第一章 数与式 课件 2026年中考数学一轮专题复习(广东)

该初中数学中考复习课件聚焦“实数及其运算”核心考点，严格对接2022版课标要求，通过分析近三年广东中考真题，明确有理数概念、实数运算、科学记数法等高频考点权重，系统归纳相反数、绝对值、非负数性质等常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题循环练+重点突破+易错点警示”模式，如结合2024年广东中考实数运算题，分步解析零指数幂、负指数幂等得分点，培养学生运算能力和推理意识。包含命题预测创新题型及核心素养训练，帮助学生掌握答题技巧，为教师提供系统复习指导，助力中考冲刺。

第一部分 基础梳理 第一章 数 与 式 第2课时 整式与因式分解 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 （限时5分钟，3个选择+2个填空，训练中考客观题准确度与速度） 1. （广东真题）（－4x）2=（　D　） A． －8x2 B． 8x2 C． －16x2 D． 16x2 D 返回目录 2. （广东真题）如图1－2－1，由5个相同正方体组合而成的几何 体，它的主视图是（　B　） 图1－2－1 　　　 B 返回目录 3. （广东真题）如图1－2－2，在同一平面直角坐标 系中，直线y=k1x（k1≠0）与双曲线y= （k2≠0）相交于A，B 两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　A　） A． （－1，－2） B． （－2，－1） C． （－1，－1） D． （－2，－2） A 　图1－2－2 返回目录 4. （广东真题）单项式3xy的系数为 ⁠． 5. （广东真题）已知x=5－y，xy=2，计算3x＋3y－4xy的值 为 ⁠． 3 7 返回目录 课标解读 内容 课标要求 整式 ①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义 ②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式 ③会把具体数代入代数式进行计算 ④了解整数指数幂的意义和基本性质 ⑤理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法） ⑥理解乘法公式 （a＋b）（a－b）=a2－b2，（a±b） 2=a2±2ab＋b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行 简单的计算和推理 返回目录 内容 课标要求 因式 分解 ⑦能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次） 进行因式分解（指数为正整数） ⑧了解代数推理 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：七上第二章　整式的加减；八上第十四章　 整式的乘法与因式分解 北师：七上第三章　整式及其加减；七下第一章　整式的乘除； 八下第四章　因式分解 返回目录 1. 代数式 用 ⁠把数和字母连接而成的式子叫做代数式． 特别 地，单独一个数或一个字母也是代数式 运算符号 返回目录 例1. 根据语句“x的 与y的5倍的差”，列出的代数式为 （　A　） A． x－5y B． x＋5y C． x＋5y D． x－5y A 返回目录 2. 代数式的值 用具体数值代替代数式中的 ⁠，计算所得的结果叫做代数 式的值 字母 例2. 若 x=－ ，y=4，则代数式 3x＋y－3 的值为 （　B　） B A． －6 B． 0 C． 2 D． 6 返回目录 3. 整式的分类 整式 返回目录 例3. （1）单项式－4πxy2的系数与次数分别是（　A　） （2）多项式x5－3x2－7的项数是 ，次数是 ⁠． A 3 5 A． －4π，3 B． －4π，4 C． －4，3 D． －4，4 返回目录 4. 同类项 所含字母相同，并且相同字母的 ⁠也相同的项叫做同类项 指数 例4. 下列各组中，属于同类项的是 （　D　） A． 5m2n 与 m2 B． a4b 与 ab4 C． a3b2c2 与 23b2c2 D． －4x2y 与 yx2 D 返回目录 5. 合并同类项 把同类项合并成一项叫做合并同类项． 其法则是：合并同类项 时，把同类项的 相加，字母和字母的 ⁠不变 系数 指数 例5. 下列各算式中，合并同类项正确的是 （　A　） A． x2＋x2=2x2 B． x2＋x2=x4 C． 2x2－x2=2 D． 2x2－x2=2x A 返回目录 6. 整式的加减 （1）几个整式相加减，有括号的先去括号，然后再合并同类项． （2）去括号法则 ①括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括 号里各项的符号 ，如a＋（b－c）=a＋b－c，a ＋（b＋c）=a＋b＋c； 都不改变 ②括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括 号里各项的符号 ，如a－（b－c）=a－b＋c，a －（b＋c）=a－b－c 都要改变 返回目录 例6. 计算： 　　（1）4a2＋（6a2－a2）= ⁠； 　　（2）5m－（m＋3m）= ⁠； 　　（3）3a－2b－2 = ⁠． 9a2 m 2a 返回目录 7. 幂的运算法则 （1）同底数幂相乘：am∙an= （m，n为正整数）． （2）同底数幂相除：am÷an= （a≠0，m，n为正整 数，且m＞n）． （3）幂的乘方： n= （m，n为正整数）． （4）积的乘方： n= （n为正整数） am＋n am－n amn anbn 返回目录 例7. 计算： 　　（1）a2∙a5= ⁠； 　　（2）a8÷a2= ⁠； 　　（3）4= ⁠； 　　（4）3= ⁠． a7　 a6　 y16　 －27y3 返回目录 （1）单项式与单项式相乘，把它们的 、 ⁠ ⁠分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． （2）单项式与多项式相乘，就是根据 ⁠用单项式去乘多 项式的每一项，再把所得的积相加． （3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多 项式的每一项，再把所得的积相加． （4）整式的乘法公式 ①平方差公式：（a＋b）（a－b）= ⁠； ②完全平方公式：（a±b）2= ⁠ 系数　 相同字母的 幂　 分配律　 a2－b2　 a2±2ab＋b2　 8. 整式的乘法 返回目录 例8. 计算： 　　（1）2x∙（－3xy）= ⁠； 　　（2）2a∙（a2－3b）= ⁠； 　　（3）（a－1）（a＋2）= ⁠； 　　（4）（3a＋2）（3a－2）= ⁠； 　　（5）（2m－3）2= ⁠； 　　（6）（2m＋3）2= ⁠． －6x2y 2a3－6ab a2＋a－2 9a2－4　 4m2－12m＋9　 4m2＋12m＋9　 返回目录 9. 整式的除法 （1）单项式相除，把 、 ⁠分别相除后，作为 商的因式；对于只在 ⁠里含有的字母，则连同它的指数 作为商的一个因式． （2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项 式，再把所得的商相加 系数　 同底数幂　 被除式　 返回目录 例9. 计算： 　　（1）2a7÷a3= ⁠； 　　（2）（6ab＋8b）÷2b= ⁠． 2a4 3a＋4 返回目录 10. 因式分解 把一个多项式化成几个 ⁠的积的形式，这种变形叫做因式 分解 整式 例10. 下列从等号左边到右边的变形，是因式分解的是 （　D　） A． 12a2b=3a∙4ab B． （x＋3）（x－3）=x2－9 C． 4x2＋8x－1=4x（x＋2）－1 D． x2＋3x－4=（x－1）（x＋4） D 返回目录 11. 因式分解的方法 （1）提公因式法：ma＋mb＋mc=m（a＋b＋c）． （2）公式法： ①平方差公式：a2－b2= ⁠； ②完全平方公式：a2±2ab＋b2= ⁠ （a＋b）（a－b） （a±b）2 返回目录 例11. 下列因式分解正确的是 （　A　） A． 2x2＋4xy=2x（x＋2y） B． 4a2－4ab＋b2=2（a－b）2 C． x3－x=x（x2－1） D． 3x2－5xy＋x=x（3x－5y） A 返回目录 重点突破 【考点突破】整式的混合运算——化简求值 得分点分析 1. （2020∙广东）先化简，再求值：（x＋y）2＋（x＋y）（x－ y）－2x2，其中x= ，y= ． 解：原式=x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x24分（用完全平方公式、平 方差公式去括号各得2分） =2xy．5分（合并同类项得1分） 当x= ，y= 时， 原式=2× × =2 ． 7分（代入数值得1分，计算结果得1分） 返回目录 温馨提示：此类考题一般见于广东省中考数学试卷的第17题，分 值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全 对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】不熟悉整式的乘法公式和去括号法则 2. 某同学化简（x＋2y）2－（2x＋y）（2x－y）解答过程如 下： 解：原式=x2＋2xy＋4y2－（4x2－y2） （第一步） =x2＋2xy＋4y2－4x2－y2（第二步） =－3x2＋2xy＋3y2.（第三步） （1）该同学解答过程从第几步开始出错？错误原因是什么？ 解：（1）从第一步开始出错，错误原因是完全平方公式用错． 返回目录 （2）第二步去括号的依据是什么？ 解：（2）第二步去括号的依据是乘法分配律． （3）请帮他写出此题正确的解答过如下． 解：（3）正确的解答过程为： 原式=x2＋4xy＋4y2－（4x2－y2） =x2＋4xy＋4y2－4x2＋y2 =－3x2＋4xy＋5y2. 返回目录 3. （中考创新，原创题）已知a，b，c均为正数，且a＋b=8，c －a=3. 考点种子：基本概念 （1）分解因式：4（a－b）2－（a＋b）2= ⁠ ⁠； （a－3b）（3a－ b） 【生长式突破】知识生长→综合创新 返回目录 考点生长：化简求值 （2）先化简，再求值：（a＋c）（a－c）＋c（c＋2）－（a ＋1）2； 解：原式=a2－c2＋c2＋2c－（a2＋2a＋1） =a2－c2＋c2＋2c－a2－2a－1 =2c－2a－1. 当c－a=3时， 原式=2（c－a）－1=2×3－1=5. 返回目录 考点成树：综合创新 （3）若a，b，c是△ABC的三边，且满足a2－b2－ac＋bc=0， 试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：△ABC是等腰三角形． 理由：∵a2－b2－ac＋bc=0， ∴（a2－b2）－（ac－bc）=0. ∴（a＋b）（a－b）－c（a－b）=0. ∴（a－b）（a＋b－c）=0. ∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a＋b＞c，即a＋b－c＞0. ∴a－b=0，即a=b． ∴△ABC是等腰三角形． 返回目录 中考演练 1. （2024∙广东题5）下列计算正确的是（　D　） A． a2∙a5=a10 B． a8÷a2=a4 C． －2a＋5a=7a D． （a2）5=a10 2. （2025∙广东题11）因式分解：a2b＋ab2= ⁠． 3. （2023∙广东题11）因式分解：x2－1= ⁠ ⁠． 4. （2020∙广东题12）如果单项式3xmy与－5x3yn是同类项，那么 m＋n= ⁠． D ab（a＋b） （x＋1）（x－ 1） 4 返回目录 1. （2025∙湖北）下列运算的结果为m6的是（　C　） A． m3＋m3 B． m2∙m3 C． （m2）3 D． m4÷m2 2. （2025∙吉林）计算（2a2）3的结果为（　D　） A． 2a5 B． 2a6 C． 8a5 D． 8a6 3. （2025∙深圳）下列计算正确的是（　B　） A． a2＋a4=a6 B． a3∙a3=a6 C． （a2）3=a5 D． （a＋b）2=a2＋b2 C D B 返回目录 4. （2025∙烟台）下列计算正确的是（　B　） A． 2x2＋x3=3x5 B． 2x2∙x3=2x5 C． 2x3÷（－x2）=2x D． （2x2）3=2x6 5. （2025∙广西）因式分解：a2－1=（　A　） A． （a＋1）（a－1） B． a（a＋1） C． （a＋1）2 D． （a－1）2 6. （2025∙南充）计算：a（a－3）－a2= ⁠． 7. （2025∙烟台）因式分解：2x2－12xy＋18y2= ⁠ ⁠． B A －3a 2（x－3y） 2 返回目录 8. （2025∙内江）已知实数a，b满足a＋b=2，则a2－b2＋ 4b= ⁠． 9. （2025∙长春）先化简，再求值：（1＋x）2－2x，其中 x= ． 解：原式=1＋2x＋x2－2x =x2＋1. 当x= 时，原式=（ ）2＋1=4. 4 返回目录 10. （2025∙湖南）先化简，再求值：（x＋2）（x－2）＋x（1－ x），其中x=6. 解：原式=x2－4＋x－x2 =x－4. 当x=6时，原式=6－4=2. 返回目录 命题预测 （中考创新题）定义：a，b，c为正整数，若c2=a2＋b2，则称c 为“完美勾股数”，a和b为c的“伴侣勾股数”．如132=52＋ 122，则13是“完美勾股数”，5和12是13的“伴侣勾股数”． （1）判断填空：数17 ⁠ “完美勾股数”；（填“是”或 “不是”） 是 返回目录 （2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2－6a－8b－ 10c＋50=0. 求证：c是“完美勾股数”． （2）证明：∵a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50=0， 整理，得a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c2－10c＋25=0. ∴（a－3）2＋（b－4）2＋（c－5）2=0. ∴a=3，b=4，c=5. ∵52=32＋42， ∴c是“完美勾股数”． 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预 测2026年广东中考命题方向可能注重整式基本概念的考查，加 强整式混合运算与函数（或几何）的综合应用；强调创新思 维，如设置改错类或生长类的创新题型；全面考查学生的算 法、算理，运算能力、推理能力和解决问题的能力，促进学生 数学思维的发展． 返回目录 谢 谢 ! 返回目录 $第一部分 基础梳理 第一章 数 与 式 第4课时　二 次 根 式 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 1. （广东真题）不等式 3x－1≥x＋3 的解集是（　D　） A． x≤4 B． x≥4 C． x≤2 D． x≥2 D 返回目录 2. （广东真题）如图1－4－1，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那 么∠B的度数为（　C　） A． 70° B． 100° C． 110° D． 120° 图1－4－1　　　　　 C 返回目录 图1－4－2 3. （广东真题）如图1－4－2，在平面直角坐标系中，点A的坐标 为（4，3），那么 cos α的值是（　D　） A． B． C． D． D 返回目录 4. （广东真题）袋中有同样大小的4个小球，其中3个红色，1个白 色．从袋中任意地同时摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是 （　A　） A． B． C． D． A 返回目录 5. （广东真题）如图1－4－3，三个小正方形的边长都为1，则图 中阴影部分面积的和是 　 　．（结果保留π） 图1－4－3 返回目录 课标解读 内容 课标要求 二次根 式 ①了解二次根式、最简二次根式的概念 ②了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运 算法则，会用它们进行简单的四则运算 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：八下第十六章　二次根式 北师：八上第二章　实数（2.7二次根式） 返回目录 1. 二次根式 （1）形如 的式子，叫做二次根式． 注意 的双重非负性：a 0； ⁠0. （2）最简二次根式：同时满足条件①被开方数不含分母；②被开 方数中不含能开得尽方的因数或因式． （3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被 开方数 ⁠，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 ≥ ≥ 相同 返回目录 例1. （1）如果二次根式 有意义，那么 x 的取值范围 是 ⁠； （2）下列根式是最简二次根式的是（　B　） A． B． C． D． （3）已知最简二次根式 与 是同类二次根 式，则a的值为 ⁠． x≥－4 B －1 返回目录 2. 二次根式的性质 （1）（ ）2= ． （2） = = （3） =  （a≥0，b≥0）． （4） = 　 　（a≥0，b＞0 ） a ∙ 返回目录 例2. 计算： 　　（1） = ⁠； 　　（2）2= ⁠； 　　（3） = 　； 　　（4） = 　 　． 6 5 4 返回目录 3. 二次根式的乘除 （1）二次根式的乘法： ∙ = 　 　（a≥0，b≥0）． （2）二次根式的除法： = 　 　（a≥0，b＞0） 返回目录 例3. 计算： 　　（1） × = ⁠； 　　（2） = ⁠． 6 3 返回目录 4. 二次根式的加减 先把各个二次根式化成 ，再把 ⁠ ⁠分别合并 最简二次根式 被开方数相同 的二次根式 例4. 计算 ＋ － 的结果为 　2 　． 2 返回目录 5. 分母有理化 将二次根式中的分母（分母含有无理数）化为有理数的过程，也 就是将分母中的根号化去 例5. 分母有理化： = 　 　． 返回目录 6. 二次根式的估值 （1）先对二次根式进行平方，如（ ）2=6； （2）找出与平方后所得数相邻的开得尽方的整数，如4＜6＜9； （3）对以上两个整数开方，如 =2， =3； （4）确定这个根式的值在开方后所得的两个数之间，如2＜ ＜3 返回目录 例6. 已知m= ＋ ，则以下对m的估算正确的是（　C　） A． 2＜m＜3 B． 3＜m＜4 C． 4＜m＜5 D． 5＜m＜6 C 返回目录 重点突破 【考点突破】二次根式的混合运算 得分点分析 1. （北师八上P45随堂练习）计算： × ． 解：原式= × ＋ × 2分（用乘法分配律去括号得2分） = ＋ 4分（运用二次根式的乘法 ∙ = 得2分） =9＋1 6分（化简得2分） =10. 7分（计算结果得1分） 返回目录 温馨提示：此类考题可能见于广东省中考数学试卷的第16题，分 值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全 对，评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 2. 在计算 ×2 － ÷ 时，小明的解题过程如下： 解：原式=2 － 　① =2 － ② =（2－1） ③ = ．④ 【易错点突破】未成正确掌握二次根式加减法的运算法则 返回目录 （1）请你指出小明从第 ⁠ 步开始出错的；错误的原因 是 ⁠ ⁠； （2）以上第①步的化简中由“ ÷ ”化为“ ”所依据 的数学公式是______________________________; ③ 进行二次根式加减法时没化成最简同类二次根式进行合 并 = （a≥0，b＞0） 返回目录 （3）请你给出正确的解题过程． 解：（3）正确的解题过程如下： 原式=2 － =2 － =6 －2 =4 ． 返回目录 3. （中考创新，原创题）已知二次根式 ， ， ， ，解答以下问题： 考点种子：基本概念 （1）填空： ①上述二次根式中，属于最简二次根式的是 　 　； 【生长式突破】知识生长→综合创新 返回目录 ②计算： × = = ⁠，所依据的数学公式 为 ⁠； 5 × = （a≥0，b≥0） 返回目录 考点生长：混合运算 （2）计算： ＋ ÷ ； 解：原式= ＋2　 ÷ = ＋2 ÷ = ＋2 × = ． 返回目录 考点成树：综合创新 （3）如图1－4－4，在数轴上作一个直角三角形，垂直于数轴的 直角边长为2，以数轴上表示－1的点为圆心，直角三角形的最长 边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，若点A表示的数为x． ①填空：x= ⁠； ②求代数式 － 的值． －1 　图1－4－4 返回目录 解：②由①，得x= －1， ∴ － = － = － = － = ． 返回目录 中考演练 1. （2020∙广东题5）若式子 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（　B　） A． x≠2 B． x≥2 C． x≤2 D． x≠－2 B 返回目录 2. （2021∙广东题8）设6－ 的整数部分为a，小数部分为 b，则（2a＋ ）b的值是（　A　） A． 6 B． 2 C． 12 D． 9 A 返回目录 3. （2025∙广东题3）计算 × 的结果是（　B　） A． 3 B． 6 C． D． 2 4. （2023∙广东题12）计算： × = ⁠． B 6 返回目录 1. （2025∙福建）若 在实数范围内有意义，则实数x的值 可以是（　D　） A． －2 B． －1 C． 0 D． 2 2. （2025∙兰州）计算： × =（　B　） A． 6 B． C． D． 1 D B 返回目录 3. （2024∙南通）计算 × 的结果是（　B　） A． 9 B． 3 C． 3　 D． 4. （2025∙河北）计算：（ ＋ ）（ － ）= （　B　） A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 B B 5. （2024∙济宁）下列运算正确的是（　B　） A． ＋ = B． × = C． 2÷ =1 D． =－5 B 返回目录 6. （2025∙绥化）若式子 有意义，则x的取值范围是 ⁠ ⁠． 7. （2025∙自贡）计算： －3 = ⁠． 8. （2024∙南京）计算： = 　． x＞ －1 0 2 返回目录 9. （2025∙甘肃）计算： － × ． 解：原式=2 － = ． 返回目录 10. （2025∙青岛）计算： －0. 解：原式= ＋ －1 =3＋5－1 =7. 返回目录 命题预测 （中考创新题）小明在解决问题：已知a= ，求a2－4a＋1的 值．他是这样分析与解答的： ∵a= = =2－ ，∴a－2=－ ． ∴（a－2）2=3，即a2－4a＋4=3.∴a2－4a=－1. ∴a2－4a＋1=－1＋1=0. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： = 　 －1　； －1 返回目录 （2）计算： ＋ ＋ ＋…＋ ； 解：（2） ＋ ＋ ＋…＋ = ＋ ＋…＋ = －1＋ － ＋…＋ － =－1＋ =9. 返回目录 （3）若a= ，求4a2－8a＋1的值． 解：（3）∵a= = = ＋1， ∴a－1= ． 返回目录 ∴（a－1）2=2，即a2－2a＋1=2. ∴a2－2a=1. ∴4a2－8a＋1 =4（a2－2a）＋1 =4×1＋1 =5. 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能更注重考查学生对二次根式概念的 理解和运用，加强算理算法的考查，可能会增加改错题的考查． 　　 返回目录 谢 谢 ! 返回目录 $第一部分 基础梳理 第一章 数 与 式 第3课时　分式及其运算 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 1. （广东真题） =（　B　） A． －2 B． 2 C． － D． 2. （广东真题）已知实数a，b，若a＞b，则下列结论正确的是 （　D　） A． a－5＜b－5 B． 2＋a＜2＋b C． ＜ D． 3a＞3b 3. （广东真题）下列图形中有稳定性的是（　A　） A． 三角形 B． 平行四边形 C． 长方形 D． 正方形 B D A 返回目录 4. （广东真题）计算：2x3÷x= ⁠． 5. （广东真题）如图1－3－1，在△ABC中，D，E分别是边 AB，AC的中点，若BC=6，则DE= ⁠． 2x2 3 图1－3－1 返回目录 课标解读 内容 课标要求 分式 ①了解分式和最简分式的概念 ②能利用分式的基本性质进行约分和通分 ③能对简单的分式进行加、减、乘、除运算 返回目录 知识梳理 对接教材　人教：八上第十五章　分式 北师：八下第五章　分式与分式方程 返回目录 1. 分式 一般地，用A，B 表示两个整式，A÷B 可以表示成 的形式． 如 果 B 中含有 ，那么称 为分式，其中 A 称为分式的分子， B 称为分式的分母 字母 返回目录 例1. 下列各式是分式的有 ⁠．（填序号） 　　 ① ；② ；③ x＋y；④ ． 　　考点复习 广东省对应考点例题 2. 分式意义 ①④ 返回目录 例2. （1）若分式 有意义，则 x 应满足 ⁠； 　　（2）若分式 的值为0，则x= ⁠； 　　（3）当 x= 时，分式 没有意义． x≠5　 1 3 返回目录 3. 分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个 不等于零的整式，分式的值不变． = ， = （C≠0） （2）分式的变号法则： =－ =－ = 返回目录 例3. 填空： 　　（1） = ； 　　（2） = ； 　　（3） = ． 返回目录 4. 约分与通分 （1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称 为分式的约分． 约分的关键是确定分式的分子、分母的 ⁠ ⁠． （2）通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的 分式，这一过程称为分式的通分． 通分的关键是确定几个分式 的 ⁠ 最大公 因式 最简公分母 返回目录 例4. （1）约分： 　　 = 　 　； 　　（2）通分： 　　 与 ， = 　 　， = 　 　． 返回目录 5. 分式的加减运算 同分母： ± = 　 ⁠ 异分母： ± = 　 　± 　 　= 　 ⁠ 返回目录 例5. 计算： （1） ＋ = ⁠； 　　 （2） － = 　 　． 2　 返回目录 6. 分式的乘除运算 乘法： ∙ = 　 ⁠ 除法： ÷ = 　 　∙ 　 　= 　 ⁠ 返回目录 例6. 计算： 　　（1） ∙ = 　 　； 　　（2） ÷ = ⁠． －x　 返回目录 7. 分式的乘方运算 n= 　 　（n为正整数） 例7. 计算：3= 　 　． 返回目录 重点突破 【考点突破】分式的化简求值 得分点分析 1. （2024∙深圳）先化简，再代入求值： ÷ ， 其中a= ＋1. 解：原式= ÷ 2分（通分得1分，因式分解得1分） = ∙ 4分（计算分式的减法得1分，除法化为乘法得1分） = ． 5分（约分得1分） 当 a= ＋1时，原式= = = ． 7分（代入数值得1分，计算结果得1分） 返回目录 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第17题，分值 一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对， 评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】臆造除法分配律 2. 以下是小淇解答试题的过程： 化简： ÷ ． 解：原式= ÷ ＋ ÷ （第一步） = ∙ ＋ ∙（x＋1）（第二步） =x－1＋3（第三步） =x＋2.（第四步） 返回目录 （1）小淇的解答过程是从第几步开始出现错误的，错误的原因是 什么？ 解：（1）小淇的解答过程是从第一步开始出现错误的；错误的 原因是臆造除法分配律，应该先计算小括号里的，再计算括号外 的除法． 返回目录 （2）在分式计算中，通分的依据是什么？请你写出正确的解 答过程． 解：（2）通分的依据是分式的基本性质． 正确的解答过程如下： 原式= ÷ = ÷ = ∙ = ． 返回目录 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）已知P= ，Q= ，M= ． 考点种子：基本概念 （1）当x 时，P有意义；当x 时，Q无意义；当 x 时，M没有意义； ≠2 =－2 =±2 返回目录 考点生长：化简求值 （2）①化简：（P－Q）÷M； ②若x是不等式组 的整数解，求（P－Q）÷M的 值； 返回目录 解：①（P－Q）÷M= ÷ = ÷ = ∙ = ． 返回目录 ②解不等式3＋2x≥1，得x≥－1. 解不等式3－ x＞1，得x＜4. ∴不等式组的解集是－1≤x＜4. ∴它的所有整数解是－1，0，1，2，3. 返回目录 由①得（P－Q）÷M= ． ∵分式P= ，Q= ，M= ，（P－Q）÷M= 都要有意 义， ∴ 解得x≠0且x≠±2. ∴当x=－1时，原式= =－4； 当x=1时，原式= =4； 当x=3时，原式= ． ∴（P－Q）÷M的值为－4或4或 ． 返回目录 考点成树：综合创新 （3）在数学综合实践课上，谢老师提出如下问题：我们可以利用 通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，相反，我们是否也 可以将一个分式表示成两个分式和的形式呢？ 例如分式 = 　　　　＋ 　　　　．小明同学利用待定系 数法解答如下： 返回目录 解：设分式 = ＋ ，只需求出A，B的值即可． ∵ ＋ = ＋ = ， ∴ = ． ∴A＋B=－1，A=1. ∴B=－2. ∴ = ＋ = － ． 返回目录 请根据以上材料，解决以下问题：是否存在实数C，D，使分式 M可表示成分式CP与分式DQ的差？若存在，请求出实数C，D 的值． 解：存在． ∵P= ，Q= ，M= ， 依题意，得M=CP－DQ，即 = － ． 返回目录 ∵ － = － = ， ∴ = ． ∴C－D=1，C＋D=0. ∴C= ，D=－ ． 返回目录 中考演练 1. （2023∙广东题5）计算 ＋ 的结果为（　C　） A． B． C． D． 2. （2024∙广东题14）计算： － = ⁠． （2023∙广东题5） C （2024∙广东题14） 1 返回目录 解：原式=a＋ =a＋a＋1 =2a＋1. 当a=5时，原式=2×5＋1=11. 3. （2022∙广东题17）先化简，再求值：a＋ ，其中a=5. 返回目录 1. （2025∙贵州）若分式 的值为0，则实数x的值为（　A　） A． 2 B． 0 C． －2 D． －3 2. （2025∙新疆）计算： － =（　A　） A． 1 B． x－2y C． D． 3. （2025∙河南）化简 － 的结果是（　A　） A． x＋1 B． x C． x－1 D． x－2 A A A 返回目录 4. （2025∙天津）计算 ＋ 的结果等于（　A　） A． B． C． D． 1 5. （2025∙南充）已知 = = =2，则 的值是 （　D　） A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 6. （2025∙山东）写出使分式 有意义的x的一个值为 ⁠ ⁠． A D 2（答案 不唯一） 返回目录 7. （2025∙湖南）约分： = ⁠． 8. （2025∙深圳）计算： － = ⁠． x2 a－1 返回目录 9. （2025∙凉山州）先化简，再求值：1－ ÷ ．求值 时请在－2≤x≤2内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 解：原式=1－ ∙ =1－ = =－ ． ∵x≠0，x＋2≠0，x－2≠0， ∴x≠0，x≠±2. ∴x取1. 当x=1时，原式=－ =4.（答案不唯一） 返回目录 10. （2025∙遂宁）先化简，再求值： ÷ ， 其中a满足a2－4=0. 解：原式= ∙ = ∙ = ． ∵a2－4=0，a－2≠0， ∴a=－2. 当a=－2时，原式= = ． 返回目录 命题预测 （中考创新题）下面是学完分式化简后小明同学进行分式化简的 过程，请认真阅读并完成下列任务． 解： ÷ = ÷ （第一步） = ∙ （第二步） = ∙ （第三步） = ∙ （第四步） = ．（第五步） 返回目录 任务： （1）第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ⁠ ⁠； 三 去括号 时，括号前面为负号，括号里面的数值符号没有都变号 返回目录 （2）写出正确的化简过程； 解：（2）正确的化简过程如下： 原式= ÷ = ∙ = ∙ = ∙ = ． 返回目录 （3）请从－2，－1，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求 值． 解：（3）∵x－1≠0，x＋1≠0且x＋2≠0， ∴x≠1，x≠－1且x≠－2.∴x取2. 当x=2时，原式= =0. 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能注重分式基本概念的理解，如分式 有意义的条件、分式值为零的条件等；加强分式的运算能力考 查，包括分式的加减乘除及混合运算；侧重分式的化简求值，注 重考查学生的算法、算理和步骤改错等的考查． 返回目录 谢 谢 ! 返回目录 $第一部分 基础梳理 第一章 数 与 式 第1课时 实数及其运算 返回目录 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 返回目录 课前循环练 （3个选择＋2个填空，训练中考客观题准确度与速度） 1. （广东真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著 《九章算术》中． 如果把收入5元记作＋5元，那么支出5元记作 （　A　） A． －5元 B． 0元 C． ＋5元 D． ＋10元 2. （广东真题）计算22的结果是（　D　） A． 1 B． C． 2 D． 4 A D 返回目录 3. （广东真题）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384 000 km外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接． 数据384 000用科学记数法表示为（　B　） A． 3.84×104 B． 3.84×105 C． 3.84×106 D． 38.4×105 B 返回目录 4. （广东真题）若 ＋ =0，则 （a＋b）2 025= ⁠． 5. （广东真题）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图1－1 －1所示，则a＋b ⁠0. （填“＞”“＜”或“=”） 图1－1－1 　　　　　　　　 1 ＞ 返回目录 课标解读 　（2022版） 内容 课标要求 有理 数 ①理解负数的意义；理解有理数的意义，能用数轴上的点 表示有理数，能比较有理数的大小 ②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的 相反数和绝对值的方法 ③理解乘方的意义 ④掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算 （以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算 律简化运算 ⑤能运用有理数的运算解决简单问题 返回目录 内容 课标要求 实数 ①了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成， 了解实数与数轴上的点一一对应 ②能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小 ③能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相 反数和绝对值 ④了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表 示数的平方根、算术平方根、立方根 返回目录 内容 课标要求 实数 ⑤了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完 全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数 （及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和 立方根 ⑥能用有理数估计一个无理数的大致范围 ⑦了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似 计算，会按问题的要求进行简单的近似计算 ⑧会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示） 返回目录 知识梳理 （学生预习完成，教师课堂精准点拨） 对接教材　人教：七上第一章　有理数；七下第六章　实数 北师：七上第二章　有理数及其运算；八上第二章　实数 返回目录 重点突破 1. 正数和负数 （1）大于 的数是正数，小于 的数是负数． ⁠既不 是正数，也不是负数． （2）常用正数和负数表示一组具有 ⁠意义的量． 如收入 （＋）与支出（－），零上（＋）与零下（－）等 0 0 0 相反 返回目录 例1. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作＋10件，那么出 货5件应记作 ⁠件． －5 返回目录 2. 实数 （1）实数的分类 实数 返回目录 （2）常见无理数的表现形式：①开方开不尽的数，如 ；②π 及化简后含π的数，如3π；③某些三角函数值，如 sin 45°；④具 有特定结构的数，如0.101 001 000 1…（相邻两个1之间依次多一 个0） 返回目录 例2.将下列各数填在相应的集合里： 　　① ；②π；③ 0；④ 3.141 5； 　　⑤ 0.456；⑥－ ；⑦ － ； 　　⑧ ；⑨ ． 　　有理数集合：{ ⁠}； 　　无理数集合：{ ⁠}； 　　正实数集合：{ ⁠}； 　　整数集合：{ ⁠}． ①③④⑤⑥⑧　 ②⑦⑨　 ①②④⑤⑧⑨　 ③⑧　 返回目录 3. 数轴 规定了 、 、 ⁠的直线叫做数轴， 实数与数轴上的点是一一对应的 原点 单位长度 正方向 返回目录 例3. 下列是数轴的是（　D　） A． B． C． D． D 返回目录 4. 相反数 如果两个数只有 ⁠不同，那么称其中一个数为另一个数的 相反数，也称这两个数互为相反数． 特别地，0 的相反数还是 0；a＋b=0⇔a，b 互为相反数；在数轴上，表示互为相反数的两 个点位于原点两侧，且到原点的距离 ⁠ 符号 相等 返回目录 例4. （1）8的相反数是 ⁠； 　　（2）0的相反数是 ⁠； 　　（3）－3的相反数是 ⁠． －8 0 3 返回目录 5. 绝对值 在数轴上，一个数对应的点与原点的 ⁠叫做这个数的绝 对值． = 互为相反数的两个数的绝对值 ⁠ 距离 相等 返回目录 例5. （1）4的绝对值是 ⁠； 　　（2）0的绝对值是 ⁠； 　　（3）－0.5的绝对值是 ⁠． 4 0 0.5 返回目录 6. 倒数 如果两个数的乘积为 ⁠，那么称其中一个数是另一个数的倒 数，也称这两个数互为倒数． 用数学语言表述为：若a∙b=1，则 a，b互为倒数． 特别地，1和－1的倒数还是它们本身， ⁠没 有倒数 1 0 返回目录 例6. （1）7的倒数是 　 　； 　　（2） 的倒数是 　 　； 　　（3）－0.2的倒数是 ⁠． －5 返回目录 7. 实数的大小比较 （1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的 ⁠． （2）正数 0，负数 0，正数 ⁠负数；两个 负数比较大小，绝对值大的反而小． （3）用求差法比较大小： ①若a－b＞0 ，则 a b；②若 a－b=0，则 a b； ③若a－b＜0，则 a b 大 大于 小于 大于 ＞ = ＜ 返回目录 例7. 比较两个数的大小（填“＞”或“＜”）： 　　（1）0 ⁠－5； 　　（2）－ － ； 　　（3）2 ⁠3； 　　（4）－2 －3 ． ＞ ＞ ＜ ＜ 返回目录 8. 实数的运算 （1）实数运算法则：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减； 有括号的要先算括号内的；若没有括号，在同级运算中，要从左 到右依次进行． （2）常见的运算： ①零指数幂：a0= （a≠0）； ②负整数指数幂：a－p= 　 　 （a≠0，p 为正整数）； ③乘方：an=a∙a∙…∙a（n个a相乘），其中a是底数，n是指数； ④－1的奇偶次幂：－1的奇数次幂为 ⁠，－1的偶数次幂 为 ⁠ 1 －1 1　 返回目录 例8. 计算：（－1）2 025＋－2－（3－π）0＋（－1）2 024． 　　解：原式=－1＋4－1＋1 =3. 返回目录 9. 非负数的性质 ≥0；a2≥0； ≥0. 若 ＋ ＋c2=0，则a=0，b=0，c=0 例9. 若 与 互为相反数，则xy的值是 ⁠． 6 返回目录 10. 平方根、算术平方根及立方根 名称 定义 表示方法 性质 平方 根 如果一个数的平方 等于a，那么这个 数叫做a的平方根 ± （a≥0） 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 算术 平方 根 如果一个正数的平 方等于a，那么 这个正数叫做a的 算术平方根 （a≥0） 正数的算术平方根是正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根 立方 根 如果一个数的立方 等于a，那么这个 数叫做a的立方根 （a取 全体实 数） 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数 返回目录 例10. （1）实数4 的平方根是（　C　） A． ±16 B． 16 C． ±2 D． 2 （2）实数 5 的算术平方根是（　A　） A． B． 25 C． ±25 D． ± C A （3）－8的立方根是（　B　） A． 2 B． －2 C． D． － B 返回目录 11. 科学记数法与近似数 （1）对于一些绝对值较大的数或较小的数 N，我们都可以用科学 记数法将它们表示为 的形式，其中 ⁠ ． 当 ≥10时，n为 且等于N的整数位数减1； 当0＜ ＜1时，n为 且 n 的绝对值等于N的左起第一 个非0数字前所有0的个数． （2）接近准确数但不等于准确数的数称为近似数． 一个近似 数 ⁠到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位 a×10n 1≤ ＜ 10 正整数 负整数 四舍五入 返回目录 例11. （1）我国自主研发的500 m口径球面射电望远镜（FAST） 有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250 000 m2. 用科学记 数法表示数据250 000为（　D　） A． 0.25×106 B． 25×104 C． 2.5×104 D． 2.5×105 D 返回目录 （2）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为 ，它与π 的误差小于0.000 000 3，则0.000 000 3用科学记数法表示 为 ⁠； （3）7.958≈ ⁠（精确到0.1）； 3.141 59≈ ⁠（精确到千分位）． 3×10－7 8.0 3.142 返回目录 中考演练 （中考核心例题） 1. （2024∙广东）计算：20× ＋ －3－1． 解：原式=1× ＋2－ 4分（零指数幂、绝对值、算术平方根、负 指数幂的化简各得1分） = ＋2－ 5分（计算乘法得1分） =2.7分（计算结果得2分） 【考点突破】实数的运算 得分点分析 返回目录 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第16题，分值 一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对， 评卷老师是分步给分的哦! 返回目录 【易错点突破】不依照运算法则，不理解负指数的概念 2. 阅读后回答问题： 计算：（2 025－π）0÷ ×（－5）－1． 解：原式=1÷ （第一步） =1÷（－4）（第二步） =1× （第三步） =－ ． （第四步） 返回目录 （1）上述的解法从哪一步开始出错？错误的原因是什么？ 解：（1）从第一步开始出错． 错误的原因： ①运算顺序不对（或在同级运算中，没有按照从左到右的运算顺 序进行运算）； ②负指数的计算错误． （2）第三步的运算依据是什么？ 解：（2）第三步的运算依据是：除以一个数，等于乘以它的 倒数． 返回目录 （3）请你写出正确的计算过程． 解：（3）正确的计算过程如下： 原式=1× × =1× × = ． 返回目录 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）已知a，b互为相反数，c，d互为倒 数，请解答以下各题： 考点种子：基本概念 （1）填空：a＋b= ，cd= ⁠； 0 1 返回目录 考点生长：实数运算 （2）计算：－cd－（3.14－π）a＋b＋ ； 解：原式=－1－（3.14－π）0＋ =－3－1＋3 =－1. 返回目录 考点成树：综合创新 （3）若m是绝对值最小的数，n是最小的正整数，如图1－1－2 所示，数轴上表示数（m＋n）， ，（a＋b）的三个数 的对应点分别为A，B，O，沿过点A的直线折叠，使点B落在数 轴上点C处，设点C所表示的数为x，求x的值． 　图1－1－2 返回目录 解：依题意，得m＋n=0＋1=1，cd=1，a＋b=0， ∴ = = ． ∴点A，B，O表示的数分别为1， ，0. ∵沿过点A的直线折叠，点B落在数轴上点C处， ∴AC=AB． ∵点A，B表示的数为1， ， ∴AB= －1. ∴AC=1－x= －1. ∴x=2－ ． 返回目录 命题预测 （中考核心素养训练） 1. （2025∙广东题1）某品牌乒乓球产品质量参数是2.74 g±0.02 g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02 g记作＋0.02 g，那么 低于标准质量0.02 g记作（　A　） A． －0.02 g B． ＋0.02 g C． －0.04 g D． ＋0.04 g 2. （2024∙广东题1）计算－5＋3的结果是（　A　） A． －2 B． －8 C． 2 D． 8 A A 返回目录 3. （2025∙广东题2）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动 方案（2024－2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超 过3 000亿元． 数据3 000亿用科学记数法表示为（　D　） A． 3×109 B． 3×1010 C． 30×1010 D． 3×1011 D 返回目录 4. （2025∙广东题14）计算20－2 sin 30°的结果是 ⁠． 5. （2023∙广东题16）计算： ＋ ＋（－1）2 023． 解：原式=2＋5－1 =6. 0 返回目录 1. （2025∙深圳）节约水5 t记作＋5 t，则浪费水2 t记作（　C　） A． －3 t B． ＋2 t C． －2 t D． ＋3 t 2. （2025∙湖南）下列四个数中，最大的数是（　A　） A． 3.5 B． C． 0 D． －1 C A 返回目录 3. （2025∙河南）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其 中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s，比蜗牛 爬行的速度还慢． 数据“0.000 074”用科学记数法表示为 （　C　） A． 0.74×10－4 B． 7.4×10－4 C． 7.4×10－5 D． 74×10－6 C 返回目录 4. （2025∙广安）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了 一个新数——无理数 ． 他的发现，在当时的数学界掀起了 一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”． 请估 计 的值在（　A　） A． 1和2之间 B． 2和3之间 C． 3和4之间 D． 4和5之间 A 返回目录 5. （2025∙北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图1－1－3 所示，下列结论中正确的是（　D　） 图1－1－3 A． a＞－1 B． a＋b=0 C． a－b＞0 D． ＞ D 返回目录 6. （2025∙浙江） ＋ = ⁠． 7. （2025∙烟台）实数3　 的整数部分为 ⁠． 8. （2025∙遂宁）实数m在数轴上对应点的位置如图1－1－4所 示，则m＋1 ⁠0. （填“＞”“=”或“＜”） 图1－1－4 2 4 ＜ 返回目录 9. （2025∙深圳）计算： ＋ ＋（π－3.14）0＋ （－1）2 025． 解：原式=4＋3＋1－1 =8－1 =7. 返回目录 10. （2025∙长沙）计算： ＋－1－（）2－（π－2 028）0. 解：原式=2 －1＋5－3－1 =2 ． 返回目录 命题预测 （对 2026年中考进行预测，创新题型） （中考创新题）计算：（π－2 026）0－2＋－1－ ． 解：原式=1－π＋π－2× =1－π＋π－1 =0. 返回目录 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能注重对实数基本概念的考查，如相 反数、绝对值、平方根、算术平方根、立方根、科学记数法等； 强调实数的运算，核心是考查实数的混合运算，常与绝对值、二 次根式、幂的运算、特殊锐角三角函数等结合在一起考查． 返回目录 谢 谢 ! 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