精品解析：甘肃省兰州市西北中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

甘肃省兰州市西北中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 出题人：周家萱 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题p：函数为减函数，命题q：，则p是q的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若，则的最大值为2； C. 当且仅当均为正数时，成立. D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“”的“否定为” B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 函数在区间单调递减，则的取值范围是 D. ，使得时，恒成立 11. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M={1，1，2，4}，N={1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共20分） 12. 若函数（且）的图象恒过点，且点在幂函数的图象上，则______． 13. 函数的定义域是__________. 14. 函数的最小值为_________． 四、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分） 15. （1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值； 16. 已知函数. （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明； （3）求不等式的解集. 17. 已知函数且点在函数的图象上. （1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （2）求不等式的解集； （3）若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 18. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）求函数在上的值域. 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”. （1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省兰州市西北中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 出题人：周家萱 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出指数函数的值域可得集合,求出根式函数得定义域可得集合，再由集合的并集定义计算即得. 【详解】因，， 故. 故选：A. 2. 若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，再结合特殊值即可比较大小. 【详解】根据对数函数的单调性可知：， ，， 根据指数函数的单调性可知：， 所以有， 故选：D. 3. 已知命题p：函数为减函数，命题q：，则p是q的（　　） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求对应的参数的范围，再结合两个范围之间的关系可得两者之间的条件关系. 【详解】因为为减函数，则即， 而为的真子集，故是的充分不必要条件， 故选：C. 4. 已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数的图象与性质可得，.再根据函数（，且）与函数（，且）的图象的对称性，数形结合即可求解. 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 5. 设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下： 0.125 0.4375 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】由换底公式得，，， 所以. 故选：D. 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性分析即可. 【详解】由，得或， 因为在上单调递增，由复合函数的单调性，可得在上单调递增． 故选：D. 8. 已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合得到，得到答案. 【详解】画出的图象， 显然当时，方程恰有三个不同的实数解，B正确，ACD错误. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若，则的最大值为2； C. 当且仅当均为正数时，成立. D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，通过定义域不同即可判断，对于B，由基本不等式即可判断，对于C，通过举例即可判断，对于D，由和两类情况讨论求解即可. 【详解】对A：定义域为，定义域为， 故函数与 不是同一个函数，故A错误； 对于B：，即， 得，当且仅当时，取得最大值2，故B正确， 对于C，当时，也成立，故C错误； 对于D，当时，，其定义域为，符合要求； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是，故D正确. 故选：BD 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“”的“否定为” B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 函数在区间单调递减，则的取值范围是 D. ，使得时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据命题的否定判断即可；对于B，由抽象函数值域的求解方式求解即可；对于C，根据复合函数单调性知在单调递减，则即可判断；对于D，根据指数函数､幂函数､对数函数增长速度的差异即可判断． 【详解】命题“”的否定为“”，故A正确； 若函数的定义域为，则，故， 所以的定义域为，令，解得， 所以的定义域为，B错误； 因为在区间单调递减，又是增函数， 所以在单调递减， 所以，所以的取值范围是，故C正确； 当，取，此时， 因为函数增长由快到慢依次为指数函数､幂函数､对数函数， 所以时，恒成，故D正确； 故选：ACD． 11. 中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M={1，1，2，4}，N={1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据选项中的解析式依次判断即可. 【详解】对选项A，当时，，故A错误； 对选项B，任意都有，故B正确. 对选项C，任意都有，故C正确. 对选项D，当时，，故D错误； 故选：BC 三、填空题（每小题5分，共20分） 12. 若函数（且）的图象恒过点，且点在幂函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先找到定点的坐标，通过点坐标求解幂函数的解析式，从而可求． 【详解】对于函数， 令，解得，此时， 因此函数的图象恒过定点， 设幂函数， 在幂函数的图象上，，解得． ．则. 故答案为： 13. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根号下大于等于0和对数真数大于0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 则其定义域为. 故答案为：. 14. 函数的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 四、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分） 15. （1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值； 【答案】（1）28； （2）8； （3） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简； （2）利用对数的运算法则化简； （3）将平方得出，再将其平方得出即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2） ； （3）因为，所以，得， 则，故， 所以. 16. 已知函数. （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）奇函数，证明如下： 由（1）知的定义域为， 设，则, 且，故为奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明； （3）根据对数函数的单调性进行求解． 【小问1详解】 要使函数有意义,则， 解得，故所求函数的定义域为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为，所以，即 可得，解得,又， 所以， 所以不等式的解集是． 17. 已知函数且点在函数的图象上. （1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （2）求不等式的解集； （3）若方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1），图象如下. （2） 且 （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到，从而得到，再画出函数图象即可. （2）分类讨论求解不等式即可. （3）根据图象得到，即可得到答案. 【小问1详解】 因为，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 所以或. 所以且 【小问3详解】 因为方程有三个不相等的实数根，且， 由图知：，解得 18. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）求函数在上的值域. 【答案】（1） （2） 单调递增， 证明：令，定义域为R， ，则， 因为，则， 又，在R上单调递增， 故，得， 即在R上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）构造方程组求解即可； （2）单调递增，，可得，从而； （3）由二次函数单调性即可求解. 【小问1详解】 由，① 可得，② ②①得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）， 对称轴为，又抛物线开口向上， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 所以函数在上的值域是. 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”. （1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数不是“函数”，理由如下： 对于，取， 则. 因为，不满足， 故不是“函数”； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为不等式恒成立问题，最终转化为求函数最值的问题即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是“函数”， 所以对于任意的， 有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故， 则， 则，即，即实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是正确理解函数新定义，将问题转化成不等式恒成立问题来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $