精品解析：四川省荣县中学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

四川省荣县中学校2025-2026学年高二上学期12月月考 数学试题 一、单选题（共40分，每小题5分） 1. 若直线与垂直，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知向量，，则向量在向量上投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 方程，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示： 令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在四面体中，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左右焦点为，点在椭圆上，则的最大值是（ ） A. 9 B. 16 C. 25 D. 27 8. 在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（ ） A 1 B. C. 2 D. 二、多选题（共18分，每小题6分） 9. 已知抛物线过点，的焦点为，.直线与抛物线交于两点（均不与坐标原点O重合），且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 两点的纵坐标之积为－64 D. 直线l恒过点 10. 如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值． B. 无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C. 线段上存在点，使平面平面． D. 为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（    ） A. 曲线与直线有3个公共点； B. 的最大值为4 C. 曲线所围成的图形的面积为 D. 的最大值为 三、填空题（共15分，每小题5分） 12. 已知直线与直线平行，则__________. 13. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______． 14. 设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为_____________ 四、解答题 15. 2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图 （1）求这部分学生成绩中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率． 16. 已知圆C与x轴相切，圆心C在直线上，且与轴正半轴相交所得弦长． （1）求圆C的方程； （2）过点的直线交圆于C，于E，F两点，且，求直线的方程． 17. 已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2． （1）求抛物线C的方程和点坐标； （2）过点的直线l交抛物线C于A、B，若的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长． 18 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 19. 已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省荣县中学校2025-2026学年高二上学期12月月考 数学试题 一、单选题（共40分，每小题5分） 1. 若直线与垂直，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线垂直的充要条件得解. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 故选：A 2. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量定义，结合空间向量公式计算可求结果. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 3. 方程，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得. 【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12， 即， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为， 则，， 所以，， 故方程. 故选：B. 4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由相互独立事件概率乘法公式可得密码没有被破译的概率，由对立事件的概率性质可得答案． 【详解】根据题意，密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率为， 故该密码被成功破译的概率为． 故选：B. 5. 已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示： 令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布图分别计算，，比较大小可得. 【详解】由图可知， ， ， 所以，. 故选：D. 6. 在四面体中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解 【详解】连接,, 由已知得 ， 故选：D 7. 已知椭圆的左右焦点为，点在椭圆上，则的最大值是（ ） A. 9 B. 16 C. 25 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】 由椭圆定义得，然后由基本不等式可得结论． 【详解】由题意，， ，当且仅当时等号成立， 故选：C． 【点睛】本题考查椭圆的定义，考查基本不等式求最值．掌握椭圆的定义是解题基础． 8. 在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，利用勾股定理可表示出弦长，代入面积公式，结合二次函数求最值即可求解. 【详解】圆心到直线的距离， ， 又，所以，即. 故选：D. 二、多选题（共18分，每小题6分） 9. 已知抛物线过点，的焦点为，.直线与抛物线交于两点（均不与坐标原点O重合），且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 两点的纵坐标之积为－64 D. 直线l恒过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用抛物线焦半径公式可求得；对于B，将点代入抛物线方程即可得解；对于C，由向量的数量积公式得到，进面求得；对于D，联立直线与抛物线方程求得，从而得解. 【详解】∵，∴，∴，则的方程为，故A正确； 将点的坐标代入C的方程得，故，故B错误； 设，，∵，∴， ∴，又，∴，故C正确； 由题意知，直线的斜率不为，故设， 联立，消去得， ∴，∴，此时满足， ∴直线的方程为，显然恒过点，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值． B. 无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C. 线段上存在点，使平面平面． D. 为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；选项B，根据条件，可得面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面，即可作出判断，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断C和D选项的正误． 【详解】对于选项A，因为平面，平面平面， 所以，点到平面的距离等于， 的面积为， 所以，，故选项A正确； 对于选项B，连接，易知面，又面，所以， 又分别为棱的中点，则，而，所以， 又面，，所以面， 又面，所以平面平面，故选项B正确， 对于选项C，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、 、、，、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 设，可得点，其中， 则， 所以，解得， 故平面与平面不平行，所以选项C错误， 对于选项D，由选项C知，，， 设直线与所成角， 则， 当时，取得最大值，此时最小，所以选项D正确， 故选：ABD. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（    ） A. 曲线与直线有3个公共点； B. 的最大值为4 C. 曲线所围成的图形的面积为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，作出曲线的图形，令，则，确定该直线与相切时直线与轴的截距最大，利用直线与圆的位置关系计算即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，确定可表示为曲线上的点与定点的距离的平方，利用两点距公式计算即可判断. 【详解】对于A，由，得， 所以，即， 解得或，所以或或， 即曲线与直线有3个公共点，故A正确； 对于B，， 如图所示： 由图可知，所在圆的圆心为，半径为2，. 令，则，即， 如图，当该直线与相切时，直线与轴的截距最大， 由，得，解得，即的最大值为4，故B正确； 对于C，由选项B知，曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 在中，， 所以， 所以扇形的面积， ，所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故C错误； 对于D，可表示为曲线上的点与定点的距离的平方， 由图可知，最大距离为定点到圆心的距离与半径之和， 即， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 三、填空题（共15分，每小题5分） 12. 已知直线与直线平行，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平行关系列出等式求解的值并检验即可. 【详解】因为与平行，所以，解得或. 当时，直线，直线，两直线平行. 当时，直线，直线，化简为， 此时两直线重合，不符合要求，舍去. 故答案为：1. 13. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用离心率和双曲线关系可构造方程求得的值，由此可得渐近线方程. 【详解】双曲线的离心率，，解得：， 双曲线的渐近线方程为：. 故答案为：. 14. 设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理进行、椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】设， 因为两个曲线在第一象限内交于点， 所以有， 解得， 因为， 所以由余弦定理可知：， 因为，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，所以设， 于是有，化简得： ， 因为，所以， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用两种曲线的定义和余弦定理. 四、解答题 15. 2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图 （1）求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图按照中位数和平均数的计算方法即可求得答案； （2）确定第 组中的人数，从而求得5名学生中每组抽取的人数，列举出抽取两人的所有情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【小问1详解】 设中位数为x,平均数为, 因为前三个矩形面积为， 故，解得； . 【小问2详解】 人，人,即第五组有30人，第六组有20人, 人，人，即需从第五组抽取3人，从第六组抽取两人, 设从抽取的5人中抽取2人，设五组的三人为 ，第六组的两人为 , 则共有抽法为，共10种， 其中恰有一人得分为90及以上的抽法有6种， 故90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率． 16. 已知圆C与x轴相切，圆心C在直线上，且与轴正半轴相交所得弦长为． （1）求圆C的方程； （2）过点的直线交圆于C，于E，F两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据几何法，利用勾股定理即可求解， （2）根据直线与圆相交，弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设圆心，因为圆与轴的正半轴相切， 所以，圆的半径为，因为圆截轴所得弦的弦长为， 所以，即，又，所以， 所以圆． 【小问2详解】 当直线无斜率时，此时直线方程为，由题知：此时直线与圆C 截得的弦长为，不满足条件， 当直线有斜率时，设直线方程为：， 则圆心到直线的距离为 ， 所以，解得 ， 所以直线的方程为： 或 17. 已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2． （1）求抛物线C的方程和点坐标； （2）过点的直线l交抛物线C于A、B，若的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长． 【答案】（1）抛物线方程为：， 点坐标为（2，1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出，则可得抛物线方程，再将代入抛物线方程可求出，从而可求得点的坐标， （2）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再由的角平分线与y轴垂直，可得，化简可求出的值，再利用弦长公式可求得弦AB的长. 【小问1详解】 由可得：p＝2， 故抛物线方程为：， 当y＝1时，， 又因为x＞0，所以x＝2， 所以点坐标为（2，1）； 【小问2详解】 由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，，， 由，得， 所以，，， 因为的角平分线与y轴垂直，所以， 所以，即， 即， 所以，，， 所以. 18. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； 【小问2详解】 连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆的方程为，称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”，椭圆的焦距为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于、两点，与其“蒙日圆”交于、两点，当时，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，根据的值求出的方程，进而可求得的面积；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据可得出，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积的最大值. 【小问1详解】 解：因为椭圆的焦距为，离心率为， 则，可得，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：由题意，蒙日圆方程为，圆心为，半径， ①当轴时，设直线的方程为， 将代入“蒙日圆”的方程得，解得， 则，解得：， 将直线的方程代入椭圆C的方程可得，解得，则， 所以，； ②当直线不垂直轴时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，得， 联立，消去得， ，可得， 设、，则，， ， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 又因为，故的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $