精品解析：天津市经济技术开发区第一中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段练习（12月）数学试题

天津市经济技术开发区第一中学2025-2026学年 高二上学期第二次阶段练习（12月） 数学试题 一、单项选择题（每小题5分，共9小题，共45分） 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】由两点的斜率公式计算即可. 【详解】解：由已知得. 故选：D 【点睛】本题考查两点的斜率公式及直线方向向量的概念，是基础题. 2. 已知、、成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项的性质计算可得； 【详解】解：因为、、成等比数列， 所以，解得； 故选：C 3. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以与之间的距离为. 故选：C. 4. 已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 5. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，再由点到直线的距离公式即可求得距离. 【详解】由，得焦点坐标为，又双曲线渐近线方程为， 即，则由点到直线的距离公式得. 故选：A. 6. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围. 【详解】方程变形得：， 该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：， 故选：A. 7. 已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程结合双曲线的几何性质即可求解. 【详解】将代入抛物线方程，可得， 则抛物线方程为，准线方程为， 又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为， 则，又， 可得，所以双曲线方程为. 故选：D. 8. 等比数列的前项和为，若，，，，则（ ） A. 30 B. 31 C. 62 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】先求等比数列的通项公式，再求. 【详解】因为数列为等比数列，且，，所以为递增数列. ，且，所以，， 所以，。 所以. 故选：B 9. 已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离、圆的弦长公式及勾股定理建立关系求得，即可求出离心率. 【详解】令点，双曲线E 的渐近线方程为， 由对称性不妨取直线，取中点，连接，则， ，而， 由，得，在中，， 则，解得， 所以双曲线 E的离心率. 故选：A 二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分） 10. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______ 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，求出各点坐标，利用异面直线空间向量夹角公式进行求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 故和BN的夹角的余弦值为. 故答案为： 11. 已知等比数列的公比，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算化简即可求解. 【详解】由题意知，， 则. 故答案为：. 12. 已知数列的前n项和，则的通项公式是______. 【答案】 【解析】 【分析】借助与的关系，分及计算即可得. 【详解】当时，， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为：. 13. 已知倾斜角是60°的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则弦长____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出直线的方程，然后联立直线与抛物线方程求出点的坐标，最后利用两点之间距离公式求出结果. 【详解】因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率为. 因为抛物线的焦点为，直线过点， 所以直线的方程为. 联立直线与抛物线方程得，即. 解得或，所以. 所以. 故答案为：. 14. 若等差数列满足，，则当______时，的前项和最小. 【答案】18 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得，，再根据数列和定义即可判断. 【详解】由，所以， 又，所以，所以当时，的前项和最小. 故答案为：18 15. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且满足，设弦的中点M到y轴的距离为d，则的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为， 设，由余弦定理可得, 由抛物线定义可得P到准线的距离等于 ，Q到准线的距离等于， M为的中点，由梯形的中位线定理可得M到准线的距离为， 则弦的中点M到y轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以 的最小值为1， 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题综合性较强，涉及到余弦定理和抛物线定义以及基本不等式等，解答的关键是利用抛物线的定义表示出弦 的中点M到y轴的距离，结合余弦定理表示出的表达式，进而转化为利用基本不等式求最值问题. 三、解答题（本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切. （1）求圆的标准方程. （2）求直线：与圆相交的弦长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆的标准方程. （2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可. 【详解】（1）令圆心为且， ∴由圆与相切，有，即可得. ∴圆的标准方程为. （2）由（1）知：，， ∴到直线的距离为， ∴直线与圆相交的弦长为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1） 证明：因为平面，平面，平面， 所以，，又因为， 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，，，， 所以，，， 因为，. 所以， 又，平面，平面. 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证； （2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案； （3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设平面的法向量，由（1）可知， 设平面的法向量 因为，. 所以，即， 不妨设，得. ， 又由图示知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 所以二面角的正弦值为; 【小问3详解】 解：设，即， 由于 所以. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，即， 所以. 18. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 在两边同时除以，得：，， 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）由结合等差数列的定义证明即可； （2）由结合错位相减法得出前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：，， ① ② ①②得： 所以. 19. 设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合几何关系可求得 （2）设点的坐标为，点的坐标为，由题意可得，求解点的坐标即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得， 由，从而，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设点的坐标为，点的坐标为，由题意，， 点的坐标为，由的面积是面积的2倍，可得， 从而，即，易知直线的方程为， 由方程组消去y，可得． 由方程组消去，可得． 由，可得，两边平方，整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意． 所以的值为． 20. 已知数列中， （1）求的值； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 【答案】（1），， （2） 证明：依题意，设， 则 ， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）由数列的递推关系，令、和即可求出答案； （2）由递推公式求出，再利用等比数列定义判断作答. （3）利用（2）的结论求出的通项公式，再结合递推关系得到的表达式，最后借助分组求和法求和作答. 【小问1详解】 由， 令，则；令，则， 令，则， 所以，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， 因此， 当时，，又， 则， ， 因此 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市经济技术开发区第一中学2025-2026学年 高二上学期第二次阶段练习（12月） 数学试题 一、单项选择题（每小题5分，共9小题，共45分） 1. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. -2 2. 已知、、成等比数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 等比数列的前项和为，若，，，，则（ ） A. 30 B. 31 C. 62 D. 63 9. 已知双曲线E 的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线 E的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分） 10. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______ 11. 已知等比数列的公比，则等于__________. 12. 已知数列的前n项和，则的通项公式是______. 13. 已知倾斜角是60°的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则弦长____________________． 14. 若等差数列满足，，则当______时，的前项和最小. 15. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且满足，设弦的中点M到y轴的距离为d，则的最小值为__________． 三、解答题（本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切. （1）求圆的标准方程. （2）求直线：与圆相交的弦长. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 18. 已知数列满足，. （1）证明：数列为等差数列. （2）求数列的前项和. 19. 设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值． 20. 已知数列中， （1）求的值； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $