扇形的弧长与面积、同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

扇形的弧长与面积、同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用专项训练 扇形的弧长与面积、同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用专项训练 考点目录 扇形的弧长与面积 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用 考点一 扇形的弧长与面积 例1．（25-26高一上·浙江·月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 例2．（25-26高一上·山东青岛·月考）莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中.莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长为半径画圆弧得到的三角形.如图，若莱洛三角形的面积是，则长为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则以点分别为圆心， 圆弧所对的每个扇形面积均为， 等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是， 则，． 故选：A 例3．（25-26高一上·浙江金华·月考）如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，所以是等边三角形， 所以，, 所以扇形的面积为，的面积为， 又半圆的面积为， 所以图中阴影部分的面积为. 故选：B. 例4．（25-26高三上·海南海口·月考）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值. “莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为 . 【答案】 【详解】正三角形的面积为，圆弧的长度为， 故弓形的面积为， 故“莱洛三角形”的面积为. 故答案为：. 例5．（25-26高一上·广东河源·月考）一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的度数为 ．（精确到1°， 【答案】 【详解】设这个扇形中心角的弧度数为，半径为，弧长为 ． 一个扇形的弧长与面积的数值都是5， ，则． 所以这个扇形中心角的度数为 故答案为： 例6．（25-26高一上·云南昆明·月考）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为 ． 【答案】/ 【详解】 如图，延长交于点，设，扇形圆心角， 则根据题意知：，解得， 故答案为： 例7．（25-26高一上·浙江杭州·月考）如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）设内圆弧半径为，则， 所以， 所以，则， 设交于， 则由垂径定理得，， 当时，，所以， 所以， 即点E到弦BC的距离为． （2）由（1）得， 则， ， 当且仅当，即，取得最大值. 例8．（25-26高一上·山东临沂·月考）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)，. 【详解】（1）由题意，扇形的圆心角，半径为， 所以扇形的弧长； （2）因为扇形的周长为，即，所以， 又，所以， 所以当时，面积取得最大值，为， 此时，所以. 所以若扇形周长为，当扇形的圆心角为弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是. 变式1．（25-26高一上·山西吕梁·月考）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈， 故小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是． 故选：B． 变式2．（25-26高一上·山东聊城·月考）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为圆心角，弧AB的长为， 代入弧长公式可得，解得. 所以. 由扇形面积公式可得， ， ， 所以此扇面的面积． 故选：B 变式3．（25-26高一上·山东青岛·月考）如图，等边的边长为4，把的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为的一段，然后分别以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为，则该圆弧六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，圆弧六边形的面积， 圆弧六边形的周长，即， 所以. 故选：A 变式4．（25-26高一上·天津河东·月考）已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是 ． 【答案】 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长为， 扇形的周长是，，， 扇形的面积为，， ，， ，，. 该扇形的圆心角（正角）的弧度数是. 故答案为：. 变式5．（25-26高三上·河南濮阳·月考）如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【详解】由题意知， 因为， 由扇形面积公式得: 所以． 故答案为：. 变式6．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为 ． 【答案】 【详解】设，因为圆心角，弧的长为，代入弧长公式可得，解得. 由扇形面积公式可得：， ， 所以此扇面的面积为. 故答案为：. 变式7．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（）（弧度）．    (1)求关于x的函数解析式，并求出的取值范围； (2)已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y． （ⅰ）求y关于x的函数解析式； （ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值． 【答案】(1)，． (2)（ⅰ），；（ⅱ）的最大值为， ． 【详解】（1）由题可知，解得． 又由，可得， 所以关于的函数解析式为，． 因为函数在时单调递减， 所以，可得． （2）（ⅰ）花坛的面积为， 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用之比为，． （ⅱ）令， 则， 当且仅当，即时取等号，此时，故的最大值为，此时． 变式8．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 考点二 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用 例1．（25-26高一上·天津·月考）已知，且为第三象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2)/0.5 【详解】（1）因为，且为第三象限角， 所以， 则. （2）=. 例2．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）化简与求值 (1)化简，其中； (2)求值：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 可得，， 所以， 由，可知， 得原式； （2） ． 例3．（25-26高一上·北京·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，已知角，再从条件①、条件②中选择一个作为已知， (1)求的值； (2)求的值. 条件①：；条件②：. 【答案】(1)选①，或；选②， (2)选①，或；选②， 【详解】（1）若选条件①，， ，解得：或， 又，与均满足题意； 或. 若选条件②，，，， . （2）， 若选条件①，由（1）知：或； 当时，； 当时，； 或. 若选条件②，. 例4．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)且； (2)； (3)； 【详解】（1）由且； （2）由题设及（1）知，而 （3）由题设，即， 所以，可得， 所以，即， 所以，即. 变式1．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得， （2）因为是第三象限角，且， 由诱导公式得，故， 所以，故， 因此． （3）当时，将其代入原函数， 可得． 变式2．（25-26高一上·浙江·月考）已知． (1)化简； (2)若为第二象限角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）由（1）及，知，又为第二象限角， 所以， 因此． 变式3．（25-26高一上·江苏·月考）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点． (1)分别求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）令，由三角函数的定义可得， （2） 变式4．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点， 可得，所以. （2）解：由. （3）解：因为为锐角，且，可得， 将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点， 则点的横坐标为且，所以， 则. 2 学科网（北京）股份有限公司 $扇形的弧长与面积、同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用专项训练 扇形的弧长与面积、同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用专项训练 考点目录 扇形的弧长与面积 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用 考点一 扇形的弧长与面积 例1．（25-26高一上·浙江·月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·山东青岛·月考）莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中.莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长为半径画圆弧得到的三角形.如图，若莱洛三角形的面积是，则长为（   ）. A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·浙江金华·月考）如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·海南海口·月考）“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值. “莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为 . 例5．（25-26高一上·广东河源·月考）一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的度数为 ．（精确到1°， 例6．（25-26高一上·云南昆明·月考）折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值．如图是一幅书法折扇的一部分，则该扇面对应扇形圆心角的弧度数为 ． 例7．（25-26高一上·浙江杭州·月考）如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 例8．（25-26高一上·山东临沂·月考）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 变式1．（25-26高一上·山西吕梁·月考）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·山东聊城·月考）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·山东青岛·月考）如图，等边的边长为4，把的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为的一段，然后分别以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为，则该圆弧六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·天津河东·月考）已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是 ． 变式5．（25-26高三上·河南濮阳·月考）如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    变式6．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧的长为，则此扇面的面积为 ． 变式7．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（）（弧度）．    (1)求关于x的函数解析式，并求出的取值范围； (2)已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y． （ⅰ）求y关于x的函数解析式； （ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值． 变式8．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 考点二 同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用 例1．（25-26高一上·天津·月考）已知，且为第三象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 例2．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）化简与求值 (1)化简，其中； (2)求值：． 例3．（25-26高一上·北京·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，已知角，再从条件①、条件②中选择一个作为已知， (1)求的值； (2)求的值. 条件①：；条件②：. 例4．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 变式1．（25-26高一上·云南昆明·月考）已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 变式2．（25-26高一上·浙江·月考）已知． (1)化简； (2)若为第二象限角，且，求的值． 变式3．（25-26高一上·江苏·月考）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点． (1)分别求的值； (2)求的值． 变式4．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $