精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2025年人教版小升初考试（QB班选拔）数学试卷

雅礼系QB数学科学班初试真题卷 （时量：70分钟 满分：100分） 一、选择题（每题4分，共28分） 1. 有一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积（ ）。 A. 不一定相等 B. 一定不相等 C. 一定相等 D. 无法确定 2. 观察如图，打乱的①号图形（ ）运动到达正确位置。 A. 绕①的中心点逆时针旋转90° B. 绕①的中心点顺时针旋转90° C. 绕①的中心点逆时针旋转90°，再向左平移2格 D. 绕①的中心点逆时针旋转90°，再向右平移2格 3. 将甲组人数的分给乙组，则乙组人数就比甲组剩下的人数多，原来甲、乙两组人数的比是（ ）。 A. B. C. D. 4. 算式×××…×的结果，一定（ ）。 A. 大于2 B. 大于 C. 大于且小于 D. 大于0且小于 5. 若＜＜，则式中a最多可能表示（ ）个不同的自然数。 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 下列多项式不能用平方差公式分解的是（ ）。 A. B. C. D. 7. 甲比乙多2倍，乙比丙多且甲、乙、丙都不为零，则甲∶乙∶丙＝（ ）。 A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共28分） 8. 一艘轮船顺流而下，前3个小时每小时行40千米，后4个小时共行驶90千米，这艘轮船平均每小时行驶_____千米。 9. 观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，_____，448。 10. 30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至少要试_____次。 11. 有6个数排成一列，这6个数的平均数是11，前4个数的平均数是9，后3个数的平均数是14，则第四个数是_____。 12. 两支大小、长度都不相同的蜡烛，长的一支需要7分钟烧完，短的一支需要10分钟烧完，现在这两支蜡烛同时点燃4分钟后，高度相同，则原来短蜡烛的高度与长蜡烛的高度比是_____。 13. ①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9 ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____ 14. 有500个乒乓球运动员通过淘汰赛产生1个冠军，要打_____场比赛。 三、计算题（8分） 15. 如图所示是15世纪意大利一本算术书中介绍的“格子乘法”，请你照样子算264×37的积。 四、解答题（每题9分，共36分） 16. 五名裁判员给一名体操运动员评分，去掉一个最高分和一个最低分后平均得分是9.38分。若去掉一个最高分平均得分为9.26分；若去掉一个最低分平均得分为9.46分。这名体操运动员的最高分和最低分分别是多少分？ 17. 据了解，火车票按“”的方法来确定。已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元。下表是沿途各站至H站的里程数： 车站名 A B C D E F G H 各站至H站的里程数（单位：千米） 1500 1130 910 622 402 219 72 例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为：（元）。 （1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）； （2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价66元，马上说下一站就到了。请问王大妈实际乘车的里程数是多少千米？在哪两个站之间？（要求写出解答过程）。 18. 韩信分油。 有两个合伙卖油的商人，要把剩下的十斤油平分。但当时没有带秤，只有十斤的一个油篓，七斤的一个油罐，三斤的一个油葫芦。两人把油倒来倒去，折腾了半天也没分开。这时韩信正从这里骑马经过，他问明原因，在马上略一思索，就想出了分油的方法。两个商人用韩信的办法去分，果然把十斤油平分了。 试问：韩信想出了怎样的分油办法？ 19. 如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼系QB数学科学班初试真题卷 （时量：70分钟 满分：100分） 一、选择题（每题4分，共28分） 1. 有一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积（ ）。 A. 不一定相等 B. 一定不相等 C. 一定相等 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；有一组相对的面是正方形的长方体，它的长和宽相等，其余四个面的面积相等；由此解答。 【详解】根据分析，有一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面是长方形，且它们的面积一定相等。 故答案为：C 2. 观察如图，打乱的①号图形（ ）运动到达正确位置。 A. 绕①的中心点逆时针旋转90° B. 绕①的中心点顺时针旋转90° C. 绕①的中心点逆时针旋转90°，再向左平移2格 D. 绕①的中心点逆时针旋转90°，再向右平移2格 【答案】A 【解析】 【分析】旋转是指在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。 平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的运动叫做图形的平移。 【详解】如图： 打乱的①号图形（绕①的中心点逆时针旋转90°）运动到达正确位置。 故答案为：A 3. 将甲组人数的分给乙组，则乙组人数就比甲组剩下的人数多，原来甲、乙两组人数的比是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将甲组原人数看作单位“1”，将甲组人数的分给乙组，则甲组现在人数为1－＝，根据题干意思，乙组人数就比甲组剩下的人数多，也就是说现在乙组人数是甲组剩下的人数的，所以可用×算出现在乙组人数，再减去甲组分来的，就是原来乙组人数，从而算出比。 【详解】（1－）×（1＋） ＝× ＝ －＝ 原来甲、乙两组人数的比是：1∶＝（1×10）∶（×10）＝10∶7。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查分数运算和比例的应用。通过设定单位“1”，分步求解比例关系。解题关键在于正确理解“多几分之几”的含义及分数运算规则。 4. 算式×××…×的结果，一定（ ）。 A. 大于2 B. 大于 C. 大于且小于 D. 大于0且小于 【答案】D 【解析】 【分析】一个数乘一个比1小的数（0除外），积一定比原数小。 【详解】A．算式中，乘的数都小于1，所以积一定比小，不可能大于2，所以该选项错误； B．算式中，乘的数都小于1，所以积一定比小，而非大于，所以该选项错误； C．算式中，乘的数都小于1，所以积一定比小，而非大于，所以该选项错误； D．算式中，所有分数都大于0，所以积大于0，同时乘的数都小于1，所以积一定比小，因此结果大于0小于，该选项正确。 故答案为：D 5. 若＜＜，则式中a最多可能表示（ ）个不同的自然数。 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据异分母分数大小比较的方法，首先将这三个分数通分，再按照同分母分数大小比较的方法进行解答即可。 【详解】因为18是3和6的倍数，所以3、18和6的最小公倍数是18， ＝＝ ＝＝ 即＜＜ 那么6＜a＋4＜15。 所以a表示的自然数是3、4、5、6、7、8、9、10；共8个不同的自然数。 故答案为：B 6. 下列多项式不能用平方差公式分解的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式a2－b2＝（a＋b）（a－b），分别判断得出即可． 【详解】A．，原式可以化为＝（5a＋b）（5a－b），可以用平方差公式分解； B. ，原式可化为＝（a＋b）（a－b），可以用平方差公式分解； C．，原式可化为＝（5b ＋ a）（5b－a），可以用平方差公式分解； D．，不能用平方差公式分解。 故答案为：D 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用平方差公式是解题关键。 7. 甲比乙多2倍，乙比丙多且甲、乙、丙都不为零，则甲∶乙∶丙＝（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将丙看作单位“1”，乙比丙多，乙为1＋＝；甲比乙多2倍，即甲是乙的3倍，甲为3×＝；再求甲、乙、丙的比，并化简。 【详解】假设丙为：1 乙为：1＋＝ 甲为：3×＝ 甲∶乙∶丙＝∶∶1 将比的各项乘2 甲∶乙∶丙＝9∶3∶2。 故答案为：D 二、填空题（每题4分，共28分） 8. 一艘轮船顺流而下，前3个小时每小时行40千米，后4个小时共行驶90千米，这艘轮船平均每小时行驶_____千米。 【答案】30 【解析】 【分析】根据“速度×时间”求出前3个小时行驶的路程，再加上后4个小时共行驶的路程，求出总路程，行驶的总时间是3＋4＝7小时，用总路程除以总时间即可求出这艘轮船平均每小时行驶多少千米。 【详解】（40×3＋90）÷（3＋4） ＝（120＋90）÷7 ＝210÷7 ＝30（千米） 所以这艘轮船平均每小时行驶30千米。 9. 观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，_____，448。 【答案】164 【解析】 【分析】通过观察数列，发现从第三项开始，每一项等于前两项之和再乘2。因此，第六项（空白处）等于第四项和第五项之和再乘2，据此计算；再验证第五项和第六项之和再乘2是否等于第七项，据此解答。 【详解】第三项：（1＋3）×2＝4×2＝8 第四项：（3＋8）×2＝11×2＝22 第五项：（8＋22）×2＝30×2＝60 第六项：（22＋60）×2＝82×2＝164 验证第七项：（60＋164）×2＝224×2＝448，与给定值一致。 因此，观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，164，448。 【点睛】解答本题的关键是找到规律：从第三项开始，每一项等于前两项之和的2倍，并验证后续项以确保规律的正确性。 10. 30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至少要试_____次。 【答案】 435 【解析】 【分析】开第一把锁，如果很不凑巧，试了29次都没有打开，第30把就不需要试了，肯定配这把锁的。同理，开第二把锁时，最多就需要28次，以此类推…第29把锁最多需要试1次，第30把锁就不需要试了，剩下的最后一把钥匙就一定是配这把锁的了．所以最多需要（29＋28＋27＋…＋1）次。 【详解】29＋28＋27＋……＋1 ＝（29＋1）÷2×29 ＝15×29 ＝435（次） 所以，30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至少要试435次。 11. 有6个数排成一列，这6个数的平均数是11，前4个数的平均数是9，后3个数的平均数是14，则第四个数是_____。 【答案】12 【解析】 【分析】用前4个数的平均数乘4，求出前4个数的和。用后3个数的平均数乘3，求出后3个数的和。用6个数的平均数乘6，求出6个数的和。用前4个数的和加上后3个数的和，再减去6个数的和，即可求出第4个数。 【详解】（9×4＋14×3）－11×6 ＝（36＋42）－66 ＝78－66 ＝12 所以第四个数是12。 12. 两支大小、长度都不相同的蜡烛，长的一支需要7分钟烧完，短的一支需要10分钟烧完，现在这两支蜡烛同时点燃4分钟后，高度相同，则原来短蜡烛的高度与长蜡烛的高度比是_____。 【答案】5∶7 【解析】 【分析】把较长的蜡烛看作“1”，那么较长的蜡烛每分钟燃，4分钟燃，点燃4分钟后还剩下；把短的蜡烛看作“1”，那么短的蜡烛每分钟燃，4分钟燃，点燃4分钟后还剩下；根据“点燃4分钟后剩下的长度相等”，可得出等式长蜡烛的＝短蜡烛的，进而逆用比例的性质，求得原来长短蜡烛的长度比即可。 【详解】长蜡烛×＝短蜡烛×， 长蜡烛×＝短蜡烛×， 短蜡烛：长蜡烛 ＝∶； ∶ ＝× ＝ 故短蜡烛的高度与长蜡烛的高度比是：5∶7。 【点睛】解决此题关键是先分别把两支蜡烛看作单位“1”，求出4分钟燃烧的分率，再求出剩下的分率，进而根据剩下的高度相等，写出等式，再逆用比例的性质得解。 13. ①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9 ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____ 【答案】 ①. 9 ②. 11＋12＋13＋14＋15＝13×5 【解析】 【分析】通过观察给定的三个例子，发现连续奇数个整数的和等于中间数乘整数的个数。据此数出算式中加数的个数即可解答第一空；第二空写出的是连续奇数个整数的和即可（答案不唯一）。 【详解】101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×9 同样规律的加法算式：11＋12＋13＋14＋15＝13×5（答案不唯一） 14. 有500个乒乓球运动员通过淘汰赛产生1个冠军，要打_____场比赛。 【答案】499 【解析】 【分析】淘汰赛中，每场比赛淘汰一名选手，最终产生一名冠军需要淘汰其他所有选手。从500名选手中产生冠军，需淘汰500－1＝499名选手，也就是需要比赛的场次。 【详解】500－1＝499（场） 所以有500个乒乓球运动员通过淘汰赛产生1个冠军，要打499场比赛。 三、计算题（8分） 15. 如图所示是15世纪意大利一本算术书中介绍的“格子乘法”，请你照样子算264×37的积。 【答案】 【解析】 【分析】用“格子乘法”计算264×37时，把因数264写在格子的上面，把因数37写在格子的右面；开始计算时，积的十位写在斜线的上方，个位写在斜线的下方；从3×4＝12开始，1写在斜线上方，2写在斜线下方；然后算3×6＝18，1写在斜线上方，8写在斜线下方；再算3×2＝6，只有个位，则0写在斜线上方，6写在斜线下方；一直这样计算下去；最后相加，同一斜线上的数全部相加，从最右端开始把和写在格子的下边和左边，如有进位，往前一格进一。本题左边最高位是0，所以写结果时不写这个0。 【详解】略 四、解答题（每题9分，共36分） 16. 五名裁判员给一名体操运动员评分，去掉一个最高分和一个最低分后平均得分是9.38分。若去掉一个最高分平均得分为9.26分；若去掉一个最低分平均得分为9.46分。这名体操运动员的最高分和最低分分别是多少分？ 【答案】最高分是9.7分，最低分是8.9分 【解析】 【分析】根据“平均分×评分人数＝总分数”分别计算出去掉最高分和最低分后的3个裁判员的总评分、去掉最高分后4个裁判员的总评分以及去掉最低分后的4个裁判员的总评分；然后根据“去掉最低分后的4个裁判员总评分﹣去掉最高分和最低分后的3个裁判员总评分＝运动员的最高分”求出运动员的最高分，根据“去掉最高分后4个裁判员的总评分﹣去掉最高分和最低分后的3个裁判员的总评分＝运动员的最低分”求出运动员的最低分。 【详解】最高分：9.46×4﹣9.38×3 ＝37.84﹣28.14 ＝9.7（分） 最低分：9.26×4﹣9.38×3 ＝37.04﹣28.14 ＝8.9（分） 答：这名运动员的最高分是9.7分，最低分是8.9分。 17. 据了解，火车票按“”的方法来确定。已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元。下表是沿途各站至H站的里程数： 车站名 A B C D E F G H 各站至H站的里程数（单位：千米） 1500 1130 910 622 402 219 72 例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为：（元）。 （1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）； （2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价66元，马上说下一站就到了。请问王大妈实际乘车的里程数是多少千米？在哪两个站之间？（要求写出解答过程）。 【答案】（1）154元 （2）550千米；从D站上车到G站下车 【解析】 【分析】（1）A站至F站的里程数＝A站至H站的里程数－F站至H站的里程数，据此代入题干公式计算，结果精确到1元，则是根据十分位上的数字进行四舍五入。 （2）设实际乘车里程数为x千米，根据票价公式建立方程求解x。再根据x的值和各站至H站的里程数，确定距离为550千米的区间。结合“上车过两站后”和“下一站就到了”的条件，推断上车站和下车站。 【详解】（1）1500－219＝1281（千米） 火车票价为：＝＝153.72 ≈ 154（元） 答：A站至F站的火车票价约是154元。 （2）解：设实际乘车里程数为x千米。 ＝66 ＝99000 550 实际乘车里程数为550千米。 查表，各站至H站的里程数：D站622千米，G站72千米。D站至G站的距离为： 622－72＝550（千米） 王大妈上车过两站后，乘务员说下一站就到了。若从D站上车，经过E站和F站后，即将到达G站。 答：王大妈实际乘车的里程数是550千米，从D站上车到G站下车。 【点睛】本题第一问只需要算出里程数，代入票价公式计算即可，第二问给出票价，要进行逆推，所以列方程解更容易理解，求得里程数之后再根据表中的里程数推测出上、下站。 18. 韩信分油。 有两个合伙卖油的商人，要把剩下的十斤油平分。但当时没有带秤，只有十斤的一个油篓，七斤的一个油罐，三斤的一个油葫芦。两人把油倒来倒去，折腾了半天也没分开。这时韩信正从这里骑马经过，他问明原因，在马上略一思索，就想出了分油的方法。两个商人用韩信的办法去分，果然把十斤油平分了。 试问：韩信想出了怎样的分油办法？ 【答案】第一次倒油：将油篓中的油倒满油葫芦（3斤），再把油葫芦里的3斤油全部倒入油罐。 数据：油篓剩余7斤，油罐有3斤，油葫芦空。 第二次倒油：继续将油篓中的油倒满油葫芦（3斤），再把油葫芦里的3斤油倒入油罐。 数据：油篓剩余4斤，油罐有6斤，油葫芦空。 第三次倒油：再次将油篓中的油倒满油葫芦（3斤），用油葫芦里的油倒满油罐（油罐还能装1斤），油葫芦中剩余2斤油。 数据：油篓剩余1斤，油罐满7斤，油葫芦剩2斤。 第四次倒油：把油罐中全部的7斤油倒回油篓。 数据：油篓有8斤，油罐空，油葫芦剩2斤。 第五次倒油：把油葫芦里的2斤油倒入油罐。 数据：油篓有8斤，油罐有2斤，油葫芦空。 第六次倒油：将油篓中的油倒满油葫芦（3斤），再把油葫芦里的3斤油倒入油罐。 数据：油篓剩余5斤，油罐有5斤，油葫芦空。 至此，油篓和油罐中各有5斤油，完成10斤油的平分。 【解析】 【分析】本题是利用三个不同容量的容器（10斤油篓、7斤油罐、3斤油葫芦）的倒油、倒满、倒空操作，实现将10斤油平分为两个5斤的目标，解题关键是通过逐步操作让油量在容器间转移，最终凑出目标量。利用3斤油葫芦的“小容量转移”特性，通过多次倒油、倒满、倒空的循环操作，让油量在三个容器间逐步调整，最终凑出两个5斤，据此解答。 【详解】略 【点睛】利用小容器的“迭代转移”：这类分油问题的核心是借助最小容量的容器作为“计量工具”，通过多次倒油实现油量的精准分配，本质是利用容器容量的差值进行凑数。倒油时需遵循“倒满就停、倒空再装”的规则，避免无意义的重复操作，按逻辑顺序逐步调整各容器的油量，才能高效达成目标。 19. 如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【解析】 【分析】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。 当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。 【详解】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V， 因为90V=5×18V，则有100＝5S， 所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间： 100×20÷ ＝2000÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 【点睛】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $