精品解析：江西省南昌市2025-2026学年上学期九年级数学统考试题

2025-2026学年上学期九年级阶段性学习质量检测·数学 说明：1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡上相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在丰富多彩的平面图形中，对称性体现了数学的美感．下列曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个以为中心的圆形花圃中，花圃的半径为6米．小明选定了一个点，经过测量，点到圆心的距离是4米，则点与这个圆形花圃的位置关系是（ ） A. 点在花圃内 B. 点在花圃边界上 C. 点在花圃外 D. 无法确定 3. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 在平面直角坐标系中，有一个电子游戏场景，机器人在点处，游戏设定机器人绕原点逆时针旋转后到达新位置点．已知在该游戏编程中，坐标系的坐标与机器人的移动位置对应，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为，点、同时从点出发，均以的速度运动，其中，点沿路径运动，点沿运动，两点均在到达点停止．设运动时间为（），的面积为（），则下列图像中能正确反映（）与（）之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为____________． 8. 如图所示为圆形拱门的示意图，其最下端的线段位于地面之上，点为线段的中点，点为拱门的最高点，且线段经过拱门所在圆的圆心．若线段的长度为，线段的长度为，则拱门所在圆的半径长度为____________． 9. 在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 10. 对于任意实数，，我们定义新运算“”：，例如．若，是方程的两根，则的值为____________． 11. 如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为____________． 12. 如图，已知的半径是1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为______________． 三、解答题（本大题共5小题，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 15. 如图（1）（2），在每个小正方形的边长均为1的网格中，的顶点，，均落在格点上，以为直径作半圆，圆心为．请仅用无刻度的直尺，完成以下作图： （1）在如图（1）所示的网格中，在半圆上画出点，连接，使得平分； （2）在如图（2）所示的网格中，在半圆上画出点，连接，使得平分． 16. 阳春三月，南昌市的桃花又开了，小赣乘坐地铁到人民公园看桃花，计划在人民公园地铁站下车，如图是人民公园地铁站的平面图，其中有、、、四个出入口，小赣任选一个出口出站，赏花结束后，任选一个入口入站乘车． （1）小赣从出站到入站共有多少种可能的结果？请用树状图或列表说明； （2）求出小赣从福州路同一侧出入站的概率． 17. 如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求外接圆的半径． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，是关于的一元二次方程的两个根． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若以，为对角线的菱形边长是，试求的值？ 19. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能参加一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查抽取的总人数是多少？ （2）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______________°； （3）补全条形统计图； （4）若该校有2000名学生，请估计该校喜欢魔方游戏的学生人数； （5）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表： 产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件） 甲 6 a 20 200 乙 20 10 40＋0.05x2 80 其中a为常数，且3≤a≤5． （1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式； （2）分别求出产销两种产品的最大年利润； （3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的直径，点位于半圆上，平分，，垂足为，与相交于，连接． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若cm，cm，求线段的长； （3）若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 22. 定义：在平面直角坐标系中，对于和抛物线，我们称是抛物线的关联点，抛物线是点的关联抛物线．已知点，，． （1）点的关联抛物线的解析式为____________； （2）求过，两点的抛物线的关联点坐标； （3）设点在直线上运动，点的关联抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某物理实验室设计了一个抛物线形凹面反射镜，其截面如图1所示．一束实验激光沿直线射出，与轴交于点．反射镜面的曲线为二次函数的图象，它经过坐标原点（镜面中心）和点（激光入射点），镜面最低点为，以点为圆心、的长为半径，在镜面上方划定一个圆形安全区域． （1）试用含的代数式表示； （2）为进行对称校准，将关于x轴对称得到，若恰好与直线（连接点和镜面最低点的校准线）相切，切点为点，求（安全区域）的半径及二次函数（反射镜面）的解析式； （3）当镜面曲率参数时，如图2，检测点是边界上的一个动点（不与、重合），已知激光束的直线轨迹与镜面曲线交于另一点（不与、重合），请问：是否存在点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级阶段性学习质量检测·数学 说明：1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡上相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在丰富多彩的平面图形中，对称性体现了数学的美感．下列曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键． 根据中心对称图形和轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 在一个以为中心的圆形花圃中，花圃的半径为6米．小明选定了一个点，经过测量，点到圆心的距离是4米，则点与这个圆形花圃的位置关系是（ ） A. 点在花圃内 B. 点在花圃边界上 C. 点在花圃外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径大小即可判断． 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为4米，圆的半径为6米，且， ∴点P在圆内，即点P在花圃内． 故选：A． 3. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解，即可解答． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 即方程的解为,， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，有一个电子游戏场景，机器人在点处，游戏设定机器人绕原点逆时针旋转后到达新位置点．已知在该游戏编程中，坐标系的坐标与机器人的移动位置对应，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：过A点作轴，过B点作轴，垂足分别为D、E， ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：D． 5. 如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比． 先求得光伏吸收区的面积，再求得总面积，然后利用几何概率的求解方法求解即可． 【详解】解：由图可知，总面积为， 其中光伏吸收区的面积为， 小球最终停留在光伏吸收区的概率是， 故选：C． 6. 如图，正方形的边长为，点、同时从点出发，均以的速度运动，其中，点沿路径运动，点沿运动，两点均在到达点停止．设运动时间为（），的面积为（），则下列图像中能正确反映（）与（）之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的性质．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出与的函数关系式． 分类讨论：当时，利用可得；当时，直接根据三角形面积公式得到，于是根据二次函数可对四个选项进行判断． 【详解】解：当时，如图， ， 此时抛物线开口向下，且顶点为； 当时，如图， ， 此时抛物线开口向上，且顶点为． 选项中只有D选项图象，符合条件． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟知关于轴对称的图象的特点是解题的关键． 根据关于轴对称的图象的特点即可得到结论． 【详解】解：抛物线的顶点为，顶点关于轴对称的点的坐标为， 抛物线关于轴对称的抛物线开口与相反，且顶点坐标为，即为． 故答案为：． 8. 如图所示为圆形拱门的示意图，其最下端的线段位于地面之上，点为线段的中点，点为拱门的最高点，且线段经过拱门所在圆的圆心．若线段的长度为，线段的长度为，则拱门所在圆的半径长度为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的应用． 如图，连接，先证明，，进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 9. 在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2024． 10. 对于任意实数，，我们定义新运算“”：，例如．若，是方程的两根，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元二次方程是解题的关键． 根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得，，再结合分式的加减及完全平方公式代入计算可求解． 【详解】解：由题意得即为， 化简得， ，是该方程的两根， ，， 故答案为：． 11. 如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 取的中点，连接，，，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据两点之间线段最短得到即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 12. 如图，已知的半径是1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用分类思想解决问题是解决问题的关键． 设点，由题意可得：点到轴的距离为1，即，代入解析式可求点坐标． 【详解】解：设点， 与轴相切， ， ， 当时，， 解得：，， 点或， 当时，， 解得：， 点， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据直接开平方法得到，分两种情况求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解： 两边开平方得： 当时，解得： 当时，解得 ，； 【小问2详解】 解： 其中，，， ，． 14. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）连接，根据旋转的性质，证明是等边三角形，进而可得点P与点之间的距离； （2）根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点P与点之间的距离为6； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 15. 如图（1）（2），在每个小正方形的边长均为1的网格中，的顶点，，均落在格点上，以为直径作半圆，圆心为．请仅用无刻度的直尺，完成以下作图： （1）在如图（1）所示的网格中，在半圆上画出点，连接，使得平分； （2）在如图（2）所示的网格中，在半圆上画出点，连接，使得平分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，点即为所求； （2）取的中点，连接，延长交于点，连接，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图（1），取格点，连接交于点，连接，点即为所求， ，， ， ， ， ， ， ，即平分； 【小问2详解】 解：如图（2）取的中点，连接，延长交于点，连接，点即为所求， 延长交于点，连接交于点， 是的直径， ， 是的中点， ， ， 是圆的半径， ， ，即平分． 16. 阳春三月，南昌市的桃花又开了，小赣乘坐地铁到人民公园看桃花，计划在人民公园地铁站下车，如图是人民公园地铁站的平面图，其中有、、、四个出入口，小赣任选一个出口出站，赏花结束后，任选一个入口入站乘车． （1）小赣从出站到入站共有多少种可能的结果？请用树状图或列表说明； （2）求出小赣从福州路同一侧出入站的概率． 【答案】（1） 解：画树状图如下： 小赣从出站到入站共有16种可能的结果． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，解决本题的关键是要熟练掌握画树状图的方法． （1）画树状图列出所有等可能结果； （2）从中找到小赣从福州路同一侧出入站的结果数，再根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，小赣从出站到入站共有16种可能的结果，从福州路同一侧出入站的有8种等可能的结果 故小赣从福州路同一侧出入站的概率为 17. 如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求外接圆的半径． 【答案】（1） 证明：平分，平分， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． （1）由角平分线得出，得出，由圆周角定理得出证出再由三角形的外角性质得出即可得出 （2）由（1）得：，得出由圆周角定理得出是直径，由勾股定理求出即可得出外接圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示； 由（1）得：， ， ， 是直径， ， ， 外接圆的半径： 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，是关于的一元二次方程的两个根． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若以，为对角线的菱形边长是，试求的值？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，菱形的性质，勾股定理以及根与系数的关系． （1）若方程有两个不相等的实数根，则有，得到关于的不等式，求解即可； （2）由根与系数的关系得出，．根据菱形的对角线互相垂直平分的性质以及勾股定理得出，那么，由此得出关于的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 要使方程有两个不相等的实数根，需要， 即，解得， 即时，方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：，是关于的一元二次方程的两个根， ，． 根据对角线都为正实数，可得，， 即， 根据（1）中可得， ，为菱形的对角线， ，互相垂直并且平分， ， ， ， ， ， 解得，． ， 不合题意，舍去， 的值为． 19. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能参加一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查抽取的总人数是多少？ （2）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______________°； （3）补全条形统计图； （4）若该校有2000名学生，请估计该校喜欢魔方游戏的学生人数； （5）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）200人 （2）72 （3） 补全条形统计图如下： （4）600 （5） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数； （2）用A组的人数除以总人数，再乘以即可求出该组扇形的圆心角度数； （3）求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （4）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （5）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（人）； 【小问2详解】 ， ∴扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为； 【小问3详解】 选择D类的学生人数为（人）， 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问5详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 20. 某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表： 产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件） 甲 6 a 20 200 乙 20 10 40＋0.05x2 80 其中a为常数，且3≤a≤5． （1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式； （2）分别求出产销两种产品的最大年利润； （3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 【答案】（1）y1=（6-a）x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；（2） 产销甲种产品的最大年利润为（1180-200a）万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5时，选择乙产品. 【解析】 【分析】（1）根据表格的数据，直接写出解析式即可；（2）根据一次函数和二次函数的性质，求得最大值即可；（3）根据（2）的结果，分三种情况解答即可. 【详解】（1） y1=（6-a）x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）； （2）甲产品：∵3≤a≤5，∴6-a＞0，∴y1随x的增大而增大． ∴当x＝200时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5） 乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80） ∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大． 当x＝80时，y2max＝440（万元）． ∴产销甲种产品的最大年利润为（1180-200a）万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元； （3）1180－200＞440，解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品； 1180－200＝440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品； 1180－200＜440，解得3.7＜a≤5时，此时选择乙产品． ∴当3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高； 当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同； 当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的直径，点位于半圆上，平分，，垂足为，与相交于，连接． （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若cm，cm，求线段的长； （3）若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 直线与相切，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵是的半径， ∴直线与相切； （2）线段的长为 （3）图中阴影部分的面积为 【解析】 【分析】（1）通过角平分线得，结合得，进而得，可得，再由得，最后由是的半径得出直线与相切； （2）过点作，垂足为，构造矩形，得，，再由勾股定理求出，进而得，最后在中用勾股定理算出； （3）连接，交于点，通过垂径定理的推论得，，证明得，进而得，得出是等边三角形，推出，再在中求出，，最后通过即可得出． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， 又，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是的直径，cm， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点， ∵是弧的中点， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线判定、垂径定理的推论、勾股定理、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，利用圆的相关性质构造辅助线转化图形关系是解题的关键． 22. 定义：在平面直角坐标系中，对于和抛物线，我们称是抛物线的关联点，抛物线是点的关联抛物线．已知点，，． （1）点的关联抛物线的解析式为____________； （2）求过，两点的抛物线的关联点坐标； （3）设点在直线上运动，点的关联抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解． （1）根据题意可得即可求解； （2）将点A、B坐标代入求出a，b的值，即可求解； （3）先求出直线的表达式可得设点，可得抛物线的表达式再求出抛物线的顶点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点， ∴， 故抛物线的表达式为：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：将点，代入得： ， 解得：， ∴过，两点的抛物线的关联点坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点， ∴抛物线的表达式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 则 即抛物线的解析式为：． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某物理实验室设计了一个抛物线形凹面反射镜，其截面如图1所示．一束实验激光沿直线射出，与轴交于点．反射镜面的曲线为二次函数的图象，它经过坐标原点（镜面中心）和点（激光入射点），镜面最低点为，以点为圆心、的长为半径，在镜面上方划定一个圆形安全区域． （1）试用含的代数式表示； （2）为进行对称校准，将关于x轴对称得到，若恰好与直线（连接点和镜面最低点的校准线）相切，切点为点，求（安全区域）的半径及二次函数（反射镜面）的解析式； （3）当镜面曲率参数时，如图2，检测点是边界上的一个动点（不与、重合），已知激光束的直线轨迹与镜面曲线交于另一点（不与、重合），请问：是否存在点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的图象与轴交于点，易得点的坐标，把，坐标代入可得、的关系式； （2）当恰与直线相切时，四边形是正方形，是等腰直角三角形，易得点坐标和的长，进而求出抛物线解析式； （3）根据题意，求出点坐标，易知，所以或，由于，于是当或时分类讨论，可得答案． 【小问1详解】 解：令，解得， 一次函数的图象与轴交于点的坐标为， 把，代入， 得，， ； 【小问2详解】 解：如图，将关于轴对称得到，连接， ， 四边形为菱形， 恰与直线相切，切点为点， 四边形是正方形，是等腰直角三角形， 过点作， ， ， ，， ， ， 把代入抛物线解析式与联立得： 解得：，， 抛物线解析式为：； 【小问3详解】 解：存在； 当时，， ， ， 作，则，， ， ， ， ①当点在优弧上时， ， 如图所示，当点在轴下方时， 此时点与点重合，即， 如图所示，当点在轴上方时，设直线与轴交于点， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，，代入直线解析式可得， ， 解得， 直线的解析式为， 直线与抛物线相交，则， 解得：或， 时，， ， ②如图所示，当点在劣弧上时， ， ， 根据二次函数图象可得不可能在轴下方， 当点在轴上方时，设直线与轴交于点， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，，代入直线解析式可得， ， 解得， 直线的解析式为， 直线与抛物线相交，则， 解得：或， 当时，， ， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式和直线解析式，顶点坐标，勾股定理计算，以及分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $