第七章 尺规作图与图形变换 习题课件 2026年中考数学一轮专题复习（广东）

该初中数学中考复习课件全面覆盖尺规作图核心考点，严格对接课标要求，梳理作线段、角、平分线、三角形等8类基础作图及综合应用，结合近三年广东中考真题分析考点权重，归纳作图与证明结合的常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题演练+素养提升”模式，精选广东2024年角平分线与切线证明等真题，通过推理能力培养突破复杂作图，如利用角平分线性质和平行线证切线，规范答题步骤。融入几何直观与空间观念，帮助学生掌握得分技巧，教师可依此高效规划复习，助力学生中考冲刺。

第一部分 知识梳理 第七章 尺规作图及图形变换 第25课时　投影与视图 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 课前循环练 1. （广东真题）以下问题不适合全面调查的是（　C　） A． 调查某班学生每周课前预习的时间 B． 调查某中学在职教师的身体健康状况 C． 调查全国中小学生课外阅读情况 D． 调查某校篮球队员的身高 C 2. （广东真题）如图7－25－1是由几个大小相同的小正方体搭成 的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个 数，则该几何体的左视图是（　A　） 图7－25－1 　　　 A 3. （广东真题）将抛物线y=x2－4x－4向左平移3个单位长度，再 向上平移5个单位长度，得到抛物线的函数表达式为（　D　） A． y=（x＋1）2－13 B． y=（x－5）2－3 C． y=（x－5）2－13 D． y=（x＋1）2－3 D 4. （广东真题）如图7－25－2，四边形ABCD内接于 ⊙O，AB为⊙O的直径，C为 的中点． 若∠A=40°，则 ∠B= ⁠°． 70 图7－25－2 5. （广东真题）某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的 洗衣机每台进价为a元，商店将进价提高20%后作为零售价进行销 售，一段时间后，商店又以九折优惠价促销，这时该型号洗衣机 的零售价为 ⁠元． 1.08a 课标解读 内容 课标要求 投影与 视图 ①通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念 ②会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯 视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单 的几何体 ③了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象 和制作模型 ④通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应 用 知识梳理 对接教材　人教：九下第二十九章　投影与视图 北师：七上第一章　丰富的图形世界；九上第五章　投影与视图 1. 投影 （1）中心投影：从 ⁠发出的光线所形成的投影称为中心 投影． （2）平行投影：由 ⁠光线所形成的投影称为平行投影． （3）正投影：平行光线与投影面 ⁠时，这种投影称为 正投影 一个点 平行 垂直　 例1. 小龙同学拿一个矩形木框在阳光下摆弄，矩形木框在地面上 形成的投影不可能是 （　D　） D 2. 三视图 视图：用 ⁠的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为 物体的视图． （1）主视图：从 ⁠得到的视图叫做主视图； （2）左视图：从 ⁠得到的视图叫做左视图； （3）俯视图：从 ⁠得到的视图叫做俯视图 正投影 正面 左面 上面 例2. 若某几何体的三视图如图7－25－3所示，则该几何体是 （　A　） A 图7－25－3 3. 三视图的画法 （1）画三视图要注意三个方面：主视图与俯视图 ⁠； 主视图与左视图 ；左视图与俯视图 ⁠ ⁠． 简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”． （2）注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用 虚线 长度相等 高度相等 宽度相 等 例3. 6个完全相同的正方体组成如图7－25－4所示的几何体，画出 该几何体的主视图和左视图（画在所给的方格中）． 答图7－25－1 图7－25－4 解：如答图7－25－1. 4. 几何体的展开与折叠 （1）常见几何体的展开图 长方体 圆柱 圆锥 正三棱柱 （2）正方体的展开图 ①“一四一”型 ②“二三一”型 ③“三三”型 ④“二二二”型 　　　　 　 例4. （1）下列展开图中，是正方体展开图的是（　C　） 　　 　　（2）下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（　D　） 　　 C D 　　（3）如图7－25－5是一个直三棱柱，试画出它的侧面展开 图，并求侧面展开图的面积． 　　 图7－25－5　　　 答图7－25－2 　　解：（3）直三棱柱的侧面展开图如答图7－25－2. 　　S侧面=（1.5＋2＋2.5）×3=18. 重点突破 【考点突破】三视图 1. （2025∙湖北）“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成 的，拟用于未来建造月球基地． 如图7－25－6是一种“月壤砖” 的示意图，它的主视图是（　B　） 图7－25－6　　　　 B 2. （2025∙河北）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图和俯 视图如图7－25－7，则其左视图为（　A　） 图7－25－7　　　 A 3. （2025∙浙江）底面是正六边形的直棱柱如图7－25－8，其俯视 图是（　A　） 图7－25－8　　　　 A 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的选择或填空 题，分值一般为3分． 【易错点突破】画三视图时，看得见的轮廓线要画成实线，看不 见的轮廓线要画成虚线 4. 如图7－25－9所示几何体的三种视图有没有错误（不考虑尺 寸）？如果有错误，请在图中改正． 图7－25－9 解：图7－25－9的主视图正确，左视图和俯视图有错误． 正确的三视图如答图7－25－3. 答图7－25－3 【生长式突破】知识生长→综合创新 5. （中考创新，原创题）如图7－25－10，某人行绿道上有两个 高度相同的路灯AB，CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光 下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的 底部C处． 晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路 灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处． 图7－25－10 知识种子：基本概念 （1）小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子属于 ⁠ ⁠投影，晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路 灯CD的灯光下自己的影子属于 ⁠投影； 平 行 中心 图7－25－10 种子生长：投影画图 （2）在图中画出小明的位置（用线段FG表示），并画出光线， 标出太阳光、灯光； 解：如答图7－25－4. 答图7－25－4 种子成树：综合创新 （3）若上午上学时，高1 m的木棒在太阳光下的影子为2 m，小明 身高为1.5 m，他离里程碑E的距离恰好为5 m，求路灯的高度． 解：∵上午上学时候高1 m的木棒的影子为2 m，小明身高为1.5 m， ∴小明的影长CF为3 m． ∵GF⊥AC，DC⊥AC，∴GF∥CD． ∴△EGF∽△EDC． ∴ = ，即 = ． 图7－25－10 解得CD=2.4. 答：路灯的高度为2.4 m． 中考演练 1. （2025∙广东题4）如图7－25－11是由5个大小相同的正方体组 成的立体图形，它的左视图是（　C　） 图7－25－11　　 （2025∙广东题4） C 2. （2021∙广东题6）如图7－25－12所示的图形中，是正方体展开 图的有（　C　） 图7－25－12 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 （2021∙广东题6） C 1. （2025∙长沙）如图7－25－13是由五个大小相同的正方体搭成 的几何体，它的左视图是（　A　） 图7－25－13　　　 A 2. （2025∙辽宁）下列几何体中，主视图为三角形的是（　A　） A 3. （2025∙广西）如图7－25－14是一个正三棱柱，则它的俯视图 是（　D　） 图7－25－14　　　　 D 4. （2025∙绥化）某几何体的三视图如图7－25－15，则这个几何 体是（　A　） A． 圆柱 B． 长方体 C． 圆锥 D． 四棱柱 图7－25－15　　　　　 A 5. （2025∙黑龙江）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何 体，它的主视图和俯视图如图7－25－16，那么组成该几何体所需 小正方体的个数最少是（　A　） A． 7 B． 8 C． 6 D． 5 A 图7－25－16　　　　　 6. （2023∙成都）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它 的主视图和俯视图如图7－25－17，则搭成这个几何体的小立方块 最多有 ⁠个． 7. （2025∙长春）图7－25－18①是一个正十二面体，它的每个面 都是正五边形，图②是其表面展开图，则∠α为 ⁠°． 6 36 图7－25－17 图7－25－18　　　　　 8. （2025∙潍坊）如图7－25－19，圆锥的底面圆心为O，顶点为 A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展 开图的面积为 ⁠． 8π 图7－25－19 9. （2025∙南通改编）如图7－25－20是一个几何体的三视图（单 位：cm），求这个几何体的底面圆的周长． 图7－25－20 解：由三视图，可判断这个几何体是圆锥． 该圆锥的底面半径为6÷2=3（cm）． ∴该几何体的底面周长为2×3π=6π（cm）． 10. （2023∙南京节选）如图7－25－21，玻璃桌面与地面平行，桌 面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂 直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计 折射），AB∥CD． 在桌面上沿着直线AB方向平移铅笔，试说明 CD的长度不变． 图7－25－21　　　　 解：如答图7－25－5，设AB平移到EF，EF在地面上形成的影 子为MN． ∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，△OEB∽△OMD， △OEF∽△OMN． ∴ = ， = ， = ． ∴ = ． ∵EF=AB，∴MN=CD． ∴在桌面上沿着直线AB方向平移铅笔， CD的长度不变． 答图7－25－5 命题预测 （中考创新，项目式学习） 数学综合与实践活动：901班测量校园小山坡护坡石坝的有关数据 活动1 　 图7－25－22 （1）如图7－25－22，测角小组用一根木条EF斜靠在护坡 石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到 ∠EFB=30°，那么石坝与地面的倾角∠α的度数是 ⁠ 60° 活 动2 （2）如图7－25－23，测高小组把一根长为4 m的竹竿AG 斜靠在石坝旁（点A在石坝顶部，点G在地面），若量出 竿长GM=1 m时，点M离地面的高度为0.5 m，求出护坡石 坝的垂直高度AH 实践活动总结归纳 （3）大家总结各组的方法后，设计了如图7－25－24所示的方 案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a m的杆子PD，杆子 与地面垂直，测得杆子的影子长为b m，点P到护坡石坝底部B 的距离为c m． 利用测角小组得到的倾角∠α的度数，请你用a， b，c表示出护坡石坝的垂直高度AH 解：（2）由题意，可得MN∥AH，∴△GMN∽△GAH． ∴ = ，即 = ．解得AH=2. 答：护坡石坝的垂直高度AH为2 m． （3）∵∠α=60°，AH⊥BH，∴tan∠α=tan 60°= = ． ∴BH= AH． ∴PH=PB＋BH=c＋ AH． ∵CD∥AP，∴∠C=∠APH． ∵DP∥AH， ∴∠CPD=∠PHA=90°．∴△CDP∽△PAH． ∴ = ，即 = ．解得AH= ． 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能会更加注重与实际生活的联系，通 过设置实际情境问题，考查学生对投影与视图知识的应用能力； 还可能会增加对空间想象力和几何直观能力的考查力度，也可能 会出现综合与实践类探究问题． 谢 谢 ! $第一部分 知识梳理 第七章 尺规作图及图形变换 第26课时　图形的对称、平移、旋转与折叠 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 课前循环练 1. （广东真题）已知反比例函数y= ，则下列描述不正确的是 （　D　） A． 图象位于第一、第三象限 B． 图象必经过点 C． 图象不可能与坐标轴相交 D． y随x的增大而减小 D 2. （广东真题）以如图7－26－1①（圆心为O，半径为1的半圆） 作为“基本图形”，分别经历如下变换，不能得到图7－26－1② 的是（　B　） A． 绕OB的中点旋转180°即可 B． 只要向右平移1个单位长度 C． 先以直线AB为对称轴进行翻折， 再向右平移1个单位长度 D． 先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位长度 B 　图7－26－1 3. （广东真题）如图7－26－2，将边长为4的等边三角形OAB先 向下平移3个单位长度，再将平移后的图形沿y轴翻折，经过两次 变换后，点A的对应点A′的坐标为（　C　） A． （2，3－2 ） B． （2，1） C． （－2，2 －3） D． （－1，2 ） 图7－26－2　　　　 C 4. （广东真题）如图7－26－3，沿直线AO将图形翻折，点B与点 C重合，点D与点E重合，则图中的全等三角形共有 ⁠对． 5. （广东真题）如图7－26－4，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折 叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处． 若∠B=60°， AB=3，则△ADE的周长为 ⁠． 4　 18 图7－26－3　　　　 图7－26－4 课标解读 内容 课标要求 图形的 轴对称 ①通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分 ②能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等） 关于给定对称轴的对称图形 ③理解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质 ④认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形 内容 课标要求 图形的 旋转 ①通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质：一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等 ②了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分 ③探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质 ④认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形 图形的 平移 ① 通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等 ② 认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用 ③ 运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计 知识梳理 对接教材　人教：七下第五章　相交线与平行线（5.4平移）； 八上第十三章　轴对称； 九上第二十三章　旋转 北师：七下第五章　生活中的轴对称；八下第三章　图形的平移 与旋转 1. 轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对 称轴 ，对应线段 ，对应角 ⁠ 垂直平分 相等 相等 例1. 如图7－26－5，四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′关于直线 l 对称，则 ∠B= ，AD= ⁠． 图7－26－5 ∠B′ A′D′ 2. 中心对称的性质 （1）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过 ⁠ 且被对称中心 ⁠． （2）中心对称的两个图形 ⁠． （3）中心对称的两个图形，其对应线段互相 ⁠（或在同一 直线上）且 ⁠ 对称中 心 平分 全等 平行 相等 例2. 如图7－26－6，若四边形 ABCD 与四边形 FGCE 成中心对 称，则它们的对称中心是 ，点 A 的对称点是 ⁠， 点 E 的对称点是 ， BD∥ 且 BD= ， 连接 AF 的线段经过 ，且被点C ⁠， △ABD≌ ⁠． 图7－26－6 　　 点C 点F 点D GE GE 点 C 平分 △FGE 3. 图形的平移 （1）平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离， 这样的图形运动称为平移． （2）平移的性质 ①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行 （或在一条直线上）且 ⁠；对应线段平行（或在一条直线 上）且 ，对应角 ⁠． 相等 相等 相等 （3）用坐标表示平移 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或左平移 a 个单位长 度，可得到对应点（x＋a，y）或（ ，y），将点 向上或下平移 b 个单位长度，可得到对应点（x， ⁠ ）或（x， ⁠） x－a y＋ b y－b 例3. 如图7－26－7，在边长为 1 的小正方形网格中，△AOB 的顶 点均在格点上． 　 图7－26－7 答图7－26－1 　　解：（2）如答图7－26－1，△A1O1B1即为所求． 　　（1）点B关于 y 轴的对称点坐标为 ⁠； 　　（2）将△AOB 向左平移 3 个单位长度得到△A1O1B1，请画 出△A1O1B1； 　　（3）在（2）的条件下，点A1 的坐标为 ⁠． （－2，2） （－2，3） 图7－26－7 4. 图形的旋转 （1）旋转：在平面内，将一个图形绕一个 ⁠按某个方向转 动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 这个定点称为 ⁠ ，转动的角称为 ⁠． （2）旋转的性质 ①旋转不改变图形的形状和大小； ②对应点到旋转中心的距离 ⁠； ③任意一组对应点与 ⁠的连线所成的角都等于旋转 角； ④对应线段 ，对应角 ⁠ 定点 旋转中 心 旋转角 相等 旋转中心 相等 相等 例4. 如图7－26－8，已知△ABC 三个顶点坐标分别是A（1， 3），B（4，1），C（4，4）． 　 答图7－26－2 图7－26－8　 （1）画出△ABC 向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； 解：（1）如答图7－26－2，△A1B1C1 即 为所求． 　　（2）画出△ABC 绕着原点 O 顺时针旋转 90° 后得到的 △A2B2C2. 　　解：　　（2）如答图7－26－2， △A2B2C2 即为所求． 答图7－26－2 5. 图形翻折的性质 （1）翻折后得到的图形与原图形形状相同、大小不变，并且对应 角、对应线段相等． （2）折痕所在的直线即为翻折前后两个图形的 ⁠． （3）翻折后，图形对应点所连的线段被对称轴垂直且平分 对称轴　 例5. 如图7－26－9，把△ABC沿EF翻折． 若∠A=60°， ∠1=80°，则∠2的度数为 ⁠． 图7－26－9 40° 重点突破 【考点突破】几何变换综合题 得分点分析 1. （2025∙苏州）综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究． 如图7－26－10，在 △ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，在△CDE中， ∠DCE=90°，∠E=30°，AB=CE=12 cm． 图7－26－10 【观察感知】 （1）如图7－26－10①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边 分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长；（结果保留根号） 图7－26－10 【探索发现】 （2）在图7－26－10①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕 点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图 7－26－10②）． ①求线段AD的长； （结果保留根号） ②判断AB与DE的位置 关系，并说明理由． 图7－26－10 解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB， ∴∠BAC=∠ABC=45°． .…………1分（利用等腰三角形性质及内角和得1分） ∵在△CDE中，∠DCE=90°，∠E=30°， ∴∠CDE=60°． ∴∠AFD=∠CDE－∠A=60°－45°=15°．.…………2分（利用三角形外角的性质定理得1分） 在Rt△ABC中，AC=AB∙ sin ∠ABC=12× =6 （cm）．.…………3分 （利用锐角三角函数得1分） 在Rt△CDE 中，CD=CE∙tan E=12× =4 （cm）．.………… 4分（利用 锐角三角函数得1分） ∴AD=AC－CD=（6 －4 ）cm．.………… 5分（得出AD的长得1分） （2）①如图7－26－11，过点C 作CG⊥DE，垂足为G．.………… 6分（作辅助线得1分） ∵在△CDG 中，∠CGD=90°， ∠CDE=60°，CD=4 cm， ∴DG=CD∙ cos ∠CDE=2 cm，.…………7分（利用 锐角三角函数得1分） CG=CD∙ sin ∠CDE=6 cm． .…………8分（利用锐角三角函数得1分） ∵在△CGA中，∠CGA=90°，AC=6 cm，CG=6 cm， ∴AG= =6 cm．.…………9分（利用勾股定理得1分） ∴AD=AG＋DG=（6＋2 ）cm． .…………10分（得出AD的长得1分） 图7－26－11 ②AB⊥DE． 理由如下： ∵在 Rt△CGA中，∠CGA=90°，AG=CG=6 cm， ∴∠CAG=∠ACG=45°．.………… 11分（利用等腰直角三角形的性质得1分） 又∵∠BAC=45°， ∴∠DAB=∠CAG＋∠BAC=45°＋45°=90°.…………12分（利用角的和差得1分） ∴AB⊥DE．.………… 13分（得出结论得1分） 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第21（或22） 小题，分值一般为9分（或13分），答题时要注意书写格式，分步 书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦! 【易错点突破】翻折变换（折叠问题） 2. 如图7－26－12，矩形ABCD的边长AB=4，AD=2，将矩形 纸片沿EF折叠，使点A与点C重合．若P为EF的中点，求CP的 长． 图7－26－12 　 以下是小梦同学的解答过程： 如图7－26－13，连接AP． ∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，BC=AD=2，∠B=90°． ∴∠PEC=∠PFA． ∵P为EF的中点，∴PE=PF． 又∵∠CPE=∠APF， ∴△CPE≌△APF（ASA）．∴CP=AP． 在Rt△ABC中，AB=4，BC=2， ∴AC= =2 ．∴CP= AC= ． 图7－26－13 判断以上小梦同学的解答过程是否正确？若不正确，请写出你的 正确解答过程． 解：小梦同学的解答过程不正确． 正确解答过程如下： 如答图7－26－3，连接AC，AE． ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD，BC=AD=2，∠B=90°． ∴∠PEC=∠PFA． 由折叠的性质，得FC=FA，∠PFC=∠PFA． ∴∠PFC=∠PEC． ∴FC=EC． ∴EC=FA． 又∵EC∥FA，∴四边形AFCE为平行四边形． ∵P为对角线EF的中点， 　答图7－26－3 ∴对角线AC必经过点P，即A，P，C三点共线． ∴AP=CP． 在Rt△ABC中，AB=4，BC=2， ∴AC= =2 ． ∴CP= AC= ． 　答图7－26－3 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）如图7－26－14，将边长为2的正方形纸 片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开后，折痕 为AE，AF，连接EF． 知识种子：基本概念 （1）填空：∠EAF= °； 点A到EF的距离是 ⁠； 45 2 　图7－26－14 （2）如图7－26－15，将图7－26－14中的∠EAF绕点A旋转，使 它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ，点A到PQ的 距离是否发生变化？说明理由； 　图7－26－15 种子生长：探究说理 解：点A到PQ的距离不会发生变化． 理由如下： 如答图7－26－4，延长CB到G，使BG=DQ，连接AG，过点A 作AH⊥PQ于点H． ∵∠ABG=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADQ（SAS）． ∴AG=AQ，∠DAQ=∠GAB． 　答图7－26－4 ∵∠PAQ=45°，∴∠DAQ＋∠BAP=45°． ∴∠GAP=∠GAB＋∠BAP=∠DAQ＋∠BAP=45°． ∵AG=AQ，∠PAQ=∠GAP，AP=AP，∴△GAP≌△QAP （SAS）． ∴PQ=GP，S△GPA=S△QPA． ∴ PG∙AB= PQ∙AH． ∴AH=AB=2.∴点A到PQ的距离是2. ∴点A到PQ的距离不会发生变化． 　答图7－26－4 种子成树：综合创新 （3）如图7－26－16，连接BD，若图7－26－15中的∠PAQ的两 边AP，AQ分别交对角线BD于点M，N，当Q是CD边的三等分 点时，求BM的长． 　图7－26－16 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABM=∠ACD=∠BAC=∠PAQ=45°，AC= AB． ∴∠BAC－∠PAC=∠PAQ－∠PAC，即∠BAP=∠CAQ． ∴△ABM∽△ACQ． ∴ = = ． ∵Q是CD边的三等分点，CD=2，∴CQ= CD= 或CQ= CD= ． ∴BM= × = 或BM= × = ． 中考演练 1. （2024∙广东题2）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴 对称图形的是（　C　） C 2. （2023∙广东题2）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的 为（　A　） A 3. （2020∙广东题9）如图7－26－17，在正方形ABCD中， AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°． 若将四边 形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在边AD上，则BE的长度为 （　D　） A． 1 B． C． D． 2 D 　图7－26－17 4. （2021∙广东题23）如图7－26－18，边长为1的正方形ABCD 中，E为AD的中点． 连接BE，将△ABE沿BE折叠得到 △FBE，BF交AC于点G，求CG的长． 　图7－26－18 解：如答图7－26－5，延长BF交CD于点H，连接EH． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠D=∠DAB=∠BCD=90°， AD=CD=BC=AB=1. 在Rt△ACD中，AC= = = ． 由翻折的性质，得EF=AE，BF=AB=1， ∠EFB=∠EAB=90°． ∴∠EFH=180°－∠EFB=90°． ∵E是AD的中点，∴DE=AE=EF． 　答图7－26－5 在Rt△EHD和Rt△EHF中， ∴Rt△EHD≌Rt△EHF（HL）．∴DH=FH． 设DH=FH=x，则CH=CD－DH=1－x，BH=BF＋FH=1＋x． 在Rt△BCH中，由勾股定理，得CH2＋BC2=BH2， 即（1－x）2＋12=（1＋x）2.解得x= ． ∴DH= ，CH=1－x= ． ∵CH∥AB，∴△CHG∽△ABG． ∴ = = ．∴CG= AC= ． 　答图7－26－5 1. （2025∙新疆）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的 是（　C　） C 2. （2025∙烟台）2025年4月24日，“神舟”二十号载人飞船成功 发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝． 下列航 天图案是中心对称图形的是（　D　） D 3. （2025∙扬州）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着 古典之韵，又展现了几何之美． 下列窗棂图案中，是轴对称图形 但不是中心对称图形的是（　C　） C 4. （2025∙南通）如图7－26－19，将△ABC沿着射线BC平移到 △DEF． 若BC=6，EC=4，则平移的距离为（　A　） A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 图7－26－19　　　　 A 5. （2025∙吉林）如图7－26－20，风力发电机的叶片在风的吹动 下转动，使风能转化为电能． 图中的三个叶片组成的图形绕着它 的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为 （　B　） A． 90° B． 120° C． 150° D． 180° B 图7－26－20　　　　 6. （2025∙深圳）如图7－26－21，将无人机沿着x轴向右平移3个 单位，若无人机上一点P的坐标为（1，2），则平移后对应点P′ 的坐标为 ⁠． （4，2） 图7－26－21 7. （2025∙山西）如图7－26－22，在平面直角坐标系中，点A的 坐标为（6，0），将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应 点的坐标为 ⁠． （3 ，3 ） 图7－26－22　　　　 8. （2025∙甘肃）如图7－26－23，把平行四边形纸片ABCD沿对 角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时 △CDE恰为等边三角形． 若AB=6 cm，则AD= ⁠cm． 12 图7－26－23 9. （2025∙北京）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点D在 射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°－2α得 到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC 于点F． 　图7－26－24 （1）如图7－26－24①，若α=45°，点D与点C重合，求证： BF=AC； （1）证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAC=∠ABC=45°． ∴∠CAE=180°－2×45°=90°． 由题意，可得AE=AD=AC， ∠EAB=90°－∠BAC=45°， ∴∠EAB=∠ABC． ∴BC∥AE． ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形． ∴BF=AE． ∴BF=AC． 　图7－26－24 （2）如图7－26－24②，点D，F都在BC的延长线上，用等式表 示DF与BC的数量关系，并证明． 　图7－26－24 （2）解：DF=2BC．证明如下： 如答图7－26－6，在DC上取一点G，使 得CG=CB，连接AG，BE． ∵∠ACB=90°，∴∠ACG=∠ACB=90°． 在Rt△ACG和Rt△ACB中， ， ∴Rt△ACG≌Rt△ACB（SAS）． ∴AG=AB． ∴∠AGB=∠ABG=α．∴∠BAG =180°－2α． ∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°－2α得 到线段AE， 　答图7－26－6 ∴DA=EA． ∴∠DAE=180°－2α． ∴∠DAE－∠GAE=∠BAG－∠GAE，即 ∠DAG=∠EAB． ∴△DAG≌△EAB（SAS）． ∴DG=BE，∠AGD=∠ABE=180°－ ∠AGC=180°－α． 又∵∠ABC=α， ∴∠FBE=∠ABE－∠ABC=180°－α－ α=180°－2α． ∵EF∥AB，∴∠BFE=∠ABF=α． ∴∠BEF=180°－∠FBE－∠BFE=α． ∴BE=BF． ∴DG=BF． ∵GC=BC， ∴DF=BD－BF=BD－DG=BG=2BC． 　答图7－26－6 10. （2025∙黑龙江）如图7－26－25，在正方形网格中，每个小正 方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的 三个顶点坐标分别为A（2，－1），B（1，－3），C（3，－ 4）． 图7－26－25　　　　　 （1）将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长 度，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点C1的 坐标； 解：（1）如答图7－26－7，△A1B1C1即为所求．∴点C1的坐标为 （4，1）． （2）画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°后得到的 △A2B2C2，并写出点C2的坐标； 解：（2）如答图7－26－7，△A2B2C2即为所求．∴点C2的坐标为 （－1，4）． 答图7－26－7 （3）在（2）的条件下，求点C1旋转到点C2的过程中，所经过的 路径长（结果保留π）． 解：（3）由勾股定理，可得OC1= = ． ∴点C1旋转到点C2的过程中，所经过的路径长为 = π． 命题预测 （中考创新）如图7－26－26，△ABC为任意三角形，若将 △ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC，连接AE，BD． （1）试猜想AE与BD有何关系，并说明理由； 　图7－26－26 解：（1）AE∥BD，且AE=BD． 理由如下： 由旋转， 可得△ABC≌△DEC， ∴AB=DE，∠ABC=∠DEC． ∴AB∥DE． ∴四边形ABDE是平行四边形． ∴AE∥BD，且AE=BD． （2）请给△ABC添加一个条件，使旋转后得到的四边形ABDE为 矩形，并说明理由． （2）AC=BC． 理由如下： ∵AC=BC，∴AC=BC=CE=CD． ∴AC＋CD=BC＋CE，即 AD=BE． 又由（1）知四边形ABDE是平行四边形，∴四边形ABDE为矩 形． 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能会继续注重对图形变换基本概念和 性质的考查，同时加强与其他几何知识的综合应用．在题型上， 可能会增加开放式题型，也可能会增加实际情境问题，要求学生 运用图形变换的知识解决实际生活中的问题，以考查学生的应用 能力和创新思维． 　　 谢 谢 ! $第一部分 知识梳理 第七章 尺规作图及图形变换 第24课时　 尺 规 作 图 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标解读 03 知识梳理 04 重点突破 05 中考演练 06 命题预测 课前循环练 1. （广东真题）一元二次方程x2－4x－1=0配方后可化为 （　D　） A． （x＋2）2=3 B． （x＋2）2=5 C． （x－2）2=3 D． （x－2）2=5 2. （广东真题）下列运算正确的是（　A　） A． （－m2n）3=－m6n3 B． m5－m3=m2 C． （m＋2）2=m2＋4 D． （12m4－3m）÷3m=4m3 D A 3. （广东真题）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3， y3）都在反比例函数y= （k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3， 则y1，y2，y3的大小关系是（　A　） A． y2＞y1＞y3 B． y3＞y2＞y1 C． y1＞y2＞y3 D． y3＞y1＞y2 A 4. （广东真题）如图7－24－1，点A，B，C在直线l上， PB⊥l，PA=6 cm，PB=5 cm，PC=7 cm，则点P到直线l的距离 是 cm． 图7－24－1　　　　 5　 图7－24－2 5. （广东真题）如图7－24－2，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，BD=8，AC=6，OE∥AB，交BC于点E，则OE 的长为 　 　． 课标解读 内容 课标要求 尺规 作图 ①能用尺规作图：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；过直线外一点作这条直线的平行线；*过圆外一点作圆的切线 ②能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形 ③能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形 知识梳理 对接教材　人教：尺规作图分布在各年级上下册的几何部分 北师：尺规作图分布在各年级上下册的几何部分 1. 作一条线段等于已知线段 如图7－24－3①，已知线段a，作一条线段AB=a． 图7－24－3 步骤（如图7－24－3②）： （1）作射线AM； （2）在射线AM上截取 ，则线段AB即为所求作的线段 AB=a 例1. 如图7－24－4，已知线段a，求作一条线段，使它等于 2a． （保留作图痕迹，不写作法） 图7－24－4 　　解：如答图7－24－1，线段AC即为所求． 答图7－24－1 2. 作一个角等于已知角 如图7－24－5①，已知∠AOB，作∠A′O′B′=∠AOB． 步骤（如图7－24－5②）： 图7－24－5 （1）在图①中，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点 D，交OB于点C； （2）作射线O′B′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′ 于点C′； （3）以点C′为圆心， ⁠长为半径画弧，与上一步画的弧交 于点D′； （4）过点D′作射线O′A′，则∠A′O′B′即为所求作的角 CD 例2. 如图7－24－6，已知∠AOB，求作一个角等于∠AOB的补 角．（保留作图痕迹，不写作法） 图7－24－6 　　解：如答图7－24－2，∠DEF即为所求． 答图7－24－2 3. 作一个角的平分线 如图7－24－7①，已知∠AOB，作它的角平分线． 步骤（如图7－24－7②）： （1）以点O为圆心，适当长为半径 画弧，交OA于点D，交OB于 点E； （2）分别以点D，E为圆心，大于 ⁠的长为半径画弧，两 弧在∠AOB内部交于点C； DE 图7－24－7 （3）作射线OC，则射线OC即为∠AOB的平分线 例3. 如图7－24－8，已知△ABC，求作∠ABC的平分线BD，交 AC于点D． （保留作图痕迹，不写作法） 图7－24－8 解：如答图7－24－3，BD即为所求． 答图7－24－3 4. 作一条线段的垂直平分线 如图7－24－9①，已知线段AB，作它的垂直平分线． 步骤（如图7－24－9②）： （1）分别以点A，B为圆心， 大于 ⁠的长为半径画弧，两 弧分别交于点C，D； （2）作直线CD，则直线CD 即 为线段AB的垂直平分线 AB　 图7－24－9 例4. 为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C（如 图7－24－10）之间建购物商场，该购物商场建在何处才能使这三 个住宅小区的居民到该购物商场的距离相等？请在图中确定购物 商场的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 　 答图7－24－4 解：如答图7－24－4，点P即为购物商场的位置．（作法不 唯一） 图7－24－10　 5. 过一点作已知直线的垂线 （1）经过已知直线上一点作这条直线的垂线 如图7－24－11，已知直线AB和AB上一点C，求作AB的垂线， 使它经过点C． 步骤： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧， 交直线AB于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于 DE的 长为半径画弧，两弧交于点F； ③作直线CF，则直线CF 即为所求作的垂线 图7－24－11 （2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线 如图7－24－13，已知直线AB和AB外一点C，求作AB的垂线， 使它经过点C． 步骤： ①任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁； ②以点C为圆心，CK长为半径画弧， 交AB于点D，E； ③分别以点D，E为圆心，大于 DE的长 为半径画弧，两弧交于点F； ④作直线CF，则直线CF即为所求作的垂线 图7－24－13 例5.（1）如图7－24－12，过点P分别向角的两边作垂线；（保 留作图痕迹，不写作法） 图7－24－12 　　解：如答图7－24－5. 答图7－24－5 （2）如图7－24－14，过点P分别向角的两边作垂 线．（保留作图痕迹，不写作法） 图7－24－14 　　解：如答图7－24－6. 答图7－24－6 　　 6. 过直线外一点作这条直线的平行线 如图7－24－15①，已知直线l及直线l外一点A，求作直线AD， 使得AD∥l． 步骤（如图7－24－15②）： （1）在直线l上任取一点B， 连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为 半径画弧，交直线l于点C； （3）分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D （不与点B重合）； （4）作直线AD，则直线AD即为所求作的直线 图7－24－15 例6. 如图7－24－16是小明同学完成“过直线外一点P，作直线l 的平行线”的尺规作图． （1）根据作图痕迹，填空： 　　①AC是∠PAB的 ⁠； 　　②PA= ⁠； 平分线 PQ 图7－24－16 （2）根据作图痕迹，说明直线PQ与l为什么平行？ 　　解：（2）∵AC平分∠PAB， 　　∴∠PAC=∠CAB． 　　∵PA=PQ，∴∠PAC=∠PQA． 　　∴∠PQA=∠CAB． 　　∴PQ∥l． 图7－24－16 *7. 过圆外一点作圆的切线 如图7－24－17①，已知⊙O和圆外一点P，求过点P作⊙O的 切线． 步骤（如图7－24－17②）： （1）连接OP，作线段OP的 垂直平分线交OP于点M； （2）以点M为圆心，OM的长为 半径作圆，交⊙O于A，B两点； （3）作直线PA，PB，则直线PA，PB即为所求作的切线 图7－24－17 例7. 如图7－24－18是小海同学设计的“过圆外一点A，作⊙O的 一条切线AC”的尺规作图． 　　作法：①连接AO交⊙O于点D，并延长AO交⊙O于点E； 　　②以点A为圆心，AO长为半径画弧，以点O为圆心，DE的 长为半径画弧，两弧交于点B； 　　③连接OB交⊙O于点C，作直线AC， 则直线AC是⊙O的一条切线． 　图7－24－18 　　请你证明AC是⊙O的切线． 证明：∵OB=DE=2OD=2OC， 　　∴OC=BC． 　　∵AO=AB， 　　∴AC⊥OB． 　　又∵OC是⊙O的半径， 　　∴AC是⊙O的切线． 　图7－24－18 8. 利用尺规作三角形 （1）已知三角形的三边作三角形 如图7－24－19①，已知线段a，b，c． 求作△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a． 步骤（如图7－24－19②）： ①作射线BM； ②在射线BM上截取BC=a，再分别以点B， C为圆心，c，b为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC，则△ABC即为所作 图7－24－19 例8. （1）如图7－24－20，已知△ABC，在△ABC下方作 △ABD，使得△ABD≌△ABC；（保留作图痕迹，不写作法） 图7－24－20 　　解：如答图7－24－7，△ABD即为所求． 答图7－24－7 　　　（2）已知三角形的两边及夹角作三角形 如图7－24－21①，已知线段m，n和∠β，求作△ABC，使 AB=m，BC=n，∠ABC=∠β． 步骤（如图7－24－21②）： ①作∠MBN=∠β； ②在BM上截取AB=m， BN上截取BC=n； ③连接AC，则△ABC即为所作． 图7－24－21 （3）已知三角形的两角及其夹边作三角形 如图7－24－22①，已知∠α，∠β和线段a，求作△ABC，使 ∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a． 图7－24－22 步骤（如图7－24－22②）： ①作射线AM； ②在射线AM上截取AB=a，作∠EAB=∠α，∠FBA=∠β，射线AE 交射线BF于点C，则△ABC即为所作 　　（2）如图7－24－23，已知线段a，b，求作△ABC，使 ∠A=90°，AB=a，AC=b；（保留作图痕迹，不写作法） 图7－24－23 　　解：如答图7－24－8，△ABC即为所求． 答图7－24－8 　　 　　 　　（3）如图7－24－24，已知∠α和线段a，用尺规作 △ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=2∠α，BC=a．（保留作图痕 迹，不写作法） 　　解：如答图7－24－9，△ABC即为所求． 答图7－24－9 图7－24－24 9. 利用尺规作三角形的外接圆和内切圆 （1）作三角形的外接圆 如图7－24－25①，已知△ABC，求作△ABC的外接圆⊙O． 步骤（如图7－24－25②）： 图7－24－25 ①分别作线段AB，BC的 ，它们交于点O； ②以点O为圆心，OB为半径 作⊙O，则⊙O即为所作． 垂直平分线 图7－24－25 （2）作三角形的内切圆 如图7－24－26①，已知△ABC，求作△ABC的内切圆⊙O． 步骤（如图7－24－26②）： ①分别作∠B，∠C的 ， 它们交于点O； ②过点O作BC的垂线，垂足为D； ③以点O为圆心，OD为半径 作⊙O，则⊙O即为所作 平分线 图7－24－26 例9. （1）如图7－24－27是⊙O一段弧，AB和BC是圆弧的两条 弦，请你作出圆心O的位置，并把圆补充完整；（保留作图痕 迹，不写作法） 图7－24－27 　　解：如答图7－24－10，点O和⊙O即为所求． 答图7－24－10 　　（2）如图7－24－28，在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC边 上的中线，求作△ABC的内切圆．（保留作图痕迹，不写作法） 图7－24－28 　　 　　解：如答图7－24－11，⊙O即为所求． 答图7－24－11 重点突破 【考点突破】作图—复杂作图 得分点分析 1. （2024∙广东改编）如图7－24－29，在Rt△ABC中， ∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D． （1）实践与操作：利用尺规作⊙O，使⊙O经过点A，D，且圆 心O在线段AB上；（保留作图痕迹，不写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下， 判断直线BC与⊙O的位置 关系，并说明理由． 图7－24－29　　　　 解：（1）如图7－24－30，⊙O即为所作．.…………2分（尺规作图得2分） （2）直线BC与⊙O相切． 理由：如图7－24－30，连接OD． ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA． .…………3分（利用等边对等角得1分） ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD．.………… 4分（利用角平分线的定义 得1分） ∴∠CAD=∠ODA． ∴AC∥OD．.………… 5分（利用“内错角相等，两直线 平行”得1分） ∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC． .…………6分（利用平行线的性质得出 OD⊥BC得1分） 又∵OD是⊙O的半径， ∴直线BC与⊙O相切． .…………7分（利用切线的判定得1分） 图7－24－30 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第17（或综合 题的小问）小题，分值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步 书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦! 【易错点突破】由于不理解三角形高的定义，作图出错 2. 如图7－24－31，利用尺规作图，作△ABC边BC上的高． 以下是小亮、小明、小强三位同学所作的图： 姓名 小亮 小明 小强 作图 判断以上小亮、小明、小强三位同学的作图过程是否正确？若不 正确，请作出正确的图． 　图7－24－31 解：小亮、小明、小强三位同学的作图过程都不 正确． 正确的作图如答图7－24－12. 答图7－24－12 【生长式突破】知识生长→综合创新 3. （中考创新，原创题）（2025∙广东改编）如图7－24－32，点 M，N把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段，若以AM， MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称M，N是线段AB 的勾股分割点． 图7－24－32 知识种子：基本概念 （1）如图7－24－32，若M，N是线段AB的勾股分割点，且 AM=1，MN=2，则NB的长为 ⁠； 或 种子生长：尺规作图 （2）如图7－24－33，已知C是线段AB上一点，请利用无刻度的 直尺和圆规在线段AB上找一点D，使点C，D是线段AB的勾股 分割点；（保留作图痕迹，不写作法） 图7－24－33 解：如答图7－24－13，点D即为所求． 答图7－24－13　　　　　 种子成树：综合创新 （3）如图7－24－34，在△ABC中，∠BAC=135°，折叠 △ABC，使点B，C都与点A重合，折痕分别为DE，FG． 求 证：E，F是线段BC的勾股分割点． 　图7－24－34 证明：∵∠BAC=135°， ∴∠B＋∠C=45°． 由折叠，可得∠DAE=∠B，∠GAF=∠C， AE=BE，AF=FC． ∴∠DAE＋∠GAF=45°． ∴∠EAF=∠BAC－（∠DAE＋∠GAF）=135°－45°=90°． ∴AE2＋AF2=EF2. ∴BE2＋FC2=EF2. ∴E，F是线段BC的勾股分割点． 中考演练 　图7－24－35 1. （2020∙广东题15）如图7－24－35，在菱形ABCD中， ∠A=30°，取大于 AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧 相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所 示），连接BE，BD． 则∠EBD的度数为 ⁠． 45° 2. （2023∙广东题19）如图7－24－36，在▱ABCD中， ∠DAB=30°． （1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保 留作图痕迹，不要求写作法） 解：（1）如答图7－24－14， DE即为所求． 答图7－24－14 图7－24－36 （2）应用与计算：在（1）的条件下，AD=4，AB=6，求BE的 长． 图7－24－36 解：（2）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°． 在Rt△DEA中，AD=4，∠DAB=30°， ∴AE=AD∙ cos ∠DAB=4× cos 30°=2 ． ∵AB=6，∴BE=AB－AE=6－2 ． 3. （2024∙广东题17）如图7－24－37，在△ABC中，∠C=90°． （1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点 D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （1）解：如答图7－24－15，AD即为所求． （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半 径作⊙D． 求证：AB与⊙D相切． 答图7－24－15 （2）证明：如答图7－24－15，过点D作DE⊥AB于点E． ∵∠ACB=90°，∴DC⊥AC． 又∵AD平分∠BAC，∴DE=DC，即DE为⊙D的半径． 又∵DE⊥AB，∴AB与⊙D相切． 图7－24－37　　　　　 4. （2025∙广东题23节选）定义：把某线段一分为二的点，当整体 线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外 比，这个点称为中外比点． 如图7－24－38，用无刻度的直尺和 圆规求作一点C，把线段AB分为中外比． （保留作图痕迹，不 写作法） 图7－24－38　　　　 答图7－24－16 解：如答图7－24－16，点C即为所求． 1. （2025∙北京）如图7－24－39，∠MON=100°，点A在射线 OM上，以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交射线ON于点 B． 若分别以点A，B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在 ∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　B　） A． 80° B． 100° C． 110° D． 120° 图7－24－39　　　　 B 2. （2025∙资阳）如图7－24－40，在射线BA，BC上，分别截取 BM，BN，使BM=BN，再分别以点M和点N为圆心，以大于线 段MN一半的长为半径作圆弧，两弧在∠ABC内交于点D，作射 线BD，过点D作DE∥BC，交BA于点E． 若∠BDE=30°，则 ∠AED的度数是（　C　） A． 30° B． 45° C． 60° D． 75° C 图7－24－40　　　　 3. （2025∙眉山）如图7－24－41，在四边形ABCD中，AD∥BC， AB=6，BC=10. 按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度 为半径画弧，分别交AB，AD于E，F两点；②分别以点E，F为 圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP 交BC于点G． 则CG的长为（　A　） A． 4 B． 5 C． 6 D． 8 A 图7－24－41 4. （2025∙湖北）如图7－24－42，△ABC内接于⊙O， ∠BAC=30°． 分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作 弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并 延长，交⊙O于点E． 连接OA，OE，则∠AOE的度数是 （　C　） A． 30° B． 50° C． 60° D． 75° C 图7－24－42　　　　　 5. （2025∙吉林）如图7－24－43，在△ABC中，∠B=45°，∠A ＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：①以点B为圆心，适当的长 为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；②以点C为圆心， BN的长为半径画弧，交边CB于点N′，再以点N′为圆心，MN的 长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的 点M′；③过点M′画射线CM′交边AB于点D． 则下列结论错误的 为（　D　） A． ∠B=∠DCB B． ∠BDC=90° C． DB=DC D． AD＋DC=BC D 图7－24－43 6. （2025∙齐齐哈尔）如图7－24－44，在▱ABCD中， BC=2AB=8，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为 半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC 于点N． 若N恰为BC的中点，则AC的长为 ⁠． 图7－24－44　　　　　 4 7. （2025∙湖南）如图7－24－45，在△ABC中，BC=6，E是AC 的中点，分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧， 两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的 长是 ⁠． 3 图7－24－45　　　　　 8. （2025∙广安）如图7－24－46，在△ABC中，按以下步骤作 图：①以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；②分 别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧相交于 点F；③画射线AF交BC于点E． 若∠C=2∠B，BC=23， BD=13，则AE的长为 ⁠． 12 图7－24－46 9. （2025∙绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但 需保留作图痕迹） 【初步尝试】 （1）如图7－24－47①，用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心 的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分； 【拓展探究】 图7－24－47　　　 解：（1）如答图7－24－17①，射线OP即为所求． 答图7－24－17 （2）如图7－24－47②，若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无 刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C， 交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1 ∶4. 答图7－24－17 解：（2）如答图7－24－17②，弧CD即为所求． 10. （2025∙无锡）如图7－24－48，AC为正方形ABCD的对角 线． （1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定 点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留作图 痕迹） 解：（1）如答图7－24－18， 直线l和点F即为所求． 　图7－24－48 　答图7－24－18 （2）在（1）的条件下，直接写出∠EFA的度数． 解：（2）22.5°． 【提示】∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠BAC=∠CAD=45°． ∵AF平分∠BAC， ∴∠CAF= ∠BAC=22.5°． ∴∠EAF=∠CAF＋∠CAD=67.5°． ∵直线l⊥AD， ∴∠AEF=90°． ∴∠EFA=90°－∠EAF=22.5°． 命题预测 （2023∙淮安）如图7－24－49，在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且 与边AC相切于点D；（保留作图痕迹，不写作法） 　图7－24－49 解：（1）如答图7－24－19，⊙O即为所求． 答图7－24－19 （2）在（1）的条件下，若∠ABC=60°，AB=4，求⊙O与 △ABC重叠部分的面积． （2）如答图7－24－19，设⊙O交BC于点E，交 AB于点F，连接OE，过点E作EG⊥AB于点G． ∵∠C=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=90°－∠ABC=30°． 　∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC． ∴OA=2OD=2OB，即AB=3OB． ∵AB=4，∴OB= ． ∵OB=OE，∠ABC=60°， ∴△OBE为等边三角形．∴∠BOE=60°． ∴∠EOF=180°－∠BOE=120°． 在Rt△EOG中，OE=OB= ，∠BOE=60°， 答图7－24－19 ∴EG=OE∙ sin ∠BOE= × sin 60°= ． ∴⊙O与△ABC重叠部分的面积 为S扇形EOF＋S△BOE= ＋ × × = ＋ ． 答图7－24－19 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测 2026年广东中考命题方向可能会更加注重尺规作图与几何图形性 质的综合考查，要求学生不仅能准确完成基本的尺规作图，还能 运用相关知识进行推理和计算；也可能会出现与实际生活情境相 结合的问题，要求学生运用尺规作图解决实际问题，培养学生的 创新思维和实践能力． 谢 谢 ! $