x2+x是凹函数； （3）由﹣1≤f（x）＝ax2+x≤1，则有，即， 当x∈（0，1]时，有，即， 又x∈（0，1]，则， ∴当时，，， 综上实数a的取值范围为[﹣2，0）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的值域,图像与性质等.同时也考查了新定义的运用,需要根据题意计算求解分析.同时也考查了参变分离求参数范围的问题.属于难题. 变式突破： 1.（贵州省遵义市县中联盟2025-2026学年高二上学期12月自主命题考试数学试题）近年来，虽然电动汽车已经进入了千家万户，但是燃油车还是牢牢占有一席之地.燃油车的启动主要靠本身的蓄电池供电.已知某品牌汽车蓄电池的与电池相关的常数与放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】先根据已知条件表示出，代入公式，结合指数和对数运算公式可求答案. 【详解】由题意可得，因为当放电电流时，放电时间， 所以; 当放电电流时，放电时间为 . 故选：A 2.（25-26高一上·浙江金华·月考）已知某种塑料经自然降解后残留量与时间（单位：年）之间的关系式为，其中为初始量，若这种塑料经自然降解，残留量不超过初始量的，则至少需要（    ）（参考数据：） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用给定条件建立不等式，结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，即， 化简得，解得， 则至少需要6年，故D正确. 故选：D 3.（25-26高一上·重庆·月考）2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2025年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【答案】(1); (2)4千辆时取得最大值30万元. 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据给定信息直接求出的解析式. （2）利用二次函数、基本不等式分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）由函数，得 ; （2）当时，，在处取最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当（千辆）时取等号，而，所以在千辆时取得最大值30万元. 4.（25-26高一上·湖北·月考）汉川市汈汊湖国家湿地公园的某位工作人员今年以来一直在研究公园内一池塘里某种水生植物的覆盖面积的变化情况.已知今年前3个月月底与此种水生植物的覆盖面积关系如下表所示： 第月月底 1 2 3 某种水生植物的面积 36 44 56 (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算第月月底该水生植物的覆盖面积，并求出你选择模型的解析式： ①， ②，且， ③，且； (2)求至少要到第几个月月底时，该水生植物覆盖面积可超过？（参考数据：） 【答案】(1)③；. (2)第10个月 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2） 【分析】（1）结合表格数据，通过增长速度判断函数模型（3）符合，代入数据即可求解； （2）由（1）得到，求解即可. 【详解】（1）依题意，函数为一个增函数，故不可能为（1），且函数的增长速度越来越快，所以函数模型③，且符合要求， 代入表格中的三组数据，得，解得 所以该函数模型的解析式是. （2）由，得， 所以， 因为， 因为所以， 所以若要求该水生植物覆盖面积超过，至少要到第10个月月底. *5（2017·上海金山·一模）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，记，； （1）求实数、的值； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的范围； （3）对于定义在上的函数，设，，用任意将划分成个小区间，其中，若存在一个常数，使得不等式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数，试证明函数是在上的有界变差函数，并求出的最小值； 【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析，； 【知识点】函数综合、与二次函数相关的复合函数问题、根据函数的最值求参数 【分析】（1）由已知在区间上的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，易构造关于的方程组，解得的值。 （2）求出，对任意恒成立等价于恒成立，求实数的范围。 （3）根据有界变差函数的定义，我们先将区间进行划分，进而判断是否恒成立，进而得到结论。 【详解】（1）因为，因为，对称轴 所以在区间上是增函数， 又函数在区间上的最大值为，最小值为 所以 解得： 所以 故实数 （2）由（1）可知 因为，所以 因为对任意恒成立， 令 根据二次函数的图像和性质可得： 则 令，则 解得： 即 所以 （3）函数为上的有界变差函数，又为上的单增函数， 且对任意划分 有 所以 所以存在常数M使得恒成立，即 易错点 1.概念理解偏差：“零点”≠“点”，忽略定义域限制 核心问题：（1）误将零点当作“点的坐标”（如认为零点是 (a,0)），实际零点是函数值为0时的自变量值（即方程 f(x)=0 的实根）。（2）忽略函数定义域，直接解方程 f(x)=0 得到的根可能不在定义域内，导致“增根”。 2.零点存在定理的“条件遗漏”与“结论误读” 核心问题：（1）使用零点存在定理时，忽略“函数在闭区间 [a,b] 上连续”或“f(a)·f(b) < 0”的前提（如分段函数在分界点不连续时，即使 f(a)·f(b) < 0 也可能无零点）。（2）认为“f(a)·f(b) > 0 则区间 (a,b) 内无零点”（反例：f(x)=x²-2x 在 [0,3] 上 f(0)=0，f(3)=3，f(0)·f(3)=0，但 (0,3) 内有零点 x=2）。 学科网（北京）股份有限公司 $