精品解析：福建省龙岩市第二中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年第一学期二中八年级数学第二次月考卷 考试时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列四个图形是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故不符合题意； B．不是轴对称图形，故不符合题意； C．是轴对称图形，故符合题意； D．不是轴对称图形，故不符合题意；  故选C． 2. 已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（ ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系．分腰为3或7两种情况讨论，判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为3和7， 若腰为3，则三边为3、3、7， ∵，不满足三角形三边关系， ∴不能构成三角形． 若腰为7，则三边为7、7、3， ∵，，满足三角形三边关系， ∴能构成三角形，周长为． 故选：C． 3. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高． 利用三角形高的定义即可求解． 【详解】解：选项 A的图形中，线段是的高，其他图形均不符合高的定义， 故选：A． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据同底数幂乘法运算法则，积的乘方运算法则，幂的乘方运算法则，逐一验证每个选项的正确性即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：B． 5. 如图，若，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，直接使用公式 进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴由平方差公式，得， 故选：A． 7. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，进而即可求出结果，熟练掌握其性质并能灵活运用一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和为是解决此题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，三角形三边关系，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，得出，得到，得出，根据三角形三边关系得到，由，即可得到答案． 【详解】解： 平分，于点，于点， ，，，故B正确； ， ， ∴垂直平分，无法证明垂直平分，故C错误； ， ，故A正确； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 9. 如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，由等边三角形的性质可得，，，即得，作点关于的对称点，连接交于，则，可得，即得的最小值即为线段的长，再证明是等边三角形即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是中线， ∵，，， ∵， ∴， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接交于，则， ∴ 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 10. 如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点M，连接．有下列结论：①；②；③；④点O在的平分线上． 其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形定义与，可证明，得，可判定①正确；②正确；设与交于点G，结合，运用三角形外角性质推出，可判定③正确；过点O作于点E，于点F，由，，得，得，得平分．可判定④正确． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等腰三角形，是等腰三角形， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 设与交于点G， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 过点O作于点E，于点F，如图所示， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴平分．点O在的平分线上． 故④正确，符合题意， ∴正确的结论有4个； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的判定定理，是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】考查积的乘方运算． 应用积的乘方法则，分别计算系数和变量的平方． 【详解】原式 ． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求关于轴对称的点的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，得出答案即可，熟练掌握关于轴对称点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 13. 已知，，则的值为______． 【答案】 45 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据 进行计算求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 由题意得，进而证明，得，进而即可解决问题． 【详解】解：∵， 又v， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 甲看错了b，但a正确，从甲分解的结果可得a的值；乙看错了a，但b正确，从乙分解的结果可得b的值，再计算即可． 【详解】解：甲分解的结果为，展开得，因甲看错了b，但a正确，故． 乙分解的结果为，展开得，因乙看错了a，但b正确，故． 则． 故答案为：． 16. 如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形.若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质可知，因为，根据三角形外角的性质可知，根据等角对等边可得，根据等边三角形的性质可知中、，根据含的直角三角形的性质可知，由规律可得：． 【详解】解：是等边三角形， ， 是的外角， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17. 计算和因式分解． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】考查知识点：乘方运算、零指数幂；因式分解（提取公因式法、平方差公式）．解题关键：熟记零指数幂的定义；掌握因式分解的步骤（先提公因式，再套公式）．易错点：误算为；因式分解时遗漏公因式． （1）依次计算乘方、零指数幂，再进行加减运算； （2）先提取公因式3，再利用平方差公式分解剩余部分． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 19. “9·3”阅兵仪式以点线面铸就钢铁洪流，是展现国家力量的绝对证明．在阅兵仪式的观礼区内，有一块长为米，宽为米的长方形座位区．为方便特殊观礼群体，工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T”形区域（阴影部分）为普通观礼区． （1）用含x，y的式子表示普通观礼区的面积； （2）当时，请计算普通观礼区的面积． 【答案】（1）平方米； （2）8200平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积； （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把代入求解即可． 【小问1详解】 平方米 【小问2详解】 当时， 平方米． 答：普通观礼区的面积为平方米． 20. 如图，在中，是边上的高，已知． （1）请画出边上的高； （2）求的长． 【答案】（1） 如图，线段即为边上的高． （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的画法及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用“同一三角形面积相等”的等积法，通过已知底和高求出面积，再反求未知高的长度． （1）根据三角形高的定义，过点C作边的垂线，垂足为E，线段即为边上的高； （2）先以为底、为高计算的面积，再以为底、为高，结合面积相等列方程求解的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 是边上的高， ∴ 的面积，代入，，得． 又∵ 是边上的高,， ∴ 面积也可表示为， 即， 解得． 答：的长为． 21. 请证明命题“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，画出图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程． 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：在中，，（或）． 求证：是等边三角形． 证明：情况：角是顶角（）时， ∵， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等边三角形． 情况：角是底角（）时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴（等角对等边）． ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定以及三角形内角和定理，熟练掌握“等边对等角、等角对等边”的等腰三角形性质是解题的关键． 分两种情况（角是顶角或底角），利用等腰三角形的性质（等边对等角）和三角形内角和定理，证明三角形三边相等，从而判定为等边三角形． 【详解】解：略． 22. 下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． （1）计算：； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）-1 （2）6 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，平方差公式； （1）根据作业的方法逆用积的乘方计算即可； （2）由求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， ． 23. 如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： （1）是等边三角形； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． （1）根据等腰三角形的“三线合一”求出，再由即可得证； （2）根据等边三角形的性质得到，，从而证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）当________时，有最小值是________； （2）根据材料内容，求代数式的最大值； （3）已知：，，求代数式的值． 【答案】（1）；7 （2）4 （3）2 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用， （1）根据平方的非负性，求出结果即可； （2）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解． 掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，有最小值， ∵时，， ∴时，的最小值为7． 【小问2详解】 解：∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴代数式的最大值为； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 25. 如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当时，______cm． （2）如图①，当______时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】（1）4 （2）或 （3）运动的速度为或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； 【小问2详解】 解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； 【小问3详解】 设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期二中八年级数学第二次月考卷 考试时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列四个图形是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（ ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 3. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平分，于点E，于点F，连接交于点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 9. 如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点M，连接．有下列结论：①；②；③；④点O在的平分线上． 其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算：________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ___________． 13. 已知，，则的值为______． 14. 如图，在中，D，E是边上的两点，，则的度数为______． 15. 甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 16. 如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形.若，则的长为__________． 三、解答题（共86分） 17. 计算和因式分解． （1）； （2）． 18. 如图，已知，，，求证：． 19. “9·3”阅兵仪式以点线面铸就钢铁洪流，是展现国家力量的绝对证明．在阅兵仪式的观礼区内，有一块长为米，宽为米的长方形座位区．为方便特殊观礼群体，工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T”形区域（阴影部分）为普通观礼区． （1）用含x，y的式子表示普通观礼区的面积； （2）当时，请计算普通观礼区的面积． 20. 如图，在中，是边上的高，已知． （1）请画出边上的高； （2）求的长． 21. 请证明命题“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，画出图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程． 已知： 求证： 证明： 22. 下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． （1）计算：； （2）若，且，求的值． 23. 如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： （1）是等边三角形； （2）． 24. 阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）当________时，有最小值是________； （2）根据材料内容，求代数式的最大值； （3）已知：，，求代数式的值． 25. 如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． （1）如图①，当时，______cm． （2）如图①，当______时，的面积等于面积的一半； （3）如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $