期末专项培优：垂线与平行线解决问题（专项训练）-2025-2026学年四年级上册数学 苏教版

期末专项培优：垂线与平行线解决问题 1．画出A点到直线b的距离，过点A画出直线a的平行线． 2．运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，小刚在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相（    ）。（填“垂直”或“平行”） 3．先经过A点画出已知直线的平行线，再画出点A到已知直线的垂直线段；点A到直线的距离是（　　）厘米。（取整厘米数） 4．（1）以O为顶点，已知射线为一条边，在它的下面画一个75°的角。 （2）过点A分别向角的两边画垂线。 （3）围成的四边形中有1个是钝角，这个钝角的度数是（    ）°。              5．根据下图形作答。 （1）新校区到太仓北路的距离是（    ）。 （2）计划从新校区铺一条排水管到太仓南路，怎么铺才能使所用的水管长度最短？并在图上画出来。 6．从学校到电影院有几条路线？将最近的一条路线在图上用彩笔描出来。 7．如下图，先量出长方形中和的度数，再算出和的度数。 8．有一个四边形ABCD（如下图） （1）经过A点向CD边画垂线。 （2）经过C点画AB的平行线。 （3）量出∠B＝（    ）°。 （4）量出B点到AD边的距离是（    ）毫米。 9．量一量，画一画。 （1） 上面的线段长（    ）厘米。 （2）画一条比上面的线段短3厘米的线段。 10．仿照例子分别写出三组互相平行和互相垂直的线段。例：AB与DC互相平行，AC与DB互相垂直。 11．看一看下图中哪两条直线互相平行，哪两条直线互相垂直。 12．下图是一块梯形草坪。 （1）量一量，∠A＝（    ）°，∠C＝（    ）°。 （2）从点B走到AD边，怎样走最近？在图中画出来。 （3）在草坪内从点C开始修一条小路与AB边平行，在图中画出这条路。 13．学校举行防震逃生演练（如图），卫生员走第（    ）条路能在最短的时间内赶到病人身边，为什么？ 14．如图： （1）量一量，（    ）。 （2）请在图上再画两条线段，使它成为一个直角梯形。 15．两只小狗赛跑，它们以相同的速度分别从同一直线上的点A、点B跑到小房子处，谁先跑到小房子处，谁就获胜。你认为它们谁会获胜？为什么？ 16．王老师要从家去超市买东西，有几种走法？哪种走法最近？为什么？ 17．下图是人行横道线。如果从点A穿过马路，怎样走路线最短？为什么？把最短的路线画出来。 18．张叔叔是个台球迷，他发现当台球撞击桌边时就会向另一个方向弹走，如图所示： （1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，请你量一量，∠2＝（    ），∠4＝（    ）。 （2）如上图，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，你发现（    ）。 （3）请运用你发现的规律在上面图3中画出台球向另一个方向弹走的角度和路线。 19．（1）在下面的两条平行线之间画三条与平行线垂直的线段。 （2）从数学角度观察所画的三条线段，你有哪些发现？请写在下面。 20．下图是一个梯形。 （1）量出角的度数，∠A＝（    ）°，∠B＝（    ）°。 （2）画出点B到对边AD的距离，并量出距离最短是（    ）厘米。 （3）过点C画出AB边的平行线。 21． （1）上面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝______。 （2）在上图②中，过C点分别画出OB边的垂线，OA边的平行线。 （3）在上图③中，小明在A点，要到河里取水，画出最节省的行走线路。 22．按要求画一画。 （1）过点A画直线。 （2）过点B画射线。 （3）过A、B两点画直线。 （4）我发现经过一点可以画（    ）条直线，可以画（    ）条射线；经过两点只能画（    ）条直线。 23．运动会跳远比赛时，每个运动员都有三次试跳机会，以最好的一次成绩作为最终成绩。张阳在跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中的位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你画的两条线段互相（    ）。（填：“垂直”或“平行”） （3）张阳两次成绩分别为220厘米和196厘米，李康的成绩分别为：215厘米、205厘米和210厘米。你认为他俩谁会获胜？说说你的理由。 24．在平行四边形里画一条线段，把它分成大小相等的两个部分。你有几种不同的分法？分分看。 25．量一量，画一画，在图形ABCD中。 （1）量出∠B的度数为（    ）度。这个角（    ）用一副三角尺拼出来。（填“能””或“不能”） （2）过点A画出边BC的平行线。 （3）过D点画AB边的垂线，并量出D点到AB的距离为（    ）厘米。（得数用整厘米数表示） 26．一个梯形的街心花园广场（如图）。 （1）∠A＝ °，∠D＝ °。 （2）从A点走到对边CD，怎样走最近？在图上画出来。 （3）过A点作BC边的平行线。 27．风筝比赛时，选手们所用的风筝线一样长，假如他们都把风筝线放到最长。 （1）量一量，甲的风筝线与地面的夹角是（    ），乙的风筝线与地面的夹角是（    ）。 （2）风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？ （3）如果丙的风筝线与地面的夹角为35°，他的风筝飞得比甲、乙高吗？ 28．如图，这是一条公路示意图，点P处是一个公园。 （1）∠AOB＝（    ），它是一个（    ）角。 （2）如果从公园修一条路直达公路AO段，要使修的路最短，应该怎么修？请在图上画出来。 （3）以公园所在的点P为起点，向东修一条路，使得这条路平行于公路OB段，请在图上画出来。 29．把一张正方形纸对折三次,打开后如下图⑤,你能在图⑤中标出哪个角是45°、90°、135°吗?请你直接标出来． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 【详解】试题分析：（1）用三角板的一条直角边的已知直线b重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可得到过点A的、直线b的垂线，点A和垂足B之间的距离就是A点到直线b的距离； （2）把三角板的一条直角边与已知直线a重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线a重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可． 解：根据题干分析作图如下： 如图，线段AB的长就是A点到直线b的距离． 【点评】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线和作平行线的能力． 2．（1）见详解 （2）平行 【分析】（1）把起跳线看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离； （2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行。 【详解】 （1）如图： （2）所画的两条线段互相平行。 3．图见详解；2 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可； （2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可； （3）利用刻度尺测量出点A与垂足之间的线段的长度，就是点A到直线的距离。 【详解】如图所示： 点A到直线的距离是2厘米。 【点睛】本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力。 4．（1）（2）见详解 （3）105° 【分析】（1）用量角器的圆点和射线的端点O重合，0刻度线和射线重合，在量角器75°的刻度上点上点，过射线的端点O和刚作的点，画射线即可。 （2）将三角板的一条直角边和角的一边重合，然后平移三角板，让其另一条直角边与A点重合，过A点和三角板的直角顶点作直线，就是这条边的垂线；同样的方法即可作出过A点的角的另一条边的垂线。 （3）根据垂直的定义可知，围成的四边形中有2个直角，因为四边形的内角和是360度，所以另外两个角的度数之和是180度，已知一个角是75度，则另一个角就是105度，据此即可解答。 【详解】（1）（2）根据题干分析画图如下： （3）由分析知，360°－75°－90°－90°＝105° 这个钝角的度数是105°。 5．（1）50米 （2）见详解 【分析】（1）根据垂直的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短，垂线段的长叫做点到直线的距离；据此解答即可。 （2）因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要作人民小学新校区到太仓南路的垂线段即可。 【详解】（1）根据距离的概念，可得新校区到太仓北路的距离是50米。 （2）因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，沿着图中虚线铺才能使所用的水管长度最短： 【点睛】此题主要考查垂线段的性质的灵活运用。 6．3条；见详解 【分析】根据题意可知，可以先从学校到少年宫再到电影院，也可以从学校到人民公园再到电影院，也可以直接从学校到电影院，根据两点间线段最短，据此作图即可。 【详解】第一条：学校→少年宫→电影院； 第二条：学校→电影院； 第三条：学校→人民公园→电影院。 答：从学校到电影院有3条路线。 最近的一条路线如图： 7．65°；65° 【分析】用量角器量角时，把量角器的中心和角的顶点重合，0°刻度线与长方形的长重合，看0°刻度线在内圈还是外圈。角的另一条边所对的量角器上的刻度就是这个角的度数，据此量出∠1、∠2的度数。 长方形的四个角都是直角，直角是90°，用90°减去∠1的度数就是∠3的度数。90°减去∠2的度数就是∠4的度数。 【详解】用量角器测得∠1和∠2都是25°。 90°－25°＝65° 答：∠3和∠4的度数都是65°。 8．（1）（2）见详解 （3）115° （4）20 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边与已知直线重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线。 （2）过直线外一点作已知直线的平行线的方法是：把三角板的一边与已知直线重合，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线，这条直线就与已知直线平行；。 （3）角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【详解】 （1）（2）如图： （3）经测量∠B＝115°。 （4）B点到AD边的距离是如图垂线的距离 经测量B点到AD边的距离是20毫米。 9．（1）8 （2）见详解 【分析】（1）尺子测量物体的长度时，如果0刻度线没有对齐物体边缘，用测量结束的刻度－测量开始的刻度＝物体的长度。 （2）根据题意可知：比8厘米短3厘米的线段的长度为：8－3＝5厘米，即画一条5厘米的线段。 【详解】（1）11－3＝8（厘米） 所以该线段长8厘米。 （2）8－3＝5（厘米） 则画图如下： 10．见详解 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。找互相平行的线段就是找不相交的线段，找互相垂直的线段就是找夹角是直角的线段。 【详解】 答：AB与EG互相平行，AD与BC互相平行；DC与EG互相平行。（答案不唯一） AB与FH互相垂直，DC与AD互相垂直，EG与BC互相垂直。（答案不唯一） 11．a∥b，d∥e，f⊥d，f⊥e 【详解】【解答】a∥b，d∥e，f⊥d，f⊥e 【分析】当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足，在平面上两条直线空间的两个平面以及空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。 12．（1）70；110；（2）见详解；（3）见详解 【分析】（1）角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）作点B到AB边的垂线段，沿着垂线段走最近。 （3）过点C作AB的平行线，交于AD，交点与点C之间的线段即为要修的小路。 【详解】（1）经测量，∠A＝70°，∠C＝110°。 （2）（3）见下图： 【点睛】本题主要考查学生对角的度量、画垂线和平行线方法的掌握。 13．②；两点之间，线段最短。 【分析】根据两点之间，线段最短，据此即可解答。 【详解】卫生员走第②条路能在最短的时间内赶到病人身边，理由：两点之间，线段最短。 【点睛】熟练掌握两点之间，线段最短的知识，是解答此题的关键。 14．（1）110° （2）见详解 【分析】（1）量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）过角的一边的另一个端点作垂线，过角的另一边的另一个端点作平行线，两条线相交于一点，即可得到一个直角梯形。 【详解】（1）经测量，∠1＝110°。 （2） 【点睛】本题主要考查学生对角的度量和直角梯形的特点的掌握。 15．小黑获胜；原因见详解 【分析】根据垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，据此判断解答。 【详解】两只小狗赛跑，它们以相同的速度分别从同一直线上的点A、点B跑到小房子，小黑先到达，获胜，因为小黑是沿垂直线段跑的，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 【点睛】本题考查了垂线的性质。 16．3种；直接去超市的走法最近，因为两点之间线段最短。 【分析】观察上图可以直接看出有几种走法，再根据两点之间线段最短判断哪种走法最近，据此即可解答。 【详解】有3种走法：直接去超市；经过医院去超市；经过邮局去超市。直接去超市的走法最近，因为两点之间线段最短。 【点睛】此题主要考查两点之间线段最短的性质的灵活应用。 17．见详解 【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。所以从A点横过马路的最短路线是从A点向路对面作垂线段，据此解答。 【详解】画图如下： 答：两条平行线之间垂线段最短，所以画垂线最短。 18．（1）45°；50° （2）这两个角相等 （3）见详解 【分析】（1）量角器可以分别量出∠2、∠4的度数（把量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数）。 （2）根据量出的各角度数，台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线也与桌边形成了一个角，两个角度数相同，据此解答。 （3）根据以上发现，即可完成如图的台球运动线路图。 【详解】（1）已知∠1＝45°，∠3＝50°，经测量∠2＝45°，∠4＝50°。 台球撞向桌边的路线与桌边形成了一个角，它弹走的路线与桌边也形成了一个角，发现这两个角相等。 （3）如图： 19．（1）见详解（2）垂直于两条平行线的线段互相平行。 【分析】（1）用三角尺直角的两边，一边与其中一条线重合，另一条边即是垂线，据此画出三条即可。 （2）发现三条线段互相平行，因此垂直于两条平行线的线段互相平行。 【详解】 （1）如图： （2）垂直于两条平行线的线段互相平行。 20．（1）60；120 （2）图见详解；2 （3）图见详解 【分析】（1）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此解答。 （2）根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段，由点B向对边AD画垂直线段即可。 （3）把三角板的一条直角边与已知线段AB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知线段AB重合的直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】（1）∠A＝60°；∠B＝120°。（以实际测量为准） （2）点B到对边AD的距离是2厘米。（以实际测量为准） 如图： （3）如图： 【点睛】本题主要考查角的度量方法；画平行线及垂线的方法。 21．（1）60° （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，所以∠1＝∠3。因为∠1是∠2的2倍，和÷倍数和＝1倍数，用90°除以（2＋1）倍即可算出∠2的度数，∠2的度数乘2，可以算出∠1的度数，也就是∠3的度数。 （2）用直角三角尺的一条直角边和OB重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点C重合，过C点沿直角边向OB画直线即可。把三角尺的一条直角边和OA重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和OA重合的直角边和C点重合，过C点沿三角尺的直角边画直线即可。 （3）连接点到直线的线段中，垂线段最短。据此画出点A到河岸的垂线段即可。 【详解】（1）90°÷（2＋1） ＝90°÷3 ＝30° 30°×2＝60° 上面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝60°。 （2） （3） 22．（1）（2）（3）见详解 （4）无数；无数；一 【分析】（1）直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度，据此过A点向两端延长，即可画出直线； （2）射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度，据此向B点的一端延长，即可画出射线； （3）直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度，据此连接AB并向两端延长，即可画出直线； （4）经过一点可以画无数条直线；从一点出发可以画无数条射线；经过两点只能画一条直线；据此解答即可。 【详解】（1）过点A画直线。作图如下： （2）过点B画射线。作图如下： （3）过A、B两点画直线。作图如下： （4）我发现经过一点可以画无数条直线，可以画无数条射线；经过两点只能画一条直线。 23．（1）见详解； （2）平行； （3）张阳；因为比赛规则是以最好的一次成绩作为最终成绩（理由答案不唯一） 【分析】（1）从图中2个位置分别画2条到踏跳板的垂线段，过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线； （2）同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，不是相交就是平行，垂直是相交的特殊情况； （3）根据比赛规则，因为是以最好的一次成绩作为最终成绩，先分别比较出各自最好的成绩，再比较两人最好的成绩即可；据此解答。 【详解】根据分析： （1） （2）我画的两条线段互相平行。 （3）张阳：220＞196 李康：215＞210＞205 220＞215 答：我认为张阳会获胜，因为比赛规则是以最好的一次成绩作为最终成绩。（理由答案不唯一） 24．无数种 【分析】根据题意，可将平行四边形的对角线连接，分成两个大小一样的三角形；将平行四边形的两对边中点连接，可分成两个大小相等的平行四边形；按比例分别在两对边上的一点，连接可分成两个大小相等的梯形，只要它们在两对边上按比例选取的，就能分成两个大小相等的梯形，所以有无数种分法。 【详解】先画一个特殊情况，即连接对角线，可分为两个大小相等的三角形，然后把对角线按顺时针或逆时针旋转，不管怎么旋转都可以得到两个大小相等的图形，所以有无数种。 如下图： 答：有无数种不同的分法。 【点睛】本题考查平行四边的特征及性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键。 25．（1）75；能（2）见详解（3）图见详解；3 【分析】（1）把量角器的中心点与角的顶点重合，角的一边与量角器的零刻度线重合，另一边指到几就是几度，量出度数后，根据三角尺的度数来判断这个角是不是能用一副三角尺拼出。 （2）过点A画一条与BC永无交点的直线即可。 （3）把三角尺的一条直角边与AB重合，使得D点在另一条直角边上，据此画出线段即为垂线段，再用直尺量出垂线段的长度即可。 【详解】（1）量出∠B的度数为（75）度。这个角（能）用一副三角尺拼出来。 （2） （3）过D点画AB边的垂线，并量出D点到AB的距离为（3）厘米。 【点睛】在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。作好垂线段后，标上垂直符号。 26．（1）120；60 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）用量角器的0度刻度线对准所量角的一条边，用中心点对准顶点，看看另一条边在哪一刻度（同一圈），这个角就是几度； （2）根据从直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短；由此过A点向CD作垂线，交CD于点E； （3）三角板的一条直角边与已知直线BC重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板和已知直线BC重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 【详解】（1）∠A＝120°，∠D＝60°。 （2）、（3）如下图所示： 【点睛】本题主要考查了学生利用三角板和直尺，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线的画图能力。 27．（1）65°；40° （2）同样长的风筝线，风筝线与地面夹角越大，风筝飞得越高 （3）他的风筝比甲、乙飞得低 【分析】（1）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量并填空即可。 （2）根据测量的结果说明风筝的高度和风筝线与地面的夹角的关系即可； （3）先比较风筝线与地面的夹角的度数，再判断即可。 【详解】（1）经过测量可知：甲的风筝线与地面的夹角是65°；乙的风筝线与地面的夹角是40°。 （2）经过测量发现，同样长的风筝线，风筝线与地面夹角越大，风筝飞得越高。 （3）35°＜40°＜65°，即他的风筝没有甲、乙飞得高，即比甲、乙飞得低。 【点睛】此题考查的是角的度量与大小比较在生活中的运用，应熟练掌握。 28．见详解 【分析】（1）用量角器量角的方法：把量角器放在角的上面，使量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所指的量角器上的刻度就是这个角的度数，据此测量图中的角的度数；大于90°小于180°的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角； （2）从直线外一点到这条直线可以画出无数条线段，其中垂线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离，据此过P点向AO画垂线；用三角尺过直线外一点画已知直线垂线的方法：①把三角尺的一条直角边与已知直线重合；②沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边通过直线外的点，沿这条直角边画一条直线；③在垂足处标出垂直符号，据此作图； （3）根据根据过直线外一点作已知直线的平行线的方法，过P点作出公路的平行线即可。 【详解】（1）135°；钝 （2）（3）见下图： 【点睛】本题考查了角的度量以及角的分类，平行的特征及性质，点到直线的距离及应用。要熟练掌握作图方法。 29．(答案不唯一) 【详解】略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $