宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题

平罗中学2025-2026学年第一学期第三次月考试题 高二数学 满分：150分 考试时长：120分 1、 单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1．记等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．63 B．70 C．84 D．126 2．已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度大小为（   ） A. B． C． D． 3．已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 6．已知，则（    ） A．0 B．2025 C．1 D．-2025 7．已知数列满足，则满足不等式的的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图所示是的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．在区间，上单调递增 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减 D．是的极小值点 10．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时， D．当或4时，取得最大值 11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点P的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．平面上有一点，则的最小值为5 D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 3． 填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，记数列的前项和为，则的值为 ． 13．已知函数，且，，，则的大小关系为 ． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，下列说法正确的序号是 . ①           ②双曲线的离心率为2 ③的面积为       ④直线的斜率为 4． 解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(13分）已知数列满足. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 16． （15分）已知函数. (1)求函数的切线方程； (2)求曲线的极值； (3)若函数在区间上为单调递增函数，求实数a的取值范围. 17．（15分）已知数列： (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求． 18．（17分）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线T上两个不同的点． (1)求抛物线T的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 19．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若为的两个不同的极值点，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年第一学期第三次月考试题 高二数学（参考答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B B A C C ABD BCD 题号 11 答案 AB 1．C 【分析】根据等差数列的性质及前n项和公式计算即可. 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：C. 2．A 【分析】利用导数求出的值，即可得出答案. 【详解】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度大小为. 故选：A. 3．B 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 4．B 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题可知：函数为单调递增且为上凸函数，所以，即. 故选：B 5．C 【分析】根据行列式定义及等比数列的通项公式求出公比，再由求和公式得解. 【详解】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 6．D 【分析】求导，令，即可得解. 【详解】由，得， ，得. 故选：D. 7．C 【分析】根据数列的递推式求出数列的通项公式，判断其单调性，令，求出n的范围，确定数列的项正负分界时的n的值，结合，即可确定k的值，即得答案. 【详解】由题意知数列满足， 故，则， 结合，可知数列为首项是，公比为的等比数列， 故，则， 由于在R上单调递减，则随n的增大而减小， 令，即得， 由于随n的增大而增大，且， 则，而，故， ， 即数列的前5项为正，从第6项起均为负， 故满足不等式的的值为6， 故选：C 8．C 【分析】设则,在中，利用余弦定理得到的方程，再利用得到的方程，两个方程联立，结合即可求解. 【详解】如图所示：      设,则,在中，， 由余弦定理得， 化简得，即.又， 即， 即， 化简得 ，又 所以 故选：C 9．ABC 【分析】先由导函数图象得到的单调性，进而得到极值点情况，从而可得结果. 【详解】由图象知，当和时，，所以函数在，上单调递增，故A正确； 当时，所以函数在区间上单调递减，故C正确； 当和时，，当时，所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，是的极大值点，故B正确，D错误． 故选：ABC. 10．BCD 【分析】根据给定的前项和，求出，再逐项判断作答. 【详解】数列的前项和，当时，， 而满足上式，所以，B正确； 数列是公差为的等差数列，是单调递减的，A不正确； 当时，，C正确； 当时，，即数列前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负， 因此当或4时，取得最大值，D正确. 故选：BCD 11．ABC 【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半， 所以，化简可得，故选项A正确； 对于B，联立方程组，可得， 解得，故存在点， 所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确； 对于C，过点P作垂直直线，垂足为B， 由题意可得，，则， 由图象可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故选项C正确； 对于D，由可得， 即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误. 故选：ABC. 12.【分析】由题可得，据此可得，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】由题，则在点处的切线斜率为. 斜率为：，则. 则，数列通项. 从而，所以. 13． 【分析】利用导数判断函数的单调性，再通过比较自变量的大小即可求解. 【详解】，， 当时，，，则， 在上单调递增， ，，即. 故答案为：. 14．①④ 【分析】对于①，由和双曲线的定义可得，，进而可得；对于②，由直线的斜率为，可得，在由余弦定理可得，进而可得；对于③，由可得，进而由可得；对于④，由点差法可得. 【详解】如图所示，对于①，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以，①正确． 对于②，已知直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则为锐角且，可得， 则， 在中，由余弦定理得， 即， 所以，因为，解得，②错误． 对于③，因为为钝角，则， 因，故， ，③错误． 对于④，设，则， 可得，因为，则， 由得，所以，则，④正确． 【点睛】关键点点睛：④直线的斜率为中点弦问题，考虑用点差法，设点做差可得，进而可得. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义即可求证， （2）根据等差数列的通项即可求解. 【详解】（1）为常数， 所以为公差为的等差数列， （2）由于为公差为的等差数列，且首项为， 所以，所以 16．(1)； (2)单调递增区间为，单调递减区间为，极小值为，无极大值； (3). 【分析】（1）求，设切点，解出切点利用点斜式求出在点处的切线方程； （2）求出，求，利用导数法求出的单调性，利用单调性得到极值； （3）求出，求出，由在区间上为单调递增函数，得到在区间上恒成立，从而得到在区间上恒成立，构造函数，利用导数法得到在区间上的单调性，从而得到，则有，即为实数a的取值范围. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用观察法及等差数列前n项和公式求解. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）依题意，. （2）由（1）知，， 错位相减可得 18．(1)； (2)8 (3)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 19．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导函数，结合的不同取值范围，分情况讨论即可求解单调区间； （2）求导函数，由题意可得有两个不等正根，可得，进而可得，令，利用导数求得最小值即可. 【详解】（1）由，易知， 求导可得， 当时，，解得，，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，，解得或，，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； 当时，在上恒成立，当且仅当时等号成立， 所以函数的单调递增区间为； 当时，，解得或，，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. 综上：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； （2）由题意知：， 有两个不等正根， 所以，解得：， 所以 ； 令，则， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增； 所以， 即的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $