5.5用二次函数解决问题 课时练习 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

5.5用二次函数解决问题课时提优2025-2026学年苏科版数学九年级下册 一．选择题 1．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（　　） A．5000元 B．8000元 C．9000元 D．10000元 2．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 3．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 二．填空题 4．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 　 　 元时，才能使每天所获销售利润最大． 5．在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据a1，a2，…，an，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：cm），则这株青稞穗长的最佳近似值为 　 　 cm． 6．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 　 　 m2． 7．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是　 　 m． 8．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后3s滑行的距离是 　 　 m． 9．跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线可以看作是抛物线y＝﹣x+40的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行高度是 　 　 m． 10．图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体ACB呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，CD＝6cm，EF＝2cm，D是EF的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面AB＝4cm，此时最大深度（液面到最低点的距离）为4cm．现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角α＝45°时停止，此时液面为GB，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是 　 　 cm． 三．解答题 11．如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）当x的值为多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 12．商场销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定该商品每千克售价不能低于30元，且不高于50元． （1）根据图象求出y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （2）商场销售该商品每天的利润能否达到4000元？如果能，求出每千克的售价；如果不能，请说明理由． 13．某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示；成本y2（万元）是关于销售量x（吨）的二次函数． 根据题意，完成下列问题： （Ⅰ）销售额y1（万元）关于销售量x（吨）的函数解析式为　 　 ，其中自变量范围是 　 　 ； （Ⅱ）填表： 销售量x（吨） 0.4 0.5 0.6 1 2 3 3.5 x 成本y2（万元） 1.76 1.75 1.76 2 　 　 　 　 　 　 　 　 （Ⅲ）当成本最低时，销售产品所获利润是　 　 万元； （Ⅳ）当销售量是　 　 吨时，可获得最　 　 利润是　 　 万元．（提示：利润＝销售额﹣成本） 14．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示． （1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 15．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元. 说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为x（单位：辆，0＜x≤50）的条件下，甲的利润用y1表示（单位：元），乙的利润用y2（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： （1）分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ （2）甲公司最多比乙公司利润多多少元？ （3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围． 16．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后　 　 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）． （2）若小球离地面最大高度为11.25m，求小球被发射时的速度． （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为2s．”已知实验楼高10m，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 17．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 2.5 3 3.5 4 竖直高度y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小． 18．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米，相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为多少米？ 19．某商店将进价40元的保温杯加价25%后出售，每个月可卖出210个，通过市场调查发现，如果售价每上涨1元，每月少卖10个，且物价部门规定此款保温杯的售价不能超过55元，设每个保温杯的售价上涨x元，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）每个保温杯的售价定为多少元时，每个月的利润可达2340元？ （3）要想获得最大利润，保温杯的售价为多少元？最大利润是多少？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（　　） A．5000元 B．8000元 C．9000元 D．10000元 【分析】设售价为每个x元，则每个利润为（x﹣90），销售量为500﹣10（x﹣100），根据：每个利润×销售量＝总利润，可得出W关于x的二次函数，利用配方法求最值即可． 【解答】解：设单价定为x，总利润为W， 则可得销量为：500﹣10（x﹣100），单件利润为：（x﹣90）， 由题意得，W＝（x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]＝﹣10x2+2400x﹣135000＝﹣10（x﹣120）2+9000， 故可得当x＝120时，W取得最大，为9000元， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W关于x的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用． 2．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　） A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x） C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x） 【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润． 【解答】解：根据题意可得：y＝（40+x﹣35）（200﹣5x）＝（x+5）（200﹣5x）， 故选：C． 【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个”． 3．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 【分析】依据题意，作PG⊥AB，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，得到PH2＝225当点Q运动到点G的时候，PQ2最小为81，HG＝m﹣1，勾股定理求出m的值，判断A；当x＝m时，点Q运动到点B，根据三线合一，得到BG＝HG，进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出AP2的长，确定C的纵坐标，判断C；依据题意，求出x＝15时，可得点Q的位置，再利用勾股定理求出PK2判断D． 【解答】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2， ∴m＝13． ∴A错误． ∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB， ∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13+12＝25， ∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250． ∴点C的纵坐标为250． ∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK﹣AG＝2． ∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85． ∴点（15，85）在该函数图象上． ∴选项D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了动点的函数图象、勾股定理、垂线段最短、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能从函数图象中有效的获取信息，确定点Q的位置是关键． 二．填空题（共7小题） 4．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 　11　 元时，才能使每天所获销售利润最大． 【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元， 则y＝[20﹣4（x﹣9）]•（x﹣8） ＝﹣4x2+88x﹣448 ＝﹣4（x﹣11）2+36， 所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大， 故答案为11． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． 5．在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据a1，a2，…，an，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：cm），则这株青稞穗长的最佳近似值为 　6.1　 cm． 【分析】由题意知所测量的“量佳近似值”a是与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近，知a是所有数字的平均数． 【解答】解：∵所测量的“量佳近似值”a是与其他近似值比较， a与各数据的差的平方和最小． 根据平均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近， ∴a是所有数字的平均数， ∴a＝（5.9+6.0+6.0+6.3+6.3）÷5＝6.1； 故答案为：6.1． 【点评】此题考查了一组数据的方差、标准差，考查平均数的平方和最小时要满足的条件，是一个基础题． 6．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 　　 m2． 【分析】过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，设CD＝AE＝xm，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，由直角三角形的，性质得出BE＝BC＝（6﹣x）m，得出AD＝CE＝BE＝（6﹣x）m，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝（x+6）m，由梯形面积公式得出梯形ABCD的面积S与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解． 【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E， 则四边形ADCE为矩形， ∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°， 设CD＝AE＝xm， 则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m， 在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°， ∴BE＝BC＝（6﹣x）m， ∴AD＝CE＝BE＝（6﹣x）m，AB＝AE+BE＝x+6﹣x＝（x+6）m， ∴梯形ABCD面积S＝（CD+AB）•CE ＝（x+x+6）•（6﹣x） ＝﹣x2+3x+18 ＝﹣（x﹣4）2+24， ∴当x＝4时，S最大＝24． 即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24m2； 故答案为：24． 【点评】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键． 7．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是　　 m． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可知抛物线的顶点坐标为（2，5），与x轴的一个交点为（6，0）， ∴0＝a（6﹣2）2+5， 解得：a＝﹣， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+5， 当x＝0时，y＝﹣（0﹣2）2+5＝． ∴水管的长度OA是m． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 8．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后3s滑行的距离是 　13.5　 m． 【分析】当y取得最大值时，飞机停下来，y＝60t﹣＝﹣（t﹣20）2+600，即当t＝20时，飞机滑行600米才停下来，当t＝17时，y＝586.5，即可求解． 【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来， y＝60t﹣＝﹣（t﹣20）2+600， 即当t＝20时，飞机滑行600米才停下来， 当t＝17时，y＝586.5， 600﹣586.5＝13.5， 故答案为13.5． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，本题要首先确定飞机最大滑行时间，然后确定最后3秒滑行的距离． 9．跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线可以看作是抛物线y＝﹣x+40的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行高度是 　45　 m． 【分析】将抛物线表达式变换为顶点式，确定抛物线的顶点坐标，即可确定运动员起跳后的最大飞行高度． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x+40＝﹣（x﹣15）2+45， ∴抛物线顶点C的坐标为（15，45）， ∴这名运动员起跳后的最大飞行高度是45m． 故答案为：45． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是能够熟练将抛物线表达式由一般式转换为顶点式． 10．图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体ACB呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，CD＝6cm，EF＝2cm，D是EF的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面AB＝4cm，此时最大深度（液面到最低点的距离）为4cm．现将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角α＝45°时停止，此时液面为GB，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是 　　 cm． 【分析】以C为原点，则顶点C（0，0），过C且平行底面的直线为x轴，垂直底面的直线为y轴建立直角坐标系，在抛物线上取一点G，使∠ABG＝45°，则将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角α＝45°时停止，此时液面为GB，则此时酒杯内红酒的最大深度就是在直线GB下方的抛物线上的点到直线GB的最大值，据此求解即可． 【解答】解：以C为原点，则顶点C（0，0），过C且平行底面的直线为x轴，垂直底面的直线为y轴建立直角坐标系，在抛物线上取一点G，使∠ABG＝45°，直线BG交x轴于P，过B作BQ⊥x轴于Q，在直线BG下方的抛物线任取一点M，过M作MH⊥x轴交AB于H，交BG于N，过M作MK⊥BG交BG于K， ∵高脚杯中装满红酒时，液面AB＝4cm，此时最大深度（液面到最低点的距离）为4cm， ∴AB∥x轴，A（﹣2，4），B（2，4）， ∴∠ABG＝∠BPQ＝45°，BQ＝4，OQ＝2， ∴BQ＝PQ＝4， ∴OP＝2， ∴P（﹣2，0）， 设直线BG解析式为y＝kx+b， 把B（2，4），P（﹣2，0）代入y＝kx+b，得， 解得， ∴直线BG解析式为y＝x+2， ∵抛物线顶点C（0，0）， ∴设抛物线解析式为y＝ax2， 把B（2，4）代入y＝ax2得4＝a×22， 解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2， ∵MH⊥x轴，MK⊥BG， ∴设M（m，m2），则N（m，m+2），∠MHB＝∠MKN＝90°， ∴∠MNK＝∠BNH＝90°﹣∠ABG＝45°，， ∴∠NMK＝90°﹣∠MNK＝45°＝∠MNK， ∴NK＝MK，， ∴， ∴当时，取最大值， ∴将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角α＝45°时停止，此时液面为GB，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 11．如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位m2）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）当x的值为多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）根据2x+y＝80，求出y与x的函数解析式，根据矩形面积公式求出S与x的函数解析式； （2）将S与x的函数配成顶点式，先求出x的取值范围，求出S的最大值． 【解答】解：（1）设矩形实验田与墙垂直的一边长为xm，与墙平行的一边长为ym，面积为S， ∴2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80， ∵S＝xy， ∴S＝x（﹣2x+80）＝﹣2x2+80x； （2）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x2﹣40x）＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）＝﹣2（x﹣20）2+800， ∵y≤42， ∴﹣2x+80≤42， ∴x≥19， ∴19≤x＜40， ∴当x＝20m时，S有最大值800m2． ∴当x＝20时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是800m2． 【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算x的取值范围是解题的关键． 12．商场销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定该商品每千克售价不能低于30元，且不高于50元． （1）根据图象求出y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （2）商场销售该商品每天的利润能否达到4000元？如果能，求出每千克的售价；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设商场销售该商品每天利润为w元，列出w关于x的二次函数关系式，然后由二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系为y＝kx+b（k≠0）， 根据题意得： 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180（30≤x≤50）； （2）商场销售该商品每天的利润不能达到4000元，理由如下： 设商场销售该商品每天利润为w元， 根据题意得：w＝（x﹣20）（﹣x+180）＝﹣x2+200x﹣3600＝﹣（x﹣100）2+6400， ∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x＝100， ∴30≤x≤50时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴当x＝50时，w有最大值，最大值＝﹣（50﹣100）2+6400＝3900（元）， ∵3900＜4000， ∴商场销售该商品每天的利润不能达到4000元． 【点评】本题考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，找准数量关系，正确求出函数关系式是解题的关键． 13．某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示；成本y2（万元）是关于销售量x（吨）的二次函数． 根据题意，完成下列问题： （Ⅰ）销售额y1（万元）关于销售量x（吨）的函数解析式为y1＝5x ，其中自变量范围是 　0.4≤x≤3.5　 ； （Ⅱ）填表： 销售量x（吨） 0.4 0.5 0.6 1 2 3 3.5 x 成本y2（万元） 1.76 1.75 1.76 2 　4　 　8　 　10.75　 x2﹣x+2　 （Ⅲ）当成本最低时，销售产品所获利润是　0.75　 万元； （Ⅳ）当销售量是　3　 吨时，可获得最　大　 利润是　7　 万元．（提示：利润＝销售额﹣成本） 【分析】（Ⅰ）由函数图象，得到销售额y1（万元）与销售量x（吨）是一次函数关系，利用待定系数法求出其解析式； （Ⅱ）根据表格中数据，求出二次函数顶点式解析式，再根据表格中x的值，求出对应的y值，即可得到结果； （Ⅲ）根据题意，销售量在0.5吨时，销售额为y12.5万元，计算出此时的利润即可； （Ⅳ）根据题意，得到利润＝y1﹣y2，从而得到其解析式，即可得到结果． 【解答】解：（Ⅰ）设y1＝kx+b， ∴， 解得， ∴y1＝5x， 自变量x的范围0.4≤x≤3.5， 故答案为：y1＝5x，0.4≤x≤3.5； （Ⅱ）∵成本y2（万元）是关于销售量x（吨）的二次函数， 根据表格中数据，当x＝0.4时，y2＝1.76，当x＝0.6时，y2＝1.76， ∴二次函数的对称轴为x＝0.5，顶点坐标为（0.5，1.75）， ∴y2＝a（x﹣0.5）2+1.75， ∵点（1，2）在函数图象上， ∴2＝a（1﹣0.5）2+1.75， ∴a＝1， ∴二次函数解析式为y2＝（x﹣0.5）2+1.75＝x2﹣x+2， ∴当x＝2时，y2＝4；当x＝3时，y2＝8；当x＝3.5时，y2＝10.75， 故答案为：4，8，10.75，x2﹣x+2； （Ⅲ）根据表格，当成本最低为1.75万元时，销售量为0.5吨， 销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1与销售量x的关系式为y1＝5x， ∴当x＝0.5时，销售额为y1＝5×0.5＝2.5（万元）， ∴此时利润为2.5﹣1.75＝0.75（万元）， 故答案为：0.75； （Ⅳ）根据题意，利润＝y1﹣y2 ＝5x﹣（x2﹣x+2） ＝﹣x2+6x﹣2 ＝﹣（x﹣3）2+7， ∴当x＝3时，利润取得最大值，最大值为7． 故答案为：3，大，7． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 14．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示． （1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 【分析】（1）把（5，3）代入正比例函数即可求得k的值也就求得了y1的关系式；把原点及（1，2），（5，6）代入即可求得y2的关系式； （2）①销售利润之和W＝甲种蔬菜的利润+乙种蔬菜的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可； ②由题意可得W关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案． 【解答】解：（1）由题意得：5k＝3， 解得k＝0.6， ∴y1＝0.6x； 由， 解得：， ∴y2＝﹣0.2x2+2.2x； （2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2， 当t＝4时，W有最大值9.2， 答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元； ②当W＝8.4＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2， ∴t1＝2，t2＝6， ∵a＝﹣2＜0， ∴当2≤t≤6时，W≥8.4， 答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，得到总利润的关系式以及用二次函数来处理一元二次不等式是解决本题的关键． 15．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元. 说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为x（单位：辆，0＜x≤50）的条件下，甲的利润用y1表示（单位：元），乙的利润用y2（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： （1）分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ （2）甲公司最多比乙公司利润多多少元？ （3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a＞0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围． 【分析】（1）设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果； （2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，由（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可； （3）根据题意得到利润差为y＝﹣50x2+（1800﹣a）x+1850，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为16辆，结合x为整数可得关于a的不等式，即可求出a的范围． 【解答】解：（1）设每个公司租出的汽车为x辆， 由题意可得：y1＝[50×（50﹣x）+3000]•x﹣200x＝﹣50x2+5300x， 而y2＝3500x﹣1850， 两公司的月利润相等可得：﹣50x2+5300x＝3500x﹣1850， 解得：x＝37或x＝﹣1（舍）， ∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等； （2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y， 则y1＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x， y2＝3500x﹣1850， 当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37， y＝y1﹣y2＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850） ＝﹣50x2+1800x+1850， 当x＝﹣＝18时，利润差最大，且为18050元； 当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50， y＝y2﹣y1＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x ＝50x2﹣1800x﹣1850， ∵对称轴为直线x＝﹣＝18，50＞0， ∴当37＜x≤50时，y随x的增大而增大， ∴当x＝50时，利润差最大，且为33150元， 综上：甲公司最多比乙公司利润多为33150元或18050元； （3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则利润差为y＝﹣50x2+1800x+1850﹣ax＝﹣50x2+（1800﹣a）x+1850， 对称轴为直线x＝， ∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，月利润之差最大， ∴15.5＜＜16.5， 解得：150＜a＜250． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x为整数得到a的不等式． 16．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． （1）小球被发射后　　 s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）． （2）若小球离地面最大高度为11.25m，求小球被发射时的速度． （3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为2s．”已知实验楼高10m，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【分析】（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）把当，h＝11.25代入h＝﹣5t2+v0t求解即可； （3）由（2），得h＝﹣5t2+15t，把h＝10代入，求出t的值，即可作出判断． 【解答】解：（1）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t＝， ∴当时，h最大， 故答案为：； （2）根据题意，当时，h＝11.25． ∴． ∴v0＝15（m/s）； （3）小明的说法不正确．理由如下： 由（2），得h＝﹣5t2+15t． 当h＝10时，10＝﹣5t2+15t． 解得t1＝1，t2＝2． ∵2﹣1＝1（s）， ∴小明的说法不正确． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． 17．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 2.5 3 3.5 4 竖直高度y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小． 【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（3，0.9），那么该运动员竖直高度的最大值为0.9，把顶点坐标连同（0，0）代入所给的函数解析式，求得a的值后即可求得相应的函数解析式； （2）落入沙坑，则竖直高度y为0，分别代入（1）中得到的函数解析式和（2）中所给的函数解析式，求得x后取正值即为l1和l2的长度，比较l1，l2的大小即可． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：（3，0.9）． ∴该运动员竖直高度的最大值为0.9米． 设函数关系式为：y＝a（x﹣3）2+0.9． ∵经过点（0，0）， ∴9a+0.9＝0， 解得：a＝﹣0.1． ∴函数解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9． （2）取y＝0． 第一次训练时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9． 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝6． ∴l1＝6． 第二次训练时，0＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21． 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝4.4． ∴l2＝4.4． ∵6＞4.4， ∴l1＞l2． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线上有两点（x1，y），（x2，y），则抛物线的对称轴为：直线x＝． 18．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米，相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为多少米？ 【分析】依据题意，设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以AB所在的直线为x轴，以AB的中点O为坐标原点，OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点A（﹣10，0），B（10，0），C（0，6），点M，N的横坐标为5，再求出抛物线的解析式，即可求解． 【解答】解：如图， 设拱桥两端分别为点A、B，以AB所在的直线为x轴，则点A（﹣10，0），B（10，0），C（0，6），点M，N的横坐标为5， 设抛物线的解析式为y＝ax2+c， 把点A（﹣10，0），C（0，6）代入得：， ∴解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6． ∴当x＝5时，y＝﹣×52+6＝4.5．， ∴支柱MN的高度为8﹣4.5＝3.5米． 【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． 19．某商店将进价40元的保温杯加价25%后出售，每个月可卖出210个，通过市场调查发现，如果售价每上涨1元，每月少卖10个，且物价部门规定此款保温杯的售价不能超过55元，设每个保温杯的售价上涨x元，每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）每个保温杯的售价定为多少元时，每个月的利润可达2340元？ （3）要想获得最大利润，保温杯的售价为多少元？最大利润是多少？ 【分析】（1）由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40），即可求解； （2）设y＝2340，解得x的值．然后分情况讨论解． （3）由（1）中的y与x的解析式配方得：y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，即可求解． 【解答】解：（1）∵进价40元的保温杯加价25%后出售， ∴售价为：50元， 由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40）， ＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤5且x为整数）； （2）当y＝2340时，﹣10x2+110x+2100＝2340， 解得：x1＝3，x2＝8． ∴当x＝3时，50+x＝53，当x＝8时，50+x＝58． ∵保温杯的售价不能超过55元， ∴售价定为每件53元，每个月的利润为2340元． （3）由（1）中的y与x的解析式配方得：y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5， ∵a＝﹣10＜0，0＜x≤5，且x为整数， ∴当x＝5时，50+x＝55，y＝2400（元）， ∴当售价定为每件55元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元． 【点评】本题考查二次函数的实际应用以及配方法求最值以及一元二次方程的应用，得出销量与每件利润的关系式是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/27 20:26:40；用户：沈晓伟；邮箱：orFmNt-72lbAHdKYUsSxwOObB6og@weixin.jyeoo.com；学号：23270586 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $