2.4 单摆 学案-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

该高中物理导学案聚焦单摆，涵盖单摆概念、回复力来源、周期公式及重力加速度测定。通过实际摆的理想化模型建构导入，联系简谐运动回复力条件，搭建学习支架衔接前后知识。 突出科学探究与科学思维，实验探究用控制变量法分析周期影响因素，结合等效摆长等模型建构深化理解。典例解析与分层达标题设计，助力学生掌握规律应用，培养运动与相互作用观念及问题解决能力。

第4节 单摆 学案 核心素养: 物理观念 1.知道单摆的概念，了解单摆运动的特点。 2.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。 科学思维 会利用单摆周期公式测定重力加速度。 科学探究 通过实验探究单摆的周期与摆长的关系。 基础知识： 知识点一 单摆、单摆的回复力 1.单摆 (1)用细线悬挂着小球在竖直平面内摆动，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线长度相比也可以忽略，空气等对小球的阻力与它受到的重力及绳的拉力相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。 (2)单摆是实际摆的理想化模型。我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。 2.单摆的回复力 (1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ 提供的，如图所示。 (2)在最大偏角很小的条件下，sin θ≈，其中x为摆球偏离平衡位置O点的位移。 单摆的回复力F＝－x，令k＝，则F＝－kx。 (3)在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动。 注：回复力和向心力都是按效果命名的，一定要清楚它们的来源。回复力是沿振动方向上的合力，而不是物体受到的合力。 知识点二　单摆的周期 1.探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响 (1)探究方法：控制变量法。 (2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量无关。 ②振幅较小时周期与振幅无关。 ③摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小。 2.周期公式 (1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 重难点理解： 一、单摆及单摆的回复力 1.受力规律 (1)摆球以悬挂点为圆心在竖直平面内沿圆弧做变速圆周运动，做圆周运动需要向心力，向心力由绳子的拉力与重力的径向分量的合力提供。 (2)摆球以最低点为平衡位置做振动，做振动需要回复力，回复力由摆球重力的切向分力提供(或者说是由摆球所受合外力沿圆弧切向分力提供)。 2.运动规律 单摆的运动既有圆周运动，又有简谐运动(摆角很小的情况下) (1)单摆振动的平衡位置：回复力F为零，而合力不为零，此时合力提供摆球做圆周运动的向心力。 (2)单摆振动的最大位移处，向心力(F′－G1)为零，而合力不为零，此时合力提供摆球振动的回复力。 方法： 　　单摆的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力。摆球所受的合外力在摆线方向的分力提供摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力。因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力)。 典例1：图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中 (　　) A.摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零 B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零 C.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 D.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大 解析　摆球在摆动过程中，最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零；在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大。答案　D 二．对单摆的周期公式的理解及应用 1.伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。 2.对周期公式的理解 由公式T＝2π知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫作单摆的固有周期。 (1)摆长l ①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l＝L＋，L为摆线长，d为摆球直径。 ②等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sin α，这就是等效摆长。其周期T＝2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。 (2)重力加速度g 若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值。不同地点g的取值不同。 提醒　 (1)摆长l并不等于绳长，而是等于摆球球心(质量均匀)到摆动圆弧的圆心的距离。 (2)公式中的g不一定等于9.8 m/s2，尤其是单摆在复合场中或斜面上摆动时，g值往往因情境而异。 方法： 　　单摆的周期公式T＝2π是在单摆做简谐运动的条件下才适用的，改变单摆的摆长能改变单摆的周期，同一单摆在重力加速度不同的两地周期也不相同，单摆的周期与振幅、摆球的质量无关，另外根据周期公式的变形g＝还可以测重力加速度。 典例２：如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动)(　　) A.让小球在纸面内振动，周期T＝2π B.让小球垂直纸面振动，周期T＝2π C.让小球在纸面内振动，周期T＝2π D.让小球垂直纸面振动，周期T＝2π 解析　让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让小球垂直纸面振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为，周期T′＝2π。答案　A 当堂达标： 1.(对单摆模型的理解)(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想条件是(　　) A.摆线质量不计 B.摆线长度不伸缩 C.摆球的直径比摆线长度小得多 D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动 2.(对单摆回复力的理解)(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　) A.t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大 D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 3.(对单摆周期公式的理解)把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动(　　) A.变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长 B.变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长 C.变快了，要使它恢复准确，应增加摆长 D.变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长 4.(单摆周期公式的应用)如图所示是两个单摆在同一地点的振动图像。 (1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？ (2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0起，乙第一次到达右方最大位移时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？ 参考答案： 1.解析　单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D错误。答案　ABC 2.解析　由题图读出t1时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；t2时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误；t3时刻位移最大，说明摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，故C正确；t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故D正确。答案　CD 3.解析　把标准摆钟从北京移到赤道上，重力加速度g变小，则周期T＝2π＞T0，摆钟显示的时间小于实际时间，因此变慢了。要使它恢复准确，应缩短摆长，B项正确。答案　B 4.解析　(1)由图像可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周期的，即T甲＝T乙。又由单摆的周期与摆长的关系可知，l甲∶l乙＝1∶4。 (2)由图像可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处时，t＝2 s，振动到周期，甲振动到周期，位移为0。位于平衡位置，此时甲向左方运动。 学科网（北京）股份有限公司 $