第五章二次函数与平面图形（三角形、四边形）专题练习2025-2026学年苏科版九年级数学下册

第五章二次函数与平面图形（三角形、四边形）专题练习2025-2026学年苏科版九年级数学下册 一．二次函数与三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值； （3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标． 3．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标． 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； （3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）． （1）求b，c，m的值； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 6．如图，抛物线的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B． （1）求抛物线C1的表达式； （2）将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上； （3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 二．二次函数与四边形 7．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图2，若P是线段OA上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交AC于点N，设点P的横坐标为t，△ACH的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若P是x轴上一个动点，过P作直线PQ∥BC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1． （1）求抛物线的表达式． （2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值． （3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点C坐标； （2）如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与实践 如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l． （1）求点A，B，C的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点E，使OE＝EC，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点F在直线l上运动，点G在平面内运动，若以点B，C，F，G为顶点的四边形是菱形，且BC为边，直接写出点F的坐标． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点M的坐标； （3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为P，且与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线L1沿直线y＝m（m≥﹣1）翻折得到抛物线L2，其顶点为D，且与y轴交于点E． （1）当m＝1时，求点D的坐标； （2）如图2，连接DE，EB，BD，若△DEB为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式； （3）如图3，以OB，OC为邻边作矩形OBFC，若抛物线L2与矩形OBFC的边恰有两个交点，求m的取值范围． 参考答案与试题解析 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值． 【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决； （2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F， ∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴B（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∵BC垂直平分DD2，且D（0，﹣2）， ∴D2（1，﹣3）， ∵D，D1关于x轴对称， ∴D1（0，2）， ∴D1D2＝＝＝， ∴△DEF的周长的最小值为． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短问题，待定系数法求二次函数的解析式等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值； （3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决； （2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长； （3）求出直线AM的解析式，利用方程组求出点M的坐标，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．分三种情形：当AM＝AN时，当AM＝MN时，当AN＝MN时，分别构建方程求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2． 由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F， ∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴B（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∵BC垂直平分DD2，且D（0，﹣2）， ∴D2（1，﹣3）， ∵D，D1关于x轴对称， ∴D1（0，2）， ∴D1D2＝＝＝， ∴△DEF的周长的最小值为． （3）∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM． ∴S△ABM＝2d， 又∵S△AMN＝2d， ∴S△ABM＝S△AMN， ∴B，N到AM的距离相等， ∵B，N在AM的同侧， ∴AM∥BN， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 则有， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴设直线AM的解析式为y＝x+n， ∵A（﹣1，0）， ∴直线AM的解析式为y＝x+1， 由，解得或， ∴M（4，5）， ∵点N在射线CB上， ∴设N（t，t﹣3）， 过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q． ∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3）， ∴AM＝5，AN＝，MN＝， ∵△AMN是等腰三角形， 当AM＝AN时，5＝， 解得t＝1±， 当AM＝MN时，5＝， 解得t＝6±， 当AN＝MN时，＝， 解得t＝， ∵N在第一象限， ∴t＞3， ∴t的值为，1+，6+， ∴点N的坐标为（，）或（1+，﹣2+）或（6+，3+）． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先求出点C、D坐标，设N（﹣1，n），其中n＞﹣4，由勾股定理求出AC2、AN2、CN2，根据等腰三角形的性质，分AN＝AC、NA＝NC和CA＝CN三种情况解答即可求解； （3）根据勾股定理的逆定理得出△MCD是等腰直角三角形，进而可得S△PMC＝2S△DMC＝2，连接MB，设MD交x轴于点E，则ME＝EB＝2，得出△MBE是等腰直角三角形，进而得出S△BMC＝2，则点P与点B重合时符合题意，即得P（1，0）；过点B作BP⊥AC交抛物线于点P，得出直线BP的解析式为y＝﹣x+1，联立抛物线解析式，解方程组即可求解． 【解答】解：（1）把点A（﹣3，0）和点B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形；理由如下： 把x＝0代入y＝x2+2x﹣3得，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， 又∵OA＝3， ∴AC2＝32+32＝18， ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴D（﹣1，﹣4）， ∵点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，设N（﹣1，n），其中n＞﹣4， ∴AN2＝（﹣3+1）2+（n﹣0）2＝4+n2，CN2＝（﹣1﹣0）2+（n+3）2＝n2+6n+10， ①当AN＝AC时，4+n2＝18， 解得或； ②当NA＝NC时，4+n2＝n2+6n+10， 解得n＝﹣1； ③当CA＝CN时，18＝n2+6n+10， 解得或（不合题意，舍去）； 综上所述，存在点或或（﹣1，﹣1）或，使得以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形； （3）设直线AC的解析式为y＝kx+m，代入A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得： ， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， 当x＝﹣1时，y＝﹣2， ∴M（﹣1，﹣2）， ∴，MD＝﹣2﹣（﹣4）＝2， ∵， ∴MD2＝MC2+CD2， ∴△MCD是等腰直角三角形， ∴， 连接MB，设MD交x轴于点E，则ME＝EB＝2， ∴△MBE是等腰直角三角形， ∴∠BME＝45°，， 又∵∠DMC＝45°， ∴∠BMC＝90°， ∴BM⊥AC， ∴， ∴点P与点B重合时符合题意，此时P（1，0）； 如图2，过点B作BP∥AC交抛物线于点P， 设直线BP的解析式为y＝﹣x+t，将B（1，0）代入得，0＝﹣1+t， ∴t＝1， ∴直线BP的解析式为y＝﹣x+1，将B，P的坐标代入得： ， 解得或， ∴P（﹣4，5）； 综上所述，P（1，0）或P（﹣4，5）． 【点评】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求解析式，面积问题，等腰三角形的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； （3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，则点P、C关于抛物线对称轴对称，设Q（m，m2﹣2m﹣3），运用勾股定理代入可列式子，解出即可求解； （3）由S＝S△OHP﹣S△OHQ＝OH×（yQ﹣yP），即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 则﹣3a＝﹣3， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时， 抛物线的对称轴为直线x＝1， 则点P、C关于抛物线对称轴对称， 则点P（2，﹣3）， 设Q（m，m2﹣2m﹣3）， ∵∠OPQ＝90°， ∴OP2+PQ2＝OQ2， ∴[（0﹣2）2+（0+3）2]+[（2﹣m）2+（﹣3﹣m2+2m+3）2]＝[m2+（m2﹣2m﹣3）2] 整理得：3m2﹣8m+4＝0， 解得：m1＝，m2＝2（舍去）， ∴m＝， ∴Q（，﹣）； （3）存在，理由： 设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点Q（m+1，（m+1）2﹣2（m+1）﹣3），设直线PQ交x轴于点H， 由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝（2m﹣1）（x﹣m）+m2﹣2m﹣3， 令y＝0， 则x＝+m， 则OH＝+m， 则S＝S△OHP﹣S△OHQ＝OH×（yQ﹣yP）＝×（+m）[（m+1）2﹣2（m+1）﹣3﹣m2+2m+3]＝（m2+m+3）＝（m+）2+≥， 即S存在最小值为． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、直角三角形的性质等，数据处理是解题的难点． 5．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）． （1）求b，c，m的值； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程组即可得b，c的值，令y＝0即可得m的值； （2）设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四边形DEFG的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，证明△MCH≌△NCK，根据全等三角形的性质得NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则N（﹣4，3），利用待定系数法可得直线BN的解析式为y＝﹣x+，可得Q（0，），设P（2，p），利用勾股定理表示出PQ2、BP2、BQ2，分两种情况：①当∠BQP＝90°时，②当∠QBP＝90°时，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得． ∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5， 令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1， ∴B（5，0）， ∴m＝5； （2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴对称轴为x＝2， 设D（x，﹣x2+4x+5）， ∵DE∥x轴， ∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5）， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴， ∴四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20， ∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大， ∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）； （3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K， ∴∠NKC＝∠MHC＝90°， 由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM， ∵B（5，0），C（0，5）． ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵CH⊥对称轴于H， ∴CH∥x轴， ∴∠BCH＝45°， ∴∠BCH＝∠OCB， ∴∠NCK＝∠MCH， ∴△MCH≌△NCK（AAS）， ∴NK＝MH，CK＝CH， ∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴对称轴为x＝2，M（2，9）， ∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2， ∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2， ∴N（﹣4，3）， 设直线BN的解析式为y＝mx+n， ∴，解得， ∴直线BN的解析式为y＝﹣x+， ∴Q（0，）， 设P（2，p）， ∴PQ2＝22+（p﹣）2＝p2﹣p+， BP2＝（5﹣2）2+p2＝9+p2， BQ2＝52+（）2＝25+， 分两种情况： ①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2， ∴9+p2＝p2﹣p++25+，解得p＝， ∴点P的坐标为（2，）； ②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2， ∴p2﹣p+＝9+p2+25+，解得p＝﹣9， ∴点P′的坐标为（2，﹣9）． 综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、翻折的性质，全等三角形的判定和性质，两点间的距离公式以及勾股定理，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的运用． 6．如图，抛物线的图象经过点D（1，﹣1），与x轴交于点A，点B． （1）求抛物线C1的表达式； （2）将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上； （3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点D的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由题意得：C2：y＝（x﹣1）2+（x﹣1）﹣4+3＝（x﹣）2﹣，当x＝1时，y＝（x﹣）2﹣＝（1﹣）2﹣＝﹣1，即可求解； （3）当∠BDP为直角时，证明△DGB≌△EHD（AAS），求出点E（2，2），当x＝2时，y＝（x﹣）2﹣＝（2﹣）2﹣＝2，即点E在抛物线C2上，即点P即为点E（2，2）；当∠DBP为直角时，同理可解；当∠HPD为直角时，如图3，同理可得点E（0，1），即可求解． 【解答】解：（1）将点D的坐标代入抛物线表达式得：﹣1＝a+﹣4， 解得：a＝， 则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣4； （2）由题意得：C2：y＝（x﹣1）2+（x﹣1）﹣4+3＝（x﹣）2﹣， 当x＝1时，y＝（x﹣）2﹣＝（1﹣）2﹣＝﹣1， 故点D在抛物线C2上； （3）存在，理由： 当∠BDP是直角时， 如图1，过点D作DE⊥BD且DE＝BD，则△BDE为等腰直角三角形， ∵∠BDG+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°， ∴∠BDG＝∠DEH， ∵∠DGB＝∠EHD＝90°， ∴△DGB≌△EHD（AAS）， 则DH＝BG＝1，EH＝GD＝1+2＝3， 则点E（2，2）， 当x＝2时，y＝（x﹣）2﹣＝（2﹣）2﹣＝2， 即点E在抛物线C2上， 即点P即为点E（2，2）； 当∠DBP为直角时，如图2， 同理可得：△BGE≌△DHB（AAS）， 则DH＝3＝BG，BH＝1＝GE， 则点E（﹣1，3）， 当x＝﹣1时，y＝（x﹣）2﹣＝（﹣1﹣）2﹣＝3， 即点E在抛物线C2上， 即点P即为点E（﹣1，3）； 当∠BPD为直角时，如图3， 设点E（x，y）， 同理可得：△EHB≌△DGE（AAS）， 则EH＝x+2＝GD＝y+1且BH＝y＝GE＝1﹣x， 解得：x＝0且y＝1，即点E（0，1）， 当x＝0时，y＝（x﹣）2﹣＝（0﹣）2﹣≠1， 即点E不在抛物线C2上； 综上，点P的坐标为：（2，2）或（﹣1，3）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 7．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）如图2，若P是线段OA上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交AC于点N，设点P的横坐标为t，△ACH的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若P是x轴上一个动点，过P作直线PQ∥BC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标； （2）求出直线AC的函数解析式，用含t的式子表示出点N、H的坐标，得出NH，再根据求出S关于t的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （3）求出B点坐标，得到OB的长，再分CQ∥BP、点P在点A的左侧，CP∥BQ和当点P点A的右侧，CP∥BQ三种情况，画出图形解答即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（﹣3，0）和B，与y轴交于点C（0，3），把点A，点C的坐标代入代入y＝ax2﹣2x+c得： ， 解得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）； （2）设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，把点A，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴直线AC的函数解析式为y＝x+3， 把x＝t代入y＝x+3得：y＝t+3， ∴点N的坐标为（t，t+3）， ∵点P的横坐标为t， ∴PH∥y轴， ∴点H的横坐标为t， ∴点H的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）， ∴HN＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为； （3）在x轴上存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形；理由如下： 把y＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3得，0＝﹣x2﹣2x+3， 解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（1，0）， ∴OB＝1， 如图1，当CQ∥BP时，四边形BCQP为平行四边形， ∴CQ＝PB， 把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得，﹣x2﹣2x+3＝3， 解得x1＝0，x2＝﹣2， ∴Q（﹣2，3）， ∴CQ＝2， ∴BP＝2， ∴OP＝2﹣1＝1， ∴P（﹣1，0）； 如图2，当点P在点A的左侧，CP∥BQ时，四边形BCPQ是平行四边形， 过点Q作QM⊥x轴于M，则∠QMP＝∠COB＝90°， ∵四边形BCPQ是平行四边形， ∴PQ＝BC，PQ∥BC， ∴∠QPM＝∠CBO， ∴△QPM≌△CBO（AAS）， ∴MP＝OB＝1，MQ＝OC＝3， ∴点Q的纵坐标为﹣3， 把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得，﹣3＝﹣x2﹣2x+3， 解得，（不符合，舍去）， ∴点P的横坐标为， ∴； 如图3，当点P在点A的右侧，CP∥BQ时，四边形BCPQ是平行四边形， 过点Q作QN⊥x轴于N，则∠QNP＝∠COB＝90°， 同理可得； 综上，点P的坐标为（﹣1，0）或或． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（0，3），其顶点的横坐标为1． （1）求抛物线的表达式． （2）若直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值，并求出最大值． （3）若点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M，是否能与A、P、Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线顶点横坐标，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，结合点A的坐标，可得出抛物线与x轴另一交点的坐标，结合点B的坐标，再利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式； （2）由“直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M”，可得出点M，N的坐标，进而可得出AN，MN的值，代入AN+MN中，可得出AN+MN＝﹣（m﹣）2+，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题； （3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+4，利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点M的坐标，假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4），分AM为对角线、AP为对角线及AQ为对角线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于n的一元一次方程，解之可得出n值，再将其代入点Q的坐标中，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点横坐标为1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1． ∵点A的坐标为（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0）． 将（﹣1，0），（3，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵直线x＝m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M， ∴点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点N的坐标为（m，0）， ∴MN＝﹣m2+2m+3，AN＝m+1， ∴AN+MN＝m+1+（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+， ∵﹣1＜0，且0＜m＜3， ∴当m＝时，AN+MN有最大值，最大值为； （3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线向左平移1个单位长度后的表达式为y＝﹣x2+4． 当x＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝， ∴点M的坐标为（，）． 假设存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，设点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（n，﹣n2+4）． ①当AM为对角线时，对角线AM，PQ互相平分， ∴＝， 解得：n＝﹣， ∴点Q的坐标为（﹣，）； ②当AP为对角线时，对角线AP，MQ互相平分， ∴＝， 解得：n＝﹣， ∴点Q的坐标为（﹣，）； ③当AQ为对角线时，对角线AQ，PM互相平分， ∴＝， 解得：n＝， ∴点Q的坐标为（，﹣）． 综上所述，存在以A，P，Q，M为顶点的平行四边形，点Q的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，﹣）． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质，求出AN+MN的最大值；（3）利用平行四边形的性质（对角线互相平分），找出关于n的一元一次方程． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点C坐标； （2）如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由OB＝3OA＝3可得点B，A坐标，再通过待定系数法求解． （2）由点B，C坐标求出直线BC解析式，作PF⊥x轴交BC于点F，设点P坐标为（m，﹣m2+2m+3），由PF与PE的关系求解． （3）分类讨论点P在不同位置，结合图象，根据菱形的性质求解． 【解答】解：（1）∵OB＝3OA＝3， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 将（3，0），（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3， 将x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3， ∴点C坐标为（0，3）． （2）设直线BC解析式为y＝kx+b，将（3，0），（0，3）代入y＝kx+b得， 解得， ∴y＝﹣x+3， 作PF⊥x轴交BC于点F， ∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵PE∥x轴， ∴∠PEF＝∠OBC＝45°， ∴PF＝PE， 设点P坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点F坐标为（m，﹣m+3）． ∴PF＝PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+， ∴m＝时，PE的最大值为，此时点P坐标为（，）． （3）①如图，PM＝CM， 设点P坐标为（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3），由（2）得PM＝﹣m2+3m， ∵点C坐标为（0，3）， ∴CM＝＝m， ∴﹣m2+3m＝m， 解得m＝0（舍）或m＝3﹣， ∴GC＝CM＝3﹣2， ∴OG＝OC+CG＝3+3﹣2＝3+1， ∴点G坐标为（0，3+1）． ②如图，PM＝CG时四边形PCGM为平行四边形，PG⊥CM时四边形PCGM为菱形， ∵PM＝﹣m2+3m，点C坐标为（0，3）， ∴点G坐标为（0，m2﹣3m+3）， 作GN⊥PM， ∵∠CBO＝45°， ∴∠GPN＝∠PMC＝∠BNQ＝45°， ∴GN＝PN，即m＝﹣m2+2m+3﹣（m2﹣3m+3）， 解得m＝0（舍）或m＝2， ∴点G坐标为（0，1）． ③如图，PM＝CM， 由①可得m2﹣3m＝m， 解得m＝3+， ∴PM＝CG＝CM＝3+2， ∴点G坐标为（0，1﹣3）． 综上所述，点G坐标为（0，3+1）或（0，1）或（0，1﹣3）． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握菱形的判定及性质，通过分类讨论求解． 10．如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线经过点B（3，0），可得A（﹣1，0），用待定系数法即可求解； （2）求出直线BC的解析式，设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3），利用勾股定理表示出AC2，AN2，CN2，然后分①当AC＝AN时，②当AC＝CN时，③当AN＝CN时三种情况进行讨论，列出关于t的方程，求出t的值，即可写出点N的坐标； （3）分两种情形讨论：①当BC为对角线时，②当BC为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0）， ∴A（﹣1，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， 将点B（3，0）代入得：0＝3k+3， 解得：k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； 设点D坐标为（t，﹣t2+2t+3），则点N（t，﹣t+3）， ∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴AC2＝12+32＝10， AN2＝（t+1）2+（﹣t+3）2＝2t2﹣4t+10， CN2＝t2+（3+t﹣3）2＝2t2， ①当AC＝AN时，AC2＝AN2， ∴10＝2t2﹣4t+10， 解得t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为（2，1）； ②当AC＝CN时，AC2＝CN2， ∴10＝2t2， 解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为（，3﹣）； ③当AN＝CN时，AN2＝CN2， ∴2t2﹣4t+10＝2t2， 解得t＝， ∴点N的坐标为（，）； 综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3﹣）或（，）； （3）设E（1，a），F（m，n）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴BC＝3， ①以BC为对角线时，BC2＝CE2+BE2， ∴（3）2＝12+（a﹣3）2+a2+（3﹣1）2， 解得：a＝，或a＝， ∴E（1，）或（1，）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴m+1＝0+3，n+＝0+3或n+＝0+3， ∴m＝2，n＝或n＝， ∴点F的坐标为（2，）或（2，）； ②以BC为边时，BE2＝CE2+BC2或CE2＝BE2+BC2， ∴a2+（3﹣1）2＝12+（a﹣3）2+（3）2或12+（a﹣3）2＝a2+（3﹣1）2+（3）2， 解得：a＝4或a＝﹣2， ∴E（1，4）或（1，﹣2）， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴m+0＝1+3，n+3＝0+4或m+3＝1+0，n+0＝3﹣2， ∴m＝4，n＝1或m＝﹣2，n＝1， ∴点F的坐标为（4，1）或（﹣2，1）， 综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（﹣2，1）． 【点评】本题是二次函数综合题，本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，二次函数的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题． 11．综合与实践 如图，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线l． （1）求点A，B，C的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点E，使OE＝EC，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点F在直线l上运动，点G在平面内运动，若以点B，C，F，G为顶点的四边形是菱形，且BC为边，直接写出点F的坐标． 【分析】（1）令y＝0，解方程即可求得点A和点B的坐标；令x＝0，求得y值，即可求得点C的坐标； （2）由OE＝EC可得点E在OC的垂直平分线上，则点E的纵坐标为﹣1，将y＝﹣1代入抛物线y＝x2﹣x﹣2，求出x的值，即可求解； （3）分两种情况：①当BC为边，BF为对角线时；②当BC为边，CF为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【解答】解：（1）当y＝x2﹣x﹣2＝0时， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）； 当x＝0时，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2， ∴C（0，﹣2）； （2）∵OE＝EC， ∴点E在OC的垂直平分线上， ∵C（0，﹣2）， ∴点E的纵坐标为﹣1， 将y＝﹣1代入抛物线y＝x2﹣x﹣2得， x2﹣x﹣2＝﹣1，解得x＝； ∴点E的坐标为（，﹣1）或（，﹣1）； （3）∵y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）， ∴y＝x2﹣x﹣2的对称轴为直线x＝＝， 设点F的坐标的坐标为（，m）， ①当BC为边，BF为对角线时，BC＝CF， ∴BC2＝CF2， ∴42+22＝（）2+（m+2）2， 解得m＝±， ∴点F的坐标为（，﹣2）或（，﹣﹣2）； ②当BC为边，CF为对角线时，BC＝BF， ∴BC2＝BF2， ∴42+22＝（4﹣）2+m2， 解得m＝±， ∴点F的坐标为（，）或（，﹣）； 综上所述，点F的坐标为（，﹣2）或（，﹣﹣2）或（，）或（，﹣）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、线段垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点M的坐标； （3）点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线解析式得，解得，即可得出结论； （2）由待定系数法得直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3），过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，证△OMN≌△HOK（AAS），得MN＝OK，ON＝HK．则H（﹣2m+6，﹣m），再由点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上，得﹣2（﹣2m+6）+6＝﹣m，解得m＝，即可解决问题； （3）分两种情况讨论，①当CD为菱形的边时，②当CD为菱形的对角线时，分别求出点Q的坐标即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6； （2）由（1）得，点C（0，6）， 设直线BC的解析式为y＝kx+c， ∵直线BC经过点B（3，0），C（0，6）， ∴， 解得： ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6， 设点M的坐标为（m，﹣2m+6）（0＜m＜3）， 如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K， 则∠MNO＝∠OKH＝90°， ∵OH⊥OM， ∴∠MOH＝90°， ∵∠OMB＝45°， ∴△MOH是等腰直角三角形， ∴OM＝OH． ∵∠MON+∠KOH＝90°，∠OHK+∠KOH＝90°， ∴∠MON＝∠OHK， ∴△OMN≌△HOK（AAS）， ∴MN＝OK，ON＝HK． ∴H（﹣2m+6，﹣m）， ∵点H（﹣2m+6，﹣m）在直线y＝﹣2x+6上， ∴﹣2（﹣2m+6）+6＝﹣m， 解得：m＝， 把m＝代入y＝﹣2x+6得：y＝， ∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为（）； （3）存在，理由如下： ∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，顶点为D， ∴点D的坐标为（1，8）， 分两种情况讨论： ①当CD为菱形的边时， 如图2，过C作CE⊥DQ于E ∵C（0，6），D（1，8）， ∴CD＝＝， ∴DQ＝CD＝， ∴Q点的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）； ②当CD为菱形的对角线时， 如图3，设点Q（1，m），P（0，n）， ∵C（0，6），D（1，8）， ∴m+n＝6+8＝14， ∴n＝14﹣m， ∴P（0，14﹣m）， ∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m， ∵CQ＝＝，PC＝CQ， ∴8﹣m＝， 解得：m＝， ∴点Q的坐标为（1，）； 综上所述，点Q的坐标为（1，8﹣）或（1，8+）或（1，）． 【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、两点间的距离、二次函数的图象、一次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法菱形的性质，证明三角形全等和进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 13．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为P，且与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线L1沿直线y＝m（m≥﹣1）翻折得到抛物线L2，其顶点为D，且与y轴交于点E． （1）当m＝1时，求点D的坐标； （2）如图2，连接DE，EB，BD，若△DEB为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式； （3）如图3，以OB，OC为邻边作矩形OBFC，若抛物线L2与矩形OBFC的边恰有两个交点，求m的取值范围． 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式并结合轴对称即可得到答案； （2）根据对称的性质可得D（2，2m+1），得出抛物线L2：y＝﹣（x﹣2）2+2m+1＝﹣x2+4x+2m﹣3，再求得：E（0，2m﹣3），B（3，0），利用两点间距离公式求得DE2＝20，BE2＝4m2﹣12m+18，BD2＝4m2+4m+2，分三种情况：①当∠DEB＝90°时，②当∠EDB＝90°时，③当∠EBD＝90°时，分别运用勾股定理建立方程求解即可； （3）先证得四边形OBFC是正方形，得出点F的坐标为（3，3），当抛物线L2的顶点在OB上时，m＝＝﹣；当抛物线L2的顶点在CF上时，m＝＝1；当抛物线L2的顶点经过点F时，m＝；当抛物线L2的顶点经过点C时，m＝3；即可求得答案． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）， ∴抛物线L1的顶点为P（2，﹣1）， ∵m＝1，点D与点P关于直线y＝1对称， ∴D（2，3）； （2）由题意得：抛物线L1的顶点P（2，﹣1）与抛物线L2的顶点D关于直线y＝m对称， ∴D（2，2m+1）， ∴抛物线L2：y＝﹣（x﹣2）2+2m+1＝﹣x2+4x+2m﹣3， ∴当x＝0时，y＝2m﹣3， ∴E（0，2m﹣3）， 在y＝x2﹣4x+3中，当y＝0时，x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴B（3，0）， ∴DE2＝（2﹣0）2+[（2m+1）﹣（2m﹣3）]2＝20， BE2＝（0﹣3）2+[（2m﹣3）﹣0]2＝4m2﹣12m+18， BD2＝（2﹣3）2+[（2m+1）﹣0]2＝4m2+4m+2， ①当∠DEB＝90°时，DE2+BE2＝BD2， 即20+4m2﹣12m+18＝4m2+4m+2， 解得：m＝， ∴y＝﹣x2+4x+； ②当∠EDB＝90°时，DE2+BD2＝BE2， 即20+4m2+4m+2＝4m2﹣12m+18， 解得：m＝﹣， ∴y＝﹣x2+4x﹣； ③当∠EBD＝90°时，BE2+BD2＝DE2， 即4m2﹣12m+18+4m2+4m+2＝20， 解得：m＝0或m＝1， ∴y＝﹣x2+4x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣1； 综上所述，抛物线L2所对应的函数表达式为y＝﹣x2+4x+或y＝﹣x2+4x﹣或y＝﹣x2+4x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣1； （3）在y＝x2﹣4x+3中，当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， ∵四边形OBFC是矩形，且OB＝OC＝3， ∴矩形OBFC是正方形， ∴点F的坐标为（3，3）， 当抛物线L2的顶点在OB上时，D（2，0）， 此时m＝＝﹣； 当抛物线L2的顶点在CF上时，D（2，3）， 此时m＝＝1； 当抛物线L2的顶点经过点F时， 把F（3，3）代入y＝﹣x2+4x+2m﹣3，得3＝﹣32+4×3+2m﹣3， 解得：m＝； 当抛物线L2的顶点经过点C时， 把C（0，3）代入y＝﹣x2+4x+2m﹣3，得3＝2m﹣3， 解得：m＝3； ∵抛物线L2与矩形OBFC的边恰有两个交点， ∴﹣＜m＜1或＜m＜3． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，翻折变换的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，两点间距离公式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/27 20:39:24；用户：沈晓伟；邮箱：orFmNt-72lbAHdKYUsSxwOObB6og@weixin.jyeoo.com；学号：23270586 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $